精品解析：福建省厦门六中2025-2026学年高一第一学期期末考试数学试题

厦门六中2025—2026学年第一学期高一年期末考试 数 学 试 卷 满分150分 考试时间120分钟 命题人：李整 命题时间：2026.1 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（     ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 3. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数与的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 6 D. 3 5. 已知，，则（ ） A. B. C. 1 D. 6. 函数的图象可以是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数.音有四要素：音调，响度，音长和音色，它们都与函数中的参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利.像我们平时听到的声音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音函数是，结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中不正确的是（     ）. A. 函数是奇函数 B. 函数在区间上单调递增 C. 若声音甲对应函数近似为，则声音甲的响度不一定比纯音的响度大 D. 若某声音乙对应函数近似为，则声音乙一定比纯音更低沉 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则（     ） A. 的最大值为2 B. 若，则 C. 的图象关于对称 D. 的图象经过纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，可以得到的图象 11. 设，都是定义在上的奇函数，且为单调函数，若对任意有（为常数），则（     ） A. B. C. D. 为周期函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 化简：=______ 13. 如图，已知函数的图象经过点，则的最小值为_______． 14. 已知函数在上有最大值，无最小值，则的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求出下列不等式的解集. （1）； （2）； （3）. 16. 已知函数. （1）若关于的不等式对一切恒成立，求实数的取值范围； （2）若不等式的解集为，求函数的值域. 17. 已知定义在上的函数图象关于原点对称. （1）用定义证明是定义域上的增函数； （2）解不等式. 18. 已知函数的部分图象如图所示： （1）求的解析式； （2）求函数的单调递增区间； （3）若，求的值． 19. 我们将满足下列条件的函数称为“伴随函数”：存在一个正常数，对于任意的都有且． （1）是否存在正常数，使得是“伴随函数”？若存在，请求出一个的值；若不是，请说明理由； （2）已知是“伴随函数”，且当时，． （i）求当时，的解析式； （ii）若为方程在上的根，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门六中2025—2026学年第一学期高一年期末考试 数 学 试 卷 满分150分 考试时间120分钟 命题人：李整 命题时间：2026.1 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出，再求即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以. 故选：A 2. 已知函数，则（     ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据题中分段函数解析式运算求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 3. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合单调性与零点存在定理求解即可. 【详解】由于单调递增，且， 则零点所在的区间为， 故选：B. 4. 已知函数与的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 6 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由图象可知：，结合周期公式运算求解即可. 【详解】设函数的最小正周期分别为， 由图象可知：，且， 则，整理可得. 故选：D. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数运算法则求得答案. 【详解】由，得，而，则， 所以. 故选：D 6. 函数的图象可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求函数的定义域，再取特殊值即可求解. 【详解】令，由或， 所以的定义域为，故可以排除AB选项， 令有，故C错误，D正确. 故选：D. 7. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件列方程组可求出和，再利用两角差的余弦公式可求得结果. 【详解】因为，， 所以，解得， 所以， 故选：C 8. 声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数.音有四要素：音调，响度，音长和音色，它们都与函数中的参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利.像我们平时听到的声音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音函数是，结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中不正确的是（     ）. A. 函数是奇函数 B. 函数在区间上单调递增 C. 若声音甲对应函数近似为，则声音甲的响度不一定比纯音的响度大 D. 若某声音乙对应函数近似为，则声音乙一定比纯音更低沉 【答案】C 【解析】 【分析】对于A：根据正弦函数的奇偶性分析判断即可；对于B：根据正弦函数的单调性分析判断即可；对于C：根据正弦函数的最值分析判断即可；对于D：根据正弦函数的最小正周期和频率分析判断即可. 【详解】对于选项A：因为为定义在上的奇函数， 所以为定义在上的奇函数，故A正确； 对于选项B：因为，则，，， 且正弦函数在内单调递增，则在内单调递增， 所以在内单调递增，故B正确； 对于选项C：因为，可得的最大值，即 且的最大值为，则， 所以声音甲的响度一定比纯音的响度大，故C错误； 对于选项D：因为的最小正周期为，频率为， 又因为的最小正周期为，频率为， 且，所以声音乙一定比纯音更低沉，故D正确； 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于ABD：根据幂函数、指数函数以及对数函数单调性分析判断即可；对于C：举反例说明即可. 【详解】因为， 对于选项A：因为在定义域内单调递减，可得，故A正确； 对于选项B：因为在定义域内单调递减，则，故B正确； 对于选项C：例如，满足，但，故C错误； 对于选项D：因为在定义域内单调递增，则，故D正确； 故选：ABD. 10. 已知，则（     ） A. 的最大值为2 B. 若，则 C. 的图象关于对称 D. 的图象经过纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，可以得到的图象 【答案】BC 【解析】 【分析】先由二倍角的余弦公式化简函数表达式为，进而可判断AC选项，再由齐次式化切可判断B选项，最后由图象的变换可判断D选项. 【详解】因为，所以，故A错误； 对于B：由，，，故B正确； 对于C：，所以的图象关于对称，故C正确； 对于D：由的图象经过纵坐标不变，横坐标缩短为原来的得到函数为，故D错误； 故选：BC. 11. 设，都是定义在上的奇函数，且为单调函数，若对任意有（为常数），则（     ） A. B. C. D. 为周期函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：根据函数的单调性结合的奇偶性可得，即可判断AB；根据可得，即可判断CD. 【详解】因为函数为单调函数，则存在唯一实数，使得， 又因为，则，即， 且是定义在上的奇函数，则， 即，解得， 所以，故B正确； 可得，且是定义在上的奇函数， 则，即，故A正确； 因为，即，可得， 则，故C错误； 且，则对任意非零实数，均有， 所以为周期函数，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 化简：=______ 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的线性运算求得正确答案. 【详解】. 故答案为： 13. 如图，已知函数的图象经过点，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，，且，利用乘“1”法，结合基本不等式运算求解. 【详解】因为函数的图象经过点，则，即， 由图像可知，且， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 14. 已知函数在上有最大值，无最小值，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】设，求出的范围，结合正弦函数的图象，依题意得到不等式组,解之即得. 【详解】因，设，当时，， 作出在上的图象如图. 要使区间上有最大值，无最小值，需使, 解得，，即的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求出下列不等式的解集. （1）； （2）； （3）. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）整理可得，结合指数函数单调性解不等式即可； （2）根据题意结合对数函数单调性解不等式，注意对数的真数大于0； （3）以为整体，结合正弦函数性质列式求解即可. 【小问1详解】 因为，则， 即，解得， 所以原不等式解集为. 【小问2详解】 因为，则，解得， 所以原不等式解集为. 【小问3详解】 因为，则，解得， 所以原不等式解集为. 16. 已知函数. （1）若关于的不等式对一切恒成立，求实数的取值范围； （2）若不等式的解集为，求函数的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）可知不等式对一切恒成立，分和两种情况，结合二次函数性质列式求解； （2）可知是方程的两根，且，结合韦达定理可得，换元令，结合二次函数性质求值域. 【小问1详解】 因为不等式对一切恒成立， 若，则，符合题意； 若，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 【小问2详解】 因为不等式的解集为， 可知是方程的两根，且， 则，解得，即， 令，则， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以函数的值域为. 17. 已知定义在上的函数图象关于原点对称. （1）用定义证明是定义域上的增函数； （2）解不等式. 【答案】（1） 由题意可知：，解得，则， 且，可知是定义在上的奇函数， 所以符合题意，即， 任取，且， 则， 因为，则， 可得，即， 所以在定义域上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）根据对称性可得，再根据单调性的定义分析证明即可； （2）根据奇函数定义可得，再根据单调性和定义域列式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为是定义在上的奇函数，且， 则， 又因为在定义域上单调递增，则，解得， 所以不等式解集为. 18. 已知函数的部分图象如图所示： （1）求的解析式； （2）求函数的单调递增区间； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数周期可得，结合最值点可得，代入点即可得，进而可得函数解析式； （2）利用三角恒等变换可得，以为整体，结合正弦函数单调性运算求解； （3）根据题意可得，以为整体，结合三角恒等变换运算求解. 【小问1详解】 设函数的最小正周期为， 由图象可知：，且， 则，解得， 当时，函数取到最大值， 则，即， 且，则， 可得，解得，则， 又因为函数的图象过点，则，即， 所以. 【小问2详解】 因为函数 ， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为. 【小问3详解】 因为，即， 且，则，可得， 则， 所以. 19. 我们将满足下列条件的函数称为“伴随函数”：存在一个正常数，对于任意的都有且． （1）是否存在正常数，使得是“伴随函数”？若存在，请求出一个的值；若不是，请说明理由； （2）已知是“伴随函数”，且当时，． （i）求当时，的解析式； （ii）若为方程在上的根，求的值． 【答案】（1）存在，（答案不唯一）； （2）（i）；（ii）或或或. 【解析】 【分析】（1）先根据题意可得“伴随函数”的一个周期为，一个对称轴，再由余弦函数的周期及对称轴去判断可得； （2）（i）根据“伴随函数”的性质可得，由对称性可得函数的表达式；（ii）由（i）可得函数在一个周期内图象，进而可判断方程在一个周期内的根情况，再结合周期可得在上根的情况及对称情况，进而可求根的和的值. 【小问1详解】 因为存在一个正常数，对于任意的都有， 所以，即.所以函数的一个周期为. 又因为，令，得，所以函数的图象关于对称. 又因为的对称轴为，周期为，所以令且， 取最简解：令，得. 若，，成立， 故存在（答案不唯一），使得是“伴随函数” 【小问2详解】 （i）因为是“伴随函数”，即，且时，， 所以函数的周期为，函数的图象关于对称，即. 设，则，因为， 所以. 故当时，. （ii）因为函数的周期为，区间的长度为：， 函数在区间恰好有4个周期. 函数有四条对称轴，分别为，，，，所以函数在区间关于对称. 因为当时，；由（i）知当时，. 所以函数在一个周期内的图象如下: 根据函数的周期性并结合图象， 当时，； 当，或，或时，； 当时，； 当或时， 故的值为或或或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $