无限型概率与期望专题一（连胜制）讲义-2026届高三数学一轮复习

无限型概率与期望专题一（连胜制） 【背景说明】无限循环型概率问题对于学生而言处理起来往往比较困难，主要难在：连胜即停” vs “固定局数”理解与处理；分类标准易混乱；计算与边界细节易错等.本专题按连胜制、、比分差距制等入手详细讲解，以期解决学生困境. 【连胜制无限型概率必备知识引入】 1. 全概率公式； 2. 无穷分布列求期望：数列错位相减求和 【全概率公式引例】（2026雅礼中学英才卷第8题）两兄弟玩一种自定义游戏赢礼物，约定先由弟弟掷一枚质量均匀的骰子，若弟弟掷出的点数为6，则获得礼物；若掷出其它点数，则记下该点数（假设为），然后从哥哥开始两人轮流掷这枚骰子，直至任意一方掷出点数或者6，该游戏结束，若掷出的是，则弟弟获得礼物；若掷出的点数是6，则哥哥获得礼物.则该游戏中弟弟能获得礼物的概率为：______ 【无穷分布列求期望引例】掷一枚硬币，记第次时首次正面朝上，求的分布列和期望. 【例1】(2025潍坊一模14)乒乓球被称为我国的“国球”.甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛，其中每局中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛都是相互独立的. 若两人约定其中一人比另一人多胜两局比赛结束，由甲胜的概率为:_______;比赛结束需要进行的比赛局数的数学期望为：__________. 附:当时, 【变式改编训练1】甲乙两名运动员进行乒乓球训练赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛.已知每局比赛中，甲获胜的概率为,乙获胜的概率为，每局比赛结果相互独立. （1） 若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数的分布列及期望的最大值； （2） 甲、乙两人为达到最佳训练效果，两人约定不限制比赛局数，记“甲运动员赢得比赛”为事件M，证明： 【课堂练习】 1.飞行棋的规则是，只有掷骰子出现6时，才能让飞机起飞.设首架飞机起飞时骰子共掷了次，求的分布列和期望. 2.(2014安徽）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立. （1）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率； （2）记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和均值（数学期望）. 3.（2022年全国高考数学理）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立，已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且，记该棋手连胜两盘的概率为,则（ ） 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 该棋手在第二盘与甲比赛，最大 该棋手在第二盘与乙比赛，最大 该棋手在第二盘与丙比赛，最大 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 无限型概率与期望专题一（连胜制） 【背景说明】无限循环型概率问题对于学生而言处理起来往往比较困难，主要难在：连胜即停” vs “固定局数”理解与处理；分类标准易混乱；计算与边界细节易错等.本专题按连胜制、、比分差距制等入手详细讲解，以期解决学生困境. 【连胜制无限型概率必备知识引入】 1. 全概率公式； 2. 无穷分布列求期望：数列错位相减求和 【全概率公式引例】（2026雅礼中学英才卷第8题）两兄弟玩一种自定义游戏赢礼物，约定先由弟弟掷一枚质量均匀的骰子，若弟弟掷出的点数为6，则获得礼物；若掷出其它点数，则记下该点数（假设为），然后从哥哥开始两人轮流掷这枚骰子，直至任意一方掷出点数或者6，该游戏结束，若掷出的是，则弟弟获得礼物；若掷出的点数是6，则哥哥获得礼物.则该游戏中弟弟能获得礼物的概率为：______ 【解析】记“弟弟获得礼物”为事件，“轮流掷骰子中弟弟获得礼物”为事件，则，而：，或者 【无穷分布列求期望引例】掷一枚硬币，记第次时首次正面朝上，求的分布列和期望. 【解析】 1 2 3 … … (1) (2) (1)-(2)得： ， 【例1】(2025潍坊一模14)乒乓球被称为我国的“国球”.甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛，其中每局中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛都是相互独立的. 若两人约定其中一人比另一人多胜两局比赛结束，由甲胜的概率为:_______;比赛结束需要进行的比赛局数的数学期望为：__________. 附:当时, 【解析】（1）法一：由已知可知比赛结束必然进行偶数次对局； 记“甲获胜”为事件，，则 当， 法二：由全概率公式知： 法三：根据条件概率： （2） 记“比赛结束需要进行的比赛局数”为，则分布列如下： 2 4 6 … … 则 当, 【变式改编训练1】甲乙两名运动员进行乒乓球训练赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛.已知每局比赛中，甲获胜的概率为,乙获胜的概率为，每局比赛结果相互独立. （1） 若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数的分布列及期望的最大值； （2） 甲、乙两人为达到最佳训练效果，两人约定不限制比赛局数，记“甲运动员赢得比赛”为事件M，证明： 【解析】(1) 令 ， （2）由全概率公式知： 【课堂练习】 1.飞行棋的规则是，只有掷骰子出现6时，才能让飞机起飞.设首架飞机起飞时骰子共掷了次，求的分布列和期望. 【解析】由已知可得分布列如下： 1 2 3 … … (1) (2) (1)-(2)得： ， 2.(2014安徽）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立. （1）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率； （2）记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和均值（数学期望）. 【解析】（1）记：“甲在4局以内（含4局）赢得比赛”为事件； （2） 3.（2022年全国高考数学理）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立，已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且，记该棋手连胜两盘的概率为,则（ ） 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 该棋手在第二盘与甲比赛，最大 该棋手在第二盘与乙比赛，最大 该棋手在第二盘与丙比赛，最大 【解析】分析知：该棋手中间局必胜； 当棋手在第二盘与甲比赛时， 当棋手在第二盘与乙比赛时， 当棋手在第二盘与丙比赛时， ，故选D项 1 学科网（北京）股份有限公司 $