精品解析：贵州遵义市凤冈县2025-2026学年高一下学期5月期中核心素养监测数学试题

贵州遵义市凤冈县2025-2026学年高一下学期5月期中核心素养监测数学试题 （满分：150分，时间：120分钟） 注意事项： 1.考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的姓名，班级，考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码. 2.选择题答题时，请用2B铅笔答题，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后再选涂其它选项；非选择题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题：在规定区域以外的答题不给分；在试卷上作答无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡的相应位置上， 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知角的始边为轴的非负半轴，则“角的终边在第二象限”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 计算（ ） A. B. C. D. 4. 一个扇形的圆心角为，面积为，则该扇形弧长为（ ） A. B. C. D. 5. 已知一组数据：的平均数为6，则该组数据的分位数为（ ） A. 4.5 B. 5 C. 5.5 D. 6 6. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知正实数，满足，则的最小值是（ ） A. B. C. 5 D. 8. 已知函数，若在区间有三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 直线是图象的一条对称轴 C. 方程的解集是 D. 的单调递增区间为 10. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 的最小值为3 C. 若，则 D. 若，则向量在向量上的投影向量的坐标是 11. 现有6个分别标有数字1，2，3，4，5，6的相同小球，从中有放回地随机抽取两次，每次取1个球，记事件甲：第一次取出的球的数字是3，事件乙：第二次取出的球的数字是6，事件丙：两次取出的球的数字之和是8，事件丁：两次取出的球的数字之差的绝对值是3，则（ ） A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互对立 D. 丙与丁互斥 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，的夹角为120°，且，，则________． 13. 函数在区间上的最大值为__________. 14. 如图，中，，，，点是线段一动点，若以为圆心半径为1的圆与线段交于，两点，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边上一点. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 16. 某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的运行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图. （1）求图中的值； （2）求这组数据的平均数与方差； （3）已知满意度评分值在内的男性人数与女性人数的比为.若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求恰有1名女性的概率. 17. 如图所示，中，AQ为边BC的中线，，，其中，. （1）当时，用向量表示与； （2）求证：为定值. 18. 已知函数的部分图象如图. （1）求函数的解析式； （2）若将函数的图象先向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数的单调递增区间； （3）函数在区间上有且仅有两个零点，求实数的取值范围. 19. 对任意两个非零向量，定义新运算：，其中为与的夹角. （1）若非零向量满足，且，求的取值范围； （2）若向量，且，求正数的值； （3）已知非零向量满足（是正整数），向量的夹角和都是有理数，且，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵州遵义市凤冈县2025-2026学年高一下学期5月期中核心素养监测数学试题 （满分：150分，时间：120分钟） 注意事项： 1.考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的姓名，班级，考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码. 2.选择题答题时，请用2B铅笔答题，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后再选涂其它选项；非选择题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题：在规定区域以外的答题不给分；在试卷上作答无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡的相应位置上， 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解出集合，利用交集的定义可得出集合. 【详解】因为，，则. 故选：C. 2. 已知角的始边为轴的非负半轴，则“角的终边在第二象限”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】本题利用三角函数在四个象限的符号和命题的逻辑关系从正反推导即可。 【详解】当角的终边在第二象限时，有,所以，充分性成立； 反之当时,角可能在第二或者第四象限，必要性不成立; 故选：A 3. 计算（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式化简求解. 【详解】. 故选：D. 4. 一个扇形的圆心角为，面积为，则该扇形弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由扇形的面积公式求得扇形的半径，进而由弧长公式计算可得. 【详解】设扇形的弧长为，半径为，根据已知的扇形的圆心角，面积， 由扇形的面积公式，得，解得（负值舍去）， 由弧长公式， 故选：B 5. 已知一组数据：的平均数为6，则该组数据的分位数为（ ） A. 4.5 B. 5 C. 5.5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由平均数及百分位数的定义求解即可. 【详解】依题意，，解得， 将数据从小到大排列可得：， 又，则分位数为. 故选：C. 6. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图像和周期性直接求解. 【详解】由题意得，， 得. 故选：C 7. 已知正实数，满足，则的最小值是（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】算式中的2改写为，得，利用基本不等式求最小值即可. 【详解】正实数，满足， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 故选：A. 8. 已知函数，若在区间有三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知进行换元，令，再结合余弦函数图象求解即可. 【详解】因为，且， 令，则， 即在上有三个零点， 由余弦函数图象知，即， 解得. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 直线是图象的一条对称轴 C. 方程的解集是 D. 的单调递增区间为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，利用周期公式求解；对于B，将代入进行判断；对于C，由求解判断；对于D，解不等式即可判断. 【详解】对于的最小正周期为，故A正确； 对于B，因为， 所以直线不是图象的对称轴，故B错误； 对于C，由，可得， 所以，所以， 故方程的解集为，故C正确； 对于D，由， 得， 所以的单调递增区间为，故D错误. 故选：AC 10. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 的最小值为3 C. 若，则 D. 若，则向量在向量上的投影向量的坐标是 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出的坐标，再利用向量垂直、模、向量共线依次判断ABC；求出投影向量判断D. 【详解】向量，则， 对于A，由，得，解得，A错误； 对于B，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，由，得，解得，C正确； 对于D，，，向量在向量上的投影向量，D正确. 故选：BCD 11. 现有6个分别标有数字1，2，3，4，5，6的相同小球，从中有放回地随机抽取两次，每次取1个球，记事件甲：第一次取出的球的数字是3，事件乙：第二次取出的球的数字是6，事件丙：两次取出的球的数字之和是8，事件丁：两次取出的球的数字之差的绝对值是3，则（ ） A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互对立 D. 丙与丁互斥 【答案】BD 【解析】 【分析】利用样本空间法，分别计算4个事件的概率，以及选项中两个事件同时发生是概率，再结合独立事件，互斥事件的定义，即可判断选项. 【详解】，事件丙包含，共5个基本事件，所以，，所以，甲与丙不相互独立，故A错误； 事件丁包含共6个基本事件，所以，，所以，甲与丙相互独立，故B正确； ，，所以，乙与丙不相互独立，故C错误； 事件丙和丁没有公共事件，不可能同时发生，所以丙和丁互斥，故D正确. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，的夹角为120°，且，，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据向量数量积的概念，列出式子即可求出结果. 【详解】由得 ． 故答案为：1. 13. 函数在区间上的最大值为__________. 【答案】3 【解析】 【详解】， 因为，所以， 所以当，即时，取得最大值，为3. 14. 如图，中，，，，点是线段一动点，若以为圆心半径为1的圆与线段交于，两点，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】借助向量线性运算及数量积公式可得，再求出最小值即可得. 【详解】连接，则 ， 由最小值为中以为底的高， 则， 经检验等号成立时满足题意. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边上一点. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据任意角三角函数的定义求解即可. （2）根据任意角三角函数的定义求解，然后代入原式计算即可. （3）先对原式进行化简，然后再代入求解即可. 【小问1详解】 根据任意角三角函数的定义可得 【小问2详解】 根据任意角三角函数定义可得. . 【小问3详解】 由（2）可得. 原式. 16. 某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的运行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图. （1）求图中的值； （2）求这组数据的平均数与方差； （3）已知满意度评分值在内的男性人数与女性人数的比为.若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求恰有1名女性的概率. 【答案】（1） （2）77；106 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图求各组频率，结合频率和为1运算求解； （2）用每组区间的中点值为代表，结合平均数和方差公式运算求解； （3）分析可知男生3人，女生2人，利用枚举法结合古典概型运算求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知各组频率依次为 ， 由 ，解得. 【小问2详解】 用每组区间的中点值为代表， 则平均数， 方差 . 【小问3详解】 在的人数有人，其中男生3人，女生2人， 记三个男生分别为，两个女生分别为， 则从5人中随机抽取2人进行座谈所有样本点： ，，共10个； 恰有1名女生的样本点：，共6个； 所以从5人中随机抽取2人进行座谈恰有1名女生的概率为. 17. 如图所示，中，AQ为边BC的中线，，，其中，. （1）当时，用向量表示与； （2）求证：为定值. 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由是的中线和向量加法的平行四边形法则得到，再由表示出； （2）由得到，又由、、三点共线，得到，从而表示出，因为，不共线，所以系数相等，得到的关系. 【小问1详解】 因为AQ为边BC的中线， 所以， 当时，，所以； 【小问2详解】 由（1）可知， 所以， 而， 所以 又因为M，P，N三点共线， 所以 ，可得（定值）. 18. 已知函数的部分图象如图. （1）求函数的解析式； （2）若将函数的图象先向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数的单调递增区间； （3）函数在区间上有且仅有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由函数的图像，求得，得到，再由，求得，进而得到函数的解析式； （2）根据三角函数的图象变换，求得，结合三角函数的图象与性质，即可求得的单调递增区间； （3）令，得到，转化为方程在有且仅有两个实根，结合余弦函数的性质，求得方程的根，进而求解. 【小问1详解】 由图象可知， 设函数的最小正周期为， 由函数的图像，可得，所以， 因为，所以，所以函数， 又因为，所以，解得， 因为，所以令，可得， 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 函数的图象先向右平移个单位长度， 得到，的图象， 再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍，（纵坐标不变）， 得到函数的图象，所以， 令，解得， 所以函数的单调递增区间. 【小问3详解】 令，则， 因为函数在区间上有且仅有两个零点， 所以方程在有且仅有两个实根， 令，得或， 所以方程的较小的三个正根从小到大排列分别是， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 19. 对任意两个非零向量，定义新运算：，其中为与的夹角. （1）若非零向量满足，且，求的取值范围； （2）若向量，且，求正数的值； （3）已知非零向量满足（是正整数），向量的夹角和都是有理数，且，求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题设定义及条件，得到，又，再结合的性质，即可求解； （2）根据条件，利用向量模长及夹角公式，得到，进而得到，再结合题设条件，即可求解； （3）根据题设可得，利用，得，再结合是正整数，对取值讨论，即可求解. 【小问1详解】 因为且，则， 又，所以，得到， 又，且 所以的取值范围是. 【小问2详解】 因为和，则， 则设向量和的夹角为，则， 所以， 则 ，整理得到， 所以（舍）或，解得或（舍）， 所以. 【小问3详解】 因为， 则， 又，则， 即， 又，则，又是正整数， 当不合题意， 当，由，得到， 所以，满足题意，故， 当时，，得到，解得， 此时，不是有理数，所以不合题意， 当时，，所以时，不合题意， 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $