精品解析：山东潍坊市安丘市潍坊国开中学2025-2026学年高三上学期1月月考数学试题

1月月考数学试题 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合， ，若，（ ） A. B. C. D. 2. 若复数（i是虚数单位）在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 3. 若为偶函数，则（ ）． A. B. 0 C. D. 1 4. 设为等差数列{}的前项和，已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列满足，，是公比为3的等比数列，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 6. 下列图象中，函数的部分图象有可能是（ ） A B. C. D. 7. 将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 8. 已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题,每小题6分,共18分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得6分,部分选对的得部分,有选错的得0分 9. 已知函数，则以下结论正确的是（ ） A. 函数图象关于点对称 B. 函数在上单调递减 C. 将函数的图象向右移个单位长度，可得到函数的图象，则函数的解析式为 D. 若函数（）在上恰有三个零点，则实数的取值范围为 10. 如图，为圆锥的底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 三棱锥的体积的最大值为 C. 的取值范围是 D. 若，E为线段上的动点，则的最小值为 11. 已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则（ ） A. 4为的一个周期 B. C. 由可知， D. 函数的所有零点之和为0 三、填空题：本大题共3小题,每小题5分,共15分． 12. 曲线在处切线方程为_____. 13. 已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为______． 14. 函数的最小值为______. 四、解答题：本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角所对的边分别为，已知． （1）证明：； （2）若的面积，求角的大小． 16. 已知数列的前项和为．且，． （1）证明数列等差数列，并求其通项公式： （2）若，求数列的前100项和． 17. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间及在上的最值； （2）若为锐角且，求的值． 18. 如图，在三棱台中，平面ABC，，． （1）求三棱台的体积； （2）证明：平面平面； （3）求与平面所成角的正弦值． 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1月月考数学试题 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合， ，若，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由求出的值，进一步求出得答案. 【详解】因为， ，并且， 所以，所以. 故选：B. 2. 若复数（i是虚数单位）在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把复数化为代数形式，得其对应点坐标，由点在第三象限可得范围． 【详解】，其对应点坐标为， 所以，解得． 故选：B． 3. 若为偶函数，则（ ）． A. B. 0 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可. 【详解】因为 为偶函数，则 ，解得， 当时，，，解得或， 则其定义域为或，关于原点对称. ， 故此时为偶函数. 故选：B. 4. 设为等差数列{}的前项和，已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据等差数列通项公式和前n项和公式，列出关于首项和公差d的方程组，解出和d的值，再利用前n项和公式求出. 详解】已知，，所以， 所以. 故选：D 5. 已知数列满足，，是公比为3的等比数列，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】先求出等比数列的通项公式，然后根据累加法求出的表达式，从而解出等比数列的首项，进而可求出结果. 【详解】因为数列是公比为3的等比数列，所以， ， 因为，所以，解得， 所以. 故选：A. 6. 下列图象中，函数的部分图象有可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数定义域，分析函数的奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数，有，解得，即函数的定义域为， 定义域关于原点对称，因为，即函数为奇函数，排除CD选项， 当时，，则，此时，排除B选项. 故选：A. 7. 将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平移思想，结合正切函数平移都是奇函数，可得的取值可能，从而可得最小值. 【详解】函数的图象向左平移个单位， 得到函数, 由为奇函数，则， 因为，所以的最小值是， 故选：B. 8. 已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可. 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 二、多项选择题：本大题共3小题,每小题6分,共18分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得6分,部分选对的得部分,有选错的得0分 9. 已知函数，则以下结论正确的是（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数在上单调递减 C. 将函数的图象向右移个单位长度，可得到函数的图象，则函数的解析式为 D. 若函数（）在上恰有三个零点，则实数的取值范围为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据余弦函数对称中心的性质代入检验判断A，利用余弦型函数的单调性判断B，根据平移变换及诱导公式判断C，利用换元法及余弦函数的性质判断D. 【详解】因为，所以函数图象不关于点对称，故A错误； 当时，令，而在上单调递减， 所以函数在上单调递减，故B正确； 将函数的图象向右移个单位长度，得到，故C正确； ，当时，， 即在上恰有三个零点，所以， 解得，故D错误. 故选：BC 10. 如图，为圆锥的底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 三棱锥的体积的最大值为 C. 的取值范围是 D. 若，E为线段上的动点，则的最小值为 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式判断A；当时，的面积最大，此时三棱锥体积也最大，利用圆锥体积公式求解判断B；用极限的思想求出的范围，再利用，求得的范围判断C；利用图形展开及两点之间线段最短判断D. 【详解】在中，，则圆锥的母线长，半径， 对于A，圆锥的侧面积，A错误； 对于B，当时，的面积最大，此时， 则三棱锥体积的最大值为，B错误； 对于C，在中，，又，则， 当点与点重合时，为最小角，当点与点重合时，达到最大值， 又与不重合，则，又，得，C错误； 对于D，由，得，又， 则为等边三角形，则， 将以为轴旋转到与共面，得到， 则为等边三角形，，如图知， 由， 得， 所以，D正确. 故选：D 11. 已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则（ ） A. 4为的一个周期 B. C. 由可知， D. 函数的所有零点之和为0 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意可得，，则，从而可判断函数的周期性，即可判断A；求出，再根据周期性即可判断B；根据函数的周期性即可判断C；判断处函数的奇偶性，即可判断D. 【详解】因为为奇函数， 所以，即， 因为为偶函数， 所以，所以， 即， 所以， 所以4为的一个周期，故A正确； 因为，所以， 所以， 又因，所以， 所以，故B正确； 因为，所以， 因为4为的一个周期，所以， 则，所以，故C错误； 因为，所以，， 又因为，所以， 所以函数为偶函数， 令，得， 令，定义域为关于原点对称， 因为，所以函数为偶函数， 所以函数得交点关于轴对称， 所以函数的所有零点之和为0，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度； （1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性． （2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解； （3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解. 三、填空题：本大题共3小题,每小题5分,共15分． 12. 曲线在处的切线方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由导数的几何意义代入计算，即可得到结果. 【详解】当时，，即切点坐标为， 且，将代入可得， 即切线的斜率， 由直线的点斜式可得， 化简可得. 故答案为： 13. 已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出与的坐标，再根据与夹角是锐角，则它们的数量积为正值，且它们不共线，求出实数的取值范围，． 【详解】向量，，，， 若与的夹角是锐角，则与不共线，且它们乘积为正值， 即，且， 求得，且． 【点睛】本题主要考查利用向量的数量积解决向量夹角有关的问题，以及数量积的坐标表示，向量平行的条件等．条件的等价转化是解题的关键． 14. 函数的最小值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值. 【详解】由题设知：定义域， ∴当时，，此时单调递减； 当时，，有，此时单调递减； 当时，，有，此时单调递增； 又在各分段的界点处连续， ∴综上有：时，单调递减，时，单调递增； ∴ 故答案为：1. 四、解答题：本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角所对的边分别为，已知． （1）证明：； （2）若的面积，求角的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2）或. 【解析】 【详解】试题分析：（1）由正弦定理得，进而得，根据三角形内角和定理即可得结论；（2）由得，再根据正弦定理得及正弦的二倍角公式得，进而得讨论得结果. 试题解析：（1）由正弦定理得，故，于是． 又，故，所以或，因此（舍去）或，所以． （2）由得，故有，因，得．又，所以．当时，；当时，． 综上，或． 考点：1、正弦定理及正弦的二倍角公式；2、三角形内角和定理及三角形内角和定理. 16. 已知数列的前项和为．且，． （1）证明数列为等差数列，并求其通项公式： （2）若，求数列的前100项和． 【答案】（1）证明见解析；；（2）． 【解析】 【分析】（1）由已知条件可得，两式相减即可得数列为等差数列； （2）讨论是奇数时，当是偶数数时时，，利用因式分解即可求和. 【详解】（1）因为，所以， 两式相减得，所以， 又，所以数列是首项为，公差为2的等差数列， 所以． （2）由题可得，当时，， 当时，， 所以 ． 【点睛】关键点点睛：（1）对已知关系式进行递推，进而作差、变形，利用等差数列的定义求解；（2）能够想到对分奇偶讨论． 17. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间及在上的最值； （2）若为锐角且，求的值． 【答案】（1）单调递增区间为，最大值为，最小值为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解. （2）由（1）的结论结合题设，利用同角三角函数关系及两角差的余弦公式求解即得. 【小问1详解】 由，解得， 所以函数的单调递增区间为； 由，得， ， 所以，在的值域为. 所以函数的最大值为，最小值为， 【小问2详解】 由（1）知，， 由，得， 由，得， 所以，， 所以 . 18. 如图，在三棱台中，平面ABC，，． （1）求三棱台的体积； （2）证明：平面平面； （3）求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质，结合已知求出，再利用棱台的体积公式计算得解． （2）利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理得证． （3）利用线面角的定义求解． 【小问1详解】 在三棱台中，平面，平面，则， 在直角梯形中，由，得， 而，则，， 所以 ． 【小问2详解】 由平面，平面，得， 又，，平面，则平面， 又平面，所以平面平面． 【小问3详解】 连接， 由（2）知，平面，则与平面所成角即为， 在中，，，， 则，即与平面所成角的正弦值为． 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解； （2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可. 方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证. 【小问1详解】 因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 方法一： 由（1）得，， 要证，即证，即证恒成立， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 方法二： 令，则， 由于在上单调递增，所以在上单调递增， 又， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，则，当且仅当时，等号成立， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以要证，即证，即证， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $