精品解析：安徽合肥市第四十五中学2025-2026学年度第一学期九年级期末数学试卷

九年级数学试卷 注意事项： 1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟. 2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分.请在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的. 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下是四个新能源汽车标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知在中，，，，则值是（ ） A. B. 2 C. D. 4. 已知反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象经过点 B. y随x的增大而减小 C. 当时， D. 图象分别位于第一、三象限 5. 已知点M是线段AB黄金分割点（），，那么AM的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，线段与相交于点O，给出下列条件：①；②；③；④，能单独判定和相似的个数为（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 7. 如图，在正五边形中，连接，以点B为圆心，长为半径作圆弧，得到，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，则BC的长是（ ） A. 13 B. C. 14 D. 9. 已知一次函数与反比例函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，点E是边上一点，连接，以为斜边在右侧作等腰直角三角形交于点G，连接，有以下结论；①；②；③；④；⑤若，则；其中正确的结论有（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 如图，已知直线，直线m、n分别交直线a、b、c于点A、B、C、D、E、F．若，，，则______． 12. 如图，是的直径，C、D是上两点，连接，过点B作交于点E，连接，，则______°． 13. 如图，点A在反比例函数图象上，过点A作轴，分别交反比例函数图象于点B，交y轴于点D，过点B作轴于点C，连接AC交y轴于点E，若，，则______． 14. 如图，已知抛物线交y轴于点． （1）此抛物线的对称轴为直线______； （2）已知正方形边与x轴重合，点A的坐标为，，若此抛物线与正方形的边有交点，则a的取值范围是______． 三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． （1）将绕点O顺时针旋转得到，请在平面直角坐标系中画出； （2）以点O为位似中心，将放大为原来的2倍，得到，请在平面直角坐标系中画出． 四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知抛物线，求证：不论为何实数，这个抛物线与轴总有两个交点． 18. 如图，在中，点C是弦的中点，连接并延长交于点D.若，，求的半径． 五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在中，，，点D是的中点，点E是延长线上一点，点F是上一点，连接、，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 安徽是中国重要茶叶产区，名茶辈出，中国十大名茶中安徽就占了四种，分别是黄山毛峰、祁门红茶、太平猴魁、六安瓜片；某茶叶公司销售某种茶叶，每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本，但不高于100元，经调查发现，其日销量y（千克）与售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示，设该茶叶的日销售利润为w元． （1）请直接写出y与x，w与x之间的函数表达式； （2）若该茶叶的日销量不低于80千克，当单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元． 六、（本题满分12分） 21. “限速红线不可碰，安全底线记心间”，为了解“金寨路高架”芜湖路出口下坡路段车辆行驶速度，在离下坡路终点3米处（即米）的电线杆上安装一个电子眼进行区间测速，电子眼位于点B处，区间测速的起点为坡面点D处，此时电子眼的俯角为10°；区间测速的终点为下坡路终点C处，此时电子眼的俯角为（A，B，C，D四点在同一平面）． （1）______°，______°； （2）求电线杆高度； （3）已知“金寨路高架”芜湖路出口下坡路段坡比，如果该路段限速米/秒，某汽车用时1秒匀速通过测速路段，该汽车否超速？请说明理由．（参考数据：，，，，，，） 七、（本题满分12分） 22. 如图，已知反比例函数的图象与二次函数的图象交于A、B、C三点，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． （1）请求出k、b、c的值； （2）结合图象，请直接写出不等式的解集是______； （3）点D是抛物线段上的一点，连接、、、、，当时，请求出此时D点的横坐标． 八、（本题满分14分） 23. 如图1，是的直径，、是的切线，过点D作于点E，交于点F，连接、． （1）求证：； （2）如图2，连接交于点G． ①若，求证：； ②请求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试卷 注意事项： 1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟. 2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分.请在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的. 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义（形如）判断各选项，即可 【详解】解：∵二次函数需满足整式且最高次数为2，， A、为一次函数，不符合题意； B、是反比例函数，不符合题意； C、二次函数，符合题意； D、为一次函数，不符合题意； 故选：C 2. 以下是四个新能源汽车标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟知中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：B选项中的图形能够找到一点，使图形绕着该点旋转，旋转后的图形能够与原来的图形重合，所以是中心对称图形； A、C、D选项中的图形都找不到一点，使图形绕着该点旋转，旋转后的图形能够与原来的图形重合，所以都不是中心对称图形， 故选：B． 3. 已知在中，，，，则的值是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数，根据直角三角形中正切的定义，等于的对边与邻边的比值． 【详解】∵ 在中，， ∴ ， ∵ ， ∴ = ， 故选：A． 4. 已知反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象经过点 B. y随x的增大而减小 C. 当时， D. 图象分别位于第一、三象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质（），判断各选项的正确性. 【详解】解：∵ 反比例函数，， ∴ 图象分别位于第一、三象限，故D正确. A、当时，，∴ 图象不经过点，A错误； B、当时，在每一象限内随的增大而减小，但未指定象限， B错误； C、 当时，，不成立，C错误； 故选D 5. 已知点M是线段AB的黄金分割点（），，那么AM的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割点的性质，较长部分的平方等于整个线段与较短部分的乘积，列出方程，进而即可求解． 【详解】解：设，则， ∵ M是黄金分割点且， ∴ ， 即， 解得（负值舍去）， ∴ ， 故选：B． 6. 如图，线段与相交于点O，给出下列条件：①；②；③；④，能单独判定和相似的个数为（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定条件逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：由图形可知，， ①，能单独判定和相似； ②，能单独判定和相似； ③，不能单独判定和相似； ④，即，能单独判定和相似； 能单独判定和相似的个数为3个， 故选：B． 7. 如图，在正五边形中，连接，以点B为圆心，长为半径作圆弧，得到，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正多边形的内角问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，弧长计算．先求出五边形的内角，进而求出所对的圆心角，最后根据弧长公式求解． 【详解】解：多边形为正五边形， 每一个内角均， ， ， ， ， 的长为 故选：B． 8. 如图，在中，，，，则BC的长是（ ） A. 13 B. C. 14 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．作交的延长线于点D，由含30度角的直角三角形的性质，可得，再用勾股定理解和即可． 【详解】解：如图，作交的延长线于点D， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 9. 已知一次函数与反比例函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数、二次函数、反比例函数图象与系数的关系，根据一次函数图象可得，，根据反比例函数图象可得，进而判断图象的开口方向、对称轴位置、与y轴的交点位置，即可求解． 【详解】解：一次函数的图象与y轴的交点位于y轴的正半轴，y随x的增大而减小， ，， ， 的图象开口向下，对称轴在y轴的右侧， 反比例函数的图象位于第二、四象限， ， ， 的图象与y轴的交点位于y轴的正半轴， 观察四个选项，只有选项C中的图象满足要求， 故选：C． 10. 如图，在正方形中，点E是边上一点，连接，以为斜边在右侧作等腰直角三角形交于点G，连接，有以下结论；①；②；③；④；⑤若，则；其中正确的结论有（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，关键是掌握相似三角形的判定和性质；根据，，即可判断①；根据正方形的对角线互相垂直即可判断②；先得出，进而即可判断③；由，，结合③的结论，即可判断④；设，则，分别表示出，，即可判断⑤ 【详解】解：∵在正方形中，是对角线， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∵等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴，故①正确； ∴，即是正方形的对角线的一部分， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∴，故④错误； ∵， ∴设，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故⑤错误， 故选B 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 如图，已知直线，直线m、n分别交直线a、b、c于点A、B、C、D、E、F．若，，，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例定理得出，然后代入数值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得，经检验，符合题意， 故答案为：8． 12. 如图，是的直径，C、D是上两点，连接，过点B作交于点E，连接，，则______°． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等及平行线的性质，掌握这些知识是关键；连接，由是的直径得，由同弧所对的圆周角相等及平行线的性质得，再由互余关系即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：40． 13. 如图，点A在反比例函数图象上，过点A作轴，分别交反比例函数图象于点B，交y轴于点D，过点B作轴于点C，连接AC交y轴于点E，若，，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，过A作于F，证明四边形为矩形，求出，证明，求出，进而求出，证明，求出，则，，然后根据k的几何意义求出，，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 过A作于F， ∵轴， ∴， 又轴， ∴四边形为平行四边形， 又轴， ∴平行四边形为矩形， ∴， 同理四边形是矩形， ∴ ∵轴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：6． 14. 如图，已知抛物线交y轴于点． （1）此抛物线的对称轴为直线______； （2）已知正方形边与x轴重合，点A的坐标为，，若此抛物线与正方形的边有交点，则a的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，求二次函数的对称轴，二次函数的图象与性质等知识，掌握这些知识是关键； （1）根据抛物线的顶点式即可得其对称轴； （2）分别考虑抛物线过点D、C时a的值，即可确定a的取值范围． 【详解】解：（1）∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 故答案为：； （2）∵抛物线交y轴于点， ∴， 即， ∴， ∵点A的坐标为，，且四边形为正方形， ∴，， 当抛物线经过点D时，则， 解得：； 当抛物线经过点C时，则， 解得：； ∴当抛物线与正方形的边有交点时，则a的取值范围为； 故答案为：． 三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．根据特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】解：原式 ． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． （1）将绕点O顺时针旋转得到，请在平面直角坐标系中画出； （2）以点O为位似中心，将放大为原来的2倍，得到，请在平面直角坐标系中画出． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中图象的旋转，作位似图形等知识． （1）连接，根据旋转三要素得到，即可确定位置，依次确定和位置，即可得到； （2）连接并延长两倍，即可确定位置，依次确定和位置，即可得到． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知抛物线，求证：不论何实数，这个抛物线与轴总有两个交点． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点问题，熟记抛物线与x轴的交点问题与一元二次方程根的对应情况，是解此类题的关键． 利用根的判别式进行证明即可． 【详解】解：∵ ， ∴不论为何实数，这个抛物线与轴总有两个交点． 18. 如图，在中，点C是弦的中点，连接并延长交于点D.若，，求的半径． 【答案】13 【解析】 【分析】连接，根据垂径定理推论得出，由勾股定理可得出的长． 本题考查了垂径定理，勾股定理，圆的性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】解：连接，根据垂径定理推论得出， 根据圆的性质，得， 又， 故， 由勾股定理可得， 故 解得， 故的半径为13． 五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在中，，，点D是的中点，点E是延长线上一点，点F是上一点，连接、，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了等边对等角，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定和性质是关键． （1）根据等腰直角三角形的性质得到，再证明，然后可判断； （2）利用得到，则可求出的长，再求出的长即可． 小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴，负值舍去， ∴， ∵，， ∴， ∴，负值舍去． 20. 安徽是中国重要茶叶产区，名茶辈出，中国十大名茶中安徽就占了四种，分别是黄山毛峰、祁门红茶、太平猴魁、六安瓜片；某茶叶公司销售某种茶叶，每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本，但不高于100元，经调查发现，其日销量y（千克）与售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示，设该茶叶的日销售利润为w元． （1）请直接写出y与x，w与x之间的函数表达式； （2）若该茶叶的日销量不低于80千克，当单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元． 【答案】（1）；． （2）当单价定为80元时，每天获取的利润最大，最大利润是1600元． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，正确的列出函数解析式是解题的关键： （1）待定系数法求出一次函数解析式，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式； （2）利用二次函数求最值即可； 【小问1详解】 设一次函数的解析式为， 把代入函数解析式，得：，解得， ∴； ∴； 【小问2详解】 由题意，， ∴， ∴ ∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，最大，为； 答：当单价定为80元时，每天获取的利润最大，为1600元； 六、（本题满分12分） 21. “限速红线不可碰，安全底线记心间”，为了解“金寨路高架”芜湖路出口下坡路段车辆行驶速度，在离下坡路终点3米处（即米）的电线杆上安装一个电子眼进行区间测速，电子眼位于点B处，区间测速的起点为坡面点D处，此时电子眼的俯角为10°；区间测速的终点为下坡路终点C处，此时电子眼的俯角为（A，B，C，D四点在同一平面）． （1）______°，______°； （2）求电线杆的高度； （3）已知“金寨路高架”芜湖路出口下坡路段坡比，如果该路段限速米/秒，某汽车用时1秒匀速通过测速路段，该汽车是否超速？请说明理由．（参考数据：，，，，，，） 【答案】（1）10；53 （2）4米 （3）不超速，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，解题的关键是： （1）根据俯角的定义解答即可； （2）在中，根据正切的定义求解即可； （3）过D作于F，于G，则四边形是矩形，得出，，，进而求出，设，根据坡比定义求出，，，在中，根据正切的定义得出，求出，然后根据勾股定理求出，然后比较即可． 【小问1详解】 解：由题意，得，， 故答案为：10，53； 【小问2详解】 解：由题意知， ∴， 在中，， 答：电线杆的高度为4米； 【小问3详解】 解：不超速，理由如下 过D作于F，于G， 则四边形是矩形， ∴，，， ∴， 设， ∵坡比， ∴， ∴，， 在中，， ∴， 解得，即， ∴ ∴， 而， 所以该汽车不超速． 七、（本题满分12分） 22. 如图，已知反比例函数的图象与二次函数的图象交于A、B、C三点，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． （1）请求出k、b、c的值； （2）结合图象，请直接写出不等式解集是______； （3）点D是抛物线段上的一点，连接、、、、，当时，请求出此时D点的横坐标． 【答案】（1），， （2）或 （3）1或2 【解析】 【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数解析式，求出k的值，把点B的坐标，点C的坐标代入二次函数解析式，求出b、c的值即可； （2）根据函数图象直接得出不等式的解集即可； （3）过点D作轴，交于点E，设交y轴于点F，求出直线的解析式为，得出，设点D的坐标为，则点E的坐标为，求出，得出，根据，得出，解方程即可． 【小问1详解】 解：把代入得：，解得：； 把点，点代入得： ， 解得：； 【小问2详解】 解：根据函数图象可得：当或时，反比例函数图象在二次函数上面， ∴不等式的解集是或； 【小问3详解】 解：过点D作轴，交于点E，设交y轴于点F，如图所示： 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， ∴， ∴， ∴， 根据解析（1）可得：抛物线的解析式为， 设点D的坐标为，则点E的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：，． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，求一次函数解析式，求二次函数解析式，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 八、（本题满分14分） 23. 如图1，是的直径，、是的切线，过点D作于点E，交于点F，连接、． （1）求证：； （2）如图2，连接交于点G． ①若，求证：； ②请求出的值． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②4 【解析】 【分析】（1）根据切线长定理得出，根据等边对等角得出，根据平行线的性质得出，根据圆周角得出，即可得证； （2）①连接，由（1）可得，根据垂径定理得出，，根据圆周角定理得出，根据线段垂直平分线的性质得出，根据三线合一的性质得出，则，根据等边对等角、对顶角的性质可得出，证明，得出，结合即可得出； ②延长、相交于H，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据余角的性质得出，根据等角对等边得出，证明，，得出，结合，得出，则，根据垂径定理得出，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵、是的切线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴； 【小问2详解】 ①证明：连接， 由（1）可得， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴； ②延长、相交于H， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线长定理，垂径定理，圆周角定理以及推论，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适的辅助线，灵活应用相关知识解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $