二次函数：线段与周长问题、特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题专项训练-2026年中考数学一轮复习

二次函数：线段与周长问题、特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题专项训练 二次函数：线段与周长问题、特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题 专项训练 考点目录 线段与周长问题 特殊三角形存在性问题 特殊四边形存在性问题 考点一 线段与周长问题 例1．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，且点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)设点Q是线段上的动点，作直线轴于点D，交抛物线于点E，求线段长度的最大值． 例2．（25-26九年级上·云南曲靖·期末）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是抛物线上一点，且，求点D的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 例3．（25-26九年级上·四川广安·期末）如图，某二次函数的图象交坐标轴于、、三点，点是直线下方抛物线上的一个动点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求点的坐标，使面积最大，最大面积是多少？ (3)直接写出对称轴上点的坐标，使的周长最小． 变式1．（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点C，作直线为二次函数图象上两点． (1)求二次函数的解析式； (2)试判断是否存在实数使得．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． (3)已知P是线段BC上方抛物线上一点，过点P作轴于点H，与线段交于点求的最大值． 变式2．（25-26九年级上·广东中山·期末）如图1，已知抛物线交x轴于点A，B，交y轴于点C，连接． (1)求的度数； (2)如图2，点P在所在直线上方的抛物线上，连接，，已知，求点P的坐标； (3)如图3，直线l是抛物线的对称轴，将线段绕点O顺时针旋转后得到．请问在直线l上是否存在点Q，使得最大，若存在，请求出此时点Q坐标，若不存在，请说明理由． 变式3．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数解析式． (2)点P为直线下方抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线交于点Q，过点P作x轴的平行线交y轴于点F，过点Q作x轴的平行线交y轴于点E，求矩形的周长最大值及此时点P的坐标． 考点二 特殊三角形存在性问题 例1．（25-26九年级上·江西九江·期末）如图，已知抛物线经过两点，与轴交于点，连接，．是线段上一动点，过点作轴，交抛物线于点，交线段于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，求出点和点的坐标； (3)连接，当是等腰三角形时，直接写出点的坐标． 例2．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，已知抛物线与坐标轴交于三点，，．是轴上方抛物线上一点，连接．      (1)求抛物线的解析式； (2)当点在第一象限时，连接，的面积是6，求点的坐标； (3)是否存在点的位置，使得是直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由． 例3．（25-26九年级上·广东汕尾·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在坐标轴上，且，，点是边上的一个动点，抛物线经过点，． (1)如图，若抛物线恰好经过点，连接，． ①求此时抛物线的解析式和点的坐标； ②在直线上方的抛物线上有一点（异于点），且的面积等于的面积，请求出点的坐标． (2)如图，设抛物线与射线交于点，在点的运动过程中，是否存在的值，使得为直角三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 变式1．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，已知二次函数的图象经过点，与y轴交于点C．顶点为D． (1)求该二次函数的解析式； (2)求顶点D的坐标； (3)在x轴上是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 变式2．（25-26九年级上·广东汕头·期末）已知抛物线的图象经过点，与轴交于点，其对称轴为直线，过点作轴交抛物线于点，的角平分线交线段于点，点是抛物线上的一个动点，设其横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若动点在直线下方的抛物线上，连接、，当为何值时？四边形面积最大，并求出其最大值； (3)如图2，是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点使为以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式3．（25-26九年级上·四川眉山·期末）如图，已知二次函数与轴交于、两点，与轴交于点，、两点坐标为、． (1)求二次函数的表达式； (2)点在直线下方的抛物线上，连结、，求的最大面积； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使、、为顶点的三角形是直角三角形，若存在直接写出点的坐标，若不存在请说明理由． 考点三 特殊四边形存在性问题 例1．（2026·四川泸州·一模）如图1，若二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形，求点的坐标． 例2．（2026·上海松江·一模）在平面直角坐标系中，一条抛物线与轴交于点、点，与轴正半轴交于点，顶点为点，且． (1)求该抛物线的表达式和点的坐标； (2)是抛物线上位于第一象限内的一点，且． ①求点的坐标； ②将该抛物线向右平移，点移到点，新抛物线的顶点为，如果新抛物线上存在点，使得四边形是平行四边形，求平移的距离． 例3．（25-26九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，已知抛物线与一直线相交于两点，与轴交于点．其顶点为． (1)求抛物线及直线的函数解析式； (2)若是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值； (3)若抛物线的对称轴与直线相交于点，点为直线上的任意一点，过点作交抛物线于点，以点B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，直接写出点的坐标；若不能，请说明理由． 变式1．（25-26九年级上·四川广安·期末）已知，如图，抛物线的顶点为，经过抛物线上的两点和的直线交抛物线的对称轴于点． (1)求抛物线的解析式和顶点的坐标； (2)在抛物线上，两点之间的部分（不包含，两点），是否存在点，使得，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点在抛物线上，点在轴上，当以点为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点的坐标． 变式2．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (3)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出，两点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式3．（2025·海南·模拟预测）如图1，抛物线经过，两点，与y轴交于点，与x轴交于点，直线与y轴相交于点，点是直线上方的抛物线上的动点． (1)求该抛物线对应的二次函数关系式； (2)当时，求点的坐标及此时的值； (3)当是以点为顶点的等腰三角形时，直接写出点的坐标； (4)如图2，点是抛物线的顶点，点是y轴上的点，点是坐标平面内一点，以，，，为顶点的四边形是为边的矩形，求点的坐标． 2 学科网（北京）股份有限公司 $二次函数：线段与周长问题、特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题专项训练 二次函数：线段与周长问题、特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题 专项训练 考点目录 线段与周长问题 特殊三角形存在性问题 特殊四边形存在性问题 考点一 线段与周长问题 例1.(25-26九年级上宁夏银川期末)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A,B两点，与y轴交于点C,其 中点A的坐标为(-3,0)，且点(2,5)在抛物线y=x2+bx+c上. O B (1)求抛物线的解析式： (2)设点Q是线段AC上的动点，作直线QD⊥x轴于点D,交抛物线于点E,求线段QE长度的最大值 【答案】(1)y=x2+2x-3 【详解】(1)解：抛物线y=x2+bx+c过点-3,0)，(2,5)， 9-3b+c=0 ∷ 4+2b+c=5' b=2 解得 c=-3' ∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3; (2)解：在y=x2+2x-3中，当x=0时，y=-3, ∴点C(0,-3), 设直线AC解析式为y=k+b', 二次函数：线段与周长问题、特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题专项训练 直线AC过点A-3,0),C(0,-3, 「-3k'+b'=0 1b'=-3 [k'=-1 解得6=3' ∴直线AC解析式为y=-x-3, 设点Q(m,-m-3)(-3≤m≤0)，如图， D B 则点E(m,m2+2m-3, -1<0, :当m=-号时，QE有最大值，最大值为4： 3 2 例2.(25-26九年级上云南曲靖·期末)如图，抛物线y=ax□+bx+3与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，与y轴交 于点C B (1)求抛物线的解析式： (2)点D是抛物线上一点，且S△4BD=8,求点D的坐标； (③)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△PAC的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1)y=-x2+2x+3 二次函数：线段与周长问题、特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题专项训练 ②)点D坐标为1,4)或1+22，-4或1-2W2,-4 (3)存在，点P坐标为1,2) 【详解】(1)解：将A(-1,0),B3,0)代入y=axC+bx+3得： a-b+3=0 9a+3b+3=0’ 「a=-1 解得6=2' 抛物线解析式为y=-x2+2x+3; (2)解：设点D坐标为1，-2+21+3， A(-1,0),B3,0) AB=3--1=4, 5x4Bxwx4+21+=2+2+到=8， 2 即-2+21+3到=4 -t2+21+3=4或-t2+2t+3=-4, 解-t2+2f+3=4得：t=1,此时D(1,4): 解-2+21+3=-4得：t=1±22，此时D1+2V2,-4或D1-22,-4 ∴点D坐标为1,4)或1+2V2,-4或1-2√2，-4： (3)解：存在， 如图所示，连接PB,BC, ~点A、B关于抛物线对称轴对称， PA=PB, △PAC的周长=AC+PC+PA=AC+PC+PB2AC+BC, 即当点B、P、C三点共线时，此时△PAC的周长最小， 二次函数：线段与周长问题、特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题专项训练 对于y=-x2+2x+3,令x=0,则y=3, C(0,3, 设直线BC解析式为y=kx+m,将B(3,0),C(0,3)代入得： m=3 3k+m=0' m=3 解得k=-1 ∴直线BC的解析式为y=-x+3, y=-x2+2x+3=-(x-12+4, ∴该抛物线的对称轴为直线x=1, ∴对于y=-x+3,当x=1时，y=-1+3=2, ∴点P坐标为1,2). 例3.(25-26九年级上·四川广安·期末)如图，某二次函数的图象交坐标轴于A(-1,0)、B(4,0)、C(0,-4)三点，点 P是直线BC下方抛物线上的一个动点. B (1)求这个二次函数的解析式： (2)求点P的坐标，使△PBC面积最大，最大面积是多少？ (3)直接写出对称轴上点M的坐标，使△MAC的周长最小. 【答案】(1)y=x2-3x-4 (2)P(2,-6);Smax=8 【详解】(1)解：设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,把A(-1,0),B(4,0),C0,-4)三点坐标代入可得： 二次函数：线段与周长问题、特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题专项训练 a-b+c=0 16a+4b+c=0, C=-4 a=1 解得：b=-3, c=-4 抛物线解析式为y=x2-3x-4; (2)解：由题意可设Pt,2-3t-4, 过P作PE⊥x轴于点E,交直线BC于点F,如图2， VA 图2 设直线BC解析式为y=c+t,则有： [4k+t=0 k=1 4,解得：4 ∴直线BC解析式为y=x-4, F(t,t-4, PF=t-4-t2-3t-4=-12+41, ~5x=Sm+5x=p,-+-o=p-B0 5x刘4-0(-+4圳=-21-2+8， -2<0 ∴当t=2时，S。c最大值为8，此时2-3t-4=-6, ∴P点坐标为2，-6). (3)解：对于抛物线y=x2-3x-4,则对称轴为直线x=名 U 二次函数：线段与周长问题、特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题专项训练 M ~抛物线与x轴交于点A,B, 点A,B关于对称轴对称， :.MA=MB, CAMAC MA+MC+AC=MB+MC+AC 2 BC+AC ∴当B,M,C共线时，即点M为对称轴与直线BC的交点时，△MAC的周长取得最小值， 3 3-4=-2 将x=2代入)=4得，y= ∴△MAC的周长最小时， 22 变式1.(25-26九年级上广东东莞期末)如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴交于A-1,0,B(3,0)两点， 与y轴交于点C,作直线BC,M(m,y),N(m+2,y2)为二次函数y=ax2+bx+3图象上两点. (1)求二次函数的解析式： (2)试判断是否存在实数m使得+2y2=10.若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. ③)已知P是线段BC上方抛物线上一点，过点P作PH1x轴于点H,与线段BC交于点D,求PD+V5DC的最大值. 【答案】（①）y=-x2+2x+3: (2)不存在，理由见解析 6)PD+5DC的最大值为4. 【详解】(1)解：二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴交于A-1,0),B(3,0)两点， 6 二次函数：线段与周长问题、特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题专项训练 a-b+3=0 9a+3b+3=0 a=-1 解得6=2’ .二次函数的解析式为y=-x2+2x+3; (2)解：不存在实数m使得y+2y2=10,理由如下： Mm,),N(m+2,2)为二次函数y=-x2+2x+3图象上两点， y1=-m2+2m+3, y2=-(m+22+2(m+2)+3=-m2-2m+3. ∴y+2y2=-m2+2m+3+2-m2-2m+3=-3m2-2m+9. 卫方.青+-+ 当m=-时，片+2y2有最大值为9 95<10, 3 不存在实数m使得y,+2y2=10; (3)解：作DE⊥y轴于点E,则DE∥OB, Eh、 H B 对于二次函数y=-x2+2x+3, 令x=0,则y=3, :点C的坐标为0,3， 设直线BC对应函数的解析式为y=x+3, 由题意，得3k+3=0, 解得k=-1, :直线BC对应函数的解析式为y=-x+3; > 二次函数：线段与周长问题、特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题专项训练 C(0,3,B(3,0), 0B=0C, ∴△OBC是等腰直角三角形， ∠0BC=45°， DE∥OB, .∠CDE=∠0BC=45°， ∴aCDE是等腰直角三角形， CE-DE-CD, 设点P的坐标为n,-n2+2n+3,则点D的坐标为n,-n+3, PD=-n2+2n+3-（-n+3=-n2+3n,DE=n, PD+DC=PD+DE=+4R 2 =-(n-22+4, -1<0, 当n=2时，PD+2 DC的最大值为4. 变式2.(25-26九年级上广东中山期末)如图1，己知抛物线y=-x2+3x+4交x轴于点A,B,交y轴于点C, 连接BC. B 图1 图2 图3 (I)求∠ABC的度数： (2)如图2，点P在BC所在直线上方的抛物线上，连接PC,AC,已知∠ACO+∠BCP=LABC,求点P的坐标： (3)如图3，直线1是抛物线的对称轴，将线段0C绕点O顺时针旋转60°后得到0C',请问在直线1上是否存在点Q, 使得BQ-C⑨最大，若存在，请求出此时点Q坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】(I)∠ABC=45° 二次函数：线段与周长问题、特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题专项训练 1351 Q416 310W3-5 (3)存在，点9坐标为 211 【详解】(1)解：当x=0时，y=4; 当y=0时，-x2+3x+4=0, 解得x1=-1,x2=4, A-1,0,B(4,0,C0,4, 0B=0C=4, 又∠B0C=90°， ∠0BC=∠0CB=45°， 即∠ABC=45°； (2)解：如图2，过点B作BM⊥x轴交CP延长线于点M,作点A关于y轴的对称点N,连接CN, A B 图2 则∠MB0=90°，∠AC0=∠NC0,N(1,0), ∠AC0+∠BCP=∠ABC=45°，∠NC0+∠BCN=∠OCB=45°， ∴.LACO+∠BCP=∠NC0+∠BCN, ∠BCP=∠BCN, ∠MBC=∠MB0-∠0BC=90°-45°=45°， ∴.∠MBC=∠OBC, 又BC=BC, ∴aBCM≌ABCN(ASA, BM=BN=4-1=3, ∴M(4,3, 二次函数：线段与周长问题、特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题专项训练 设直线CM的解析式为y=+b, 「b=4 代入C0,4)和M(4,3,得4+b=3” 解得 ks、1 4, b=4 直线CM的解析式为)=一名+4， y=-x+4 联立 4 y=-x2+3x+4 13 x=0 Y- 4 (y4或 解得 y= 51 16 点P的坐标为416) 1351Y (3)解：如图3，过点C作CD⊥y轴于点D,连接CC', 图3 将线段0C绕点0顺时针旋转60°后得到0C', 0C'=0C=4,∠C0C'=60°， △0CC'是等边三角形， CD⊥y轴于点D, ÷0D=0C=2,∠0Dc'=90°， 2 ∴DC'=V0C2-0D2=2V5, .C25,2: 连接AC'交直线1于点Q,连接BQ, 10