利用导数证明不等式及研究双变量问题专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

函数与导数：利用导数证明不等式、利用导数研究双变量问题专项训练 函数与导数：利用导数证明不等式、利用导数研究双变量问题专项训练 考点目录 利用导数证明不等式 利用导数研究双变量问题 考点一 利用导数证明不等式 例1.(25-26高二上江苏徐州期末)已知函数fx)=x-血x-1. (1)求f(x)的极值： 2证明：fx>x-1 X 例2.(25-26高二上江苏南京·期末)己知函数f(x=lnx-ax+1,其中aeR. (1)当a=1时，求函数f(x)的最值： (2)①若f(x≤0恒成立，求a的最小值； ②证明：1++++>1nn+,其中n∈N. 23n 函数与导数：利用导数证明不等式、利用导数研究双变量问题专项训练 例3.(25-26高二上·湖南邵阳期未)已知函数f)=e-a-a血x+」 (1)若f(x)≥0，求实数a的值； ②)证明：xe>2+lnx-20-simx) 例4.（2026四川巴中.一模)函数f(x)=5sinx-sin5x. ()求曲线y=f(x)在点 年 处的切线方程； ②求函数y=✉在Q写上的最大值， (3)设0≤x≤1，求证：sinπ≥x x+1-x+2 2 函数与导数：利用导数证明不等式、利用导数研究双变量问题专项训练 变式1.(25-26高三上河北沧州月考)已知函数f(x=ax2+2-3沁-(x>0)的图象在点(1，f1)处的切线与y=3江 平行 (1)求实数a及fx): (2)求∫(x的零点个数； (3)证明：fx≥3nx. 变式2.(25-26高三上广东深圳月考)已知函数f(x)的定义域为(0，+o),其导函数为g(),且g(x)=血x (I)求g(x)的单调区间； (2)已知关于x的方程g(x)=a恰有两个实数根x,x2,若x2≥2x1,求lnx,+lnx2的取值范围； )证明：+2-/0< 函数与导数：利用导数证明不等式、利用导数研究双变量问题专项训练 变式3.(2526高三上江苏无锡月考)已知函数f)=ax-1-r x+1 (1)若a=1,求曲线y=∫x在x=1处的切线方程； (2)若fx≤0对任意x∈1，+∞)恒成立，求a的取值范围： ③)证明：+++，<nn+. 352n+12 变式4.(25-26高三上天津滨海新区·月考)已知fx=xlnx,gx=-x2+ax-3. (1)求函数f(x)在1，f(1)处的切线方程； (2)对一切x∈(0，+o),2f(x≥gx)恒成立，求实数a的取值范围； (同证明：对一切xe0+,有r>。忌成立. 函数与导数：利用导数证明不等式、利用导数研究双变量问题专项训练 考点二 利用导数研究双变量问题 例1.(25-26高三上广东·期末)已知函数f(x=（x+1)lnx+1)-asinx(a∈R). (1)讨论函数f(x)在区间(0，π内的零点个数； (②)若a∈[0,1，使得f(x-1)+ar2≤号be“对x∈(1，+0)恒成立，求实数b的取值范围； 3)若方程fx-1=(x+1nx-2axa>0)有两个不相等的实根x,名，求证：七<京 1 例2.(25-26高三上·河北衡水·期末)已知函数f(x)=m.xe- (1)当m=1时，讨论∫(x)的单调性 (2)设g(x)=f(x)-x2-1. (i)若xe(0,+o),使不等式g(x)≥-2xlnx成立，求m的取值范围 i)若<s1<5,且o+:6-2e+e,t袋他与e0+e8 ab 的大小，并证明你的结论 5 函数与导数：利用导数证明不等式、利用导数研究双变量问题专项训练 例3.(2526商三上东深圳月考)已年函数八=-+受)】 )若a=0,设4，B分别在抛物线2=4y与曲线y=四上，且AB∥y轴，求4的最小值： (2)设x,x2是fx)的两个极值点，证明：nxx2)+4aVxx2>6. 例4.(25-26高三上福建厦门月考)已知函数f(x=(x+a)ln(x+1(a∈R),gx)=lnx-bx(b>0). (1)当x>0时，fx)>2x恒成立，求实数a的取值范围： 若存在E0,+,使特8=g,川x证明：V氏+氏之 6 函数与导数：利用导数证明不等式、利用导数研究双变量问题专项训练 变式1.2425商三上云南月考)已知函数1=e-r++a (I)若(x)为增函数，求a的取值范围； (2)若f(x有两个极值点x,x2,证明：x+x2<0 变式2.(23-24高三上·天津·月考)已知函数fx=xe (1)求∫(x)在x=0处的切线方程； (2)求函数∫x)的单调区间和极值： (3)如果x≠x,且fx)=f(x2),证明：x+x2>2 函数与导数：利用导数证明不等式、利用导数研究双变量问题专项训练 变式3.(2025吉林模拟预测)已知函数fx=xe-a-anx,aeR (1)当a=e时，求函数f(x)的单调区间与极值； (2)若函数∫(x)有2个不同的零点x1,x2,满足x,e>2xe,求a的取值范围. 变式4.(2425高三上~四川绵阳月考)已知f(x=-}e2+4e-x-5. (1)当a=3时，求f(x)的单调递增区间； (2)若f(x)有两个极值点X1,x2· (i)求a的取值范围； (i)证明：f(x)+f(x2+x+x,<0.函数与导数：利用导数证明不等式、利用导数研究双变量问题专项训练 函数与导数：利用导数证明不等式、利用导数研究双变量问题专项训练 考点目录 利用导数证明不等式 利用导数研究双变量问题 考点一 利用导数证明不等式 例1．（25-26高二上·江苏徐州·期末）已知函数. (1)求的极值； (2)证明：. 【答案】(1)极小值为0，无极大值 (2)证明见解析 【详解】（1）定义域为，， 易知在上单调递增，所以的零点为1，列表如下： x 1 - 0 + 单调递减 极小值 单调递增 所以的极小值为，无极大值. （2）设，， ，令，得，列表如下： x - 0 + 单调递减 极小值 单调递增 所以， 所以，即， 即，所以. 例2．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知函数，其中． (1)当时，求函数的最值； (2)①若恒成立，求a的最小值； ②证明：，其中． 【答案】(1)最大值0；无最小值； (2)①1；②证明见解析. 【详解】（1）当时，函数，函数定义域为，， 当；当，所以在单调递增，在单调递减， 所以函数在处取得极大值也是最大值，无最小值. 故函数最大值0；无最小值； （2）若恒成立，即，得. 令，， 当；当.所以在单调递增，在单调递减， 所以在处取得极大值也是最大值，所以. 故a的最小值为1； 由（1）可知，当时，恒成立，即（当且仅当时等号成立）, 令，所以，即对，都有. 由累加法得. 故，其中. 例3．（25-26高二上·湖南邵阳·期末）已知函数 (1)若，求实数的值； (2)证明： 【答案】(1)1 (2)证明见解析 【详解】（1）由题意知函数的定义域为． ， 令，则对任意恒成立， 令，则． 令，得；令，得．     ∴函数在上单调递减，在上单调递增． ，即，当且仅当时，等号成立． 当时，，由，得． 当时，，由，得． 当时，不等式恒成立． 综上，实数的值为1； （2）由（1）知，当时，， 即． 要证明， 对两边同乘得 只需证明，即证， 令， 则． 易知当时，单调递增， ， 在上单调递减，． 当时，且，所以， 故对任意，都有， ，故原不等式成立． 例4．（2026·四川巴中·一模）函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在上的最大值； (3)设，求证:. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由题意得，，， 故切线方程为，即. （2）令，且，解得， 当 时，单调递增; 当 时，单调递减， 所以函数在上的最大值. （3）令，则， 则原不等式转化为， 令，下面证明， 则， 令，则， 故在上单调递减， 因为，， 即存在，使， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 故当时，. 变式1．（25-26高三上·河北沧州·月考）已知函数的图象在点处的切线与平行． (1)求实数及； (2)求的零点个数； (3)证明：． 【答案】(1)， (2)2个 (3)证明见解析 【详解】（1）由，得， 则，解得，经检验符合题意， 所以． （2）由，得，则， 令，， 则， 令，，显然在上单调递增， 且，，故存在唯一，使， 当时，，即，则在上单调递减； 当时，，即，则在上单调递增． 所以， 因为，；，；， 所以在上存在唯一零点，在上存在唯一零点， 从而的零点个数为2，即的零点个数为2． （3）要证，即证，即证， 令，，则， 令， 则， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，单调递增， 因此，所以，即， 则在上单调递增， 因为，所以当时，，即， 则在上单调递减， 当时，，即，则在上单调递增， 从而，得证． 变式2．（25-26高三上·广东深圳·月考）已知函数的定义域为，其导函数为，且. (1)求的单调区间； (2)已知关于的方程恰有两个实数根，若，求的取值范围； (3)证明：. 【答案】(1)在单调递增，在单调递减，最大值为； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1），令，解得， 当时单调递增，当时单调递减， 所以时，取得最大值， 所以在单调递增，在单调递减，的最大值为. （2）依题意，，两式相除可得， 不妨设，所以，所以， 所以， 设，则， 设，则， 所以单调递增，所以， 所以单调递增，所以． 所以的取值范围为. （3）设， 设，则， 设，则， 所以单调递减，，所以单调递减， 因为，所以在单调递增，在单调递减， 所以， 由（1）知，，所以函数在上单调递减， 所以，即， 所以. 变式3．（25-26高三上·江苏无锡·月考）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若对任意恒成立，求的取值范围； (3)证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）当时，，， 对函数求导得 所以，而. 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）对求导，可得：. 令，其对称轴为. 当时，的对称轴，且. 所以当时，，即， 所以在上单调递减，所以满足题意. 当时，的对称轴，且， 所以存在，使得， 当时，，即，单调递增， 所以，不满足题意， 因此，的取值范围为. （3）由（2）可知，当时，，即当且仅当时取等号. 令，则，即. 将两边同时乘以，可得. 所以. 根据对数的运算法则可得. 所以. 变式4．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）已知，． (1)求函数在处的切线方程； (2)对一切，恒成立，求实数a的取值范围； (3)证明：对一切，有成立． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1），∴ 所以，所以函数在处的切线方程为. （2）因为在上恒成立，∴恒成立， 令，则， 由，得，，时，； 时，．∴时，．∴． ∴实数的取值范围是． （3）对一切，都有成立， ∴，∴， 由（1）可知的最小值是，当且仅当时取到． 设，则， ∵时，，时，，∴， 从而对一切，成立． 考点二 利用导数研究双变量问题 例1．（25-26高三上·广东·期末）已知函数. (1)讨论函数在区间内的零点个数； (2)若，使得对恒成立，求实数的取值范围； (3)若方程有两个不相等的实根，，求证：. 【答案】(1)当时，在区间内的零点个数为0； 当时，在区间内的零点个数为1.（讨论过程见详解） (2)； (3)证明见详解. 【详解】（1）由， 得，令，则， 当时，因为，所以， 故恒成立，因此在内无零点； 当时，因为，所以，则单调递增， 故，则单调递增，故， 因此，在区间内无零点； 当时，因为，所以，则单调递增， 因为， 所以存在唯一的使得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因为，所以，又， 故在区间内只有一个零点，且. 综上，当时，在区间内的零点个数为0； 当时，在区间内的零点个数为1. （2）可整理为 ， 则，使得，转化为. 因为，所以，则在上单调递增， 故， 转化为对恒成立， 即，即对恒成立， 因为当时，，所以. 构造函数，则， 故在上单调递增. 又，等价于，则 所以恒成立，转化为. ，令，得. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 故，故的取值范围是. （3）方程， 代入有， 即有两个不相等的实根，， 不妨设，则有， 构造函数，则， 所以在R上单调递减， 故，得. ，即. 下证， 令，则只要证， 设，则， 故当时，单调递增，故，则. 故，. 例2．（25-26高三上·河北衡水·期末）已知函数. (1)当时，讨论的单调性. (2)设. （ⅰ）若，使不等式成立，求的取值范围. （ⅱ）若，且，比较与的大小，并证明你的结论. 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减 (2)（ⅰ）；（ⅱ），证明见解析 【详解】（1）当时，，则其定义域为，. 当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. （2）（ⅰ）. 由不等式可知，不等式在上有解， 即在上有解， 令， 则. 令， 则， 所以在上单调递增，且. 当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增，则， 所以，故的取值范围为； （ⅱ）由（ⅰ）可知，当时，在上恒成立， 即当时，在上恒成立. 令. 由整理，得， 则，可得， 所以，同理. 故， 所以，即， 所以，. 当时，，单调递增. 当时，设， 则， 令，则， 所以在上单调递减，则，即， 所以在上单调递增. 又，， 所以存在，使得. 当时，，即； 当时，，即. 所以在上单调递减，在上单调递增. 又，， 故存在唯一的，使得， 所以当时，；当时，. 由上述分析知，，且，所以，即. 因为，所以. 又，所以，则， 即，所以. 综上可知，. 例3．（25-26高三上·广东深圳·月考）已知函数． (1)若，设分别在抛物线与曲线上，且轴，求的最小值； (2)设是的两个极值点，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）当时，． 设，因为轴，所以，且． 则， 令，则， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增． 故当时，取得最小值，最小值为， 即的最小值为． （2）由的定义域为，求导得． 因为是的两个极值点，所以， 即，， 则（*）， 不妨设，要证， 只需证， 将（*）式代入整理得， 令，即证，令，即证， 令，则， 所以在上单调递增，所以，原不等式得证． 例4．（25-26高三上·福建厦门·月考）已知函数. (1)当时，恒成立，求实数的取值范围； (2)若存在，使得.证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设， 只需在时恒成立即可， 又， 且，所以， 即，下面证明的充分性， 当时，由， 令， 所以， 记， 则， 所以在上单调递增， 则，所以在上单调递增， 则，所以恒成立， 综上所述，实数的取值范围是； （2）设，由可得， 则（*）， 由（1）知当时，， 则时，，，则， 所以， 将（*）代入可得， 则，故得证. 变式1．（24-25高三上·云南·月考）已知函数. (1)若为增函数，求的取值范围； (2)若有两个极值点，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）为增函数，则恒成立， 设，则， 令，则， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增， 所以是函数的极小值点， 故当，即恒成立， 所以当为增函数，的取值范围为. （2），，，由（1）知当， 即时，有两个极值点， 故，设，则， 设， 则， 故在上单调递增，所以， 所以，又， 故， 所以， 又在上单调递减， 故， 所以. 变式2．（23-24高三上·天津·月考）已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)求函数的单调区间和极值； (3)如果，且，证明：. 【答案】(1) (2)单调递增区间是，单调递减区间是；极大值为，无极小值； (3)证明见解析 【详解】（1）因为，所以，所以， 即切线斜率为1，又，所以在处的切线方程为，即； （2），令得， 令得，令得， 所以单调递增区间是，单调递减区间是， 极大值为，无极小值； （3）不妨设，由（1）知及得：，则， 因为单调递减区间是，所以要证，需证， 即证，即证， 令，， 则，当时，，，所以， 所以在上单调递增，所以，又，， 所以，又，所以，所以. 变式3．（2025·吉林·模拟预测）已知函数，. (1)当时，求函数的单调区间与极值； (2)若函数有2个不同的零点，，满足，求a的取值范围. 【答案】(1)单调递减区间为；单调递增区间为；有极小值，无极大值. (2) 【详解】（1）当时，，其定义域为， ， 所以显然当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 所以有极小值，无极大值； 综上所述，单调递减区间为；单调递增区间为；有极小值，无极大值. （2），令， 因为，所以在单调递增，则， 令，即在有2个零点，且， 因为， 当时，在单调递增，不存在2个零点， 所以， 当时，:当时，. 所以在单调递减，在单调递增， 则， 令， 当时，单调递减：当时，单调递增， 则，所以恒成立.即恒成立. 因此， ， 因为时，;且. 所以当，即时，函数有2个不同的零点. 又，即等价于， 设. 当时，;当时，. 则在上单调递增，在上单调递减，则， 由题意得:. （i）当，即时，恒成立; （ii）当，即时，有. 令， 由，即可得，所以， 综上，，因此. 变式4．（24-25高三上·四川绵阳·月考）已知. (1)当时，求的单调递增区间； (2)若有两个极值点，. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】(1) (2)（i）;（ii）证明见解析. 【详解】（1）当时，， ， 当，即时，， 故单调递增区间为； （2），令，即， 令，，则、是方程的两个正根， 则，即， 有，，即， （ii） ， 要证，即证， 令， 则， 令，则， 则在上单调递减， 又，， 故存在，使，即，则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 则， 又，则，故， 即，即. 2 学科网（北京）股份有限公司 $