寒假培优：因数和倍数的认识（讲义）-2025-2026学年五年级下册数学人教版

寒假培优讲义：因数和倍数的认识 知识梳理+例题讲解+培优练习 预习说明 1.预习目标：理解因数与倍数的意义，掌握找一个数因数与倍数的方法；知道因数与倍数是相互依存的关系；能正确判断一个数是不是另一个数的因数或倍数。 2.预习方法：通过乘法算式理解因数与倍数的关系；利用实物分一分、摆一摆等操作活动帮助理解；结合生活中的分组、分物情境进行联想。 3.预习重点：理解因数与倍数的意义，掌握找一个数因数和倍数的基本方法。 4.温馨提示：因数与倍数是整数乘除法的延伸，学习时要联系乘法口诀，动手操作，多举例、多比较。特别注意：因数与倍数是相互依存的，不能单独说“某个数是因数”或“某个数是倍数”，必须说明“谁是谁的因数”或“谁是谁的倍数”。 知识梳理 1、因数与倍数的意义 （1）情境引入： 用12个同样大小的正方形拼成不同的长方形，可以怎么拼？ 拼成1行12列： 拼成2行6列： 拼成3行4列： 这些乘法算式中，1、2、3、4、6、12 都与12有关，它们就是12的因数。 （2）定义： 如果 （a、b、c 都是非0整数），那么 a 和 b 就是 c 的因数，c 就是 a 和 b 的倍数。 例如： ，3 和 4 是 12 的因数，12 是 3 和 4 的倍数。 （3）特点： 因数与倍数是相互依存的，不能单独存在。 例如：不能说“12是倍数”，必须说“12是3的倍数”或“12是4的倍数”。 因数和倍数研究的范围是非0整数（不包括小数和分数）。 2、找一个数的因数的方法 （1）列乘法算式法： 从1开始，一对一对地找，直到两个因数相等或接近。 例如：找12的因数： → 1 和 12 → 2 和 6 → 3 和 4 再往后 重复了，停止。 所以12的因数有：1、2、3、4、6、12。 （2）特点： 一个数的因数个数是有限的； 最小的因数是1，最大的因数是它本身。 3、找一个数的倍数的方法 （1）列乘法算式法： 用这个数依次乘1、2、3、4……得到它的倍数。 例如：找3的倍数： ， ， ， …… 所以3的倍数有：3、6、9、12…… （2）特点： 一个数的倍数个数是无限的； 最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 4、因数与倍数的实际应用（初步感知） （1）分组问题： 有24名同学做操，可以每行站几人，能正好排完？（即找24的因数） 答案：可以每行站1、2、3、4、6、8、12、24人。 （2）周期问题（简单渗透）： 小明每3天值日一次，第9天他值日吗？（9是3的倍数，所以值日） 例题讲解 【典型例题1】 判断下面的说法是否正确，并说明理由。 （1）5是因数，15是倍数。 （2）因为 ，所以6是42的因数，42是7的倍数。 （3）18的因数一定比18小。 解析： （1）错误。因数和倍数是相互依存的，必须说明“谁是谁的因数”。应说“5是15的因数，15是5的倍数”。 （2）正确。根据乘法算式，6和7都是42的因数，42是6和7的倍数。 （3）错误。18的因数中，最大的是18本身，所以“一定比18小”是错的。 答： （1）错误，说法不完整； （2）正确； （3）错误，18是它自己的因数。 【跟踪练习】 判断对错，并改正错误说法： 1.8是倍数，2是因数。 2.因为 ，所以8是2的倍数，2是8的因数。 3.20的因数有无数个。 【典型例题2】 写出36的所有因数，并回答： （1）36的因数中，最小的是几？最大的是几？ （2）36是6的倍数吗？为什么？ 解析： 找36的因数： ， ， ， ， 所以因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36。 （1）最小因数是1，最大因数是36。 （2）是。因为 ，商是整数，没有余数，所以36是6的倍数。 答： 36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36。 （1）最小的是1，最大的是36； （2）是，因为36能被6整除。 【跟踪练习】 1.写出24的所有因数。 2.24的因数中，最大的是（ ），最小的是（ ）。 3.你能找出24的所有倍数吗？为什么？ 【典型例题3】 一个数既是20的因数，又是5的倍数，这个数可能是多少？ 解析： （1）先找20的因数：1、2、4、5、10、20。 （2）再看这些数中，哪些是5的倍数： 5：是5的倍数（ ） 10：是5的倍数（ ） 20：是5的倍数（ ） 1、2、4不是5的倍数。 答：这个数可能是5、10或20。 【跟踪练习】 一个数既是18的因数，又是3的倍数，这个数可能是多少？ 答案及解析 【跟踪练习1】 1.错误。改正：应说“8是2的倍数，2是8的因数”或“8是倍数”说法不完整。 2.正确。因为 没有余数，说明8能被2整除，所以8是2的倍数，2是8的因数。 3.错误。一个数的因数个数是有限的，20的因数有：1、2、4、5、10、20，共6个。 【跟踪练习2】 1.24的因数： ， ， ， 所以有：1、2、3、4、6、8、12、24。 2.最大的是24，最小的是1。 3.不能。因为一个数的倍数有无数个，如24、48、72、96……可以一直乘下去，所以找不完。 【跟踪练习3】 18的因数有：1、2、3、6、9、18。 其中是3的倍数的有：3、6、9、18。 3： ，是3的倍数； 6： ，是； 9： ，是； 18： ，是。 答：这个数可能是3、6、9、18。 培优练习 一、选择题 1．若a是8的倍数，b是16的倍数，则a与b的关系是（    ）。 A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．以上均有可能 【答案】D 【分析】a是8的倍数，b是16的倍数，通过举例子，判断a与b的关系，从而解答。 【详解】假设（8的倍数），（16的倍数），此时； 假设（8的倍数），（16的倍数），此时； 假设（8的倍数），（16的倍数），此时； 因此，，，均有可能。 故答案为：D 2．水墨画近处写实，远处抽象，色彩微妙，意境丰富，是中国绘画的代表。在一次“笔墨丹青，传承经典”活动中，有三幅水墨画获奖，且这三幅水墨画的编码均是36的因数。下面水墨画的编码中，（    ）组可能是获奖作品编码。 A．1、13、18 B．2、6、12 C．4、9、16 D．3、15、18 【答案】B 【分析】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。先列举出36的所有因数，再看三个选项中的3个数是否都是36的因数，据此解答。 【详解】36的因数：1，2，3，4，6，9，12，18，36。 A．1、13、18中，13不是36的因数，所以1、13、18不可能是获奖作品编码。 B．2、6、12都是36的因数，所以2、6、12可能是获奖作品的编码。 C．4、9、16中，16不是36的因数，所以不可能是获奖作品编码。 D．3、15、18中，15不是36的因数，所以不可能是获奖作品编码。 故答案为：B 3．所有大于2的质数一定是（    ）。 A．奇数 B．偶数 C．因数 D．倍数 【答案】A 【分析】首先明确概念：质数：大于1的自然数，除了1和它本身外无其他因数； 偶数：能被2整除的数；奇数：不能被2整除的数。 大于2的质数，若为偶数，则必然包含因数2，不符合“只有1和本身两个因数”的质数定义，因此大于2的质数不能是偶数，只能是奇数。 选项C“因数”、D“倍数”是数与数的关系概念，并非数的属性，不符合题意。 【详解】A. 奇数 （正确） B. 偶数（错误，大于2的偶数必有因数2，不是质数） C. 因数（错误，因数是数的关系，不是数的属性） D. 倍数（错误，倍数是数的关系，不是数的属性） 故答案为：A 4．已知A＝2×3×m，B＝3×5×m（m是非零自然数），如果A，B的最大公因数是21，那么m＝（    ）。 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】两个数的最大公因数是这两个数公有的质因数的积，据此解答。 【详解】根据题中A、B的表达式，可知A、B的公有因数是3与m。 解： 故答案为：C 5．16位同学分组训练，要求每组人数相同，且每组人数不能为1人、16人，有几种分法？（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】B 【分析】先找出16的所有因数，因为要求每组人数不能为1人、16人，所以排除1和16这两个因数，把剩下的因数分别看作组数，用总人数除以组数即可得到每组的人数，据此解答。 【详解】16＝1×16＝2×8＝4×4 ①16÷2＝8（人），可以分成2组，每组8人； ②16÷8＝2（人），可以分成8组，每组2人； ③16÷4＝4（人），可以分成4组，每组4人； 所以一共有3种分法。 故答案为：B 二、填空题 6．为庆祝中华人民共和国成立76周年，大力弘扬爱国主义精神，激发师生的民族自豪感和历史责任感，9月29日，红旗小学开展了“喜迎国庆，爱我中华”主题活动，五（1）班领到的数字小旗如图，小旗上面的数字( )是( )的因数，( )是( )的倍数。 【答案】 7 35 35 7 【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。因数与倍数是相互依存的，必须说，谁是谁因数，谁是谁的倍数。 【详解】7、8、35、6中，35÷7＝5，35÷8＝4……3，35÷6＝5……5； 所以，小旗上面的数字（7）是（35）的因数，（35）是（7）的倍数。 7．在ab＝c（a，b，c均是非0自然数）中，a是c的( )，b是c的( )，c是a和b的( )。 【答案】因数；因数；倍数 【分析】在非0自然数范围内，如果两个数相乘的积是另一个数，那么这两个数就是积的因数，积就是这两个数的倍数。据此解答。 【详解】根据分析可知： 在（a，b，c均是非0自然数）中，a是c的（因数），b是c的（因数），c是a和b的（倍数）。 8．48÷6＝8，( )和( )是48的因数，48是( )和( )的倍数。 【答案】 6 8 6 8 【分析】因数：一整数被另一整数整除，后者即是前者的因数，如1，2，4都是8的因数； 倍数：一个数能够被另一数整除，这个数就是另一数的倍数。如15能够被3或5整除，因此15是3的倍数，也是5的倍数。 【详解】所以48÷6＝8，6和8是48的因数，48是6和8的倍数。 9．教师节那天，五（1）班42名同学去参观博物馆，把他们分成人数相等的若干个小组，（每组至少2人，最多21人）共有( )种分法，若分成6组，每组人数是42的( )。（填“因数”或“倍数”） 【答案】 6 因数 【分析】①分法种数等于42在2到21之间的因数个数；列出42的因数有1、2、3、6、7、14、21、42共8个，筛选出符合条件每组至少2人，最多21人，符合条件的有2、3、6、7、14、21共6个。 ②计算出每组人数：总人数÷组数＝42÷6＝7，判断7与42的关系：42能被7整除，故7是42的因数。 【详解】42的因数有1、2、3、6、7、14、21、42共8个，符合每组至少2人，最多21人有6种。 42÷6＝7，42能被7整除，故7是42的因数。 每组至少2人，最多21人，共有6种分法，若分成6组，每组人数是42的因数。 10．一个数既是4的倍数，又是32的因数，这个数最大是( )，最小是( )。 【答案】 32 4 【分析】求一个数的所有的因数的方法：有序地写出以这个数为积的所有整数乘法算式，算式中的每个因数都是该数的因数。 求一个数的倍数的方法：列乘法算式找，用这个数依次与正整数1，2，3，…相乘，所得的积就是这个数的倍数。 【详解】32的因数：1、2、4、8、16、32； 4的倍数：4、8、12、16、20、24、28、32… 其中既是32的因数，又是4的倍数的数有：4、8、16、32。 所以这个数最大是32，最小是4。 三、判断题 11．6的因数有1，2，3，6，这几个因数之间的关系是1＋2＋3＝6，像6这样的数叫作完全数（也叫作完美数），28也是完美数。( ) 【答案】√ 【分析】根据题目条件，判断28是否是完美数，要先找出28的所有因数，再计算除28外几个因数的和。 【详解】28的因数：1，2，4，7，14，28 1＋2＋4＋7＋14＝28，因此28是完美数。 故答案为：√ 12．3.6÷0.4＝9，所以3.6是0.4的倍数，0.4是3.6的因数。( ) 【答案】× 【分析】根据因数和倍数的定义，当且仅当被除数、除数、商均为整数时，才能讨论因数与倍数的关系。本题中3.6和0.4均为小数，不符合整数条件，因此结论错误。 【详解】因数和倍数只在整数范围内讨论。虽然3.6÷0.4＝9成立，但3.6和0.4均为小数，不符合整数要求，因此3.6不是0.4的倍数，0.4也不是3.6的因数。原题说法错误。 故答案为：× 13．一个数的最大因数和最小倍数一定相等。( ) 【答案】√ 【分析】一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身。因此，一个数的最大因数和最小倍数一定相等（在提到因数和倍数时，一般是不包括0的。）。 【详解】例如，10的最大因数是10，最小倍数是10；15的最大因数是15，最小倍数是15。因此，一个数的最大因数和最小倍数一定相等，原题说法正确。 故答案为：√ 14．200的因数的个数比20的倍数的个数多。( ) 【答案】× 【分析】一个数的因数的个数是有限的，而一个数的倍数的个数是无限的。200的因数个数有限，20的倍数个数无限，因此有限的数量不可能比无限的数量多。 【详解】200的因数个数是有限的，具体有12个（如1、2、4、5、8、10、20、25、40、50、100、200）。20的倍数有20、40、60、80……，个数无限。有限的数量不可能比无限的数量多，所以原说法错误。 故答案为：× 15．凡是4的倍数就一定是8的倍数。( ) 【答案】 × 【分析】4的最小倍数是4，4÷8＝0.5即4不是8的倍数。 【详解】根据分析： 4的倍数不一定是8的倍数。原说法错误。 故答案为：× 四、解答题 16．为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，我国于2025年9月3日在北京天安门广场举行了盛大的阅兵式。张老师买了20枚阅兵式纪念章准备送给同学们，现在要把这些纪念章全部装进盒子里（盒子个数大于3，小于11），且每个盒子里装得同样多，有多少种不同的装法？请一一列举出来。 【答案】一共有3种装法。一种是一盒装5枚，需要4个盒子；一种是一盒装4枚，需要5个盒子；一种是一盒装2枚，需要10个盒子。 【分析】根据题意，把20枚阅兵式纪念章全部装进盒子里（盒子个数大于3，小于11），且每个盒子里装得同样多，要解决这个问题，我们需要找到20的所有因数，题目要求盒子个数大于3且小于11，筛选出符合条件的因数，再计算出每盒要装多少枚即可。 【详解】20的因数有：1，2，4，5，10，20； 其中大于3小于11的有：4，5，10； 当盒子数为4时，每个盒子装20÷4＝5（枚） 当盒子数为5时，每个盒子装20÷5＝4（枚） 当盒子数为10时，每个盒子装20÷10＝2（枚） 答：一共有3种装法，一种是一盒装5枚，需要4个盒子；一种是一盒装4枚，需要5个盒子；一种是一盒装2枚，需要10个盒子。 17．“每天一苹果，不去卫生所。”苹果素来享有“水果之王”的美誉，它的营养价值和医疗价值都很高，被越来越多的人称为“大夫第一药”。妈妈买来一篮苹果，共20个。现在要把它们至少分成2堆，使每堆中苹果的个数相同（至少2个），有几种分法？请列出来。 【答案】4种；列举见详解 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。因为至少分成2堆，且每堆至少2个，因此找出除1和20之外20的所有因数即可。 【详解】20＝1×20＝2×10＝4×5 20的因数有1、2、4、5、10、20。 可以分成2堆，每堆10个；分成10堆，每堆2个；分成4堆，每堆5个；分成5堆，每堆4个。 答：可以分成2堆，每堆10个；分成10堆，每堆2个；分成4堆，每堆5个；分成5堆，每堆4个。共有4种分法。 18．学校进行队列操表演，五年（1）班全班学生人数不到50人，每行12人或每行16人都正好能排成整行，你知道这个班有多少人吗？ 【答案】48人 【分析】根据题意，这个数刚好是12和16的公倍数，首先我们先找出12和16的最小公倍数，12＝2×2×3，16＝2×2×2×2，那么它们的最小公倍数是48。而48又刚好小于50，即48就是所求答案。 【详解】根据分析， 12＝2×2×3，16＝2×2×2×2，那么它们的最小公倍数是48； 48＜50 答：这个班有48人。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 寒假培优讲义：因数和倍数的认识 知识梳理+例题讲解+培优练习 预习说明 1.预习目标：理解因数与倍数的意义，掌握找一个数因数与倍数的方法；知道因数与倍数是相互依存的关系；能正确判断一个数是不是另一个数的因数或倍数。 2.预习方法：通过乘法算式理解因数与倍数的关系；利用实物分一分、摆一摆等操作活动帮助理解；结合生活中的分组、分物情境进行联想。 3.预习重点：理解因数与倍数的意义，掌握找一个数因数和倍数的基本方法。 4.温馨提示：因数与倍数是整数乘除法的延伸，学习时要联系乘法口诀，动手操作，多举例、多比较。特别注意：因数与倍数是相互依存的，不能单独说“某个数是因数”或“某个数是倍数”，必须说明“谁是谁的因数”或“谁是谁的倍数”。 知识梳理 1、因数与倍数的意义 （1）情境引入： 用12个同样大小的正方形拼成不同的长方形，可以怎么拼？ 拼成1行12列： 拼成2行6列： 拼成3行4列： 这些乘法算式中，1、2、3、4、6、12 都与12有关，它们就是12的因数。 （2）定义： 如果 （a、b、c 都是非0整数），那么 a 和 b 就是 c 的因数，c 就是 a 和 b 的倍数。 例如： ，3 和 4 是 12 的因数，12 是 3 和 4 的倍数。 （3）特点： 因数与倍数是相互依存的，不能单独存在。 例如：不能说“12是倍数”，必须说“12是3的倍数”或“12是4的倍数”。 因数和倍数研究的范围是非0整数（不包括小数和分数）。 2、找一个数的因数的方法 （1）列乘法算式法： 从1开始，一对一对地找，直到两个因数相等或接近。 例如：找12的因数： → 1 和 12 → 2 和 6 → 3 和 4 再往后 重复了，停止。 所以12的因数有：1、2、3、4、6、12。 （2）特点： 一个数的因数个数是有限的； 最小的因数是1，最大的因数是它本身。 3、找一个数的倍数的方法 （1）列乘法算式法： 用这个数依次乘1、2、3、4……得到它的倍数。 例如：找3的倍数： ， ， ， …… 所以3的倍数有：3、6、9、12…… （2）特点： 一个数的倍数个数是无限的； 最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 4、因数与倍数的实际应用（初步感知） （1）分组问题： 有24名同学做操，可以每行站几人，能正好排完？（即找24的因数） 答案：可以每行站1、2、3、4、6、8、12、24人。 （2）周期问题（简单渗透）： 小明每3天值日一次，第9天他值日吗？（9是3的倍数，所以值日） 例题讲解 【典型例题1】 判断下面的说法是否正确，并说明理由。 （1）5是因数，15是倍数。 （2）因为 ，所以6是42的因数，42是7的倍数。 （3）18的因数一定比18小。 解析： （1）错误。因数和倍数是相互依存的，必须说明“谁是谁的因数”。应说“5是15的因数，15是5的倍数”。 （2）正确。根据乘法算式，6和7都是42的因数，42是6和7的倍数。 （3）错误。18的因数中，最大的是18本身，所以“一定比18小”是错的。 答： （1）错误，说法不完整； （2）正确； （3）错误，18是它自己的因数。 【跟踪练习】 判断对错，并改正错误说法： 1.8是倍数，2是因数。 2.因为 ，所以8是2的倍数，2是8的因数。 3.20的因数有无数个。 【典型例题2】 写出36的所有因数，并回答： （1）36的因数中，最小的是几？最大的是几？ （2）36是6的倍数吗？为什么？ 解析： 找36的因数： ， ， ， ， 所以因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36。 （1）最小因数是1，最大因数是36。 （2）是。因为 ，商是整数，没有余数，所以36是6的倍数。 答： 36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36。 （1）最小的是1，最大的是36； （2）是，因为36能被6整除。 【跟踪练习】 1.写出24的所有因数。 2.24的因数中，最大的是（ ），最小的是（ ）。 3.你能找出24的所有倍数吗？为什么？ 【典型例题3】 一个数既是20的因数，又是5的倍数，这个数可能是多少？ 解析： （1）先找20的因数：1、2、4、5、10、20。 （2）再看这些数中，哪些是5的倍数： 5：是5的倍数（ ） 10：是5的倍数（ ） 20：是5的倍数（ ） 1、2、4不是5的倍数。 答：这个数可能是5、10或20。 【跟踪练习】 一个数既是18的因数，又是3的倍数，这个数可能是多少？ 培优练习 一、选择题 1．若a是8的倍数，b是16的倍数，则a与b的关系是（    ）。 A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．以上均有可能 2．水墨画近处写实，远处抽象，色彩微妙，意境丰富，是中国绘画的代表。在一次“笔墨丹青，传承经典”活动中，有三幅水墨画获奖，且这三幅水墨画的编码均是36的因数。下面水墨画的编码中，（    ）组可能是获奖作品编码。 A．1、13、18 B．2、6、12 C．4、9、16 D．3、15、18 3．所有大于2的质数一定是（    ）。 A．奇数 B．偶数 C．因数 D．倍数 4．已知A＝2×3×m，B＝3×5×m（m是非零自然数），如果A，B的最大公因数是21，那么m＝（    ）。 A．5 B．6 C．7 D．8 5．16位同学分组训练，要求每组人数相同，且每组人数不能为1人、16人，有几种分法？（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 二、填空题 6．为庆祝中华人民共和国成立76周年，大力弘扬爱国主义精神，激发师生的民族自豪感和历史责任感，9月29日，红旗小学开展了“喜迎国庆，爱我中华”主题活动，五（1）班领到的数字小旗如图，小旗上面的数字( )是( )的因数，( )是( )的倍数。 7．在ab＝c（a，b，c均是非0自然数）中，a是c的( )，b是c的( )，c是a和b的( )。 8．48÷6＝8，( )和( )是48的因数，48是( )和( )的倍数。 9．教师节那天，五（1）班42名同学去参观博物馆，把他们分成人数相等的若干个小组，（每组至少2人，最多21人）共有( )种分法，若分成6组，每组人数是42的( )。（填“因数”或“倍数”） 10．一个数既是4的倍数，又是32的因数，这个数最大是( )，最小是( )。 三、判断题 11．6的因数有1，2，3，6，这几个因数之间的关系是1＋2＋3＝6，像6这样的数叫作完全数（也叫作完美数），28也是完美数。( ) 12．3.6÷0.4＝9，所以3.6是0.4的倍数，0.4是3.6的因数。( ) 13．一个数的最大因数和最小倍数一定相等。( ) 14．200的因数的个数比20的倍数的个数多。( ) 15．凡是4的倍数就一定是8的倍数。( ) 四、解答题 16．为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，我国于2025年9月3日在北京天安门广场举行了盛大的阅兵式。张老师买了20枚阅兵式纪念章准备送给同学们，现在要把这些纪念章全部装进盒子里（盒子个数大于3，小于11），且每个盒子里装得同样多，有多少种不同的装法？请一一列举出来。 17．“每天一苹果，不去卫生所。”苹果素来享有“水果之王”的美誉，它的营养价值和医疗价值都很高，被越来越多的人称为“大夫第一药”。妈妈买来一篮苹果，共20个。现在要把它们至少分成2堆，使每堆中苹果的个数相同（至少2个），有几种分法？请列出来。 18．学校进行队列操表演，五年（1）班全班学生人数不到50人，每行12人或每行16人都正好能排成整行，你知道这个班有多少人吗？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $