专项练习03：导数研究函数的极值与最值-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

2026年高二数学下学期常考题型归纳 【高二期中专项练习03：导数研究函数的极值与最值】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：函数的极值与最值概念辨析】 1．【多选题】(24-25高二下·湖北九师联盟·期中)已知函数在上的导数存在，且的图像如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．是的极小值 D．是的极小值 【答案】AC 【分析】根据导函数图象可得函数单调区间，从而利用单调性与导数符号判断AB，根据极小值的概念判断CD. 【详解】由图可知，故A正确，B错误； 当时，单调递增，； 当时，单调递减，； 当时，单调递增，. 所以是的极小值，不是的极小值，故C正确，D错误. 故选：AC. 2．【多选题】(24-25高二下·广东江门台山一中、开侨中学两校·期中)定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．函数在上单调递减 B．函数在上单调递减 C．函数在处取得最小值 D．函数在处取得极大值 【答案】AD 【分析】根据图象，利用导数与函数单调性间的关系及极值的定义，直接求出单调区间和极值点，再对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】由函数的导函数的图象可知， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故选项A正确，选项B和C错误， 对于D，因为，且根据上面分析得到的函数单调性， 由极值的定义知，函数在处取得极大值，所以D正确． 故选：AD． 3．(24-25高二下·北京师范大学附属中学·期中)已知定义在R上的函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（    ） A．是的极值点 B．在区间上单调递增 C．是在区间上的最小值点 D．曲线在点处的切线斜率小于零 【答案】C 【分析】根据导函数的正负，可确定的单调性，即可结合极值和选项逐一求解. 【详解】由的图象可知：当时，，当时，， 故在单调递减，在单调递增， 故是函数的极小值点，也是上的最小值点，故A错误，B错误，C正确， 由图可知：，因此曲线在点处的切线斜率大于零，故D错误， 故选：C 4．【多选题】(24-25高二下·江苏常州北郊高级中学·期中)已知函数的定义域为，其导函数为的部分图象如图所示，则以下说法不正确的是（    ） A．在上单调递增 B．的最大值为 C．的一个极大值点为 D．的一个减区间为 【答案】ABC 【分析】从图象可以看出导函数值的正负，从而确定函数单调性，结合极值点和最值概念得到答案. 【详解】A选项，从图象上不能确定在上恒大于0， 故无法确定在上单调递增，A说法错误； BD选项，从图象上可以得到在上大于0，在上小于0， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，不能确定为最大值，B说法错误，D说法正确； C选项，从图象上可以得到， 在左侧小于0，在上大于0，故的一个极小值点为，C说法错误. 故选：ABC 5．(24-25高二下·广东广州第二中学教育集团·期中)函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的有（    ） A．为函数的一个零点 B．函数在区间上单调递减 C．为函数的一个极大值点 D．是函数的最大值 【答案】C 【分析】利用导数图象，分析函数的单调性，逐项判断即可. 【详解】对于A选项，由图象可知，当时，，当时，， 所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以为函数的一个极小值点，不一定为函数的一个零点，A错； 对于B选项，当时，，则函数在区间上单调递增，B错； 对于C选项，当时，，当时，， 所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，为函数的一个极大值点，C对； 对于D选项，因为函数在区间上单调递增，故不是函数的最大值，D错. 故选：C. 【题型2：求不含参数的函数的极值与最值】 6．(25-26高二·北京大峪中学·期中)已知函数，其中． (1)若，求函数的极值点和极值； (2)求函数在区间上的最小值． 【答案】(1)函数的极大值点为0，极小值点为2，极大值为，极小值为 (2) 【分析】（1）求导，利用导数判断函数的单调性，结合单调性分析函数的极值点和极值； （2）分和两种情况讨论，利用导数判断函数的单调性，即可得最小值. 【详解】（1）若，则的定义域为，且， 令，解得或；令，解得； 可知函数在内单调递增，在内单调递减， 所以函数的极大值点为0，极小值点为2，极大值为，极小值为. （2）因为函数的定义域为，且，， 令，解得或， 若，则， 可知函数在内单调递增，所以函数在内的最小值为； 若，则， 当时，；当时，； 可知函数在内单调递减，在内单调递增， 所以函数在内的最小值为； 且当时，，符合上式，所以函数在区间上的最小值为. 7．(25-26高三上·新疆建设兵团普通高中示范校·)已知函数. (1)若，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若，求的极值. 【答案】(1) (2)极大值为0，极小值为. 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，代入点斜式直线方程化简即可得解； （2）利用导数法求出单调区间，然后按照极值的定义求解即可. 【详解】（1）当时， ，则， 所以，又切点，所以切线方程为，即. （2）当时，，则， 当时，或，当时，或，当时，， 列表如下： 1 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 当时，的极大值为， 当时，的极小值为. 8．已知函数. (1)求函数的单调区间以及极值； (2)求函数在上的最值. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为；极大值为，无极小值 (2)， 【分析】(1)先求函数的定义域，然后对函数求导，利用导数的正负，求得函数的单调区间，从而可求得函数的极值; (2)根据第(1)小问的单调性，确定函数在区间上的单调性，即可求出最大值，而函数的最小值是，比较和的大小，求得函数的最小值. 【详解】（1）函数的定义域是. 又，令，得，令，得， 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以函数的极大值为，无极小值. （2）由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以 所以在上的最小值为. 又因为，所以， 所以函数在上的最小值为，即. 9．(25-26高三上·黑龙江新时代高中教育联合体·期中)已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值. 【答案】(1)； (2)极大值为，无极小值. 【分析】（1）求导可得，代入切点横坐标，可得切线斜率k，根据，代入点斜式方程，整理即可得答案. （2）根据，令，可得单调递增区间，令，可得单调递减区间，分析计算，即可得答案. 【详解】（1）因为，所以， 所以点处的切线斜率， 又，即切点为， 故在点处的切线方程为， 即； （2）因为的定义域为，所以， 令，解得，令得， 故得的单调递增区间是，单调递减区间是 所以函数的极大值为，无极小值. 10．(25-26高三上·四川射洪中学校·期中)已知函数在处的切线方程为． (1)求的解析式； (2)当时，求函数的极值． 【答案】(1) (2)在处取得极小值，无极大值 【分析】（1）根据条件得，列出等式求解即可； （2）通过研究，求得在的单调性，进而求出的极值． 【详解】（1），因为函数在处的切线方程为，所以，，也即，解得， 所以的解析式为． （2）由（1）知， 所以当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 由单调性可知，是函数的极小值点，且是区间内唯一的极值点， 因此函数在处取得极小值，无极大值，， 所以函数在内的极小值为，无极大值． 【题型3：由函数的极值求参数】 11．(25-26高三上·黑龙江佳木斯第八中学·)函数在时有极小值，那么的值为____. 【答案】30或6 【分析】由在时有极小值，可得，据此可得或，经验证后，可得答案. 【详解】，， 由题，又， 则 则或. 当，， ， ，， 则在上单调递增，在上单调递减， 即在处取得极小值，满足题意，则； 当，，， ， ，， 则在上单调递增，在上单调递减， 即在处取得极小值，满足题意，则. 故答案为：或. 12．若函数的极大值为，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用导数讨论的单调性及极值情况，即可求得的值. 【详解】， 当时，恒成立，单调递增，无极值点，所以. 所以为的极大值点，或为的极大值点. 因为，所以不是的极大值点， 为的极大值点，且，， 解得. 故选:C. 13．(24-25高二下·福建漳州华安一中·期中)若函数在处有极值10，则________． 【答案】15 【分析】先求导，根据题意有解得，验证在处有极值10即可. 【详解】由题意有，由题意得，解得或， 当时，，， 故在上单调递增，无极值，舍去， 当时，，， 当或时，，当时，， 所以在处取得极小值，满足要求，此时． 故答案为：15. 14．(24-25高二下·福建漳州龙文区第一中学·期中)函数在处有极小值5，则（   ） A． B． C．或 D．或3 【答案】A 【分析】根据极值点的导数为0和极值点处的函数值条件求出的值，再进行验证即可求解. 【详解】，由题意得， 即，解得或， 当时，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以时，取得极小值，符合题意； 当时，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减，， 所以时，取得极大值，不符合题意； 所以，. 故选：. 15．(24-25高二下·辽宁沈阳五校协作体·期中)已知成等差数列，函数在时有极值0，则______． 【答案】21 【分析】由，求得，并验证，再结合等差数列概念即可求解. 【详解】， 由题意， 即，解得：或， 当时，，， 此时函数单调递增无极值，舍去， 经验证符合题意， 因成等差数列，所以. 故答案为： 【题型4：由函数的最值求参数】 16．(25-26高三上·江苏南京协同体九校·期中)已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数的最小值为0，求的值. 【答案】(1)有极小值，无极大值； (2)答案见详解； (3) 【分析】（1）利用导数讨论函数单调性，根据单调性可得极值； （2）求得，分、、、四种情况讨论，分析导数的符号变换，由此可得出函数的增区间和减区间； （3）分，两种情况分类求出最小值即可列式求参. 【详解】（1）当时，，则， 当时，，当时，， 所以，在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，有极小值，无极大值. （2） 若，则时单调递减，时单调递增； 若，则时单调递增， 时单调递减，时单调递增； 若，则时单调递增； 若，则时单调递增，时单调递减，时单调递增 （3）令， 当时，，函数在上单调递增，故无最小值 所以，由得， 所以时单调递减，时单调递增， 所以， 所以. 17．(25-26高三上·湖北仙桃中学·期中)已知函数，. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若在内的最大值为2，求的值. 【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为. (2) 【分析】（1）利用导数求函数的单调区间； （2）由函数在区间内的单调性求解函数的最大值，可得的值. 【详解】（1）函数的定义域为， 则， 当时， 令，解得：；令，解得：， 所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. （2） ①当时，在内恒成立，在内单调递增， 则，解得与矛盾； ②当时，有，时；时， 所以在上单调递增，在上单调递减， ∴，即， 令，则， 则在上单调递减， 又，故； 综上，. 18．(24-25高二下·北京顺义牛栏山第一中学·期中)已知函数，若函数无最小值，则a的取值范围是________． 【答案】 【分析】由导函数得到分段函数的单调性，结合特殊点函数值，得到不等式，求出答案. 【详解】当时，，， 令，则恒成立， 故在上单调递增， 注意到，故当时，， 当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 其中， 当时，，其在上单调递增，且， 要想无最小值，需满足，即，解得， 故答案为： 19．(24-25高二下·江西新九校协作体·)已知是函数的导函数，若，且在上的最大值为5，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的导函数，由求出的值，即可得到函数在上的单调性，从而求出的值. 【详解】因为，所以， 所以，解得，所以，则， 所以当时，所以在上单调递增， 所以，解得. 故选：D 20．(24-25高二下·天津部分区·期中)已知函数，当时，的最小值为，则实数的值为__________. 【答案】/ 【分析】求导，分、和三种情况讨论的符号，进而可得的单调性和最值，结合题意运算求解即可. 【详解】因为，，则， 若，则，可知在内单调递增，无最小值，不合题意； 若，则，可知在内单调递减， 则在内最小值为，解得，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则在内最小值为，解得； 综上所述：. 故答案为：. 【题型5：讨论含参数函数的极值】 21．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，求函数的极值． 【答案】(1)单调区间见解析 (2)极值见解析 【分析】（1）求出导函数，通分，然后按照和分类讨论即可得解； （2）按照、和分类讨论，根据极值的定义来求解. 【详解】（1）由得， 当时，，在上单调递增； 当时，令且得， 令且得， 故在上单调递减，在 上单调递增； 综上，当时， 在上单调递增； 当时， 在上单调递减，在上单调递增； （2）当时，在上单调递增，无极值； 当，即时，在上单调递减，无极值； 当，即时，，且在上单调递减， 在上单调递增， 故函数在处有极小值，无极大值. 22．(25-26高三上·北京第五十五中学·期中)已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数在区间上的极值点的个数； (3)若函数在区间上有唯一零点，证明：. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3)证明见解析； 【分析】（1）直接根据导数的几何意义可求得切线方程； （2）先对函数求导，再分，，三种情况对导数讨论可得函数的极值点； （3）由（2）解析过程知，函数要有唯一零点t，必有函数的唯一极小值点，再通过构造函数，，只需用导数证明的零点即可. 【详解】（1）当时，函数， 所以，. 所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）由函数，. 令，，. ①若时，，所以在上单调递增，且， 即在上单调递增，且， 所以函数在上单调递增，函数无极值点； ②当时，，， 当，所以. 所以函数在上单调递增且有唯一零点， 即函数在上单调递增且有唯一零点， 当；当， 所以函数在有唯一的极小值点，无极大值点； ③当时，因为，所以， 所以函数在上单调递减，无极值点. 综上所述：当或时，函数在上无极值点； 当时，函数在上有唯一的极小值点，无极大值点. （3）由（2）可知，当时，函数在上单调递减，且， 所以函数在上无零点； 当时，函数在上单调递增，且， 所以函数在上无零点； 当时，函数在有唯一的极小值点，且， 要使函数在区间上有唯一零点，所以. 所以 ， 令，得，即. 再令，， 所以在上单调递增， 且. 所以函数在上有唯一零点， 所以，即. 23．(25-26高三上·上海高桥中学·期中)已知，． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的极值点个数； (3)若对于任意总有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式直线方程求解即可； （2）按照和分类讨论研究函数的单调性，利用极值的定义求解即可； （3）参变分离得对于恒成立，设，然后利用导数法求得的最小值，即可得解. 【详解】（1）因为，所以，所以，即切线的斜率为， 又，所以所求的切线方程为，即； （2）由得， 因为，所以，当且仅当时等号成立， ①当，即时，对恒成立， 此时在单调增，故没有极值点； ②当，即时，方程有两个不等正数解， ， 不妨设，则当时，单调递增； 时，单调递减； 时，单调递增； 所以分别为极大值点和极小值点，有两个极值点． 综上所述，当时，没有极值点；当时，有两个极值点． （3）， 由，得对于恒成立，设， 则， 因为，所以时，单调递减， 时，单调递增，所以，所以． 24．(24-25高二下·浙江杭州第二中学·期中)已知实数，函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)记为的导函数，试讨论的极值点的个数． 【答案】(1) (2)个 【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）求得，设，可得出，令，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论. 【详解】（1）当时，，则， 所以，， 故当时，曲线在点处的切线方程为，即. （2）因为实数，函数，该函数的定义域为， ， 令，则， 令，则， 对于方程，， 设函数的两个零点分别为、，且， 由韦达定理可得，，必有，， 由可得，由可得或， 所以函数的单调递增区间为、，单调递减区间为， 因为，， 所以，，则， 所以函数在内有且只有一个异号零点， 当时，；当时，， 所以函数在区间、上各有一个异号零点， 综上所述，函数的极值点个数为. 25．(25-26高三上·广东揭阳·期中)已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)当时，求极值点的个数； (3)当时，求函数零点的个数. 【答案】(1)单调减区间为，单调增区间为. (2)2 (3)4 【分析】（1）利用导数求的单调区间； （2）设，利用分析的单调性及最值，根据其正负取值情况，分析的单调性，得到极值点的个数； （3）将函数零点的个数，可转化为方程的解的个数.因为，所以可转化为的解的个数，即函数的图象与的交点的个数.构造函数，分析函数的单调性、最值，作出简图，即可求得函数的图象与的交点的个数，从而得到函数零点的个数. 【详解】（1）当时，函数. ，且是增函数. 令，得；令，得； 所以的单调减区间为，单调增区间为. （2）当时，函数，则. 令，则，且是增函数. 令，得；令，得； 所以在上单调递减，在上单调递增. 又，，， 所以在和上各存在一个零点（分别记为）. 所以当时，；当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 故有两个极值点. （3）函数零点的个数，可转化为方程的解的个数. 因为，所以可转化为的解的个数，即函数的图象与的交点的个数. 令函数. 则. 令，则. 显然，恒成立，所以在上为增函数. 又，，所以在上存在唯一零点，记作，则. 当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得极小值，即最小值，最小值为. ，所以. 所以的大致图象如下： 所以，函数的图象与有4个交点，即函数有4个零点. 【题型6：由函数的极值个数求参数】 26．(25-26高三上·安徽淮北实验高级中学·期中)设函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程. (2)若有两个极值点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义及点斜式方程求解即可； （2）利用二次求导令，利用导数分析函数的单调性及极值，结合题意可得，解不等式即可求解. 【详解】（1）当时，，所以， 所以，又， 所以曲线在点处的切线方程是：， 即. （2）因为，所以， 由题可得在有2个不同的零点. 令，则， 当时，，所以在上单调递增，不符合. 当时，令，可得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 时，，时，， 只需， 综上： 27．已知函数 ，若 恰有 4 个极值点，则 的取值范围为_____. 【答案】 【分析】根据题目条件判断函数是偶函数，要使其恰有4个极值点，只需考虑时存在2个极值点，通过求导分析，令辅助函数，其零点与相同，当参数时，在处取得最小值，为使有两个零点，需要该最小值小于零，由此可确定参数的取值范围. 【详解】的定义域，对任意，都有， ，所以为偶函数， 故恰有4个极值点等价于在上恰有2个极值点，下面只考虑的情形，此时，， 令，与在上的零点相同， 当时，在上是增函数，至多有一个零点， 则至多1个极值点，不符合题意； 当时，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以， 因为有两个极值点，所以有两个零点，则，解得， 因为，令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增，所以，即， 所以，又因为， 结合函数零点存在性定理可知，当时， 在，上各有一个零点，记为，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 故为的极大值点，为的极小值点，满足题意， 综上，a的取值范围为． 故答案为： 28．已知函数，当时取得最值. (1)求实数的值； (2)若函数有三个极值点， ①求实数的取值范围； ②证明：.（参考数据：） 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【分析】（1）由求解即可（2）由题可得，由有三个极值点， 可得方程需有两个不等于1的正根， ①令，结合导数研究的单调性以及最值，即可得到实数的取值范围； ②由①可得，且， 从而将问题转化为证明 ，令，结合导数研究的单调性和最值即可证明. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得, 因为时取得最值，所以，即：，解得：； 经检验，符合题意. （2）函数有三个极值点，由（1）知， 因此：， ， 令，得或（即）， 因为有三个极值点， 所以方程需有两个不等于1的正根； ①求实数的取值范围，令， 当时，单调递减；当时，单调递增， 因此，在处取得极小值， 要使有两个不等于1的正根，需， 故实数的取值范围为， ②证明， 由的根可知：，且是方程的两个根， 即， 注意到， 所以等价于， ， 令， 由知在上单调递增，所以， 所以 29．(25-26高三上·湖南邵阳绥宁县第一中学·期中)已知函数．（注：是自然对数的底数） (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若只有一个极值点，求实数a的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义求出在的切线斜率，即可得出切线方程； （2）分析可得，构建，即与有且仅有一个变号零点，求导，利用导数判断的单调性和图象，结合图象即可得结果. 【详解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以在处的切线方程为，即. （2）因为， 若只有一个极值点，则只有一个变号零点， 显然不符合题意，则， 令，可得， 构建，即与有且仅有一个变号交点， 则， 令，解得；令，解得或； 可知在，内单调递减，在内单调递增， 若，当趋近于时，趋近于0时；当趋近于0时，趋近于时； 若，当趋近于0或时，趋近于时，且， 作出函数的图象，如图所示： 可得，即，所以实数a的取值范围为. 30．已知函数，其中为常数. (1)当时，求在区间上的最值； (2)若在区间上有且仅有一个极值点，求的取值范围. 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2) 【分析】（1）当时，利用导数分析函数在区间上的单调性，即可求出函数在区间上的最小值和最大值； （2）由题意得在上有且只有一个变号零点，由可得，设，其中，分析函数在上的单调性，并求其值域，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，则， 当时，， 当时，，则，可得， 当时，，则，可得， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因为，，故. 因此在区间上的最大值为，最小值为. （2）由题意得在上有且只有一个变号零点， 由可得， 设，其中， 因为 ， 因为，则， 因为内层函数在上单调递减，外层函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减， 当时，，故，即实数的取值范围是. 【题型7：由函数的极值求参数范围】 31．(24-25高二上·江苏泰州·期末)已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数求导，问题化为至少有两个变号零点，导数求的极值列出不等式求参数范围. 【详解】对函数求导得，，令， 则， 当或时，，则在和上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 且时 时 ， 要使函数既有极大值又有极小值， 即至少有两个变号零点，所以至少有两个变号零点， 所以. 故选：A. 32．(25-26高三上·河北邯郸九校联考·期中)已知函数有极小值，且极小值小于0，其中，都是实数，则（    ） A． B． C． D．在内有2个零点 【答案】AC 【分析】求导得，分类讨论，根据导数的正负确定函数的单调性及极值的情况，得出且，，即可判断A；由函数的极小值小于0，可得，从而，即可判断B；求出，结合及对数函数的单调性可判断C；时，单调递减，可得出时，单调递减，则在内至多有一个零点，即可判断D. 【详解】的定义域为，， 当且时，，函数不存在极值； 当且时，，函数在上单调递增，不存在极值； 当且时，，函数在上单调递减，不存在极值； 所以， 由，得， 函数有极小值，所以在上有实数解， 所以，从而， 当且时， 时，，单调递增；时，，单调递减， 故在上有极大值，没有极小值，不符合题意； 当且时， 时，，单调递减；时，，单调递增， 故当时，在上有极小值，极小值， 综上，且，，故A正确； 函数的极小值小于0，即， 所以，可得，从而， ，故B错误； ，故C正确； ∵时，单调递减，而，∴时，单调递减， 从而时，单调递减，则在内至多有一个零点，故D错误， 故选：AC. 33．(25-26高三上·山西部分学校天成大联考·期中)已知函数存在不小于0的极小值，其中a，b都是实数，则（    ）． A．b的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】D 【分析】根据的单调性求出极值，从而得出，再构造，，，最后通过构造函数，逐一求其最值即可. 【详解】因为存在不小于0的极小值， 所以有解，所以，且解为， 时；时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以的极小值， 所以，，，． 令，则， 时，，时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 时，y取得最小值，所以b的最小值为，A错误； 令，则，时，；时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 时，函数的最大值为，故的最大值为，B错误； 令，则， 时，，时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以时，取得最大值，最大值为，C错误； 令，则， 时，，时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以时，的最小值为，的最小值为，D正确． 故选：D． 34．已知a，，， (1)当时，讨论的单调性； (2)设，若在上有极值，求b的取值范围并证明此极值小于b． 【答案】(1)答案见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）先求出函数的导数，再根据导数与0的大小关系来确定函数的单调性，需要对a的取值进行分类讨论； （2）先求出的导数，根据在(1,2)上有极值，求导，分和讨论，进而求出b的取值范围，再分析极值点，方法一、根据即可证明；方法二、通过构造函数，求导，再令，根据单调性证明即可． 【详解】（1）由题意知的定义域为， 当时，， 当时，，则在上单调递减， 当时，由，解得；由，解得. 即在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由题意得，所以的定义域为， 在上有极值等价于在上有变号零点. 令，即在上有变号零点. 当时，显然在上恒成立，无变号零点，不满足题意； 当时， 在上恒成立，所以在上单调递增， 令，解得，此时在上有唯一零点. ∵在上单调递增， ∴当时，，即；当时，，即， 故在上单调递减； 在上单调递增， 故是的极小值点. 方法一： 由上分析，，∵，∴，即极小值小于b. 方法二： 因， 由，可得，则， 令，显然在上单调递减， 则，即，故，即极小值小于b． 35．(25-26高三上·陕西西安中学·)已知函数，． (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极大值，且极大值小于0，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)答案见解析 (3)． 【分析】（1）利用导数求得，可求切线方程； （2）求导，分和两种情况讨论正负，从而求得的单调性， （3）由（2）可得极大值，再根据极大值小于0，求得的取值范围. 【详解】（1）当时，则，， 所以， 所以函数在点处的切线方程为， 即； （2）函数的定义域为， 又， 当时恒成立， 在上单调递增，无极值. 当时，由，解得， 由，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， （3）由（2）当时恒成立，在上单调递增，无极值. 当时，在处取得极大值，极大值为. 令，解得， 所以的取值范围为. 【题型8：函数的极值与最值的综合应用】 36．【多选题】(25-26高三上·山东济南历下区山东师范大学附属中学·期中)已知函数，，则下列说法正确的（    ） A．函数与函数有相同的极小值 B．若方程有唯一实根，则的取值范围为 C．若方程有两个不同的实根，则 D．当时，若，则成立 【答案】ACD 【分析】利用导数分别求出两个函数极小值判断A；根据条件求出的范围判断B；利用方程根的意义，变形构造函数，利用导数借助单调性推理判断C；利用同构方法进行转化求解判断D. 【详解】对于A，函数定义域，求导得，当时，， 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得极小值； 函数定义域，求导得，当时，， 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得极小值，A正确； 对于B，由选项A知，，则当时，也有唯一实根，B错误； 对于C，因为当趋近于0时，趋近于0， 所以，由方程有两个不同的实根，得，不妨令， 由，得，则， 消去得，则，令， 于是，， 令，求导得，令， 求导得，函数在上单调递减，， 函数在上单调递增，，因此，即，C正确； 对于D，，由，得， 所以，则， ，于是，而函数在上单调递增，则， 因此成立，D正确. 故选：ACD 37．【多选题】(25-26高三上·云南玉溪第一中学·期中)已知函数，则下列说法中正确的是（    ） A． B．若，使得成立，则 C．若有两个零点，则 D．若存在极小值和极大值，则 【答案】ACD 【分析】理解函数的定义域与值域特点，利用对数的基本运算规则计算，判断选项A；先分析命题含义，再求导，判断函数单调性求函数最大值，进而得出答案判断选项B；把函数有零点转化为方程有解，利用导数进行单调性和极值分析，进而判断选项C；先通过对数运算化简函数，求导并分析函数单调性和极值，进而判断选项D． 【详解】选项A：，，故A正确； 选项B：，要使“，使得成立”，即有解， 令，求导得，令，解得， 当时，函数单调递增；当时，则，函数单调递减， 在处取得极大值（即最大值），， 当时，有解，此时，故B错误； 选项C：有两个零点，方程有两个根， ，，对方程两边取对数可得， 令，对求导得， 令，即，解得； 令，即，解得． 在单调递减，在单调递增， 的最小值为． 当趋近于0时，趋近于0，当趋近于时，趋近于， 要使有两根，只需，解得，故C正确； 选项D：， 求导得， 令，则有两个变号零点，即有两个根， 对求导得， 令，即，解得； 令，即，解得． 在单调递减，在单调递增，的最小值为， 当趋近于0时，趋近于0，当趋近于时，趋近于， 要使有两个根，只需，解得， 若存在极大值和极小值，则有两个变号零点， ，故D正确． 故选：ACD． 38．【多选题】(24-25高二下·云南云天化中学教研联盟·期中)设函数，则（   ） A．当时，有两个零点 B．当时，是的极小值点 C．当时，点为曲线的对称中心 D．当时，在上无最大值，则的取值范围为 【答案】AD 【分析】对于选项A，求出函数的导数，判断单调性画出图象即可判断该函数的零点个数；对于选项B，对函数求导，判断单调性，令导数为0，求出判断极值点；对于选项C，根据函数的对称中心的定义进行判断；对于选项D，对函数求导，根据函数的单调性、极值、端点值进行比较判断即可. 【详解】对于选项A： 当时，. 对函数求导得：. 当时，，此时在上单调递减； 当或时，，此时在上单调递增. 因为，， 画出图象为： 由图象可知函数有两个零点，所以A正确. 对于选项B： 对函数求导得：. 因为，所以当时，，所以函数在上单调递减； 当或时，，所以函数在上单调递增. 又，所以不是函数的极值点.所以B错误. 对于选项C： 当时，， . 所以点是曲线的对称中心，而不是，所以C错误. 对于选项D： 因为， 因为，所以当时，，所以函数在上单调递减； 当或时，，所以函数在上单调递增. 因为，. 所以要使得在上无最大值，则.所以D正确. 故选：AD. 39．【多选题】(24-25高二下·浙江浙东北县域名校发展联盟·期中)已知函数，则下列结论正确的有（   ） A．共有3个零点 B．既存在极大值，也存在极小值 C．若时，，则的最大值为2 D．若函数有2个零点，则 【答案】BCD 【分析】对于函数的零点，可令函数值为求解；对于极值，通过求导判断导数的正负来确定函数的单调性，进而得到极值点；对于最值，结合函数单调性来分析；对于函数的零点问题，可转化为与的交点问题．逐项判断即可. 【详解】令，因为恒成立，所以只需． 可得，即有个零点，所以选项错误． 对求导，可得． 令，即，因为恒成立，所以，解得或． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以是极小值点，是极大值点，既存在极大值，也存在极小值，选项正确． 由前面分析可知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，． 当时，，若时，，则的最大值为，选项正确． 函数有个零点，即与的图象有个交点． ，结合函数单调性和极限情况可知， 当时，与的图象有个交点，选项正确． 故选：BCD. 40．【多选题】(24-25高三上·江苏盐城中学·)已知函数，则（    ） A．，曲线与定直线相切 B．，使得函数为减函数 C．当时，函数只有最大值，没有最小值 D．当时， 【答案】ACD 【分析】先求出原函数的导数，结合参数a的情况分析为定值，从而判断A选项；由，从而判断B选项；当时，通过对原函数连续求导，判断出的单调性和最值，从而判断C、D选项. 【详解】对A，因为，所以，， 所以曲线与定直线 相切，故A正确； 对B，因为，，而若为减函数，则恒成立， 二者矛盾，所以函数不可能为减函数，故B错误； 对C，当时，，设， 则， 当时，，当时，， 所以在，上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以存在，使得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以只有最大值，没有最小值，故C正确； 对D，因为，且在上单调递增， 所以，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键，一是对原函数求导后，分析出，；二是对函数连续求导，结合零点的存在性定理，判断出的单调性和最值，从而解决问题. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高二数学下学期常考题型归纳 【高二期中专项练习03：导数研究函数的极值与最值】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：函数的极值与最值概念辨析】 1．【多选题】(24-25高二下·湖北九师联盟·期中)已知函数在上的导数存在，且的图像如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．是的极小值 D．是的极小值 2．【多选题】(24-25高二下·广东江门台山一中、开侨中学两校·期中)定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．函数在上单调递减 B．函数在上单调递减 C．函数在处取得最小值 D．函数在处取得极大值 3．(24-25高二下·北京师范大学附属中学·期中)已知定义在R上的函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（    ） A．是的极值点 B．在区间上单调递增 C．是在区间上的最小值点 D．曲线在点处的切线斜率小于零 4．【多选题】(24-25高二下·江苏常州北郊高级中学·期中)已知函数的定义域为，其导函数为的部分图象如图所示，则以下说法不正确的是（    ） A．在上单调递增 B．的最大值为 C．的一个极大值点为 D．的一个减区间为 5．(24-25高二下·广东广州第二中学教育集团·期中)函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的有（    ） A．为函数的一个零点 B．函数在区间上单调递减 C．为函数的一个极大值点 D．是函数的最大值 【题型2：求不含参数的函数的极值与最值】 6．(25-26高二·北京大峪中学·期中)已知函数，其中． (1)若，求函数的极值点和极值； (2)求函数在区间上的最小值． 7．(25-26高三上·新疆建设兵团普通高中示范校·)已知函数. (1)若，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若，求的极值. 8．已知函数. (1)求函数的单调区间以及极值； (2)求函数在上的最值. 9．(25-26高三上·黑龙江新时代高中教育联合体·期中)已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值. 10．(25-26高三上·四川射洪中学校·期中)已知函数在处的切线方程为． (1)求的解析式； (2)当时，求函数的极值． 【题型3：由函数的极值求参数】 11．(25-26高三上·黑龙江佳木斯第八中学·)函数在时有极小值，那么的值为____. 12．若函数的极大值为，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 13．(24-25高二下·福建漳州华安一中·期中)若函数在处有极值10，则________． 14．(24-25高二下·福建漳州龙文区第一中学·期中)函数在处有极小值5，则（   ） A． B． C．或 D．或3 15．(24-25高二下·辽宁沈阳五校协作体·期中)已知成等差数列，函数在时有极值0，则______． 【题型4：由函数的最值求参数】 16．(25-26高三上·江苏南京协同体九校·期中)已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数的最小值为0，求的值. 17．(25-26高三上·湖北仙桃中学·期中)已知函数，. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若在内的最大值为2，求的值. 18．(24-25高二下·北京顺义牛栏山第一中学·期中)已知函数，若函数无最小值，则a的取值范围是________． 19．(24-25高二下·江西新九校协作体·)已知是函数的导函数，若，且在上的最大值为5，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 20．(24-25高二下·天津部分区·期中)已知函数，当时，的最小值为，则实数的值为__________. 【题型5：讨论含参数函数的极值】 21．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，求函数的极值． 22．(25-26高三上·北京第五十五中学·期中)已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数在区间上的极值点的个数； (3)若函数在区间上有唯一零点，证明：. 23．(25-26高三上·上海高桥中学·期中)已知，． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的极值点个数； (3)若对于任意总有，求实数的取值范围． 24．(24-25高二下·浙江杭州第二中学·期中)已知实数，函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)记为的导函数，试讨论的极值点的个数． 25．(25-26高三上·广东揭阳·期中)已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)当时，求极值点的个数； (3)当时，求函数零点的个数. 【题型6：由函数的极值个数求参数】 26．(25-26高三上·安徽淮北实验高级中学·期中)设函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程. (2)若有两个极值点，求的取值范围. 27．已知函数 ，若 恰有 4 个极值点，则 的取值范围为_____. 28．已知函数，当时取得最值. (1)求实数的值； (2)若函数有三个极值点， ①求实数的取值范围； ②证明：.（参考数据：） 29．(25-26高三上·湖南邵阳绥宁县第一中学·期中)已知函数．（注：是自然对数的底数） (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若只有一个极值点，求实数a的取值范围； 30．已知函数，其中为常数. (1)当时，求在区间上的最值； (2)若在区间上有且仅有一个极值点，求的取值范围. 【题型7：由函数的极值求参数范围】 31．(24-25高二上·江苏泰州·期末)已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 32．【多选题】(25-26高三上·河北邯郸九校联考·期中)已知函数有极小值，且极小值小于0，其中，都是实数，则（    ） A． B． C． D．在内有2个零点 33．(25-26高三上·山西部分学校天成大联考·期中)已知函数存在不小于0的极小值，其中a，b都是实数，则（    ）． A．b的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 34．已知a，，， (1)当时，讨论的单调性； (2)设，若在上有极值，求b的取值范围并证明此极值小于b． 35．(25-26高三上·陕西西安中学·)已知函数，． (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极大值，且极大值小于0，求a的取值范围． 【题型8：函数的极值与最值的综合应用】 36．【多选题】(25-26高三上·山东济南历下区山东师范大学附属中学·期中)已知函数，，则下列说法正确的（    ） A．函数与函数有相同的极小值 B．若方程有唯一实根，则的取值范围为 C．若方程有两个不同的实根，则 D．当时，若，则成立 37．【多选题】(25-26高三上·云南玉溪第一中学·期中)已知函数，则下列说法中正确的是（    ） A． B．若，使得成立，则 C．若有两个零点，则 D．若存在极小值和极大值，则 38．【多选题】(24-25高二下·云南云天化中学教研联盟·期中)设函数，则（   ） A．当时，有两个零点 B．当时，是的极小值点 C．当时，点为曲线的对称中心 D．当时，在上无最大值，则的取值范围为 39．【多选题】(24-25高二下·浙江浙东北县域名校发展联盟·期中)已知函数，则下列结论正确的有（   ） A．共有3个零点 B．既存在极大值，也存在极小值 C．若时，，则的最大值为2 D．若函数有2个零点，则 40．【多选题】(24-25高三上·江苏盐城中学·)已知函数，则（    ） A．，曲线与定直线相切 B．，使得函数为减函数 C．当时，函数只有最大值，没有最小值 D．当时， 1 学科网（北京）股份有限公司 $