概率统计中期望和方差的五大应用讲义-2026届高三数学一轮复习

概率统计中期望和方差的五大应用 一. 基本原理 1. 期望与方差的主要结论 (1) .主要分布的期望 (方差公式) 如果 ,那么 如果 ,那么 (2). . 2. 期望与方差的实际含义 数字特征的含义: 反映了随机变量取值的平均水平, 方差则反映了随机变量取值的离散程 度, 方差越小, 随机变量取值越集中, 反之亦然. 3. 期望与方程做决策的理论依据 数学期望反映的是随机变量取值的平均水平, 而方差则是反映随机变量取值在其平均值附 近的离散程度. (1)若我们希望实际的平均水平较理想,则先求随机变量 的期望,当 时, 不应认为它们一定一样好,还需要用 来比较这两个随机变量的方差,确定它们的偏 离程度. (2)若我们希望比较稳定性,应先考虑方差,再考虑均值是否相等或接近. ( 3 )方差不是越小就越好,而是要根据实际问题的需要来判断. 4. 方差与期望应用的五种类型 类型 1.期望与方差的核心结论与应用 类型 2.依托数学期望做决策 类型 3.依托方差做决策类型 4.基于期望的概率递推关系类型 5.期望 (方差) 的综合应用与新定义问题 二. 典例分析 ★类型 1.期望与方差的核心结论与应用 例 1. 已知随机变量 ,若 ,则 ( ) A. B. C. D. 根据分布列方差的性质得: ,依题意知, 满足二项分布, 所以 ,所以 ,解得 ,或 (舍去). 故选: D. 例 2. 已知某人每次投篮的命中率为 ,投进一球得 1 分,投不进得 0 分,记投篮一次的得分为 ,则 的最大值为_____. 解析: 由题意可知, 服从两点分布,可得 , ,则 ,当且仅当 ,即 时,等号成立, 故 最大值为 . 故答案为: . 例 3. 近几年,人工智能的应用越来越受到人们的重视与应用,比如“Notion AI”是一个基于人工智能的写作助手,它可以帮助用户自动生成各种文本内容,如博客文章、头脑风暴、 待办事项等等,因此它的应用迅速融入了我们的生活,特别是教师团队. 某市为了解该市的教师是否喜欢运用 “Notion AI”,随机抽取了该市 100 名教师,统计了他们一周内使用 “Notion AI”帮助写作的次数,并将一周内使用“Notion AI”帮助写作的次数超过 3 次的认定为喜欢运用 “Notion AI”,不超过 3 次甚至从不使用 “Notion AI” 的认定为不喜欢运用 “Notion AI", 统计数据如表所示. 年龄 是否喜欢运用“Notion AI” 合计 喜欢 不喜欢 不超过 40 岁 35 15 50 超过 40 岁 10 40 50 合计 45 55 100 (1)依据小概率值 的独立性检验,能否认为该市的教师是否喜欢运用“Notion AI” 与年龄有关? (2)该市的张老师在写周一、周二的博客文章时习惯使用“Notion AI”与“文心一言”来帮助写作,且周一等可能的从 “Notion AI” 与 “文心一言” 中随机选择一个,若周一选择使用 “Notion AI”,则周二选择使用 “Notion AI” 的概率为 ; 若周一选择使用 “文心一言”,则周二选择使用“文心一言”的概率为 ,求张老师周二选择使用“文心一言”的概率； (3)用样本频率估计概率,现从该市随机抽取 20 名教师,记其中喜欢运用 “Notion AI” 的教师人数为随机变量 ,“Notion AI”的应用度为随机变量 ,且 ,求 、 的期望和方差. 附: ,其中 . 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 解析: (1) 零假设 : 该市的教师是否喜欢运用 “Notion AI” 与年龄无关, 经计算得 , 依据小概率值 的独立性检验,推断 不成立, 即认为该市的教师是否喜欢运用“Notion AI”与年龄有关. (2)记事件 、 分别表示张老师周一、周二选择使用“Notion AI”, 事件 、 分别表示张老师周一、周二选择使用 “文心一言”, 则 ,所以 , 所以, 张老师周二选择使用“文心一言”的概率为 ( 3 )由题意可知,任意抽取一名教师,该教师喜欢运用“Notion AI”的概率为 ,则 所以 , 因为 ,所以 , ★类型 2.依托数学期望做决策 例 4. 某企业拥有甲、乙两条零件生产线, 为了解零件质量情况, 采用随机抽样方法从两条 生产线共抽取 180 个零件,测量其尺寸 (单位: ) 得到如下统计表,其中尺寸位于 的零件为一等品,位于 和 的零件为二等品,否则零件为三等品. 生产线 甲 4 9 23 28 24 10 2 乙 2 14 15 17 16 15 1 (1)完成 列联表,依据 的独立性检验能否认为零件为一等品与生产线有关联？ 一等品 非一等品 甲 乙 (2)将样本频率视为概率,从甲、乙两条生产线中分别随机抽取 2 个零件,每次抽取零件互不影响,以 表示这 4 个零件中一等品的数量,求 的分布列和数学期望 ; ( 3 )已知该企业生产的零件随机装箱出售,每箱 60 个. 产品出厂前,该企业可自愿选择是否对每箱零件进行检验. 若执行检验, 则每个零件的检验费用为 5 元, 并将检验出的三等品更换为一等品或二等品; 若不执行检验, 则对卖出的每个三等品零件支付 120 元赔偿费用. 现对一箱零件随机检验了 10 个, 检出了 1 个三等品. 将从两条生产线抽取的所有样 本数据的频率视为概率, 以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望作为决策依据, 是否需要 对该箱余下的所有零件进行检验? 请说明理由. 附 ,其中 . 解析:(1)由题意得列联表如下: 一等品 非一等品 甲 75 25 乙 48 32 因为 ,依据小概率值 的独立性检验,可以认为零件是否为一等品与生产线有关联. ( 2 )由已知任取一个甲生产线零件为一等品的概率为 ,任取一个乙生产线零件为一等品的概率为 . 的所有可能取值为0,1,2,3,4. 所以 的分布列为 0 1 2 3 4 ( 3 )由已知,每个零件为三等品的频率为 ,设余下的 50 个零件中的三等品个数为 ,则 ,所以 . 设检验费用与赔偿费用之和为 , 若不对余下的所有零件进行检验,则 , . 若对余下的所有零件进行检验,则总检验费用 为 元. 因为 ,所以应对剩下零件进行检验. ★类型 3.依托方差做决策 例 5.为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1000 位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球, 球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额. (1)若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元,其余 3 个均为 10 元,求 (i)顾客所获的奖励额为 60 元的概率 (ii)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望； (2)商场对奖励总额的预算是 60000 元,并规定袋中的 4 个球只能由标有面值 10 元和 50 元的两种球组成, 或标有面值 20 元和 40 元的两种球组成. 为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡, 请对袋中的 4 个球的面值给出一个合适的设计, 并说明理由. 解析: (1) 顾客所获得的奖励额为 60 元的概率为 (ii) 依题意,得 的所有可能取值为 20,60, , 即 的分布列为 20 60 0.5 0.5 所以顾客所获得奖励额的期望为 (元) (2)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为 60 元。所以,先寻找期望为 60 元的可能方案,对于面值由 10 元和 50 元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为 60 元是面值之和的最大值,所以期望不可能为 60 元; 如果选择(50,50,50,10)的方案, 因为 60 元是面值之和的最小值, 所以期望也不可能为 60 元, 因此可能的方案是 (10, 10, ,记为方案 1 . 对于面值由 20 元和 40 元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40) 和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案 2. 以下是对两个方案的分析: 对于方案 1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励额为 ,则 的分布列为 20 60 100 的期望为 , 的方差为 对于方案 2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励额为 ,则 的分布列为 40 60 80 的期望为 , 的方差为 由于两种方案的奖励额的期望都符合要求, 但方案 2 奖励额的方差比方案 1 的小, 所以应该选择方案 2 . ★类型 4.基于期望的概率递推关系 例 6. 已知常数 ,在成功的概率为 的伯努利试验中,记 为首次成功时所需的试验次数, 的取值为所有正整数,此时称离散型随机变量 的概率分布为几何分布. (1)对于正整数 ,求 ,并根据 求 ； (2)对于几何分布的拓展问题,()在成功的概率为 的伯努利试验中,记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为 ,现提供一种求 的方式: 先进行第一次试验, 若第一次试验失败, 因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助, 可以认为后续期望仍是 ,即总的试验次数为 ; 若第一次试验成功,则进行第二次试验, 当第二次试验成功时, 试验停止, 此时试验次数为 2 , 若第二次试验失败, 相当于重新试验, 此时总的试验次数为 . (i) 求 ; (ii)记首次出现连续 次成功时所需的试验次数的期望为 ,求 . 解析: (1) , 记 , 则 , 相减得: 由题意: . ( 2 )(i) . 解得: . (ii) 期待在 次试验后,首次出现连续(n - 1)次成功,若下一次试验成功,则试验停止, 此时试验次数为 ; 若下一次试验失败,相当于重新试验,后续期望仍是 ,此时总的试验次数为 . 即 . 整理得: ,即 . (公众号: ) 所以 . 由 (1) 知 ,代入得: . ★类型 5.期望 (方差) 的综合应用与新定义问题 例 7. 材料一: 在伯努利试验中,记每次试验中事件 发生的概率为 ,试验进行到事件 第一次发生时停止,此时所进行的试验次数为 ,其分布列为 ,我们称 服从几何分布,记为 . 材料二: 求无穷数列的所有项的和,如求 ,没有办法把所有项真的加完,可以先求数列前 项和 ,再求 时 的极限: 根据以上材料,我们重复抛掷一颗均匀的骰子,直到第一次出现“6 点”时停止. 设停止时抛 掷骰子的次数为随机变量 . (1) 证明: ; (2)求随机变量 的数学期望 ； ( 3 )求随机变量 的方差 . 解析: (1) 可知 ,且 , 所以 , 则 . ( 2 )设 , 所以 , 两式相减的 , 所以 , 则随机变量 的数学期望 ; (3) 因为 而 , ,两式相减: ,从而 , 那么 . 三. 习题演练 1. 若随机变量 ,随机变量 ,则 ( ) A.0B. C. D. 2 2. 已知两个离散型随机变量 ,满足 ,其中 的分布列如下: 0 1 2 若 ,则( ). A. B. C. D. 3. 某公司计划购买 2 台机器, 该种机器使用三年后即被淘汰. 机器有一易损零件, 在购进机器时, 可以额外购买这种零件作为备件, 每个 200 元. 在机器使用期间, 如果备件不足再购买,则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数, 得下面柱状图: 以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率,记 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数, 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数. (1 求 的分布列; (2)若要求 ,确定 的最小值； ( 3 )以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在 与 之中选其一,应选用哪个？ 4. 在一个温馨的周末, 甲同学一家人齐聚在宽敞明亮的客厅里进行掷游戏币活动, 假设每次掷游戏币出现正面的概率为 ,且 ,每次掷游戏币的结果相互独立. (1)当 时,若甲连续投掷了两次,求至少出现一次正面向上的概率； (2)若规定每轮游戏只要连续不断的出现三次正面向上,则游戏结束,每轮最多连续投掷 6 次. ①甲在一轮游戏中恰好投掷了 5 次游戏结束的概率为 ,求 的表达式； ②设甲在一轮游戏中投掷次数为 ,求 的最大值. 5. 某学校排球社团为了解性别、身高等因素是否对学生喜欢排球有影响,随机调查了该校男、女生共 100 名,其中部分数据如下: 性别 排球 喜欢 不喜欢 女生 30 30 男生 30 10 (1)经计算,样本中女生身高的平均数和方差分别为 168 和 48,男生的身高平均数和方差分别为 178 和 30, 根据以上信息, 试估计该校全体学生身高的平均数和方差; (2)在某次社团活动中,甲、乙、丙这三人相互做传球训练,第 1 次由甲将球传出,每次传球时,传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人. 记 次传球后球在甲手中的概率为 . (i) 求 ; (ii) 若随机变量 服从两点分布,且 ,则 . 记前 次 (即从第 1 次到第 次) 传球中球在甲手中的次数为随机变量 , 求 的数学期望,并比较前 次传球中球分别在甲、乙、丙三人手中的次数的数学期望的 大小. 参考答案: 1.解析: 由 可知: ,又因为 ,所以 则 ,故选: B. 2. 解析: 由分布列的性质,可得 ,解得 ①,因为 ,所以 ,即 ②,联立①②解得 , ,因为 ,所以 . 故选: ABD. 3. 解析:. (1) 由柱状图并以频率代替概率可得, 一台机器在三年内需更换的易损零件数 为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2,从而 . 所以 的分布列为 16 17 18 19 20 21 22 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 (2)由(I)知 , ,故 的最小值为 19 . ( 3 )记 表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元). 当 时, 当 时, 可知当 时所需费用的期望值小于 时所需费用的期望值,故应选 . 4.解析: (1) 设事件 表示第 次正面向上,其中 . 且 , 设事件 : “至少出现一次正面向上” . (2)①设事件 : “恰好投掷了 5 次游戏结束”,则 . 故 . 所以 . ②由题意知 , 则 . 令 , 当 时, ,即 在 上单调递减,故 , 因此, 的最大值为 . 5.解析: (1) 样本平均数 ; 样本方差为 . ( 2 )( i ) 依题意, ,则 , 又 ,因此数列 是以 为首项, 为公比的等比数列, ,所以 . (ii) 由 (i) 知 , 则当 时, ,记 次传球后球在乙手中的概率为 ,前 次传球中球在乙、丙手中的次数分别为随机变量 , 则 ,而 , 数列 是以 为首项, 为公比的等比数列, ,即 , ,同理 ,因此 ,又 , 所以 . 学科网（北京）股份有限公司 $$ 概率统计中期望和方差的五大应用 一. 基本原理 1. 期望与方差的主要结论 (1) .主要分布的期望 (方差公式) 如果 ,那么 如果 ,那么 (2). . 2. 期望与方差的实际含义 数字特征的含义: 反映了随机变量取值的平均水平, 方差则反映了随机变量取值的离散程 度, 方差越小, 随机变量取值越集中, 反之亦然. 3. 期望与方程做决策的理论依据 数学期望反映的是随机变量取值的平均水平, 而方差则是反映随机变量取值在其平均值附 近的离散程度. (1)若我们希望实际的平均水平较理想,则先求随机变量 的期望,当 时, 不应认为它们一定一样好,还需要用 来比较这两个随机变量的方差,确定它们的偏 离程度. (2)若我们希望比较稳定性,应先考虑方差,再考虑均值是否相等或接近. ( 3 )方差不是越小就越好,而是要根据实际问题的需要来判断. 4. 方差与期望应用的五种类型 类型 1.期望与方差的核心结论与应用 类型 2.依托数学期望做决策 类型 3.依托方差做决策类型 4.基于期望的概率递推关系类型 5.期望 (方差) 的综合应用与新定义问题 二. 典例分析 ★类型 1.期望与方差的核心结论与应用 例 1. 已知随机变量 ,若 ,则 ( ) A. B. C. D. 例 2. 已知某人每次投篮的命中率为 ,投进一球得 1 分,投不进得 0 分,记投篮一次的得分为 ,则 的最大值为_____. 例 3. 近几年,人工智能的应用越来越受到人们的重视与应用,比如“Notion AI”是一个基于人工智能的写作助手,它可以帮助用户自动生成各种文本内容,如博客文章、头脑风暴、 待办事项等等,因此它的应用迅速融入了我们的生活,特别是教师团队. 某市为了解该市的教师是否喜欢运用 “Notion AI”,随机抽取了该市 100 名教师,统计了他们一周内使用 “Notion AI”帮助写作的次数,并将一周内使用“Notion AI”帮助写作的次数超过 3 次的认定为喜欢运用 “Notion AI”,不超过 3 次甚至从不使用 “Notion AI” 的认定为不喜欢运用 “Notion AI", 统计数据如表所示. 年龄 是否喜欢运用“Notion AI” 合计 喜欢 不喜欢 不超过 40 岁 35 15 50 超过 40 岁 10 40 50 合计 45 55 100 (1)依据小概率值 的独立性检验,能否认为该市的教师是否喜欢运用“Notion AI” 与年龄有关? (2)该市的张老师在写周一、周二的博客文章时习惯使用“Notion AI”与“文心一言”来帮助写作,且周一等可能的从 “Notion AI” 与 “文心一言” 中随机选择一个,若周一选择使用 “Notion AI”,则周二选择使用 “Notion AI” 的概率为 ; 若周一选择使用 “文心一言”,则周二选择使用“文心一言”的概率为 ,求张老师周二选择使用“文心一言”的概率； (3)用样本频率估计概率,现从该市随机抽取 20 名教师,记其中喜欢运用 “Notion AI” 的教师人数为随机变量 ,“Notion AI”的应用度为随机变量 ,且 ,求 、 的期望和方差. 附: ,其中 . 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 ★类型 2.依托数学期望做决策 例 4. 某企业拥有甲、乙两条零件生产线, 为了解零件质量情况, 采用随机抽样方法从两条 生产线共抽取 180 个零件,测量其尺寸 (单位: ) 得到如下统计表,其中尺寸位于 的零件为一等品,位于 和 的零件为二等品,否则零件为三等品. 生产线 甲 4 9 23 28 24 10 2 乙 2 14 15 17 16 15 1 (1)完成 列联表,依据 的独立性检验能否认为零件为一等品与生产线有关联？ 一等品 非一等品 甲 乙 (2)将样本频率视为概率,从甲、乙两条生产线中分别随机抽取 2 个零件,每次抽取零件互不影响,以 表示这 4 个零件中一等品的数量,求 的分布列和数学期望 ; ( 3 )已知该企业生产的零件随机装箱出售,每箱 60 个. 产品出厂前,该企业可自愿选择是否对每箱零件进行检验. 若执行检验, 则每个零件的检验费用为 5 元, 并将检验出的三等品更换为一等品或二等品; 若不执行检验, 则对卖出的每个三等品零件支付 120 元赔偿费用. 现对一箱零件随机检验了 10 个, 检出了 1 个三等品. 将从两条生产线抽取的所有样 本数据的频率视为概率, 以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望作为决策依据, 是否需要 对该箱余下的所有零件进行检验? 请说明理由. 附 ,其中 . ( ★类型 3.依托方差做决策 例 5.为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1000 位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球, 球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额. (1)若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元,其余 3 个均为 10 元,求 (i)顾客所获的奖励额为 60 元的概率 (ii)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望； (2)商场对奖励总额的预算是 60000 元,并规定袋中的 4 个球只能由标有面值 10 元和 50 元的两种球组成, 或标有面值 20 元和 40 元的两种球组成. 为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡, 请对袋中的 4 个球的面值给出一个合适的设计, 并说明理由. ★类型 4.基于期望的概率递推关系 例 6. 已知常数 ,在成功的概率为 的伯努利试验中,记 为首次成功时所需的试验次数, 的取值为所有正整数,此时称离散型随机变量 的概率分布为几何分布. (1)对于正整数 ,求 ,并根据 求 ； (2)对于几何分布的拓展问题,()在成功的概率为 的伯努利试验中,记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为 ,现提供一种求 的方式: 先进行第一次试验, 若第一次试验失败, 因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助, 可以认为后续期望仍是 ,即总的试验次数为 ; 若第一次试验成功,则进行第二次试验, 当第二次试验成功时, 试验停止, 此时试验次数为 2 , 若第二次试验失败, 相当于重新试验, 此时总的试验次数为 . (i) 求 ; (ii)记首次出现连续 次成功时所需的试验次数的期望为 ,求 . ★类型 5.期望 (方差) 的综合应用与新定义问题 例 7. 材料一: 在伯努利试验中,记每次试验中事件 发生的概率为 ,试验进行到事件 第一次发生时停止,此时所进行的试验次数为 ,其分布列为 ,我们称 服从几何分布,记为 . 材料二: 求无穷数列的所有项的和,如求 ,没有办法把所有项真的加完,可以先求数列前 项和 ,再求 时 的极限: 根据以上材料,我们重复抛掷一颗均匀的骰子,直到第一次出现“6 点”时停止. 设停止时抛 掷骰子的次数为随机变量 . (1) 证明: ; (2)求随机变量 的数学期望 ； ( 3 )求随机变量 的方差 . 三. 习题演练 1. 若随机变量 ,随机变量 ,则 ( ) A.0B. C. D. 2 2. 已知两个离散型随机变量 ,满足 ,其中 的分布列如下: 0 1 2 若 ,则( ). A. B. C. D. 3. 某公司计划购买 2 台机器, 该种机器使用三年后即被淘汰. 机器有一易损零件, 在购进机器时, 可以额外购买这种零件作为备件, 每个 200 元. 在机器使用期间, 如果备件不足再购买,则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数, 得下面柱状图: 以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率,记 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数, 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数. (1 求 的分布列; (2)若要求 ,确定 的最小值； ( 3 )以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在 与 之中选其一,应选用哪个？ 4. 在一个温馨的周末, 甲同学一家人齐聚在宽敞明亮的客厅里进行掷游戏币活动, 假设每次掷游戏币出现正面的概率为 ,且 ,每次掷游戏币的结果相互独立. (1)当 时,若甲连续投掷了两次,求至少出现一次正面向上的概率； (2)若规定每轮游戏只要连续不断的出现三次正面向上,则游戏结束,每轮最多连续投掷 6 次. ①甲在一轮游戏中恰好投掷了 5 次游戏结束的概率为 ,求 的表达式； ②设甲在一轮游戏中投掷次数为 ,求 的最大值. 5. 某学校排球社团为了解性别、身高等因素是否对学生喜欢排球有影响,随机调查了该校男、女生共 100 名,其中部分数据如下: 性别 排球 喜欢 不喜欢 女生 30 30 男生 30 10 (1)经计算,样本中女生身高的平均数和方差分别为 168 和 48,男生的身高平均数和方差分别为 178 和 30, 根据以上信息, 试估计该校全体学生身高的平均数和方差; (2)在某次社团活动中,甲、乙、丙这三人相互做传球训练,第 1 次由甲将球传出,每次传球时,传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人. 记 次传球后球在甲手中的概率为 . (i) 求 ; (ii) 若随机变量 服从两点分布,且 ,则 . 记前 次 (即从第 1 次到第 次) 传球中球在甲手中的次数为随机变量 , 求 的数学期望,并比较前 次传球中球分别在甲、乙、丙三人手中的次数的数学期望的 大小. 学科网（北京）股份有限公司 $$