寒假预习讲义：长方体和正方体（讲义）-2025-2026学年五年级下册数学人教版

寒假预习讲义：长方体和正方体 知识精讲+例题讲解+强化训练 知识精讲 一、长方体和正方体的认识 1、长方体的特征 （1）面：长方体有6个面，通常都是长方形，特殊情况时有两个相对的面是正方形。相对的面完全相同。 （2）棱：长方体有12条棱，相对的棱长度相等。棱可以分为长、宽、高三组，每组有4条棱。 （3）顶点：长方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱，分别叫做长方体的长、宽、高。 2、正方体的特征 （1）面：正方体有6个面，每个面都是完全相同的正方形。 （2）棱：正方体有12条棱，所有棱的长度都相等。 （3）顶点：正方体有8个顶点。 （4）关系：正方体可以看成是长、宽、高都相等的长方体，所以正方体是特殊的长方体。 3、长方体和正方体的棱长总和 （1）长方体棱长总和公式：（长 + 宽 + 高）× 4 （2）正方体棱长总和公式：棱长 × 12 二、长方体和正方体的表面积 1、表面积的意义 （1）定义：长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。 2、表面积计算公式 （1）长方体表面积公式：S = (长×宽 + 长×高 + 宽×高) × 2 （2）正方体表面积公式：S = 棱长×棱长× 6 3、实际应用中的特殊情况 （1）无盖物体：计算鱼缸、游泳池、无盖纸盒等的表面积时，只需要计算5个面的面积（少一个上面或下面）。 （2）贴商标问题：计算长方体四周贴商标的面积时，只需要计算4个侧面的面积（不包括上下底面）。 三、长方体和正方体的体积与容积 1、体积和容积的意义 （1）体积：物体所占空间的大小叫做物体的体积。 （2）容积：容器所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。 2、体积和容积的单位 （1）体积单位：常用的体积单位有立方米（m³）、立方分米（dm³）、立方厘米（cm³）。 （2）容积单位：常用的容积单位有升（L）和毫升（mL）。 （3）单位换算：1立方分米 = 1升，1立方厘米 = 1毫升，1立方米 = 1000立方分米。 3、体积和容积的计算公式 （1）长方体体积公式：V = 长 × 宽 × 高 （2）正方体体积公式：V = 棱长 × 棱长 × 棱长 （3）通用公式：长方体（或正方体）的体积 = 底面积 × 高 （4）容积计算：计算方法与体积相同，但需要从容器内部测量长、宽、高。 4、排水法求不规则物体体积 （1）原理：不规则物体的体积等于它排开的水的体积。 （2）方法：放入物体后水的体积 - 放入物体前水的体积 = 物体的体积；或者上升的那部分水的体积就是物体的体积。 例题讲解 【典型例题1】 一个长方体的长是8厘米，宽是5厘米，高是3厘米。求这个长方体的棱长总和是多少厘米？ 【解析】 （1）分析：长方体的棱长总和等于4条长、4条宽和4条高的长度之和。 （2）计算：（长 + 宽 + 高）× 4 = (8 + 5 + 3) × 4 = 16 × 4 = 64（厘米）。 答：这个长方体的棱长总和是64厘米。 【跟踪练习】 （1）一个正方体的棱长是6分米，求它的棱长总和是多少分米？ （2）一个长方体的棱长总和是48厘米，它的长是6厘米，宽是4厘米，高是多少厘米？ 【典型例题2】 学校要粉刷教室的屋顶和四面墙壁。已知教室长8米，宽6米，高3米，门窗和黑板的面积一共是11.4平方米。需要粉刷的面积是多少平方米？ 【解析】 （1）分析：粉刷的是5个面（屋顶+四面墙），需要减去门窗和黑板的面积。 （2）计算屋顶面积：长 × 宽 = 8 × 6 = 48（平方米）。 （3）计算四面墙面积：(长 × 高 + 宽 × 高) × 2 = (8 × 3 + 6 × 3) × 2 = (24 + 18) × 2 = 84（平方米）。 （4）总面积：48 + 84 = 132（平方米）。 （5）减去门窗：132 - 11.4 = 120.6（平方米）。 答：需要粉刷的面积是120.6平方米。 【跟踪练习】 （1）一个无盖的正方体玻璃鱼缸，棱长是4分米。制作这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？ （2）一个长方体饼干盒，长10厘米，宽8厘米，高15厘米。如果围着它贴一圈商标纸（上、下面不贴），这张商标纸的面积至少是多少平方厘米？ 【典型例题3】 一个长方体玻璃容器，从里面量长、宽均为2分米，向容器中倒入5.5升水，再把一个苹果放入水中（完全浸没）。这时量得容器内的水深是1.5分米。求这个苹果的体积是多少？ 【解析】 （1）分析：苹果的体积等于放入苹果后水和苹果的总体积减去原来水的体积。 （2）统一单位：5.5升 = 5.5立方分米。 （3）计算放入苹果后的总体积：长 × 宽 × 水深 = 2 × 2 × 1.5 = 6（立方分米）。 （4）计算苹果体积：6 - 5.5 = 0.5（立方分米）。 答：这个苹果的体积是0.5立方分米。 【跟踪练习】 （1）一个棱长为5分米的正方体容器装满水，把水全部倒入一个长10分米、宽5分米的长方体容器中（未溢出）。这时长方体容器中的水深多少分米？ （2）一个长方体水箱，从里面量长12分米，宽6分米，深5分米。如果每立方分米水重1千克，这个水箱最多能装水多少千克？ 强化训练 一、填空题 1．在下面的横线上填上合适的单位。 一桶大豆油约是5　 　 一辆卡车的车厢的体积大约是16　 　 一个火柴盒的体积约是12　 　 一只茶杯的容积约300　 　 2．如图是一个底面为正方形的长方体展开图，这个长方体的高是　 　cm。搭一个这样的长方体框架，需要铁丝　 　cm。 3．将一个棱长6分米的正方体玻璃缸装满水，水有　 　升。如果将这些水倒入底面积是30平方分米的长方体玻璃缸中，水的高度是　 　分米。 4．鲁班是我国古代著名的工匠。一次，鲁班将一根长2米的长方体木棒锯成两段(横截)，表面积比原来增加了12dm2，原来这根长方体木棒的体积是　 　dm3。 5．下图是一个高和宽相等的长方体，它的体积是60立方厘米，长是10 厘米。如图沿着高切下一个正方体后，表面积会比原来减少　 　平方厘米。 二、判断题 6．容积和体积的意义是不相同的。（　　） 7．棱长为5cm的正方体的表面积比体积大。（　　） 8．棱长是6cm的正方体，它的体积和表面积一样大。(　　) 9．体积相等的两个容器，它们的容积也一定相等。(　　) 10．正方体棱长扩大到原来的2倍，则表面积和体积都扩大到原来的8倍。(　　) 三、选择题 11．给下图补画2个小正方形，使其折叠后能围成一个正方体。下列四种画法中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 12．小舟用棱长1cm的小正方体拼成一个大正方体(如图)，把它的6个面都涂上颜色，两面涂色的小正方体有(　　)个。 A．4 B．8 C．16 D．24 13．如图，在一个无盖的长方体透明容器中摆了若干个棱长为1cm的小正方体，这个透明容器的体积是(　　)。 A．60cm3 B．72cm3 C．80cm3 D．96cm3 14．一盒牛奶， 从外面量得牛奶盒长6.2cm， 宽4cm， 高10.5cm。这盒牛奶大约有(　　)。 A．2.604L B．250mL C．300mL D．2.5L 15．把三个相同的小长方体拼成1个15厘米高的大长方体，表面积减少了48平方厘米，原来1个小长方体的体积是（　　）立方厘米。 A．180 B．120 C．60 D．36 四、计算题 16．求下面几何体的表面积和体积。(单位：cm) 五、解决问题 17．淘气从一个破损的长方体包装箱上撕下了两个相邻的面(展开后如下图)，包装箱原来的表面积是多少平方厘米？(单位：cm) 18．一个长方体和一个正方体的棱长之和相等，已知长方体的长、宽、高分别是10厘米，6厘米、5厘米，那么正方体的棱长是多少？ 19．用铁皮做一个无盖的长方体水箱，长1米，宽7分米，高5分米。做这个水箱至少需要多少平方分米的铁皮？这个水箱最多能装水多少升? 20．体育馆新建了一个游泳池，已知游泳池长25m、宽12m、深2m，要给游泳池的四周和底面涂一层水泥。涂水泥的面积是多少平方米? 答案解析部分 【跟踪练习1】答案 （1）72分米。解析： （分米）。 （2）2厘米。解析： （厘米）。 【跟踪练习2】答案 （1）80平方分米。解析： （平方分米）（无盖，所以算5个面）。 （2）540平方厘米。解析： （平方厘米）。 【跟踪练习3】答案 （1）2.5分米。解析：正方体体积： （立方分米）；水深： （分米）。 （2）360千克。解析：水箱容积： （立方分米）；水重： （千克）。 【强化训练】 1．升；立方米；立方厘米；毫升 2．2；56 3．216；7.2 4．120 5．24 6．正确 7．错误 8．错误 9．错误 10．错误 11．A 12．D 13．B 14．B 15．C 16．解：表面积： 大长方体的长：6+3=9（cm） 大长方体的宽：2+3=5（cm） （9×5+9×3+5×3）×2－2×3×2 =87×2－12 =174－12 =162（cm2） 体积： 9×5×3－2×3×3 =135－18 =117（cm3） 17．解：(40×50+60×50+60×40)×2 =（3000+2000+2400）×2 =7400×2 =14800(cm2) 答：包装箱原来的表面积是14800cm2。 18．解：(10+6+5)×4=84（厘米） 84÷12=7（厘米） 答：正方体的棱长是7厘米。 19．解：1米=10分米 10×7+10×5×2+7×5×2 =70+100+70 =240（平方分米） 10×7×5=350（立方分米）=350（升） 答：做这个水箱至少需要240平方分米铁皮，它的容积是350升。 20．解：25×12+（25×2+12×2）×2 =25×12+（50+24）×2 =25×12+74×2 =300+148 =448（平方米） 答：涂水泥的面积是448平方米。 1 学科网（北京）股份有限公司 $