专题03 利用导数研究函数最值五大常考题型（高效培优专项训练）数学人教A版2019高二选择性必修第二册

专题03 利用导数研究函数最值五大常考题型 题型一：函数最值与极值的关系 题型二：由导数求函数的最值（不含参） 题型三：由导数求函数的最值（含参） 题型四：已知函数最值求参数 题型五：函数单调性、极值与最值的综合应用 题型一：函数最值与极值的关系 1．函数 的导函数 的图像如图所示，以下命题正确的是（ ） A．是函数的最小值 B．是函数的极值 C．在区间上单调递增 D．在处的切线的斜率大于0 2．已知函数的定义域为，其导函数为的部分图象如图所示，则以下说法不正确的是（    ） A．在上单调递增 B．的最大值为 C．的一个极大值点为 D．的一个减区间为 3．已知定义在R上的函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（    ） A．是的极值点 B．在区间上单调递增 C．是在区间上的最小值点 D．曲线在点处的切线斜率小于零 4．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的有（    ） A．为函数的一个零点 B．函数在区间上单调递减 C．为函数的一个极大值点 D．是函数的最大值 5．是定义在区间上的函数，其导函数的图象如图所示，则在区间内（   ） A．函数有三个极值点 B．函数的单调增区间为 C．函数的最大值可能为 D．函数的最小值可能为 6．已知是函数的极值点，． (1)求； (2)判断函数的零点个数，并证明． 7．下列说法错误的是（   ） A．一个函数的极大值一定大于极小值 B．曲线的切线可能与该曲线有不止一个公共点 C．函数在某个区间上的最大值，一定在极大值点处取到 D．若函数在某个区间上单调递增，则它的导函数在该区间上满足 8．已知函数定义域为，且在该区间上连续，在上函数有唯一的极大值，则下列说法正确的是（    ） A．函数有最大值 B．函数有最大值，但不一定是 C．函数的最小值也可能是 D．函数不一定有最大值 9．函数的导函数为的图象如图所示，关于函数，下列说法不正确的是（    ） A．函数，上单调递增 B．函数在，上单调递减 C．函数存在两个极值点 D．函数有最小值，但是无最大值 10．已知函数为连续可导函数，的图象如图所示，以下命题正确的是（    ） A．是函数的最小值 B．是函数的极小值 C．在区间上单调递增 D．在处的切线的斜率大于0 题型二：由导数求函数的最值（不含参） 11．已知函数. (1)求的值域； (2)讨论函数的零点个数. 12．已知函数在处取得极大值. (1)求的解析式； (2)求在区间上的最值. 13．函数在区间上的值域为 ． 14．已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)当，求的最值. 15．函数 的最大值为 ． 16．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在上的最值. 17．函数 的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 18．已知函数在处取得极大值10． (1)求的值； (2)求在上的最值． 19．函数的最小值为（   ） A．1 B．2 C．e D． 20．已知对于圆C：上任意一点，总存在曲线上一点，使得，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型三：由导数求函数的最值（含参） 21．若函数的最小值为1，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．27 22．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 23．已知函数. (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)当时，求函数在区间上的值域. 24．已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性，并求最值. 25．如图是函数的导函数的图象，则以下说法正确的为（　　） A．是函数的极小值点 B．函数在处取最小值 C．函数在处切线的斜率小于零 D．函数在区间上单调递增 26．已知函数．若在上有解，则当实数取最小值时，的最大值为（    ） A． B． C．0 D． 27．已知函数，若对，，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 28．设函数，若对于任意的，都有成立，则实数a的值为 ． 29．已知函数． (1)求函数的极值； (2)求函数在区间上的最小值． 30．已知函数. (1)已知在点处的切线方程为，求实数，的值； (2)求函数在上的最大值. 题型四：已知函数最值求参数 31．已知函数在区间上的最大值为，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 32．若函数在区间内有最小值，则实数的取值范围是 ． 33．已知函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为 . 34．已知函数在内有最小值，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 35．已知是函数的导函数，若，且在上的最大值为5，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 36．已知函数． (1)求的单调区间； (2)若在区间上的最大值为，求它在该区间上的最小值． 37．已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若函数在上的最小值是，求a的值. 38．已知函数． (1)求函数的极值点； (2)若函数在区间上的最小值为，求实数a的值． 39．若函数在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 40．若函数在区间上的最小值为0，则的取值范围为 . 0 0 单调递增 极大值4 单调递减 极小值0 单调递增 题型五：函数单调性、极值与最值的综合应用 41．研究函数的单调性、极值和值域． 42．已知函数的一个极值点为3，则（   ） A． B．当时， C．当时， D．是函数的极小值点 43．已知曲线在点处的切线的斜率为0，且当时，函数取得极值． (1)求函数的极值； (2)若存在，使得不等式成立，求m的取值范围． 44．函数在上的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 45．设函数，则（    ） A．当时，有两个零点 B．当时，是的极大值点 C．当时，点为曲线的对称中心 D．当时，在区间上单调递增 46．已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且关于原点对称，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 47．函数在区间上的最小值是（         ） A． B． C． D．0 48．已知函数在处取得极小值，则的值为 ． 49．已知函数在处取得极值，其中． (1)求的值； (2)当时，求的最大值和最小值． 50．若函数有大于零的极值点，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 利用导数研究函数最值五大常考题型 题型一：函数最值与极值的关系 题型二：由导数求函数的最值（不含参） 题型三：由导数求函数的最值（含参） 题型四：已知函数最值求参数 题型五：函数单调性、极值与最值的综合应用 题型一：函数最值与极值的关系 1．函数 的导函数 的图像如图所示，以下命题正确的是（ ） A．是函数的最小值 B．是函数的极值 C．在区间上单调递增 D．在处的切线的斜率大于0 【答案】BCD 【分析】利用导函数的图像，可得函数的单调性，逐一判断即可. 【详解】由图像可知：当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在单调递增， 所以是函数的极小值，在区间上单调递增，故A错误，B正确，C正确； 由图可知，故D正确， 故选：BCD. 2．已知函数的定义域为，其导函数为的部分图象如图所示，则以下说法不正确的是（    ） A．在上单调递增 B．的最大值为 C．的一个极大值点为 D．的一个减区间为 【答案】ABC 【分析】从图象可以看出导函数值的正负，从而确定函数单调性，结合极值点和最值概念得到答案. 【详解】A选项，从图象上不能确定在上恒大于0， 故无法确定在上单调递增，A说法错误； BD选项，从图象上可以得到在上大于0，在上小于0， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，不能确定为最大值，B说法错误，D说法正确； C选项，从图象上可以得到， 在左侧小于0，在上大于0，故的一个极小值点为，C说法错误. 故选：ABC 3．已知定义在R上的函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（    ） A．是的极值点 B．在区间上单调递增 C．是在区间上的最小值点 D．曲线在点处的切线斜率小于零 【答案】C 【分析】根据导函数的正负，可确定的单调性，即可结合极值和选项逐一求解. 【详解】由的图象可知：当时，，当时，， 故在单调递减，在单调递增， 故是函数的极小值点，也是上的最小值点，故A错误，B错误，C正确， 由图可知：，因此曲线在点处的切线斜率大于零，故D错误， 故选：C 4．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的有（    ） A．为函数的一个零点 B．函数在区间上单调递减 C．为函数的一个极大值点 D．是函数的最大值 【答案】C 【分析】利用导数图象，分析函数的单调性，逐项判断即可. 【详解】对于A选项，由图象可知，当时，，当时，， 所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以为函数的一个极小值点，不一定为函数的一个零点，A错； 对于B选项，当时，，则函数在区间上单调递增，B错； 对于C选项，当时，，当时，， 所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，为函数的一个极大值点，C对； 对于D选项，因为函数在区间上单调递增，故不是函数的最大值，D错. 故选：C. 5．是定义在区间上的函数，其导函数的图象如图所示，则在区间内（   ） A．函数有三个极值点 B．函数的单调增区间为 C．函数的最大值可能为 D．函数的最小值可能为 【答案】BC 【分析】利用导数图象分析函数的单调性，结合极值与最值与导数的关系逐项判断即可. 【详解】对于AB选项，由图象可知，当或时，，当时，. 所以，函数的减区间为、，增区间为， 所以，函数只有两个极值点，A错， 函数的单调增区间为，B对； 对于CD选项，函数的最大值可能为，C对， 因为函数在上单调递减，则，故函数的最小值不可能为，D错. 故选：BC. 6．已知是函数的极值点，． (1)求； (2)判断函数的零点个数，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）由函数解析式求导，根据极值点的定义，建立方程，可得答案； （2）利用导数可得函数的单调区间，根据零点存在性定理，可得答案. 【详解】（1）由，即，则， 由为函数的极值点，则，即，解得. （2）函数存在两个零点. 证明如下： 由（1）可得，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则， 由，， 则函数在与上分别存在一个零点， 所以函数存在两个零点. 7．下列说法错误的是（   ） A．一个函数的极大值一定大于极小值 B．曲线的切线可能与该曲线有不止一个公共点 C．函数在某个区间上的最大值，一定在极大值点处取到 D．若函数在某个区间上单调递增，则它的导函数在该区间上满足 【答案】ACD 【分析】举例判断AB的正确性，对CD根据函数的有关性质可直接判断. 【详解】对A选项：函数的极值是局部性质，极大值与极小值的大小不定， 比如，在处有极大值，在处有极小值，极大值小于极小值，故A错误； 对B选项：函数在处的切线为，与有无数个公共点，故B正确； 对C选项：函数在闭区间上的最大值，有可能在极大值点出取得，也由可能是在区间的端点处取得，故C错误； 对D选项：函数在某个区间上单调递增，则它的导函数在该区间上满足，故D错误. 故选：ACD 8．已知函数定义域为，且在该区间上连续，在上函数有唯一的极大值，则下列说法正确的是（    ） A．函数有最大值 B．函数有最大值，但不一定是 C．函数的最小值也可能是 D．函数不一定有最大值 【答案】D 【分析】根据函数的极值与最值的定义即可求解. 【详解】函数定义域为，是开区间， 则当趋近于或时，若趋于正无穷大， 此时函数没有最大值，故AB错误，D正确； 因为函数有唯一的极大值， 所以在附近，函数值小于， 所以函数的最小值不可能是，故C错误. 故选：D. 9．函数的导函数为的图象如图所示，关于函数，下列说法不正确的是（    ） A．函数，上单调递增 B．函数在，上单调递减 C．函数存在两个极值点 D．函数有最小值，但是无最大值 【答案】C 【分析】利用导函数图象，得到原函数单调性即可判断AB，利用极值点的定义判断C，利用函数的单调性及最值的概念判断D. 【详解】根据的图象可知， 函数在和上，单调递增，A选项正确； 函数在和上，单调递减，B选项正确； 所以的极小值点为，3，极大值点为1，C选项错误； 由上述分析可知，函数的最小值是和两者中较小的一个，没有最大值，D选项正确. 故选：C 10．已知函数为连续可导函数，的图象如图所示，以下命题正确的是（    ） A．是函数的最小值 B．是函数的极小值 C．在区间上单调递增 D．在处的切线的斜率大于0 【答案】D 【分析】根据图象得到的单调性，并结合极值的定义和导数的几何意义求出答案. 【详解】C选项，由图象可看出当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，C错误； A选项，是函数的极小值，但无法确定是不是最小值，A错误； B选项，是函数的极大值，B错误； D选项，由于，故在处的切线的斜率大于0，D正确. 故选：D 题型二：由导数求函数的最值（不含参） 11．已知函数. (1)求的值域； (2)讨论函数的零点个数. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数的性质进行求解即可； （2）根据（1）的结论，画出函数的图象、函数零点的定义，利用数形结合思想进行求解即可. 【详解】（1）由， 令，或， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以函数在时，极小值为，极大值为， 而， 所以函数在时，最大值为，最小值为， 所以函数在时，值域为 （2）函数， 函数的零点个数转化为直线与函数图象交点个数问题， 结合（1）的结论，在同一直角坐标系内，画出直线与函数图象， 当，或时，直线与函数图象没有交点，因此函数没有零点， 当，或时，直线与函数图象有个交点，因此函数有个零点， 当时，直线与函数图象有个交点，因此函数有个零点， 综上所述：当，或时，函数没有零点， 当，或时，函数有个零点， 当时，函数有个零点. 12．已知函数在处取得极大值. (1)求的解析式； (2)求在区间上的最值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为. 【分析】（1）求导后结合极值定义计算即可得，得到结果注意检验； （2）得到函数在上的单调性后结合极值定义计算即可得. 【详解】（1），由题意可得，解得， 则； 检验：当时，， 则当时，，当时，， 故在、上单调递减，在上单调递增， 故函数在处取得极大值，故成立； 故； （2）由（1）知，当时， 在、上单调递减，在上单调递增， 又，， ，， 故在区间上的最大值为，最小值为. 13．函数在区间上的值域为 ． 【答案】 【分析】利用导数得出的单调性即可求出值域. 【详解】由题意可得，所以当时，单调递减， 当时，单调递增，且， 故在区间上的值域为． 故答案为：． 14．已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)当，求的最值. 【答案】(1) (2)最大值为；最小值为. 【分析】（1）求出的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）利用导数判断出函数在上的单调性，再利用单调性结合给定区间求出的最值. 【详解】（1）依题意，，则， 又，即切点坐标为， 故所求切线方程为：，即. （2）由. 令，得. 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 故是的极小值，也是最小值. 又， 而，即. 故在区间上的最大值为，最小值为. 15．函数 的最大值为 ． 【答案】 【分析】求导，利用导数求解函数的单调性，即可求解. 【详解】，则， 当时，，此时在单调递减， 当时，，此时在单调递增， 故当时，取极大值也是最大值，故最大值为 故答案为： 16．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在上的最值. 【答案】(1)； (2)最大值，最小值. 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）利用导数确定单调性，进而求出指定区间上的最值. 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）由（1）知，， 当时，；当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增，而， 所以当时，取得最大值，当时，取得最小值. 17．函数 的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用导数判断函数的单调性后可得函数的最小值. 【详解】， 设，则， 故为上的增函数，而，， 故当时，即，当时，即， 故在上为减函数，在上为增函数，故， 故选：C. 18．已知函数在处取得极大值10． (1)求的值； (2)求在上的最值． 【答案】(1) (2)最大值为10，最小值为2， 【分析】（1）求导，即可根据函数值以及导数值列方程求解， （2）根据函数的单调性，求解极值以及端点处函数值，即可作答. 【详解】（1）， 故且，解得， 则， 令，则， 当时，，当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故在处取到极大值，故满足题意， （2）由（1）知：在和单调递增，在单调递减， 且 故最大值为10，最小值为2. 19．函数的最小值为（   ） A．1 B．2 C．e D． 【答案】A 【分析】先对函数解析式进行变形因为，把求的最小值转化为求点到与的距离之和的最小值，计算，令，利用导数求得的单调性和最小值，再根据，求得答案． 【详解】因为， 故求的最小值转化为求点到与的距离之和的最小值， 又，令， 则，则在单调递减，在单调递增，故， 所以，易知两个不等号均在时取等号， 故的最小值为1． 故选：A. 20．已知对于圆C：上任意一点，总存在曲线上一点，使得，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量垂直的条件得到两曲线点之间的关系，再利用圆与曲线的性质求解的取值范围. 【详解】当点的坐标为时，存在，使得． 当点横坐标非零时，，即，即． 圆C：，圆心，半径， 当直线与圆相切于第一象限时，此时，当直线与圆相切于第二象限时，此时， 因此可得当在圆上时，， 进而， 设，则，令函数， 对求导，则， 令，即，解得：， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以在处取得最大值， 则值域为， 故，又，则， 解得． 故选：B. 题型三：由导数求函数的最值（含参） 21．若函数的最小值为1，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．27 【答案】D 【分析】利用换元法转化为，结合导数判断单调性可得答案. 【详解】令，因为，所以； ，，仅当时取等号，此时为增函数， 当时，有最小值，由可得， 则函数最大值为，且时取到最大值； 故选：D 22．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当时，整理函数解析式后利用基本不等式，即得的取值范围，当时，利用导数求得的取值范围，再由的值域为R，得到不等式，解之即得. 【详解】当时， ， 当且仅当，即时取等号， 即时，； 当时，，则， 令，解得或， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值，为， 又当时，所以时，， 由的值域为，可得，即，解得. 故选：A 23．已知函数. (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)当时，求函数在区间上的值域. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出切点坐标，利用导数求出切线斜率，再用点斜式写出切线方程，从而得解； （2）求导，对分类讨论，判断在区间上的单调性，进而计算可求得值域. 【详解】（1）当时，由，可得， 由，可得，所以， 所以切线方程为，即； （2）由，可得， 令，可得或， 当时，由二次函数性质可知，， 所以在上单调递减，又， ，所以值域为， 当时，由二次函数性质可知，，时，， 所以函数在区间上的最大值为， 又，， 若时，， 所以函数在区间上的最小值为，所以值域为， 若时，， 所以函数在区间上的最小值为，所以值域为， 综上所述：当时，函数在区间上的值域为， 当时，函数在区间上的值域为， 当时，函数在区间上的值域为. 24．已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性，并求最值. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）通过求导得到切线斜率，利用点斜式即可求得切线方程； （2）将函数求导后，根据参数分类讨论函数的单调性，即可判断求解函数的最值. 【详解】（1）当时，，求导得：， 则，， 则在处的切线方程：，即； （2）由求导得：， ①当时，在上恒成立，故在上单调递增，无最值； ②当时，由，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，在单调递增， 所以在有最小值，为,无最大值. 25．如图是函数的导函数的图象，则以下说法正确的为（　　） A．是函数的极小值点 B．函数在处取最小值 C．函数在处切线的斜率小于零 D．函数在区间上单调递增 【答案】AD 【分析】由图得到导数正负情况，再根据导数与单调性关系、极值点和最值定义以及导数几何意义即可得解. 【详解】由图可得当时，； 当时，，当且仅当时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以是函数的极小值点，函数在区间上单调递增，故AD正确， 函数在处不能取最小值，函数在处切线的斜率大于零，故BC错误. 故选：AD 26．已知函数．若在上有解，则当实数取最小值时，的最大值为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【分析】根据题意有在上有解,可得，转化为求函数的的最值即可． 【详解】因为，所以， 因为在上有解，所以在上有解， 化简得．因为， 即在）上有解． 因为，设，则在上有解， 因为， 当且仅当，即时取等号，此时， 所以的最小值为，此时， 当且仅当，即时，有最大值0. 故选:C． 27．已知函数，若对，，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数求函数最小值，由即可得解. 【详解】由题意可知，，， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值， 因为对，，所以，解得. 故选：C 28．设函数，若对于任意的，都有成立，则实数a的值为 ． 【答案】4 【分析】由题意求导得函数的单调区间，进一步由，且列不等式组即可求解. 【详解】由题意得，，令，解得，． ①当时，，单调递增； ②当时，，单调递减； ③当时，，单调递增． 所以只需，且即可， 由，可得， 由，可得， 综上可得，． 故答案为：4. 29．已知函数． (1)求函数的极值； (2)求函数在区间上的最小值． 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2) 【分析】（1）直接根据导数与函数单调性、极值的关系即可求解； （2）结合函数单调性对分类讨论即可求解. 【详解】（1）， 由，得；由，得． 在上单调递增，在上单调递减． 的极小值为，无极大值． （2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减． ，． ①当时，在上单调递减，在上单调递增， ②当时，在上单调递增，． . 30．已知函数. (1)已知在点处的切线方程为，求实数，的值； (2)求函数在上的最大值. 【答案】(1)，. (2)答案见解析 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得且，即可求出，的值； （2）分、、三种情况讨论，分别说明函数的单调性，即可求出函数的最大值. 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以， 又，所以， 综上所述，. （2）因为， （ⅰ）当时，恒成立， 所以函数在上单调递增， 所以； （ⅱ）当时，由，解得或， 当或时，，则在和上单调递增， 当时，，则在上单调递减； ①当时，即，所以函数在上单调递减， 所以； ②当时，即，函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，则， 所以当时，，当时，， 当时，， 所以， 综上所述，当时，；当时，. 题型四：已知函数最值求参数 31．已知函数在区间上的最大值为，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】利用基本不等式求得最值，列式求解即可. 【详解】因为， 当时，，当且仅当时等号成立， 所以，故，解得， 故选：C 32．若函数在区间内有最小值，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用导数判断函数的单调性并求得极小值，然后依题意得到，计算即可. 【详解】由题可知：， 令，则；令，则或， 所以函数在单调递增，在单调递减. 极小值为，令，所以或， 又函数在区间内有最小值， 所以. 故答案为：. 33．已知函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由于函数在区间上不单调，等价于函数在区间上存在极值点，对函数求导，对分类讨论，求出极值点，根据极值点在区间内，可得关于的不等式，即可求出结果． 【详解】， 当时，在上严格单调递增，不符合题意; 当时，令；. 所以在上严格单调递增，在上严格单调递减， 所以在处取得极大值. 因为函数在区间上存在最大值， 所以. 故答案为：. 34．已知函数在内有最小值，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，求出函数的极小值点，进而求出的范围即可. 【详解】函数定义域为，求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，函数在处取得极小值，即最小值， 又函数在内有最小值，则，解得， 所以实数的取值可以是. 故选：D 35．已知是函数的导函数，若，且在上的最大值为5，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的导函数，由求出的值，即可得到函数在上的单调性，从而求出的值. 【详解】因为，所以， 所以，解得，所以，则， 所以当时，所以在上单调递增， 所以，解得. 故选：D 36．已知函数． (1)求的单调区间； (2)若在区间上的最大值为，求它在该区间上的最小值． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间 (2) 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间； （2）结合（1）可知函数的单调性，从而由函数的最大值求出的值，即可求出函数的最小值. 【详解】（1）函数的定义域为， 又 令，解得 ，令，则或， 所以的单调递减区间为，单调递增区间. （2）由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，， 则，解得， 所以，又，， 所以在区间上的最小值为. 37．已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若函数在上的最小值是，求a的值. 【答案】(1)答案见解析； (2) 【分析】（1）对函数求导并对参数的取值进行分类讨论，再由导函数的符号即可判断单调性； （2）根据（1）中的单调性结合的取值求得最小值的表达式，解方程可求出. 【详解】（1）易知的定义域为， 可得； 若，可得，此时在上单调递增； 若，令，解得； 当时，，即可得在上单调递减； 当时，，即可得在上单调递增； 综上可得，时，在上单调递增； 时，在上单调递减，在上单调递增； （2）由（1）可知，当时，在上单调递增， 此时无最小值，不合题意； 当时，可知在上单调递减，在上单调递增； 此时在处取得极小值，也是最小值； 因此，解得，符合题意； 当时，在上单调递减，此时无最小值，不合题意； 综上可知， 38．已知函数． (1)求函数的极值点； (2)若函数在区间上的最小值为，求实数a的值． 【答案】(1)为极小值点，无极大值点 (2) 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极值点； （2）分、、三种情况讨论，得到函数的单调性，求出函数的最小值，即可得解. 【详解】（1）函数的定义域为， 又， 所以当时，当时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以为的极小值点，无极大值点. （2）当，即时，在上单调递增， 所以在处取得最小值，，不符合题意； 当，即，此时在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得； 当，即，此时在上单调递减， 所以，不符合题意； 综上可得. 39．若函数在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数的极值点，要使函数在区内存在最小值，只需极小值点在该区间内，且在端点处的函数值不能超过极小值． 【详解】由，令，可得或， 由得：或，由得：， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极小值， 令，解得或， 若函数在内存在最小值，则，得． 故选：C 40．若函数在区间上的最小值为0，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】求函数的导数，根据导数和单调性的关系，结合给定区间及函数的最小值，即可确定的取值范围. 【详解】由题可知， 令，即，解得或， 当变化时，，的变化情况如下表： 0 0 单调递增 极大值4 单调递减 极小值0 单调递增 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又有，， 故要使在区间上的最小值为，则. 故答案为： 题型五：函数单调性、极值与最值的综合应用 41．研究函数的单调性、极值和值域． 【答案】增区间为，减区间为，极大值为，无极小值；值域为为 【分析】对函数求导，求出极值点，判断单调性，求出极值和值域即可. 【详解】对函数求得，由得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故为的极大值，，， 所以的值域为． 42．已知函数的一个极值点为3，则（   ） A． B．当时， C．当时， D．是函数的极小值点 【答案】B 【分析】根据极值点的定义得到，然后用导数研究原函数的单调性判断即可. 【详解】由，所以， 由题可知：， 当时，， 令，则；令，则或. 所以函数在单调递增，在单调递减. 对A，所以在处取得极小值，，错误； 对B，，所以，正确； 对C，当时，，所以错误； 对D，是函数的极大值点，错误； 故选：B 43．已知曲线在点处的切线的斜率为0，且当时，函数取得极值． (1)求函数的极值； (2)若存在，使得不等式成立，求m的取值范围． 【答案】(1)极大值为，极小值为； (2) 【分析】（1）利用导数的几何意义，函数极值与导数值为0的关系，可求解参数，再利用单调性可求出极值; （2）利用存在性问题满足的条件是，则只需要利用单调性结合端点值可求最小值，即可得参数范围. 【详解】（1）由题得：，结合题意可得: ，解得， 可得：，． 当，，所以在上单调递增， 当，，所以在上单调递减， 当，，所以在上单调递增， 所以当时，函数取得极大值， 当时，函数取得极小值， 故函数取得极大值为，极小值为 （2）由（1）可知在上单调递增，在上单调递减， 又因为，所以在时有最小值， 所以要使不等式能成立，则．所以 故取值范围是． 44．函数在上的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】求出，根据导数求出单调性即可求解. 【详解】，令， 则，因为在，在， 所以在单调递减，在单调递增， 因为， 所以最小值为. 故选：A. 45．设函数，则（    ） A．当时，有两个零点 B．当时，是的极大值点 C．当时，点为曲线的对称中心 D．当时，在区间上单调递增 【答案】ACD 【分析】根据因式分解可得函数的零点，结合导函数的图像去研究函数的极大值、对称中心与单调性. 【详解】已知，所以, 当时，，方程有两个根，所以正确， 当时，的解集为，的解集为， 所以在上单调减，在上单调增，所以在处取极小值，所以错误, 当时，， 所以关于中心对称，所以正确， 当时，的解集为，而,所以在上单调递增，所以正确. 故选： 46．已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且关于原点对称，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】原题等价于函数的图象与函数的图象有交点，即方程有解，即有解，令，利用导数法求出函数的值域，即可求得答案 【详解】函数的图象与函数的图象关于原点对称， 若函数的图象上存在点， 函数的图象上存在点，且关于原点对称， 则函数的图象与函数的图象有交点， 即方程有解，即有解， 令，则，当时，， 当时，，故当时，取最小值3， 由，，故当时，取最大值，故， 故选：A． 47．函数在区间上的最小值是（         ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】对函数求导，判断函数单调性，结合所给区间，即得函数最小值. 【详解】由求导得，， 则当时，，单调递增；当时，，单调递减. 故当时， 又由，可得， 故 故选：A. 48．已知函数在处取得极小值，则的值为 ． 【答案】 【分析】将函数求导，依题可得，求得或，代入函数式，进行检验，舍去，即得结论. 【详解】由求导，， 依题意，，即，解得或. 当，时，，， ， 当时，，在上单调递减，当时，，在单调递增， 即时，函数取得极小值，符合题意，此时； 当，时，，， 因 ， 即函数在上为增函数，无极值，与题意不符，舍去. 故答案为：. 49．已知函数在处取得极值，其中． (1)求的值； (2)当时，求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)最大值为4，最小值为 【分析】（1）通过对原函数求导，利用题设条件，列出方程组，求得的值，回代解析式验证即得； （2）根据（1）求得的函数解析式，求导讨论函数单调性，推得时，函数有极小值，也是最小值，无极大值，结合区间端点值比较求得函数最大值. 【详解】（1）由求导得， 依题意可知，即，解得， 此时，，由求得或， 当时，，函数递增，当时，函数递减， 故时，函数取得极大值，故. （2）由（1）得， 令解得或，因， 故当时，函数递减，当时，函数递增， 当 时， 取得极小值， 无极大值， 所以 ， 所以在区间上，的最大值为或，而． 所以在区间上的最大值为4，最小值为． 50．若函数有大于零的极值点，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的导数，求出极值点，利用极值点大于0，求出的范围． 【详解】函数， 可得， 若，此时单调递增，无极值点， 故，令，解得， 当时，，当时，， 故是的极值点 由于函数有大于零的极值点， ，解得． 故选：C． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $