导数的计算、利用导数研究函数的图像与性质专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

函数与导数：导数的计算、利用导数研究函数的图像与性质专项训练 函数与导数：导数的计算、利用导数研究函数的图像与性质专项训练 考点目录 导数的计算 利用导数研究函数的图像与性质 考点一 导数的计算 例1．（24-25高二下·广东佛山·期中）函数的导数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 所以， 故选：B 例2．（24-25高二下·湖北·期中）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D错. 故选：C. 例3．（24-25高二下·河南濮阳·期末·多选）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，因是常数，故，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，因，故D错误. 故选：BC. 例4．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期中·多选）下列求函数的导数正确的是（    ） A． B．. C． D． 【答案】BC 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D错. 故选：BC. 例5．（25-26高二上·重庆·月考）求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：由函数，根据导数的四则运算法则，可得； （2）解：由函数，根据导数的四则运算法则，可得； （3）解：由，根据导数的四则运算法则， 可得. （4）解：由函数，根据导数的四则运算法则， 可得 变式1．（24-25高二下·新疆吐鲁番·期中）下列求函数的导数正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】C选项应该为，D选项应为. 故选：AB 变式2．（24-25高二下·江苏扬州·月考）下列导数运算中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于选项A：常数的导数为0，因为为常数，所以选项A正确； 对于选项B：利用分式求导公式得：，所以B错误. 对于选项C：，所以C正确； 对于选项D：，所以D正确. 故选：B. 变式3．（25-26高二上·江苏镇江·期末·多选）下列求导正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】选项A：，故A错误； 选项B：，故B正确； 选项C：，故C正确； 选项D：，故D正确； 故选：BCD 变式4．（24-25高二下·河南驻马店·期末·多选）下列求导运算不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】A选项，，故，A错误； B选项，，B正确； C选项，，C错误； D选项，，D错误. 故选：ACD 变式5．（24-25高二下·内蒙古包头·月考）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）对求导可得： （2）对求导可得： （3）对求导可得： （4）对求导可得： 考点二 利用导数研究函数的图像与性质 例1．（24-25高二下·湖北·期末）若函数的图象与直线恰有两个公共点，则的取值范围为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意有，令有， 由有，有， 所以的单调增区间为，单调减区间为， 所以的极小值为，当时，， 作出函数的图像： 由图可知与恰有两个公共点，所以， 故选：C. 例2．（24-25高三下·河南焦作·月考）过点可作两条直线与的图象相切，则b的值不可能是（   ） A． B．0 C．e D．2e 【答案】D 【详解】因为，所以， 设切点为，则切线斜率， 整理得，设， 问题转化为直线与的图象有2个交点，因为， 令，解得或，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， ，，且时，时，， 所以或， 故选：D. 例3．（24-25高二下·河南·期中·多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．当时，有极大值 B．当时， C．，恒成立 D．当有且仅有两个零点时， 【答案】ABD 【详解】对于选项A，当时，．则. 令．解得．则当时．，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以在有取得极大值，A正确． 对于选项B，，当，时，， 故在单调递增，则，B正确． 对于选项C，若，当时，，C错误． 对于选项D，令，则， 令，则， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 且，当时，恒成立． 画出的大致图象，如下： 可知当有两个零点时，，D正确． 故选：ABD 例4．（24-25高三上·河北衡水·月考·多选）以下不等式成立的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ABC 【详解】A选项，令，， 则恒成立，故在上单调递增， 则， 令，， 则，故在上单调递增， 故， 所以，即，A正确； B选项，由A选项知，时，单调递增，单调递减， 则， 所以，即，B正确； C选项，令，， 则， ，，， 又在上恒成立， 故在恒成立， 故在上单调递增， 又，故，即当时，，C正确； D选项，令，，则， 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 其中，， 在上单调递增，在上单调递减， 且，， 画出两函数图象如下： 时，不满足， 存在，使得当时，，即，D错误. 故选：ABC 例5．（25-26高三上·河南南阳·期中）设函数，若存在唯一整数使得，则实数λ的取值范围是 . 【答案】 【详解】当时，，舍去； 当时，令，得， 设，得，令得，， 当时，；当时，， 所以函数的极小值点为，不存在极大值点.此时不等式有无穷多解，舍去； 当时，得， 数形结合只需：，解得； 综上.    故答案为： 例6．（2025·上海虹口·一模）若，则实数的取值范围是： 【答案】 【详解】由题意可知：方程有解，可化为， 并且或，令，，， 当时，，单调递增， 当或时，在上单调递减， 且当时，，，， 所以的大致图像如图所示，因为，，， 所以在上的值域为， 即的取值范围是. 故答案为： 例7．（2026·安徽芜湖·一模）已知曲线在处的切线为. (1)求切线的方程； (2)求证：切线在曲线的下方（切点除外）. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）由，得，所以， 又，所以切线方程为，即； （2）结合（1），令，则， 令，则， 令，得，所以时，时， 所以在上单调递减且恒小于0，在上单调递增， 注意到，所以有唯一根， 时，在上单调递减， 时，在上单调递增， 所以函数，则，当且仅当时取等号， 所以切线在曲线的下方（切点除外），得证. 例8．（24-25高二下·重庆·月考）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有两个极值点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，（）. 因为，所以所求切线的切点为. 又，所以. 所以曲线在处的切线方程为：，即. （2）因为（）， 所以（）. 有两个极值点在上有两个不同的变号零点. 由（）. 设（），则. 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 又，，当时，恒成立， 所以方程有两个不等的正根等价于：. 所以所求的取值范围是 变式1．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·月考）已知函数在上单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，，则在上无实数解，或有重根， 由，得，即， 令，则， 故当时，，当时，， 且，作出函数在上的图象如图所示，观察可知，或. 故选：D 变式2．（25-26高三上·江苏盐城·月考）已知关于的方程有三个不相同的实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由方程，得，且.令. ①当时，，所以，， 令，得，即. 当时，，； 当时，，； 所以在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值也是最大值， ，当. ②当时，，， 所以在单调递增，且，. 因方程有三个不相同的实根，所以函数与有三个不同的交点，如图： 所以. 故选：A. 变式3．（25-26高二上·山东临沂·月考·多选）已知函数，则下列说法正确的有（ ） A．两个函数的图象在处的切线互相平行 B．函数在上单调递增 C．存在实数，使得 D．的图象与的图象关于对称. 【答案】ABD 【详解】对于A，求的导数得，故； 求的导数得，故. 两函数的图像在处切线斜率相等，且，， 所以切线不重合，故切线互相平行，故A正确. 对于B，设，可得， 当时，，故分子， 即，故在上单调递增，故B正确. 对于C，， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 故在处取最小值； ，当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 故在处取最大值.因， 故的值始终大于的值，不存在实数，使得，故C错误； 对于D，若函数与关于点中心对称， 则对任意，有，因为， 对应得，解得， 故与的图像关于点对称，故D正确. 故选：ABD 变式4．（2026·陕西西安·模拟预测·多选）已知曲线，则（   ） A．直线与的公共点数不等于直线与的公共点数 B．所有斜率为的直线都与有且仅有一个公共点 C．直线与的所有公共点的横坐标的平方和等于 D．上横坐标的差为的两点中至少有一个点的纵坐标的绝对值大于2 【答案】BC 【详解】选项A：设，则， 令，则或， 当或时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以的极大值是，极小值是， 故直线与有2个公共点，直线与也有2个公共点，故A错误； 选项B：设， 则，则单调递增， 且当时，，当时，， 故有且仅有一个零点，即所有斜率为的直线都与有且仅有一个公共点，故B正确； 选项C：由上可知直线与有3个公共点，设它们的横坐标分别为，，， 则， 展开得， 故有，且， 所以，故C正确； 选项D：因为，且，此时这两点的纵坐标的绝对值均为2， 不符合题意，故D错误. 故选：BC 变式5．（24-25高二下·上海浦东新·期末）设函数，若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由可得， 依题意，直线与函数的图象有且仅有一个交点. 因，由可得或，由可得， 即函数在上单调递增；在上单调递减， 故函数在时取得极大值，即； 当时取得极小值，即， 且当时，，当时，，如图所示.    由图可得，要使直线与函数的图象有且仅有一个交点， 需使或，即实数的取值范围是. 故答案为：. 变式6．（24-25高二下·广东清远·月考）已知方程有两个解，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【详解】有两个解，因为，，所以，故， 令，等价于有两个解， 因为，则当时，所以在上单调递增， 所以有两个大于零的解. ，可得，令， 则，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，且， 且当时，恒成立， 同一坐标系内，画出与的图象，如下： 所以当时，有两个交点，即有两个零点. 故答案为： 变式7．（24-25高二下·广东广州·期中）已知函数. (1)求证：当时，曲线与直线只有一个交点； (2)讨论的单调性； (3)若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 (3) 【详解】（1）当时，函数，求导得：， 令，得；令，得； 则函数在上递增，在上递减，故， 所以曲线与直线只有一个交点. （2）函数的定义域为， ， 当时，对任意的，， 由可得，由可得， 此时函数的增区间为，减区间为； 当时，由可得或，由可得， 此时函数的增区间为、，减区间为； 当时，对任意的，，此时函数的增区间为； 当时，由可得或，由可得， 此时函数的增区间为、，减区间为， 综上所述，当时，函数的增区间为，减区间为； 当时，函数的增区间为、，减区间为； 当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的增区间为、，减区间为. （3）由（2）可知，若函数既存在极大值，也存在极小值，则或， 故实数的取值范围是. 变式8．（24-25高二下·福建厦门·期中）已知函数． (1)求的极值，并画出函数的大致图象； (2)求出方程（）解的个数； (3)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)极小值，无极大值，作图见解析 (2)答案见解析 (3) 【详解】（1）由题意，由，得；由，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极小值，无极大值； 由的单调性及，，， 当时，函数的图象在轴下方，随着的减小，的图象无限接近轴， 所以的大致图象如下． （2）由（1）中函数图象可得， 当时，方程的解个数为0个； 当或时，方程的解个数为1个； 当时，方程的解个数为2个． （3）由，可得， 即，进一步变形为， 令，则， 显然在上单调递增，所以恒成立， 即恒成立，令，， ，令，得， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 所以，则， 即实数的取值范围是． 2 学科网（北京）股份有限公司 $函数与导数：导数的计算、利用导数研究函数的图像与性质专项训练 函数与导数：导数的计算、利用导数研究函数的图像与性质专项训练 考点目录 导数的计算 利用导数研究函数的图像与性质 考点一 导数的计算 例1．（24-25高二下·广东佛山·期中）函数的导数（   ） A． B． C． D． 例2．（24-25高二下·湖北·期中）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 例3．（24-25高二下·河南濮阳·期末·多选）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 例4．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期中·多选）下列求函数的导数正确的是（    ） A． B．. C． D． 例5．（25-26高二上·重庆·月考）求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)； (4)； 变式1．（24-25高二下·新疆吐鲁番·期中）下列求函数的导数正确的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高二下·江苏扬州·月考）下列导数运算中错误的是（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·江苏镇江·期末·多选）下列求导正确的有（   ） A． B． C． D． 变式4．（24-25高二下·河南驻马店·期末·多选）下列求导运算不正确的是（    ） A． B． C． D． 变式5．（24-25高二下·内蒙古包头·月考）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 考点二 利用导数研究函数的图像与性质 例1．（24-25高二下·湖北·期末）若函数的图象与直线恰有两个公共点，则的取值范围为（    ） A．或 B． C． D． 例2．（24-25高三下·河南焦作·月考）过点可作两条直线与的图象相切，则b的值不可能是（   ） A． B．0 C．e D．2e 例3．（24-25高二下·河南·期中·多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．当时，有极大值 B．当时， C．，恒成立 D．当有且仅有两个零点时， 例4．（24-25高三上·河北衡水·月考·多选）以下不等式成立的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 例5．（25-26高三上·河南南阳·期中）设函数，若存在唯一整数使得，则实数λ的取值范围是 . 例6．（2025·上海虹口·一模）若，则实数的取值范围是： 例7．（2026·安徽芜湖·一模）已知曲线在处的切线为. (1)求切线的方程； (2)求证：切线在曲线的下方（切点除外）. 例8．（24-25高二下·重庆·月考）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有两个极值点，求a的取值范围． 变式1．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·月考）已知函数在上单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三上·江苏盐城·月考）已知关于的方程有三个不相同的实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·山东临沂·月考·多选）已知函数，则下列说法正确的有（ ） A．两个函数的图象在处的切线互相平行 B．函数在上单调递增 C．存在实数，使得 D．的图象与的图象关于对称. 变式4．（2026·陕西西安·模拟预测·多选）已知曲线，则（   ） A．直线与的公共点数不等于直线与的公共点数 B．所有斜率为的直线都与有且仅有一个公共点 C．直线与的所有公共点的横坐标的平方和等于 D．上横坐标的差为的两点中至少有一个点的纵坐标的绝对值大于2 变式5．（24-25高二下·上海浦东新·期末）设函数，若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是 ． 变式6．（24-25高二下·广东清远·月考）已知方程有两个解，则实数m的取值范围为 . 变式7．（24-25高二下·广东广州·期中）已知函数. (1)求证：当时，曲线与直线只有一个交点； (2)讨论的单调性； (3)若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围. 变式8．（24-25高二下·福建厦门·期中）已知函数． (1)求的极值，并画出函数的大致图象； (2)求出方程（）解的个数； (3)若恒成立，求实数的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $