反比例函数与一次函数综合、反比例函数的实际应用问题专项训练-2026年中考数学一轮复习

反比例函数与一次函数综合、反比例函数的实际应用问题专项训练 反比例函数与一次函数综合、反比例函数的实际应用问题专项训练 考点目录 反比例函数与一次函数综合 反比例函数的实际应用问题 考点一 反比例函数与一次函数综合 例1．（25-26九年级上·河南安阳·月考）反比例函数的图象与正比例函数的图象的一个交点为，则另一个交点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵点在正比例函数上， ∴， 解得， ∴正比例函数为． 联立得：， ∴， 两边乘以x（），得， ∴， ∴或． 当时，， ∴另一个交点为． 故选：A． 例2．（25-26九年级上·河南新乡·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于两点．根据图象信息，可得关于的不等式的解集为（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】解：不等式的解集是一次函数的图象在反比例函数图象上方(包括交点)时的取值范围． 当时，观察图象，当时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方(包括交点)，满足； 当时，观察图象，当时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方(包括交点)，满足． 综上，不等式的解集为或． 故答案为：B． 例3．（25-26九年级上·内蒙古包头·月考）如图，正比例函数和反比例函数的图像交于，两点，过点作轴于点，则的面积为 ． 【答案】 【详解】解：正比例函数和反比例函数的图像交于，两点， 点与点关于原点对称， ， 反比例函数中， ， ． 故答案为：． 例4．（25-26九年级上·广东江门·月考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．请结合图象直接写出不等式的解集 ． 【答案】或 【详解】解：在反比例函数上， ，解得， ∴反比例函数解析式为， 把代入，可得， ， 根据一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， 可得的解集为或， 故答案为：或． 例5．（25-26九年级上·福建宁德·月考）如图，直线（为常数，）与双曲线（为常数，）的交点为轴于点． (1)求的值； (2)根据图象写出使正比例函数的值小于反比例函数的值的的取值范围； (3)点在轴上，如果，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或． 【详解】（1）解：在中，∵，，， ∴，， ∴， ∵反比例函数经过点， ∴； （2）解：将代入直线，得 ， 解得， ∴直线， ∵直线与双曲线的交点为 ∴， 解得， 当时，， ∴， ∴当或时，正比例函数的值小于反比例函数的值． （3）解：设， ∵经过点， ∴． ∵， ， ∴， ∴， ∴或． 例6．（25-26九年级上·江西南昌·期末）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与y轴相交于点C． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点D与点C关于x轴对称，求的面积． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2)3 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 即； ∵点在的图象上， ∴， ∴． 把A，B两点的坐标分别代入中， 得， 解得， ∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； （2）解：当时，， 即． ∵点D与点C关于x轴对称， ∴． 又∵， ∴轴，， ∴点A到的距离为， ∴． 例7．（25-26九年级上·山西晋中·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第二象限交于点，在第四象限交于点，过点作轴于点，连接． (1)求一次函数与反比例函数的表达式． (2)求的面积． (3)根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2)3 (3)或 【详解】（1）解：的图象过点， 反比例函数的表达式为 的图象过点， ， 直线的图象经过点， 解得 一次函数的表达式为 （2）解：过点作交的延长线于点 轴， （3）解：由图象可知：不等式的解集为：或 变式1．（25-26九年级上·山东淄博·期末）函数与在同一坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、由函数的图象得：，由函数的图象得：，符合，故本选项符合题意； B、由函数的图象得：，由函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； C、由函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； D、由函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； 故选：A 变式2．（25-26九年级上·陕西西安·期末）已知反比例函数与一次函数（为常数）的图象的一个交点的横坐标为2，则的值为（   ） A． B．5 C．2.5 D．3 【答案】B 【详解】解：在反比例函数中，令，则， ∴交点坐标为． 将点代入，得 ，解得． 故选：B． 变式3．（25-26九年级上·四川成都·月考）已知如图，一次函数图象与反比例函数图象交于，两点，则时x的取值范围是 ． 【答案】或. 【详解】解：若要满足，则需一次函数的图象高于反比例函数的图象． 由图象可知，当或时，． 故答案为：或． 变式4．（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）如图，一次函数的图象过点，且与反比例函数的图象相交于B、C两点．若，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵一次函数的图象过点， ∴ 令， 整理得， ∴，， ∵， ∴点的横坐标是点横坐标的2倍，不妨设， ∴，， ∴， 整理得，． 故答案为：． 变式5．（25-26九年级上·辽宁本溪·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点． (1)求m与n之间的关系式； (2)求一次函数与反比例函数的表达式； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)， (3)或． 【详解】（1）解：将点，分别代入，得： ∴，， ∴； （2）解：∵点在上， ∴． 将点，分别代入 ∴， ∵． ∴， ∴， ∴一次函数的表达式为； ∴， ∴反比例函数的表达式为：； （3）解：由图象可知不等式的解集为或． 变式6．（25-26九年级上·广东江门·月考）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)直接写出使反比例函数值小于一次函数值的的取值范围． (3)直接写出的面积． 【答案】(1)，； (2)或； (3)． 【详解】（1）解：∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵在反比例函数上， ∴， ∴的坐标， ∵把，代入，得： ， 由①②得：，即， 将代入①中得：，即， 综上， ∴一次函数的解析式为； （2）由图象上交点，知：当或时，反比例函数的值小于一次函数的值； （3）∵把代入得， ∴直线和y轴交点为． ∵，，， ∴，，， ∴， ， ， ， ． 变式7．（25-26九年级上·江苏南通·月考）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式及的值； (2)根据函数图象，直接写出不等式的解集： (3)若是轴上一点，且的面积等于面积的2倍，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）可知：， 由图象，的解集为：或； （3）∵， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴． 考点二 反比例函数的实际应用问题 例1．（25-26九年级上·新疆喀什·期末）（1）用一个圆心角为，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为多少？ （2）随着新能源汽车的普及，蓄电池的应用更加广泛．已知某蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）成某种函数关系，它的图象如图所示． ①求出该函数的解析式； ②若该蓄电池测得电阻R为，则电流I为多少？ 【答案】（1）1；（2）①； ② 【详解】解：（1）扇形的弧长为：， 设圆锥的底面圆的半径为r， 则， 解得； （2）① 设该函数的解析式为， 将，代入，得：， 解得， 该函数的解析式为； ②将代入，得：， 即电流I为． 例2．（25-26九年级上·广东深圳·期末）“广湛”高铁线路于2025年12月22日正式开通运营，它是中国“八纵八横”高速铁路网的重要组成部分．已知列车运行时间与平均速度（）之间是反比例函数关系，其图象如图所示． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)为保证列车运行安全，当运行时间为1小时40分时，列车的平均速度是多少？ 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数表达式为， 将代入得，． 解得：． 所以y与x之间的函数表达式为． （2）解：1小时40分小时． 当时，得，， 解得． 所以，这趟列车的平均速度为． 例3．（25-26九年级上·河北张家口·期末）生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间（时）变化的图象，如图所示，点表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示24时温度降到． (1)求线段及双曲线段的函数解析式（写出自变量取值范围）； (2)求该大棚在时内，温度不低于的时长， (3)此地日出时间为，日落时间为，为保证该大棚中的植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于，小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，至少推迟___________小时，能满足上述要求． 【答案】(1)， (2)大棚在时内，温度不低于的时长为12小时． (3)1 【详解】（1）解：设线段所在直线的解析式为． 将和代入，则， 解得， 线段的函数解析式为． 设段的函数解析式为， 将代入，， ． 当时，， ， 段的函数解析式为． （2）解：令， 解得， 段温度为的时刻为15时． 令，解得， ∴段温度为的时刻为3时， ， 大棚在时内，温度不低于的时长为12小时． （3）解：由题意得，日出时间为，此时大棚气温是，符合要求， 由（2）得到15时后，大棚气温低于， 因此符合要求的时间只有（小时）， 故至少需要推迟（小时）． 故答案为：1． 例4．（25-26九年级上·河北承德·期末）如图，在左边托盘（固定）中放置一个重物，在右边托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离．记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表格． 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)观察表格，与之间的函数关系式为______．（不必写出自变量的取值范围） (2)当托盘中砝码的质量为时，求托盘与点的距离． (3)当托盘向左移动（不能移动到点）时，要使得仪器左右平衡，应往托盘中添加砝码还是减少砝码？请说明理由． 【答案】(1) (2)当托盘中砝码的质量为时，托盘与点的距离是 (3)应往托盘中添加砝码，理由见解析 【详解】（1）解：根据表格可得：，即， ∴与的函数关系式为：； （2）解：把代入，得， 解得． 答：当托盘中砝码的质量为时，托盘与点的距离是． （3）解：应往托盘中添加砝码．理由如下： ∵， ∴该函数图像在第一象限内，的值随值的增大而减小． ∵当托盘向左移动（不能移动到点）时，逐渐减小， ∴逐渐增大， ∴应往托盘中添加砝码． 变式1．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）泡茶需要将电热水壶中的水先烧到，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温（）与时间（）成一次函数关系；停止加热过了1分钟后，水壶中水的温度（）与时间（）近似于反比例函数关系（如图）．已知水壶中水的初始温度是，降温过程中水温不低于． (1)分别求出图中、所对应的函数关系式； (2)从水壶中的水烧开（）降到就可以泡茶，问从水烧开到泡茶至少需要等待多长时间？ 【答案】(1)； (2)分钟 【详解】（1）解：停止加热时，设， 由题意得： ， 解得：， ， 当时，解得：， 点坐标为， ∵停止加热了1分钟， 点坐标为， 当加热烧水时，设， 由题意得：， 解得：， 函数关系式为； 函数关系式为； （2）解：把代入，得， 因此从水烧开到泡茶需要等待分钟． 变式2．（25-26九年级上·河北保定·期末）为预防冬季传染病，学校定期对教室进行“药熏消毒”如图，在药物释放阶段（图中段），室内每立方米空气中的含药量与释放时间成一次函数关系；在药物释放完毕后，y与x成反比例关系（图中段），已知点A，B的坐标分别为和． (1)求y关于x的函数表达式； (2)如果教室内每立方米空气中的含药量不低于，且持续时间不低于，才能达到有效消毒，这次“药熏消毒”是否是有效消毒？请说明理由． 【答案】(1) (2)这次“药熏消毒”是有效消毒，理由见解析 【详解】（1）解：当时，设y与x的函数关系式为， 根据题意得：， 解得：， ∴， 当时，设y与x的函数关系式为：， 则， ∴， ∴y与x的函数关系式为， 综上所述：y与x的函数关系式为． （2）解：将代入得：，解得：， 代入得，解得：． ∵， ∴这次“药熏消毒”是有效消毒． 变式3．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）推土机的轮子为何要安装又宽又长的履带？通过物理学科的学习我们知道，在压力不变的情况下，压强（单位：）是受力面积（单位：）的反比例函数．已知某推土机对地面压力恒定．当受力面积为时，压强为． (1)求p与S之间的函数关系式； (2)若该推土机施工时对地面的压强为30000，则施工过程中受力面积为多少？ 【答案】(1) (2)施工过程中受力面积为 【详解】（1）解：由题意设， 将，代入得，， 解得，， ． 答：p与S之间的函数关系式为． （2）解：当时，即， 解得，， 若该推土机施工时对地面的压强为30000，则施工过程中受力面积为． 变式4．（25-26九年级上·浙江台州·期末）浮力式密度计是测量液体密度的仪器（如图1），通常是一个密封的玻璃管，底部有重物，上部有刻度，把它放入液体中，它会竖直漂浮．密度计上与液面平齐的刻度为浸没深度（单位：），且液体密度（单位：）是浸没深度（单位：）的反比例函数．小明在家里制作简易浮力式密度计（如图2），经过测量与查阅资料得到浸没深度与液体密度的对应关系（如下表）． 酒精 水 蜂蜜 浸没深度 17.5 14 10 1 (1)__________，__________； (2)如果该简易密度计能竖直漂浮的最小浸没深度为，最大浸没深度为，求该密度计能测量的液体密度的范围． 【答案】(1)0.8，1.4 (2) 【详解】（1）解：∵液体密度（单位：）是浸没深度（单位：）的反比例函数． ∴设反比例函数解析式为 把代入，得 ∴ 反比例函数解析式为 ∴当时，， 当时，， 故答案为：0.8，1.4 （2）解；当时，； 当时， ∵， ∴当时，随着的增大而减小， ∴ 2 学科网（北京）股份有限公司 $反比例函数与一次函数综合、反比例函数的实际应用问题专项训练 反比例函数与一次函数综合、反比例函数的实际应用问题专项训练 考点目录 反比例函数与一次函数综合 反比例函数的实际应用问题 考点一 反比例函数与一次函数综合 例1．（25-26九年级上·河南安阳·月考）反比例函数的图象与正比例函数的图象的一个交点为，则另一个交点是（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·河南新乡·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于两点．根据图象信息，可得关于的不等式的解集为（　　） A． B．或 C． D．或 例3．（25-26九年级上·内蒙古包头·月考）如图，正比例函数和反比例函数的图像交于，两点，过点作轴于点，则的面积为 ． 例4．（25-26九年级上·广东江门·月考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．请结合图象直接写出不等式的解集 ． 例5．（25-26九年级上·福建宁德·月考）如图，直线（为常数，）与双曲线（为常数，）的交点为轴于点． (1)求的值； (2)根据图象写出使正比例函数的值小于反比例函数的值的的取值范围； (3)点在轴上，如果，求点的坐标． 例6．（25-26九年级上·江西南昌·期末）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与y轴相交于点C． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点D与点C关于x轴对称，求的面积． 例7．（25-26九年级上·山西晋中·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第二象限交于点，在第四象限交于点，过点作轴于点，连接． (1)求一次函数与反比例函数的表达式． (2)求的面积． (3)根据图象直接写出不等式的解集． 变式1．（25-26九年级上·山东淄博·期末）函数与在同一坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·陕西西安·期末）已知反比例函数与一次函数（为常数）的图象的一个交点的横坐标为2，则的值为（   ） A． B．5 C．2.5 D．3 变式3．（25-26九年级上·四川成都·月考）已知如图，一次函数图象与反比例函数图象交于，两点，则时x的取值范围是 ． 变式4．（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）如图，一次函数的图象过点，且与反比例函数的图象相交于B、C两点．若，则的值为 ． 变式5．（25-26九年级上·辽宁本溪·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点． (1)求m与n之间的关系式； (2)求一次函数与反比例函数的表达式； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 变式6．（25-26九年级上·广东江门·月考）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)直接写出使反比例函数值小于一次函数值的的取值范围． (3)直接写出的面积． 变式7．（25-26九年级上·江苏南通·月考）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式及的值； (2)根据函数图象，直接写出不等式的解集： (3)若是轴上一点，且的面积等于面积的2倍，求点的坐标． 考点二 反比例函数的实际应用问题 例1．（25-26九年级上·新疆喀什·期末）（1）用一个圆心角为，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为多少？ （2）随着新能源汽车的普及，蓄电池的应用更加广泛．已知某蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）成某种函数关系，它的图象如图所示． ①求出该函数的解析式； ②若该蓄电池测得电阻R为，则电流I为多少？ 例2．（25-26九年级上·广东深圳·期末）“广湛”高铁线路于2025年12月22日正式开通运营，它是中国“八纵八横”高速铁路网的重要组成部分．已知列车运行时间与平均速度（）之间是反比例函数关系，其图象如图所示． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)为保证列车运行安全，当运行时间为1小时40分时，列车的平均速度是多少？ 例3．（25-26九年级上·河北张家口·期末）生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间（时）变化的图象，如图所示，点表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示24时温度降到． (1)求线段及双曲线段的函数解析式（写出自变量取值范围）； (2)求该大棚在时内，温度不低于的时长， (3)此地日出时间为，日落时间为，为保证该大棚中的植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于，小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，至少推迟___________小时，能满足上述要求． 例4．（25-26九年级上·河北承德·期末）如图，在左边托盘（固定）中放置一个重物，在右边托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离．记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表格． 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)观察表格，与之间的函数关系式为______．（不必写出自变量的取值范围） (2)当托盘中砝码的质量为时，求托盘与点的距离． (3)当托盘向左移动（不能移动到点）时，要使得仪器左右平衡，应往托盘中添加砝码还是减少砝码？请说明理由． 变式1．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）泡茶需要将电热水壶中的水先烧到，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温（）与时间（）成一次函数关系；停止加热过了1分钟后，水壶中水的温度（）与时间（）近似于反比例函数关系（如图）．已知水壶中水的初始温度是，降温过程中水温不低于． (1)分别求出图中、所对应的函数关系式； (2)从水壶中的水烧开（）降到就可以泡茶，问从水烧开到泡茶至少需要等待多长时间？ 变式2．（25-26九年级上·河北保定·期末）为预防冬季传染病，学校定期对教室进行“药熏消毒”如图，在药物释放阶段（图中段），室内每立方米空气中的含药量与释放时间成一次函数关系；在药物释放完毕后，y与x成反比例关系（图中段），已知点A，B的坐标分别为和． (1)求y关于x的函数表达式； (2)如果教室内每立方米空气中的含药量不低于，且持续时间不低于，才能达到有效消毒，这次“药熏消毒”是否是有效消毒？请说明理由． 变式3．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）推土机的轮子为何要安装又宽又长的履带？通过物理学科的学习我们知道，在压力不变的情况下，压强（单位：）是受力面积（单位：）的反比例函数．已知某推土机对地面压力恒定．当受力面积为时，压强为． (1)求p与S之间的函数关系式； (2)若该推土机施工时对地面的压强为30000，则施工过程中受力面积为多少？ 变式4．（25-26九年级上·浙江台州·期末）浮力式密度计是测量液体密度的仪器（如图1），通常是一个密封的玻璃管，底部有重物，上部有刻度，把它放入液体中，它会竖直漂浮．密度计上与液面平齐的刻度为浸没深度（单位：），且液体密度（单位：）是浸没深度（单位：）的反比例函数．小明在家里制作简易浮力式密度计（如图2），经过测量与查阅资料得到浸没深度与液体密度的对应关系（如下表）． 酒精 水 蜂蜜 浸没深度 17.5 14 10 1 (1)__________，__________； (2)如果该简易密度计能竖直漂浮的最小浸没深度为，最大浸没深度为，求该密度计能测量的液体密度的范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $