专题10二元一次方程组题型突破讲义(知识点梳理+常考题型精析+强化题型+寒假预习)2025-2026学年人教版七年级数学下册

专题10二元一次方程组题型突破讲义 基础 过关题 1.二元一次方程组的定义 2.二元一次方程的解 3.二元一次方程组的判定 4.判断方程组的解 5.三元一次方程组的定义及解 能力 提升题 6.已知方程组的解求参数 7.代入消元法 8.加减消元法 9.二元一次方程组的特殊解法 10.错解复原问题 11.构造方程组求解 12.三元一次方程组的应用 拓展 拔高题 13.由方程组解的情况求参数 14.方程组相同解的情况 一.二元一次方程组的概念 1. 三个核心定义 二元一次方程：含2 个未知数，未知项次数都是 1，分母不含未知数的整式方程 二元一次方程组：含相同 2 个未知数的两个二元一次方程合在一起 方程组的解：能同时满足方程组所有方程的一组未知数的值（一般只有一组，用大括号表示）。 2. 两个必会考点 能准确判断一个方程 或方程组是否为二元一次方程 或方程组。 已知解求参数（如已知​是ax+y=5的解，求a）。 3. 一个易错点 方程组的解要满足所有方程，并非只满足一个；含xy的项（次数为 2），不是二元一次方程。 二.消元 - 解二元一次方程组 1. 核心思想 消元：化 “二元” 为学过的 “一元”，消去一个未知数解一元一次方程。 2. 两种必会解法（步骤 + 适用场景） （1）代入消元法 适用：有方程能直接变形成y=ax+b或x=ay+b（未知数系数为 1或-1）。 步骤：变（表未知数）→代（代入另一方程）→解（一元一次方程）→回代（求另一未知数）→联（写解，大括号）。 （2）加减消元法 适用：同一未知数系数相等 或 互为相反数，或易通过乘数化为相等 / 相反。 步骤：化（系数化相等 或 相反）→加 或 减（系数相反相加，相等相减）→解（一元一次方程）→回代→联（写解）。 3. 解法选择技巧 未知数系数为 1或-1，优先代入法； 系数易化相等 或 相反，优先加减法。 4. 三个高频易错点 1.代入时代数式加括号，避免漏乘负号； 2.乘数变形时，方程每一项都要乘，不含漏乘常数项； 3.相减消元时，被减方程每一项都要变号。 【题型1.二元一次方程组的定义】 1．下列方程中，属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，熟练掌握“二元一次方程需同时满足含两个未知数、未知数最高次数为1、整式方程这三个条件”是解题的关键． 根据二元一次方程的定义（含两个未知数、未知数最高次数为1、整式方程），逐一判断选项是否符合条件． 【详解】解：二元一次方程需满足：①含两个未知数；②未知数最高次数为1；③整式方程． 选项A、，的次数为2，不符合； 选项B、，含分式，不是整式方程，不符合； 选项C、，含两个未知数，未知数次数均为1，是整式方程，符合； 选项D、，项次数为2，不符合． 故选：C． 2．已知是二元一次方程，则 ． 【答案】3 【分析】二元一次方程要求两个未知数的次数均为1． 此题考查的是对二元一次方程的定义理解，熟练掌握是解决此题的关键． 【详解】解：由题意可知， 方程中的次数为1，因此的次数 必须为1，即， 解得． 故答案为：3． 3．已知是关于x、y的二元一次方程，则m、n的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，掌握方程含有2个未知数，且每个未知数的系数不等于0且次数等于1是解题的关键． 根据二元一次方程的定义得到关于m、n的方程组求解即可． 【详解】解：∵是关于x、y的二元一次方程， ∴，解得：． 故选D． 4．已知是关于、的二元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】根据二元一次方程的定义求出、的值后即可求解． 【详解】解：是关于、的二元一次方程， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是二元一次方程的定义，解一元一次方程，已知字母的值，求代数式的值，解题关键是熟练掌握二元一次方程的定义． 【题型2.二元一次方程的解】 5．已知是方程的解，则k等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查已知二元一次方程的解，求参数的值，解题的关键是把二元一次方程的解代入含参的等式，再求参数的值．把代入方程得出，再求出k即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 即， ∴， ∴． 故选：D． 6．已知是二元一次方程的解，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义，代数式求值，熟练掌握定义是解题的关键．将二元一次方程的解代入方程，得到，然后通过代数变形，利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴． 故答案为：4． 7．已知是方程的一个解，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，把代入方程，得到关于的一元一次方程，然后求解即可，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的解， ∴代入得：， ∴， ∴， 故选：． 8．若两个整数x、y满足方程，就称数组为方程的一组整数解，则方程的整数解的组数为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了整数的奇偶性，二元一次方程的解，解题的关键是判断和的奇偶性以及的奇偶性，再分析的奇偶性，通过比较得出方程无解． 【详解】解：都是整数， 和同为奇数或者同为偶数， 和同为奇数或者同为偶数， 为偶数， 为奇数， 方程无解， 故答案为：0． 【题型3.二元一次方程组的判定】 9．在方程组，，，，中，是二元一次方程组的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的定义；根据二元一次方程组的定义，需满足：①共含有两个未知数；②每个方程均为一次方程；③方程组由两个方程组成解答即可． 【详解】解：∵方程组含有两个未知数，且每个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组中，第一个方程不是整式方程，未知数次数不为1，不是二元一次方程组； 方程组含有两个未知数，且每个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组含有三个未知数，不是二元一次方程组； 方程组中，第一个方程为二次方程，不是一次方程，不是二元一次方程组； ∴二元一次方程组有2个． 故选：A． 10．已知方程组是关于的二元一次方程组，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组，绝对值的意义，理解二元一次方程组的定义，熟练掌握绝对值的意义是解决问题的关键． 根据二元一次方程组的定义得，求出后进行验证，即可得出最终的值． 【详解】解：∵方程组是关于的二元一次方程组， ∴，即， 解得：， 当时，原方程组可转化为：，不符合二元一次方程组的定义，舍去； 当时，原方程组可转化为：，符合二元一次方程组的定义； 综上所述：的值为． 故答案为：． 11．下列方程组中，二元一次方程组有（   ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个相同的未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程． 【详解】解：①、符合二元一次方程组的定义，故①符合题意； ②、第一个方程与第二个方程所含未知数共有3个，故②不符合题意； ③、符合二元一次方程组的定义，故③符合题意； ④、该方程组中第一个方程是二次方程，故④不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，解题时需要掌握二元一次方程组满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程． 12．已知关于x，y的二元一次方程的解如下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 8 6.5 5 3.5 2 0.5 … 已知关于x，y的二元一次方程的解如下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 2 … （1）仔细观察表中数据，直接写出关于，二元一次方程组的解为 ． （2）关于，的二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解与系数的关系是解题的关键 （1）两个表格中的相同解即为方程组的解； （2）根据两个方程组的系数的关系即可求解． 【详解】解：（1）根据表格可知，当时，中，中， ∴关于，二元一次方程组的解为， 故答案为； （2）∵关于，二元一次方程组的解为， ∴关于，的二元一次方程组的解为， 解得， ∴关于，的二元一次方程组的解为， 故答案为． 【题型4.判断方程组的解】 13．下列方程中，解为的二元一次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的解．将代入方程，判断两边是否相等，相等则为方程的解． 【详解】解：A：∵， ∴不是方程的解； B：∵， ∴是该方程的解； C：∵， ∴不是方程的解； D：∵， ∴不是方程的解； 故选：B． 14．有四组数：①②③④其中， 是方程的解， 是方程的解， 是方程组的解（填写序号）． 【答案】 ②③④ ①④ ④ 【分析】本题考查了二元一次方程的解和二元一次方程组的解，代入方程，看看是否两边相等即可，根据二元一次方程组的解的定义得出即可． 【详解】解：①②③④中， 把①代入方程得：左边，右边，左边≠右边，所以①不是方程的解， 把②代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以②是方程的解， 把③代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以③是方程的解， 把④其代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以④是方程的解， 即②③④是方程的解； 把①代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以①是方程的解， 把②代入方程得：左边，右边，左边≠右边，所以②不是方程的解， 把③代入方程得：左边，右边，左边≠右边，所以③不是方程的解， 把④代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以④是方程的解， 即①④是方程的解； ∴④是方程组的解． 故答案为：②③④，①④，④． 15．已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题关键． 先将方程组的解代入第一个方程可求出的值，从而可得这个方程组的解，再在四个选项中，找出满足这个解的方程即可得． 【详解】解：由题意，将代入方程得：，解得，所以这个方程组的解为， A、将代入得：，则此项不符合题意； B、将代入得：，则此项不符合题意； C、将代入得：，则此项不符合题意； D、将代入得：，则此项符合题意； 故选：D． 解答题 16．已知下列四对数值： ①②③④ (1)哪几对数值是方程的解？ (2)哪几对数值是方程的解？ (3)写出方程组的解． 【答案】(1)①②③ (2)①④ (3)① 【分析】本题考查了二元一次方程的解，二元一次方程组的解． （1）分别将四对数代入方程，验证左边是否等于右边即可得解； （2）分别将四对数代入方程，验证左边是否等于右边即可得解； （3）结合（1）（2）的结果，同时满足（1）（2）数组即为方程组的解． 【详解】（1）解：将①代入得：，左边右边； 将②代入得：，左边右边； 将③代入得：，左边右边； 将④代入得：，左边右边； ∴①②③是方程的解； （2）解：将①代入得：，左边右边； 将①代入得：，左边右边； 将②代入得：，左边右边； 将③代入得：，左边右边； 将④代入得：，左边右边； ∴①④是方程的解； （3）解：由（1）（2），得①是方程组的解． 【题型5.三元一次方程组的定义及解】 17．下列方程中，属于三元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三元一次方程的识别，含有3个未知数，且含有未知数的项的指数为1的整式方程，叫做三元一次方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A、只含有2个未知数，不是三元一次方程，不符合题意； B、含未知数的项的最高次幂为2次，不是三元一次方程，不符合题意； C、是三元一次方程，符合题意； D、方程化简为：，只含有2个未知数，不是三元一次方程，不符合题意； 故选C． 18．已知方程组的解使代数式的值等于，则a的值为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了解三元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中三个方程成立的未知数的值．把a看作已知数求出方程组的解表示出x，y，z，代入已知等式中计算即可求出a的值． 【详解】解：， 得：，即， 得：， 得：， 得：， 将，，代入中得：， 解得：． 故答案为：． 19．观察方程组的系数特征，若要使求解简便，消元的方法是（   ） A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．以上说法都不对 【答案】B 【分析】本题的实质是考查三元一次方程组的解法．先把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”，把复杂问题转化为简单问题的思想方法．经观察发现，3个方程中先消去y，即可得到一个关于x、z的二元一次方程组，再用加减消元法和代入法解方程即可． 【详解】解： 方程可直接消去未知数y， 即可得到一个关于x、z的二元一次方程组， ∴要使运算简便，消元的方法应选取先消去y， 故选：B． 20．在等式中，当时，；当，；当时，，则a= ，b= ，c= ． 【答案】 3 －2 －5 【分析】由“当时，；当时，；当时，”即可得出关于、、的三元一次方程组，解方程组即可得出结论． 【详解】解：根据题意，得， ②①，得④； ③①，得⑤． ④与⑤组成二元一次方程组， 解这个方程组，得， 把代入①，得． 因此， 故答案为为3，，． 【点睛】本题考查了解三元一次方程组，解题的关键是由点的坐标得出关于、、的三元一次方程组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键． 【题型6.已知方程组的解求参数】 1．已知是方程的一个解，则常数的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的解，将方程的解代入原方程，解关于的一元一次方程即可． 【详解】将代入方程 得： 化简得： 解得： 故选：B． 22．已知是方程组的解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，把代入，得，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴， ∴， 故答案为：． 23．已知p为偶数，q为奇数，方程组的解是整数，那么（   ） A．x为奇数，y是偶数 B．x为偶数，y是奇数 C．x为偶数，y是偶数 D．x为奇数，y是奇数 【答案】B 【分析】此题考查的是解二元一次方程组和奇偶数的性质，根据奇偶数的性质一一验证即可得出答案． 【详解】解：．当x为奇数，y是偶数时，则p为奇数，q为奇数，与题干不符，故该选项不符合题意； ．当x为偶数，y是奇数时，则为偶数偶数偶数，为偶数奇数奇数，与题干符合，故该选项符合题意； ．当x为偶数，y是偶数时，则p为偶数，q为偶数，与题干不符，故该选项不符合题意； ．当x为奇数，y是奇数时，则为奇数偶数奇数，与题干不符，故该选项不符合题意； 故选：B． 24．解关于x，y的方程组时，可以用消去未知数x，也可以用消去未知数y，试求的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查解含参的二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键，根据题意可得到，解二元一次方程组即可得到的值，从而即可得到答案． 【详解】解：由题可得： 得：， ∵此时可以消去未知数， ∴， 得：， ∵此时可以消去未知数， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 解答题 25．已知是关于的二元一次方程组的解，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，代数式求值，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．将代入方程组计算求出m与n的值，即可确定出所求式子的值． 【详解】解：根据题意，得， 解得，． ． 【题型7.代入消元法】 26．用代入消元法解方程组时，消去y，可将第一个方程变形为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了代入消元法解二元一次方程组，熟练掌握将方程变形为用一个未知数表示另一个未知数的形式是解题的关键． 根据代入消元法的要求，将第一个方程变形为用表示的形式，从而消去． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 27．用代入法解方程组时，将方程①代入②，去括号后得方程 ． 【答案】 【分析】本题考查代入消元法，利用代入法，将方程①代入方程②，消去变量y，得到关于x的一元一次方程，即可． 【详解】解：将方程①代入②，得， 去括号，得； 故答案为：． 28．方程组的解为则被遮盖的两个数，分别为（    ） A．1，2 B．1，3 C．2，4 D．1，5 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程组的解的概念和解方程，解题的关键是理解方程组的解的定义，并且会代入求值． 把的值代入原方程组中的第二个方程，解方程求出的值，把和的值代入原方程组中的第一个方程，计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴为， ∴， ∴为， 故选：D． 29．关于的二元一次方程（是常数），，，对于任意一个满足条件的，此二元一次方程都有一个公共解，这个公共解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，解二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键． 先将，代入，化简得到，则得到，再解方程组即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴ ∴ ∵对于任意一个满足条件的a，此二元一次方程都有一个公共解 ∴ ∴公共解为， 故答案为：． 【题型8.代入消元法】 30．解方程组，则（   ） A．9 B．6 C．－3 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法及代数式求值．熟练掌握二元一次方程组的解法及代数式求值是解题的关键． 通过观察方程组的结构，可以直接将两个方程相加，消去变量间的差异，快速求得的值． 【详解】将原方程组中的两个方程相加： 相加得： 两边同时除以3，得：， 故选：D． 31．已知x，y满足方程组，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法与代数式求值，解题的关键是通过方程组的变形求出的值；可将方程组中的两个方程相加，消去部分项后化简得到． 【详解】解：已知， 将两式相加得：， 即， 两边同时除以得：． 故答案为：． 32．已知关于x，y二元一次方程组的解满足，则的值为（  ） A．0 B．2 C．-2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解、二元一次方程组的解，掌握用加减消元法解二元一次方程组是解题关键．由①②得，故，进而推断出，再求解即可． 【详解】解：． ①②，得． ． 又关于，的二元一次方程组的解满足， ． ． 故选：B． 33．已知关于x，y的二元一次方程组的解与的其中一个解相同，则a的值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由题意，方程组的解与方程的一个解相同，因此先解方程组，得到和的值，再代入中求出的值． 【详解】解：解方程组， ，得③， ，得④， ③④得，解得， 将代入②，得，即， 解得， 所以方程组的解为． 将代入，得， 即， 解得． 故答案为：． 解答题 34．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解答本题的关键． （1）将方程①代入方程②消去x，求出，把代入①可求出，从而可求出方程组的解； （2）将方程②整理为③，可求出，再把代入③可求出，从而可求出方程组的解． 【详解】（1）解： ①代入②得：， 解得， 把代入①可得， 所以，方程组的解为； （2）解：， 由②得③， 得， 解得， 把代入③得：， 解得， 所以，方程组的解为． 【题型9.二元一次方程组的特殊解法】 35．已知方程组，则的值是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【分析】将两方程相加后，再两边同除以3即可得到答案． 【详解】解：， ①+②得，3x+3y=9， ∴x+y=3． 故选：A． 【点睛】此题考查的是解二元一次方程组，掌握其解法是解决此题关键． 36．若关于，的二元一次方程组的解是，关于，的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，设，可得，进而根据题意得到关于s、t的二元一次方程组的解是，则，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设， ∵， ∴． ∵关于，的二元一次方程组的解是， ∴关于s、t的二元一次方程组的解是． ∴． 解得， ∴关于，的二元一次方程组的解是． 故答案为：． 37．若关于x，y的方程组的解满足，则k的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的消元法应用，熟练掌握通过方程组相减直接表示出的方法是解题的关键．先通过方程组消元，用表示出，再结合列方程求解． 【详解】解： 用得，整理得， ∵ ， ∴ ， 解得， 故选：． 38．若关于x，y的二元一次方程组的解为，则关于m，n二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握换元思想成为解题的关键．设，，将原方程组变形为，对比的解为，可得，进而即可求解． 【详解】解：设，， 则变形为， 等式两边同乘，得：， 关于x，y的二元一次方程组的解为， ， ， ， 解得， 故答案为：． 解答题 39．小红完成教材142页第7题时遇到了这样一个问题：解方程组 【尝试】 （1）若用已学的消元法求解，运算量大，且容易出错．如果把方程组的看成一个整体，把看作一个整体，先通过换元法，可以解决问题，具体过程如下，请将下面的解题过程补充完整． 解：设，则原方程组可化为___________， 解关于的方程组，得， 所以，解这个方程组得； 【迁移】 （2）利用上述方法解方程组 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，掌握整体换元法是解题的关键． （1）根据换元法和加减消元法可得答案； （2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案． 【详解】解：（1）设，则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， 所以， 解这个方程组，得， 故答案为：，； （2）设，，则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， 所以， 解这个方程组，得． 故原方程组的解为． 【题型10.错解复原问题】 40．两位同学在解关于、的方程组时，甲看错①中的，解得：，，乙看错②中的，解得，那么和的正确值应是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，甲看错了a，则甲的结果满足②，乙看错了b，则乙的结果满足①，由此建立关于a、b的方程求解即可． 【详解】解：由题意，得把，代入②，得， 解得， 把，代入①，得， 解得， 所以，． 故选C． 41．已知方程组，甲正确地解得，而乙粗心，他把看错了，从而解得，则 ， ． 【答案】 3 【分析】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，由题意得出，解方程组即可得出答案． 【详解】解：由题意得， 解得． 故答案为：3，． 42．在解方程组时，甲同学正确解得，乙同学把c看错了，而得到，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程组的解法，将甲同学的解代入方程组得到关于a与b的方程，并求出c的值，将乙同学的解代入方程组中第一个方程得到关于a与b的二元一次方程，联立组成关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值即可． 【详解】解：将代入方程组得：①，，即， 将代入方程组中的第一个方程得：②， 得：，即， 将代入①得：，即， 则． 故选：B． 解答题 43．甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，请你根据以上结果，求出和的值． 【答案】， 【分析】本题考查了二元一次方程组的错解复原问题，掌握方程的解即为能使方程成立的未知数的值是解题的关键． 利用看错某方程系数时，所得解仍满足未看错的方程，分别将甲、乙的解代入对应未看错的方程，即可求解、． 【详解】解：∵甲看错了方程①中的， ∴甲所得的解符合方程②，把代入方程②，得 ，解得； ∵乙看错了方程②中的， ∴乙所得的解符合方程①，把代入方程①，得 ，解得； ∴，． 【题型11.构造方程组求解.】 44．对于有理数x、y，规定新运算，其中a，b是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运算，已知，，则 ， ． 【答案】 2 ﹣ 【分析】利用题中的新定义列出方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值． 【详解】解：由题中的新定义得：， 解得：， 故答案为：2； 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 45．已知，与，都是方程的解，则和的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查构造二元一次方程组求解，熟练掌握代入消元法解二元一次方程组是解决问题的关键．将，与，代入方程，构造关于和的二元一次方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：将，与，代入方程得： ， 由方程②得， 将③代入方程①得， 解得； 将代入③得； 因此，，， 故选：A． 46．关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解的定义，代数式的代入变形，掌握系数比较法是解题关键． 由原方程组的解可得和的表达式，代入新方程组后通过比较系数求解． 【详解】解：由已知方程组的解为， 代入得，， 将和代入新方程组， 得， 比较系数可得． 故答案为：． 47．已知为整式，且，其中为正整数，为自然数，令．下列说法： ①若时，和满足，则； ②不存在和的值，使； ③若时，，，则满足条件的所有整式的和为．其中正确的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题考查新定义整式，涉及整式运算、解方程组等知识，读懂题意，理解题中新定义的整式运算法则，根据不同说法，代值验证即可得到答案．理解题中新定义整式是解决问题的关键． 【详解】解：当时，， 和满足， 解得， ， 故①正确； 若，则， 即， ， 当时，， 即存在和的值，使， 故②错误； 若时，满足条件的所有整式的和为， 由可知，只能取或， 当时，，则， ，解得， 为正整数， 或， 即或； 当时，，则， ，解得， 为正整数， 或， 当时，则，方程组无满足条件的解； 当时，则，即； ； 满足条件的所有整式的和为， 故③错误； 综上所述，正确的说法是①，共1个， 故选：C． 【题型12.三元一次方程组的应用】 48．三元一次方程：含有 未知数，并且含有未知数的项的 都是 ，这样的方程叫做三元一次方程． 【答案】 三个 次数 1 【分析】由题意直接利用三元一次方程的定义进行填空即可. 【详解】解：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程． 故答案为：三个，次数，1. 【点睛】本题考查三元一次方程的定义，注意掌握含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程． 49．若是从0，，2这三个数中取值的一列数，且，，则在数中，取值为2的数有（   ）个 A．150 B．160 C．180 D．200 【答案】D 【分析】此题主要考查了三元一次方程组的应用，读懂题意，正确列出方程组是解决问题的关键． 设其中有a个0，b个，c个2，则；由，可得；由，可得；联立得到方程组，求解即可． 【详解】解：∵是从0，，2这三个数中取值的一列数， ∴设其中有a个0，b个，c个2，则； ∵ ∴； ∵ ∴ 联立得到， 解得， ∴在数中，取值为2的数有200个． 故选：D． 50．为了检验军训成果，某学校组织了一次游戏：每位同学朝特制的靶子上各投三支飞镖，当飞镖落在同一圆（或圆环）内时得分相同．如图，小明、小君、小红的成绩分别是29分、43分和33分，则小华的成绩为 分． 【答案】36 【分析】设投中不同的圆（或圆环）的得分分别为未知数，根据小明、小君、小红的成绩列出方程组，求解未知数后计算小华的成绩即可； 本题考查了三元一次方程组的应用，熟练掌握列出正确的等式是解题的关键. 【详解】设飞镖投到最小的圆中得分，投到中间的圆中得分，投到最外面的圆中得分． 根据题意得 解得 ∴小华的成绩是（分）； 故答案为：36． 51．甲、乙、丙三人进行智力抢答活动，规定：第一个问题由乙提出，由甲、丙抢答．以后在抢答过程中若甲答对题，就可提个问题，乙答对题就可提个问题，丙答对题就可提个问题，供另两人抢答．抢答结束后，总共有个问题没有任何人答对，则甲、乙、丙答对的题数分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 或 ，， 【答案】D 【分析】设甲、乙、丙三人答对的题数分别为x题，y题，z题，根据总共有个问题没有任何人答对列出方程，进而得到，再根据x、y、z都是非负整数进行讨论求解即可． 【详解】解：设甲、乙、丙三人答对的题数分别为x题，y题，z题， 由题意得，， ∴， ∵x、y、z都是非负整数， ∴当时，，则； 当时，则，此时y、z无非负整数解，不符合题意； 当时，，则，即此时乙、丙没有答对任何一道题，那么甲只有第一次乙出题时有答题机会，即甲最多答对一道题，这与矛盾，故此种情况不符合题意； 当时，，则或，， ∵当，时，那么甲没有出题机会，乙只有一开始出一道题的机会，那么丙只有一次答题机会，即丙最多答对一道题，这与矛盾； 综上所述，，或，， 故选D． 【点睛】本题主要考查了三元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 【题型13.由方程组解的情况求参数】 52．若关于，的方程组的解满足，则为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据二元一次方程组的解的情况，求参数，熟练掌握二元一次方程组是解答本题的关键．将两个方程相加后，整体代入法得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：， 得：， ， ， 解得：， 故答案为：． 53．若关于x、y的方程组的解满足，则k等于（   ） A．2027 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】方程组中的两个方程相加并化简，得，根据的值得关于k的一次方程，求解即可． 本题考查了二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法、等式的性质是解决本题的关键． 【详解】解：， ①+②，得， 化简，得 ， 故选：D 54．关于，二元一次方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解的应用，根据方程组表示出是解题的关键．将方程组中的两个方程相加，得到，结合给定条件，即可求出的值． 【详解】解：将方程组中的两个方程相加：， 即， ， ，解得． 故答案为：． 55．已知关于x，y的方程组的解和互为相反数，则的值是（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义，二元一次方程组的解，解一元一次方程等知识，根据相反数的定义，得到，代入方程组中求出， ，可得关于的一元一次方程，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵ 和 互为相反数， ∴， 把代入，得：， 把代入，得：， ∴， 解得：， 故选：B． 解答题 56．已知关于x，y的方程组和的解相同． (1)求a，b的值； (2)解关于m的方程：． 【答案】(1)， (2)或 【分析】此题考查了解二元一次方程组及方程组的解，平方根，解题的关键是掌握二元一次方程组的求解． （1）先解方程组求得，再代入方程组正确求得a，b的值即可； （2）将a，b的值代入得到，利用平方根定义求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，解得， 将代入，得 解得， ∴，； （2）解：将，代入方程得 整理得，即或 ∴或． 【题型14.方程组相同解的问题】 57．若二元一次方程组和同解，则可通过解方程组 求得这个解． 【答案】 【分析】找到两个不含参数的方程，组成新的方程组即可． 【详解】解：因为两方程组有相同的解， 所以方程组的解必然适合两方程组． 故答案为：． 【点睛】本题考查同解方程组．解题的关键是找到两个不含参数的方程，组成新的方程组． 58．已知关于x，y的二元一次方程组和关于x，y的二元一次方程组有相同的解，则的算术平方根是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了同解方程组，由题意可知，两个方程组有相同的解，即存在一组公共解满足所有四个方程．先联立两个不含参数的方程求解x和y，再代入含参数的方程求出a和b的值，最后计算的算术平方根． 【详解】联立第一个方程组的第一个方程和第二个方程组的第一个方程：， 由第二个方程得 ，代入第一个方程：， 解得， 把代入 ，得 ． 将，代入第一个方程组的第二个方程 得， 解得， 将，代入第二个方程组的第二个方程 得， 解得， ∴， ∴其算术平方根为 ． 故选B． 59．已知关于的方程组和有相同的解，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同解方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般方法．根据方程组和有相同的解，得出方程组的解即为它们的相同解，然后解方程组即可求得，，再分别代入和得：，解关于a、b的方程，求出a、b的值，代入得出答案即可． 【详解】解：由题意得：， 得：③， 得：， 把代入②得：， 方程组的解为：； 把分别代入和得：， 得：， 得：， 把代入得：， ． 故答案为：． 60．关于x，y的两个方程组和有相同的解，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意知，可重新组成两个关于x，y的两个方程组和，先计算不含参的二元一次方程组，得的值，然后代入含参的二元一次方程组，求的值，然后代入求解即可． 【详解】解：∵两个方程组同解 ∴可知关于x，y的两个方程组和有相同的解 解方程组 ②①得 将代入①式得 解得 ∴方程组的解为 将代入方程组得 解关于的方程组 ③④得 解得 将代入③式得 解得 ∴方程组的解为 ∴ 故选A． 【点睛】本题考查了同解方程组，解二元一次方程．解题的关键在于将两个方程组重新组成新的方程组求解． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题10二元一次方程组题型突破讲义 01 题型梳理 1.二元一次方程组的定义 2.二元一次方程的解 基础 3.二元一次方程组的判定 4.判断方程组的解 过关题 5.三元一次方程组的定义及解 6.已知方程组的解求参数 7.代入消元法 能力 8.加减消元法 9.二元一次方程组的特殊解法 提升题 10.错解复原问题 11.构造方程组求解 12.三元一次方程组的应用 拓展 13.由方程组解的情况求参数 14.方程组相同解的情况 拔高题 02 重点内容 .二元一次方程组的概念 1.三个核心定义 二元一次方程：含2个未知数，未知项次数都是1，分母不含未知数的整式方 程 二元一次方程组：含相同2个未知数的两个二元一次方程合在一起 方程组的解：能同时满足方程组所有方程的一组未知数的值（一般只有一组， 用大括号表示)。 2.两个必会考点 能准确判断一个方程或方程组是否为二元一次方程或方程组。 1X=2 已知解求参数（如已知y=1是ax+y=5的解，求a)。 3.一个易错点 方程组的解要满足所有方程，并非只满足一个；含y的项（次数为2），不 试卷第1页，共3页 是二元一次方程。 二.消元一解二元一次方程组 1.核心思想 消元：化 “二元”为学过的 “一元”， 消去一个未知数解一元一次方程。 2.两种必会解法（步骤+适用场景） (1)代入消元法 适用：有方程能直接变形成y=ax+b或x=ay+b(未知数系数为1或-1)。 步骤：变（表未知数）→代（代入另一方程）一解（一元一次方程）一回代（求 另一未知数)→联（写解，大括号）。 (2)加减消元法 适用：同一未知数系数相等或互为相反数，或易通过乘数化为相等/相反。 步骤：化（系数化相等或相反）→加或减（系数相反相加，相等相减）→ 解（一元一 次方程) →回代→联（写解）。 3.解法选择技巧 未知数系数为1或-1，优先代入法： 系数易化相等或相反，优先加减法。 4.三个高频易错点 1.代入时代数式加括号，避免漏乘负号； 2.乘数变形时，方程每一项都要乘，不含漏乘常数项； 3.相减消元时，被减方程每一项都要变号。 基础过关题 【题型1.二元一次方程组的定义】 1.下列方程中，属于二元一次方程的是() 1 A.x+y2=1B.x--=2 C.2x王3yE51 D.xy3 2.已知xm-2+2y=0是二元一次方程，则m= 3.已知x2m-1-3y4-2m=-7是关于x、y的二元一次方程，则m、n的值是(） 试卷第1页，共3页 m=1 m=1 m A. m=2 B C n=1 h、3 3 2 2 4.已知2x-y2a5=0是关于x、y的二元一次方程，则m= 【题型2.二元一次方程的解】 5.已知{ x=-2 y=2 是方程2x+y=8的解，则k等于() A.3 B.4 C.5 D.6 6.已知 =-2是二元一次方程ar-=3的解，则2a+46-2的值是」 x=1 x=4 7已知1是方程)-=3的一个解，那么k的值是（） A.1 B.2 C.-2 D.-1 8.若两个整数x、y满足方程(2x+9y)02+(4x-y2=9999(),就称数组(x,y)为方程 (*)的一组整数解，则方程(*)的整数解的组数为 【题型3.二元一次方程组的判定】 11 +二=1 x=2 9.在方程组 [x+y=5y=1 x y, y=1 x+y=1 3y-x=1’0=7+2’x+2x=3中，是二元一次方程 组的有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 10.已知方程组 3x-(m-3到y=山是关于，于的二元一次方程组，则m的植为一 (m+1)x=-2 11.下列方程组中，二元一次方程组有() 4x+y=2 x=3 ①x-2y=-3② 2x-y=1 少+z=1:③ -5=0@/r-22=3 x+3y=11 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 12.己知关于x,y的二元一次方程mx+y=h的解如下表： 0 4 试卷第1页，共3页 P 6.5 53.520.5 -1 已知关于x,y的二元一次方程ax-by=c的解如下表： 0 2 4 10 2 2 10 14 y -2 3 3 3 (1)仔细观察表中数据，直接写出关于x,y二元一次方程组 mx+ny=h ax-by=c 的解为 (2)关于x,片的二元一次方程组 m(x-y)-n(x+y)=h 的解为 a(x-y)+b(x+y)=c 【题型4.判断方程组的解】 少=-3的二元一次方程是() X=4 13.下列方程中，解为 A.x-y=1 B.x+y=1 C.3x-y=9 D.3x+y=-9 [x=-1。x=0 1 x=- x=1 14.有四组数：① y=2 2④ y=-2y=-1 其中， 是方程2x-y=3的解， 是方程3x+2y=1的解， 是方程组 2x-y=3 3x+2y=1 的解（填写序号）· x=-1 15.己知二元一次方程组 x+y=1 的解是 ,则*表示的方程可能是() v=a A.2x-y=3 B.x+y=4 C.2x+3y=-4 D.x-y=-3 解答题 16.已知下列四对数值： O/m=-8@Jm=0 。〔m=10。「m=1 ② 4) n=-10 n=-6 n=-1'9 n=26 (1)哪几对数值是方程二m-n=6的解？ (2)哪几对数值是方程2m- 2n=-11的解？ 试卷第1页，共3页 2m-n=6 (3)写出方程组 的解。 2m-2n=-l1 【题型5.三元一次方程组的定义及解】 17.下列方程中，属于三元一次方程的是() A.π+x+y=6 B.xy+y+z=6 C.x+2y+3z=9 D.3x+2y-4z=4x+2y-2z x+y=3a 18.已知方程组y+z=5a的解使代数式x-2y+3z的值等于-10，则a的值 z+x=4a 为 5x+4y-3z=1 19. 观察方程组2x-2y+5z=11的系数特征，若要使求解简便，消元的方法是() 7x+2z=6 A.先消去x B.先消去y C.先消去z D.以上说法都不对 20.在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=0;当x=2,y=3;当x=5时，y=60,则 a= b= ,C 能力提升题 【题型6.已知方程组的解求参数】 y=i是方程2x-my=5的一个解，则常数m的值是() x=2 1.已知 A.1 B.-1 C.2 D.-2 x=1 22.已知{ ax+by=2025 y=-1 是方程组 的解，则(a+b)(a-b)的值是 bx-ay=1 23.已知p为偶数，q为奇数，方程组 x-2012y=P的解是整数，那么（） 2013x+3y=g A.x为奇数，y是偶数 B.x为偶数，y是奇数 C.x为偶数，y是偶数 D.x为奇数，y是奇数 试卷第1页，共3页 26-小4②时，可以用①x2-②消去未知数，也可以 ax+(b-2)y=1① 24.解关于x,y的方程组 用①×4+②×3消去未知数y,试求a+b的值为一 解答题 25.已知 =2 y= 是关于x,y的二元一次方程组 2x+(m-y=2的解，求(m+m的值. nx+y=1 【题型7.代入消元法】 26.用代入消元法解方程组 3x+4y=2时，消去”可将第一个方程变形为() 2x-y=5 A.y=2x+5 B.y=2x-5 C.x=Y+5 2 D.x=5-y 2 y=3x-1① 27.用代入法解方程组 时，将方程①代入②，去括号后得方程」 x-5y=7② 2x+y=0 28.方程组 x=2 x+y=3 的解为 y=A 则被遮盖的两个数△，分别为() A.1,2 B.1,3 C.2,4 D.1,5 29.关于x,y的二元一次方程ax+by=c(a,b,c是常数)，b=a+5,c=3b-10,对于任 意一个满足条件的a,此二元一次方程都有一个公共解，这个公共解为_ 【题型8.代入消元法】 x+2y=4 30.解方程组 2x+y=5' 则x+y=() A.9 B.6 C.-3 D.3 x+5y=17 31.己知x,y满足方程组 3x-y=3，则x+y的值为 [2x+y=-2 32.已知关于x,y二元一次方程组 的解满足x+y=0,则m的值为() x+2y=m A.0 B.2 C.-2 2x-3y=7的解与3x+5y=1的其中一个解相同，则a ax+2y=6 33.己知关于x,y的二元一次方程组 试卷第1页，共3页 的值是」 解答题 34.解方程组： x=y+2① (1) 3x-y=12② 3x+2y=7① (2)x- 2+y=1② 【题型9.二元一次方程组的特殊解法】 2x+y=4 35.已知方程组 x+2y=5”则r+y的值是() A.3 B.6 C.9 D.12 mx-ny=5 36.若关于x,y的二元一次方程组 x=7 的解是 x+y=6 =4'关于a,b的二元一次方程 组 m(2a+b)-2nb=5 的解是」 m(2a+b)+2nb=6 37.若关于x,y的方程组 [2x+y=2k+2 x+2y=1-k的解满足x-y=1,则k的值是() A.2 B.3 C.4 D.5 ax-by=3 X=2 38.若关于x,y的二元一次方程组 2ar-3y=10的解为 =-'则关于m,n二元一次 a(m+1)-b(n-2)=2 方程组 2a(m+1)-30(n-2=20的解为 3 解答题 x+y+x-y=7 2 3 39.小红完成教材142页第7题时遇到了这样一个问题：解方程组 x+y_x-Y=3 23 【尝试】 (1)若用己学的消元法求解，运算量大，且容易出错.如果把方程组的(x+y)看成一个整 体，把x-y)看作一个整体，先通过换元法，可以解决问题，具体过程如下，请将下面的 试卷第1页，共3页 解题过程补充完整。 解：设x+y=m,x-y=”,则原方程组可化为 m=10 解关于，n的方程组，得 n=6, 所以/x+y=10 -=6,解这个方程组得— X= 【迁移】 (2)利用上述方法解方程组 3(3x+2y)-2(4x-y)=17 2(3x+2y)+(4x-y)=16 【题型10.错解复原问题】 40.两位同学在解关于x、y的方程组 ar+3y=9① 时，甲看错①中的a,解得：x=2, 3x-by=2② y=1,乙看错②中的b,解得x=3,y=-1那么Q和b的正确值应是() A.a=1.5,b=-7 B.a=4,b=2 C.a=4,b=4 D.a=-7,b=1.5 5x-g=1,甲正碗地解符子而乙粗心，他把c看错了，从面得 ax+by=3 x=2 41.已知方程 y=6则a=一，=_ x=3 42.在解方程组{ 心+7少=8时甲同学正碗解得》乙同学把c看错了，而到 ax+by =22 x=3 =6,那么a,,e的值为() x=-2 A.a=-2,b=4,c=5 B.a=4,b=5,c=-2 C.a=5,b=4,c=2 D.a=4,b=5,c=17 解答题 1 X= 43.甲、乙两名同学在解方程组 ax+y=5① 2, 2x-by=13②1 时，甲看错了方程①中的a,解得 y=-2 试卷第1页，共3页 X=3 乙看错了方程②中的b,解得 =-7'请你根据以上结果，求出a和b的值. 【题型11.构造方程组求解.】 44.对于有理数x、y,规定新运算x*y=ax-by,其中a,b是常数，等式右边是通常的加 减法和乘法运算，已知2*3=6,5*-3)=8，则a=一，b=一· 45.已知x=-2,y=2与x=1,y=5都是方程y=kx+b的解，则k和b的值分别为() A.k=1,b=4 B.k=1,b=-4 C.k=-1,b=4 D.k=-1,b=-4 46.关于x,y的方程组 a+by=m的解是 cx+dy=n 少=5则关于x,y的方程组 x=2 ax+by=m+2a 的解是」 cx+dy=n+2c 47.已知Mn为整式，且Mn=anx”+an-x”-+…+ax+a,其中anan-p…,a,a为正整数， n为自然数，令F(M.)=an+a-1+…+a,+a+n,下列说法： a1+2a=11 ①若n=1时，a,和a满足 3a-a=5’则F(M,=8: ②不存在x和的值，使M,=F(M,); ③若n≥2时，a2+a1=a。,F(M,)=8,则满足条件的所有整式Mn的和为x3+4x2+4x+5.其 中正确的个数是() A.3 B.2 C.1 D.0 【题型12.三元一次方程组的应用】 48.三元一次方程：含有_未知数，并且含有未知数的项的都是一，这样的方程叫做 三元一次方程， 49.若m1,m2,…m2025是从0，-1,2这三个数中取值的一列数，且m1+m2+…+m2025=220, m2+m+…+m25=980,则在数m1,m2,…m2025中，取值为2的数有（）个 A.150 B.160 C.180 D.200 50.为了检验军训成果，某学校组织了一次游戏：每位同学朝特制的靶子上各投三支飞镖， 试卷第1页，共3页 当飞镖落在同一圆（或圆环）内时得分相同.如图，小明、小君、小红的成绩分别是29分、 43分和33分，则小华的成绩为 分 小明 小君 小红 小华 51.甲、乙、丙三人进行智力抢答活动，规定：第一个问题由乙提出，由甲、丙抢答，以后 在抢答过程中若甲答对1题，就可提6个问题，乙答对1题就可提5个问题，丙答对1题就可 提4个问题，供另两人抢答.抢答结束后，总共有16个问题没有任何人答对，则甲、乙、丙 答对的题数分别是() A.1,1,2 B.0,3,1 C.2,1,1 D.1,1,2或0,3 ，1 拓展拔高题 【题型13.由方程组解的情况求参数】 2x+y=m 52.若关于x,y的方程组 x+2y=2m+2 的解满足x+y=-7,则m为」 3x-2y=2k-3 53.若关于x、y的方程组 2x+7y=3汝-2的解满足x+y=2025,则k等于() A.2027 B.2024 C.2025 D.2026 54.关于x,y二元一次方程组 x+2y=5 的解满足3x+y=25,则k的值为■ 2x-v=k 3x+5y=m+4 55.已知关于x,y的方程组 的解x和y互为相反数，则m的值是() 5x+3y=m A.1 B.-2 C.-1 D.0 解答题 2x-3y=32ax+3by=3 56.已知关于x,y的方程组 和 ax+by=-13x+2y=11 的解相同. (1)求a,b的值： (2)解关于m的方程：a(m+b=-18. 试卷第1页，共3页