精品解析：山西临汾市2025-2026学年第一学期期末考试九年级数学试卷

2025-2026学年度第一学期素养形成期末测试 初三数学 注意事项： 1．本试卷分第I卷和第II卷两部分．全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 选择题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 山西，因居太行山之西而得名，简称“晋”．如图，用放大镜将由“晋”字设计的图标放大，则放大前后两个图形之间属于图形的（ ） A. 平移 B. 轴对称 C. 相似 D. 旋转 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似、平移、轴对称和旋转的定义及性质，理解相似、平移、轴对称和旋转的定义及性质是解决问题的关键． 根据题意可知，将图标放大，图形大小发生了变化，结合平移、轴对称和旋转不改变图形大小可以确定，这两个图是相似关系，从而得到答案． 【详解】解：根据相似的定义及性质可知，用放大镜将由“晋”字设计的图标放大，两个图形的形状相同，大小不同，因此这两个图形的关系是相似， 故选：C． 2. 方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. 1，， B. 1，，3 C. 1，2， D. 1，2，3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式及各项系数的确定，解题的关键是将方程化为一般形式（），再确定各项系数． 先将方程化为一般形式，再确定二次项系数、一次项系数和常数项． 【详解】解：将方程化为一元二次方程的一般形式： 移项得 其中，二次项为，其系数为1；一次项为，其系数为；常数项为3． 故选：B． 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算规则，包括加法、减法、乘法和除法；需要根据根式的性质进行化简和计算，注意加减法需同类根式才能合并，乘除法可直接应用公式． 【详解】解：不是同类根式，不能合并，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确； 故选：D． 4. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的知识点是比例的性质，解题关键是熟练运用比例的性质． 先由推出，再代入即可得解． 【详解】解：， ， ． 故选：． 5. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准 B. 调查一批炮弹的杀伤力 C. 对临汾市中学生每周课外阅读时间情况的调查 D. 调查“神舟二十号”飞船重要零部件的产品质量 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了判断全面调查与抽样调查等知识点，解题关键是掌握判断全面调查与抽样调查． 根据全面调查与抽样调查的意义，对四个选项逐一分析，再作判断． 【详解】解：调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准， 因为食品数量众多， 所以适合抽样调查，故A不符合； 调查一批炮弹的杀伤力，因为具有破坏性， 所以适合抽样调查，故B不符合； 对临汾市中学生每周课外阅读时间情况的调查，因为人数众多， 所以适合抽样调查，故C不符合； 调查“神舟二十号”飞船重要零部件的产品质量，因为飞船零部件重要， 所以需要全面检查，故D符合， 故选：D． 6. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，然后两边同时，再根据完全平方公式因式分解，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴． 故选C． 7. 把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，根据二次函数图象平移规则，“左加右减，上加下减”，直接计算平移后的解析式即可． 【详解】解：∵抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位， ∴平移后解析式为， 故选：A． 8. 如图，这是一架人字梯及其部分侧面示意图．已知，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理（两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例），解题的关键是能根据平行线分线段成比例定理列出比例式． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 即的长为． 故选：A． 9. “黔绣”的技师擅长在叶脉上飞针走绣，巧妙地将传统刺绣图案与树叶天然纹理完美结合，创作出神奇的“叶脉苗绣”作品．实际上很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点P是的黄金分割点（），如果长为，那么的长约为（　　）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】掌握黄金分割是指把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，且其比值是一个无理数，用分数表示为是解题关键．根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得： 故选：C． 10. 如图，在中，，，．以A为圆心为半径画圆，交于点D，则阴影部分面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式，三角形内角和定理，直角三角形的性质，勾股定理等知识点，掌握扇形面积公式是解题的关键． 在中，根据直角三角形的性质可得，再根据勾股定理可得，最后根据计算即可解答． 【详解】解：∵中，， ， ， ， 故选：D． 第II卷 非择题 二、填空（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．） 11. ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法等知识点，解题关键是掌握二次根式的乘法． 根据二次根式的乘法法则进行计算． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 2025年山西某县举办青少年足球友谊赛，以学校为单位（一个球队代表一个学校），赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排36场比赛，则今年参赛的球队有__________个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，设今年参赛的球队有个，则比赛的总场数为场，与总场数为36场建立方程求出其解即可． 【详解】解：今年参赛的球队有个，根据题意得， 解得：（舍去） 则今年参赛的球队有个． 故答案为：． 13. 如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD=140°，则∠A等于______°. 【答案】110 【解析】 【详解】∵∠BOD=140°， ∴∠C=∠BOD=70°， ∠A=180°−∠C=110°. 故答案为:110. 14. 如图，已知点D，E，F分别为，，的中点，若四边形的面积为3，则四边形的面积为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了根据三角形中线求面积，与三角形中位线有关的求解问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先根据线段的中点，分别得出，，，，从而可利用，结合四边形的面积为3，求得，再利用求得四边形的面积． 【详解】解：因为F为的中点， 所以，， 因为D为的中点， 所以， 因为E为的中点， 所以， 所以 ， 因为四边形的面积为3， 所以， 所以， 所以四边形的面积为 ， 故答案为：6． 15. 如图，在中，，，过点A作，交的外角的平分线于点D，E是上一点，过点E作于点G，延长交于点F．若，则的长为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】解题思路是先利用等腰三角形、平行线和角平分线的性质，证明；再通过相似三角形的比例关系，结合矩形的性质建立方程，求出的长度，最终计算． 【详解】， ． ， （两直线平行，内错角相等）． 平分， ． ． ． ∵， ∴． 由，得相似比为，故． 如图所示，过作于， ， ． ∵且， ∴四边形是矩形，，． 设，则，，故． ∵， ∴，结合，得， 解得，因此． ． 故答案为． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质、角平分线的定义、相似三角形的判定与性质．解题中用到的思想是转化思想，将线段长度转化为相似三角形的比例关系；方法技巧是通过等腰三角形三线合一、相似三角形比例式简化计算．解题关键是证明，并准确找到相似三角形的对应边比例．易错点是混淆相似三角形的对应边，或忽略矩形的性质导致线段关系错误． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）5；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，因式分解法解一元二次方程等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）先计算正切，算术平方根和负整数指数幂，再计算根号3的平方，最后计算加减； （2）先移项，再分解因式，转化为两个一次方程求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：移项，得 再分解因式， ， 所以或 ， 解得：，． 17. 某校积极开展劳动教育实践活动，不断加大投入，建设校园农场．年该校园农场所有农作物的产量为，年该校园农场所有农作物的产量达到．若其年平均增长率保持不变，估计年该校园农场所有农作物的产量是多少． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实际问题与一元二次方程，关键是利用等量关系列出方程； 根据：变化前的量变化后的量，（为变化的次数）即可列出方程 ． 【详解】解：设该校园农场所有农作物的年平均增长率为． 根据题意，得． 解得，． ∵增长的百分率不可能是负数， 不符合题意， 经检验，符合本题要求． ． 答：估计年该校园农场所有农作物的产量为． 18. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工智能，视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为______； （2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意画出树状图得出所有等可能结果，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：共有4张卡片， 从中随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为； 【小问2详解】 解：根据题意画图如下： 共有16种等可能的结果数，其中抽取到的两张卡片内容一致的结果数为4， 所以抽取到的两张卡片内容一致的概率为． 19. 老舍先生作品《骆驼祥子》的主人公是个以拉车为生的贫苦车夫．人力车涉及了很多复杂的机械设计．如图是人力车的侧面示意图，为车轮的直径，过圆心O的车架一端点C着地时，地面与车轮相切于点D，连接，． （1）小明猜想，小明的猜想正确吗？请说明理由． （2）若车架端点C到车轮与地面的接触点D之间的距离米，的长为米，求车轮的半径． 【答案】（1）小明的猜想正确，证明见解析 （2）车轮的半径为米 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等边对等角，以及勾股定理等知识，熟练掌握相关内容是解题的关键． （1）连接，由切线的性质可证，由直径所对的圆周角是直角可证，再证明，进而可证； （2）设车轮的半径为，则，然后根据勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：小明的猜想正确． 连接，如图 与相切， ， ， 为的直径， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 设车轮的半径为r，则 ， 米， ． 解得． 答：车轮的半径为米． 20. 现有一台红外线理疗灯（如图-1所示），该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成，、、三点在同一直线上，图-2是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线平行，与的夹角为，与的夹角为．经测量：为，为，为，，． （1）填空： ， ； （2）已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆的长度．（参考数据：，，，） 【答案】（1）64；53； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）过点C作，根据平行线的判定和性质求角度即可； （2）过点D作，过点E作，利用矩形的判定得出四边形为矩形，四边形为矩形，再结合图形，利用三角函数求解即可． 【小问1详解】 解：过点C作， ∵垂直于， ∴， ∴， ∵与水平线平行， ∴， ∴， ∴， 故答案为：64；53； 【小问2详解】 解：过点D作，过点E作，如图所示： ∴四边形为矩形， 同理得：四边形为矩形， ∴， ∵为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 阅读材料，解答问题： 材料：一次数学综合实践活动课上，小亮发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论． 如图1，已知是的角平分线，可得：，小亮的证明过程（部分）如下： 证明：过点C作，交的延长线于点E， ∵， ∴，． ∴． …… 问题： （1）请按照上面小亮的证明思路．写出该证明的剩余部分； （2）如图2，在中，是的角平分线，已知，利用上述结论求出的值； （3）如图3，在矩形中，点E是上一点，已知，，，连接平分与交于点F，则的长为__________． 【答案】（1）证明见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质及勾股定理等知识点． （1）过点C作，交的延长线于点E，先证明，得到，接着上述思路，再证明，即可得到结论； （2）是的角平分线，由（1）可得，由得到，即可得到答案； （3）延长交的延长线于点G，先证明，则，求得，得，在中，由勾股定理可得，再根据（1）的结论进一步即可得到答案． 【小问1详解】 证明：过点C作，交的延长线于点E， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 由（1）知，，是的角平分线， ∴． 【小问3详解】 解：如图，延长交的延长线于点G， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 22. 综合与实践 高楼火灾越来越受到重视，某区消防中队开展消防技能比赛，如图，在一废弃高楼距地面的点和其正上方点处各设置了一个火源．消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分（水流出口与地面的距离忽略不计），第一次灭火时，站在水平地面上的点处，水流恰好到达点处，且水流的最大高度为．待处火熄灭后，消防员退到点处，调整水枪进行第二次灭火，使水流恰好到达点处，已知点到高楼的水平距离为，假设两次灭火时水流的最高点到高楼的水平距离均为．建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度与到高楼的水平距离之间的函数关系式为． （1）求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式； （2）若两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，求之间的距离； （3）若消防员站在到高楼水平距离为的地方，想要扑灭距地面高度范围内的火苗，当水流最高点到高楼的水平距离始终为时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）​A、B之间的距离为 （3） 【解析】 【分析】（1）先求得抛物线的顶点坐标，再利用顶点式求解即可； （2）设第二次抛物线的顶点为，代入得：，解得：．设，代入解析式，进而求得A、B之间的距离； （3）先得出站立点坐标为．设抛物线解析式为，代入，解得：．根据火苗在高楼上（水平距离为0），高度范围．得出水流在处高度y在此范围，即．再解不等式：， 求得： 即可． 【小问1详解】 解：由题意，水流最高点（顶点）到高楼的水平距离为，最大高度为， ∴顶点坐标为． 点A在高楼上，水平距离为0，距地面， ∴． 设抛物线解析式为， 代入得：， 解得：​． 所以消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 解：两次灭火时水流的抛物线形状相同， 即二次项系数a相同， 故第二次抛物线的解析式的二次项系数为​． 第二次灭火时，消防员站在点D，其到高楼的水平距离为， 即． 设第二次抛物线的顶点为， 则解析式为． 代入得：， 解得：． 所以顶点为， 第二次抛物线的解析式为． 取，得：． 因此B距地面，而A距地面， 所以A、B之间的距离为：()． 答：​A、B之间的距离为． 【小问3详解】 解：消防员站在到高楼水平距离处， 即站立点坐标为． 水流最高点到高楼的水平距离始终为， 即顶点横坐标为3． 设抛物线解析式为，代入： 解得：． 所以解析式为． 火苗在高楼上（水平距离为0），高度范围． 水流要扑灭该范围内的火苗， 则水流在处高度y在此范围，即． 当时， ． 解不等式：， 解得： ． 答：​a的取值范围是​． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，喷水问题(实际问题与二次函数)，其他问题(实际问题与二次函数)，求不等式组的解集等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 23. 【教材再现】 如图1，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：．（提示：取的中点，连接） （1）请你思考题中的“提示”，这样添加辅助线的目的是通过截取线段，构造出__________，进而得到． 【类比迁移】 （2）如图2，四边形是矩形，，点是边的中点，，且交矩形的外角平分线于点，请判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】 （3）如图3，四边形是边长为6的菱形，，点为射线上一动点，连接，作，且与菱形外角的平分线交于点．当时，请直接写出的长． 【答案】（1），；（2），理由见解析；（3）CE的长为4或6． 【解析】 【分析】（1）如图所示，取的中点，连接，则，根据正方形的性质可证，由此即可求解； （2）如图所示，在上取，连接，可证，得到，根据，点是中点，设，则，则，，由此即可求解； （3）如图所示，过点作，交于点，可证，得，设，则，，则，由此即可求解． 【详解】解：（1）如图所示，取的中点，连接，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是正方形外角的平分线， ∴，则， 在和中， ， ∴， 故答案为：，； （2）如图所示，在上取，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵交矩形的外角平分线于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，点是中点， ∴设，则， ∴，， ∴， ∴； （3）如图所示，过点作，交于点， ∵四边形是菱形，， ∴，，，，， ∴，， ∵是角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∴，， ∴， 解得，， 解得，， 当时，点在上，； 当时，点在延长线上，如图所示， ∴； 综上所述，的长为4或6． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的判定和性质，因式分解法进行解方程．掌握相似三角形的判定和性质是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期素养形成期末测试 初三数学 注意事项： 1．本试卷分第I卷和第II卷两部分．全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 选择题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 山西，因居太行山之西而得名，简称“晋”．如图，用放大镜将由“晋”字设计的图标放大，则放大前后两个图形之间属于图形的（ ） A. 平移 B. 轴对称 C. 相似 D. 旋转 2. 方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. 1，， B. 1，，3 C. 1，2， D. 1，2，3 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准 B. 调查一批炮弹的杀伤力 C. 对临汾市中学生每周课外阅读时间情况的调查 D. 调查“神舟二十号”飞船重要零部件的产品质量 6. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 7. 把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，这是一架人字梯及其部分侧面示意图．已知，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. “黔绣”的技师擅长在叶脉上飞针走绣，巧妙地将传统刺绣图案与树叶天然纹理完美结合，创作出神奇的“叶脉苗绣”作品．实际上很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点P是的黄金分割点（），如果长为，那么的长约为（　　）． A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，．以A为圆心为半径画圆，交于点D，则阴影部分面积是（ ） A. B. C. D. 第II卷 非择题 二、填空（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．） 11. ___________． 12. 2025年山西某县举办青少年足球友谊赛，以学校为单位（一个球队代表一个学校），赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排36场比赛，则今年参赛的球队有__________个． 13. 如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD=140°，则∠A等于______°. 14. 如图，已知点D，E，F分别为，，的中点，若四边形的面积为3，则四边形的面积为___________． 15. 如图，在中，，，过点A作，交的外角的平分线于点D，E是上一点，过点E作于点G，延长交于点F．若，则的长为___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. （1）计算： （2）解方程： 17. 某校积极开展劳动教育实践活动，不断加大投入，建设校园农场．年该校园农场所有农作物的产量为，年该校园农场所有农作物的产量达到．若其年平均增长率保持不变，估计年该校园农场所有农作物的产量是多少． 18. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工智能，视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为______； （2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率． 19. 老舍先生作品《骆驼祥子》的主人公是个以拉车为生的贫苦车夫．人力车涉及了很多复杂的机械设计．如图是人力车的侧面示意图，为车轮的直径，过圆心O的车架一端点C着地时，地面与车轮相切于点D，连接，． （1）小明猜想，小明的猜想正确吗？请说明理由． （2）若车架端点C到车轮与地面的接触点D之间的距离米，的长为米，求车轮的半径． 20. 现有一台红外线理疗灯（如图-1所示），该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成，、、三点在同一直线上，图-2是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线平行，与的夹角为，与的夹角为．经测量：为，为，为，，． （1）填空： ， ； （2）已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆的长度．（参考数据：，，，） 21. 阅读材料，解答问题： 材料：一次数学综合实践活动课上，小亮发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论． 如图1，已知是的角平分线，可得：，小亮的证明过程（部分）如下： 证明：过点C作，交的延长线于点E， ∵， ∴，． ∴． …… 问题： （1）请按照上面小亮的证明思路．写出该证明的剩余部分； （2）如图2，在中，是的角平分线，已知，利用上述结论求出的值； （3）如图3，在矩形中，点E是上一点，已知，，，连接平分与交于点F，则的长为__________． 22. 综合与实践 高楼火灾越来越受到重视，某区消防中队开展消防技能比赛，如图，在一废弃高楼距地面的点和其正上方点处各设置了一个火源．消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分（水流出口与地面的距离忽略不计），第一次灭火时，站在水平地面上的点处，水流恰好到达点处，且水流的最大高度为．待处火熄灭后，消防员退到点处，调整水枪进行第二次灭火，使水流恰好到达点处，已知点到高楼的水平距离为，假设两次灭火时水流的最高点到高楼的水平距离均为．建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度与到高楼的水平距离之间的函数关系式为． （1）求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式； （2）若两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，求之间的距离； （3）若消防员站在到高楼水平距离为的地方，想要扑灭距地面高度范围内的火苗，当水流最高点到高楼的水平距离始终为时，请直接写出的取值范围． 23. 【教材再现】 如图1，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：．（提示：取的中点，连接） （1）请你思考题中的“提示”，这样添加辅助线的目的是通过截取线段，构造出__________，进而得到． 【类比迁移】 （2）如图2，四边形是矩形，，点是边的中点，，且交矩形的外角平分线于点，请判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】 （3）如图3，四边形是边长为6的菱形，，点为射线上一动点，连接，作，且与菱形外角的平分线交于点．当时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $