概率的无记忆性+期望递推 讲义-2026届高三数学一轮复习

( 第 1 页 共 4 页 ) 一、几何分布与无记忆性 1、定义 2、期望 3、方差 4、无记忆性 5、几何分布模考中的典例 二、几何分布无记忆性的期望递推 三、马氏链无记忆性的期望递推 四、另一些可以用期望递推的摸球模型 一、几何分布与无记忆性 1、定义 几何分布： 若随机变量 的分布列为 其中 ， ，则称 服从几何分布 . 因为 所以定义是合理的 . 容易计算 下面举一个关于几何分布常用模型的例子， 注： 这里定义是合理的指的是概率的规范性 ， 【几何分布典例】 在独立重复试验中，设每次试验事件 发生的概率为 ， 以 记件 首次发生时所需的试验次数，说明 服从几何分布 . 解析： 2、期望 几何分布的期望： 证明： 注： 以上借助的是武汉四调题目中所给的 无穷级数和定义式所求解的，其实也可以这样解，更简单，但用到了无穷级数和 3、方差 几何分布的方差： 证明： 4、无记忆性 无记忆性： 取自然数值的随机变量 服从几何分布的充要条件是 具有无记忆性 对任意的自然数 证明： （1）充分性： （2）必要性： 这表明，在做了 次试验事件 未发生的条件下，再做 次试验事件 仍未发生的概率 等于 从开始算起直接做 次试验事件 未发生的概率 . 也就是说，前面做的 次试验被忘记了 . 这主要是由于是独立重复试验，前面试验的结果对后面试验结果的概率没有影响造成的。 5、几何分布模考中的典例 【浙江温州25届高三一模T8】 飞行棋是一种家喻户晓的竞技游戏，玩家根据骰子（骰子为均匀的正六面体）正面朝上的点数确定飞机往前走的步数，刚好走到终点处算 “到达”，如果玩家投掷的骰子点数超出到达终点所需的步数，则飞机须往回走超出点数对应的步数 . 在一次游戏中，飞机距终点只剩 步 ，设该玩家到达终点时投掷骰子的次数为 . 则 解析： 这种期望递推的操作主要利用的是几何分布无记忆性的性质。存在无记忆性的概率模型都可以利用概率递推来做，比如同学们已经熟知的马尔可夫链模型 二、几何分布无记忆性的期望递推 【24届武汉四调T19】 已知常数 ，在成功的概率为 的伯努利试验中，记 为首次成功时所需的试验次数， 的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量 的概率分布为几何分布 （1） 对于正整数 ，求 ，并根据 求 ； （2） 对于几何分布的拓展问题，在成功的概率为 的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为 ，现提供一种求 的方式：先进行第一次试验 ，若第一次试验失败 ，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助 ，可以认为后续期望仍是 ，即总的试验次数为 ；若第一次试验成功 ，则进行第二次试验 ，当第二次试验成功时 ，试验停止 ，此时试验次数为 ，若第二次试验失败 ，相当于重新试验 ，此时总的试验次数为 （i） 求 ； （ii） 记首次出现连续 次成功时所需的试验次数的期望为 ，求 解析： （1） （2） （i） 递推求法同 （ii） （ii） 【24届镇海中学高三上期末T17】 某款游戏预推出一项皮肤抽卡活动，玩家每次抽卡需要花费 元，现有以下两种方案．方案一：没有保底机制，每次抽卡抽中新皮肤的概率为 ；方案二：每次抽卡抽中新皮肤的概率为 ，若连续99次未抽中，则第 次必中新皮肤．已知 ，玩家按照一、二两种方案进行抽卡，首次抽中新皮肤时的累计花费为 ，（元） （1） 求 ， 的分布列； （2） 求 ； （3） 若 ，根据花费的均值从游戏策划角度选择收益较高的方案．（参考数据：．） 解析： （1） （3） （2） 有一枚质地均匀的硬币，现进行连续抛硬币游戏，规则如下：在抛掷的过程中，无论何时，连续出现奇数次正面后出现一次反面，则游戏停止；否则游戏继续进行.最多抛掷10次，则该游戏抛掷次数的数学期望为_____ 解析： 【23届江苏盐城中学高三三模T20】 2021年奥运会我国射击项目收获丰盛，在我国射击也是一项历史悠久 运动.某射击运动爱好者甲来到靶场练习. （1） 已知用于射击打靶的某型号枪支弹夹中一共有 发子弹，甲每次打靶的命中率均为 ，一旦出现子弹脱靶或者子弹打光便立即停止射击.记标靶上的子弹数量为随机变量 ，求 的分布列和数学期望； （2） 若某种型号的枪支弹巢中一共可装填 发子弹，现有一枪支其中有 发为实弹，其余均为空包弹，现规定：每次射击后，都需要在下一次射击之前填充一发空包弹，假设每次射击相互独立且均随机，在进行 次射击后，记弹巢中空包弹的发数为 ， ① 当 时，请直接写出数学期望 与 的关系； ② 求出 关于 的表达式. 解析： （1） （2） ① ② 三、马氏链无记忆性的期望递推 【浙南名校联盟 2024 高二下期末联考T19】 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程 . 该过程要求具备 “无记忆” 的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关 甲、乙两口袋中各装有 个黑球和 个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行 次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为 ，恰有 个黑球的概率为 ，恰有 个黑球的概率为 ，恰有 个黑球的概率为 . （1） 求 ， 的值； （2） 根据马尔科夫链的知识知道 ，其中 为常数，同时 ，请求出 ； （3） 求证： 的数学期望 为定值 . 解析： （1） （2） （3） 【24届深圳中学预测卷T14】 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型, 也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程 . 该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定, 在时间序列中它前面的事件均与之无关 . 甲口袋中各装有 个黑 球和 个白球，乙口袋中装有 个黑球和 个白球。现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋， 重复进行 次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为 ，恰有 个黑球的概率为 . 则 的 值是______； 的数学期望 是______. 解析： （1） （2） 【24届贵州黔西南州部分学校联考9月考T21】 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，因俄国数学家安德烈·马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第 次状态的概率分布只跟第 次的状态有关，与第 ，，，…次状态无关，即 . 已知甲盒子中装有 个黑球和 个白球，乙盒子中装有 个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，重复次这样的操作.记甲盒子中黑球个数为 ，恰有 个黑球的概率为 ，恰有 个黑球的概率为 （1） 求 ， 和 ，； （2） 证明： 为等比数列（ 且 ）； （3） 求 的期望（用 表示， 且 ）. 解析： （1） （2） （3） 【“宜荆荆恩”24届高三起点9月考T21】 甲、乙两个盒子中都装有大小、形状、质地相同的 个黑球和 个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，重复 次这样的操作后，记甲盒子中黑球的个数为 ，甲盒中恰有 个黑球的概率为 ，恰有3个黑球的概率为 （1） 求 ； （2） 设 ，证明： ； （3） 求 的数学期望 的值. 解析： （1） （2） （3） 四、另一些可以用期望递推的摸球模型 已知袋中有 个球，其中 个白球， 个黑球，这些球除颜色外完全相同。从袋中取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不放回，并且另外补一个白球放入袋中。重复上述过程 次后，袋中白球的个数记为 （1） 求随机变量 ，的概率分布及数学期望 （2） 求随机变量 的数学期望 关于 的表达式 解析： （1） （2） 【24届温州高三上期末（1.5模）T18】 现有标号依次为 ，，…， 的 个盒子，标号为 号的盒子里有 个红球和 个白球，其余盒子里都是 个红球和 个白球 ．现从 号盒子里取出 个球放入 号盒子，再从 号盒子里取出 个球放入 号盒子，…，依次进行到从 号盒子里取出 个球放入 号盒子为止 （1） 当 时，求 号盒子里有 个红球的概率； （2） 当 时，求 号盒子里的红球的个数 的分布列； （3） 记 号盒子中红球的个数为 ，求 的期望 ． 解析： （1） （2） （3） 【湖北圆创24届3月联考T19】 设 的所有可能取值为 ，称 （ ，，，，，，，）为二维离散随机变量 的联合分布列，用表格表示为： 仿照条件概率的定义，有如下离散随机变量的条件分布列：定义 ，对于固定的 ，若 ，则称 为给定 条件下的 条件分布列 离散随机变量的条件分布的数学期望（若存在）定义如下：． （1） 设二维离散随机变量 的联合分布列为 求给定 条件下的 条件分布列； （2） 设 为二维离散随机变量，且 存在，证明： ； （3） 某人被困在有三个门的迷宫里，第一个门通向离开迷宫的道，沿此道走 分钟可走出迷宫；第二个门通一条迷道，沿此迷道走 分钟又回到原处；第三个门通一条迷道，沿此迷道走 分钟也回到原处．假定此人总是等可能地在三个门中选择一个，试求他平均要用多少时间才能走出迷宫． 解析： （1） （2） （3） 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 第 1 页 共 4 页 ) 一、几何分布与无记忆性 1、定义 2、期望 3、方差 4、无记忆性 5、几何分布模考中的典例 二、几何分布无记忆性的期望递推 三、马氏链无记忆性的期望递推 四、另一些可以用期望递推的摸球模型 一、几何分布与无记忆性 1、定义 几何分布： 若随机变量 的分布列为 其中 ， ，则称 服从几何分布 . 因为 所以定义是合理的 . 容易计算 下面举一个关于几何分布常用模型的例子， 注： 这里定义是合理的指的是概率的规范性 【几何分布典例】 在独立重复试验中，设每次试验事件 发生的概率为 ， 以 记件 首次发生时所需的试验次数，说明 服从几何分布 . 解析： 记 前 次试验 不发生，第 次 发生 由独立性知 即 服从几何分布 . 2、期望 几何分布的期望： 证明： 由于 所以 记 ，则 所以 注： 以上借助的是武汉四调题目中所给的 无穷级数和定义式所求解的，其实也可以这样解，更简单，但用到了无穷级数和 所以 3、方差 几何分布的方差： 证明： 先计算 又 ，所以 所以 4、无记忆性 无记忆性： 取自然数值的随机变量 服从几何分布的充要条件是 具有无记忆性 对任意的自然数 证明： （1）充分性： 设 服从几何分布，则对任意的 有 （2）必要性： 设 ， 由知，对任意的 ，有 ，且 . 解该方程得 . 由 知 . 记 ，，则对任意的 ，有 得证 服从几何分布 . 这表明，在做了 次试验事件 未发生的条件下，再做 次试验事件 仍未发生的概率 等于 从开始算起直接做 次试验事件 未发生的概率 . 也就是说，前面做的 次试验被忘记了 . 这主要是由于是独立重复试验，前面试验的结果对后面试验结果的概率没有影响造成的。 5、几何分布模考中的典例 【浙江温州25届高三一模T8】 飞行棋是一种家喻户晓的竞技游戏，玩家根据骰子（骰子为均匀的正六面体）正面朝上的点数确定飞机往前走的步数，刚好走到终点处算 “到达”，如果玩家投掷的骰子点数超出到达终点所需的步数，则飞机须往回走超出点数对应的步数 . 在一次游戏中，飞机距终点只剩 步 ，设该玩家到达终点时投掷骰子的次数为 . 则 解析： 由题意得，无论飞机在何处，离终点的距离只可能是 ，，，， 也就是无论前面掷了多少次骰子（都没到达终点），只要最后再掷一次骰子，总有 的概率到达终点 即 即 服从几何分布 由几何分布的期望公式可得 注： 该题还可以利用期望递推来做，假设已经投掷了 次骰子都没到达终点 则再投掷 次骰子到达终点的概率为 ，没到达的概率为 ，即在第 次投掷骰子才能到达 所以 解得 这种期望递推的操作主要利用的是几何分布无记忆性的性质。存在无记忆性的概率模型都可以利用概率递推来做，比如同学们已经熟知的马尔可夫链模型 二、几何分布无记忆性的期望递推 【24届武汉四调T19】 已知常数 ，在成功的概率为 的伯努利试验中，记 为首次成功时所需的试验次数， 的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量 的概率分布为几何分布（1） 对于正整数 ，求 ，并根据 求 ； （2） 对于几何分布的拓展问题，在成功的概率为 的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为 ，现提供一种求 的方式：先进行第一次试验 ，若第一次试验失败 ，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助 ，可以认为后续期望仍是 ，即总的试验次数为 ；若第一次试验成功 ，则进行第二次试验 ，当第二次试验成功时 ，试验停止 ，此时试验次数为 ，若第二次试验失败 ，相当于重新试验 ，此时总的试验次数为 （i） 求 ； （ii） 记首次出现连续 次成功时所需的试验次数的期望为 ，求 解析： （ii） 期望 表示已经有最后的 次连续成功 当下一次再成功时即有连续 次成功，则总试验次数为 ，概率为 ； 当下一次不成功时，因为出现试验失败对出现连续 次成功毫无帮助 ，可以认为后续期望仍是 ，即总的试验次数为 ，概率为 所以 则 设 对比 式可得 又 是以 为首项，以 为公比的等比数列 则 【24届镇海中学高三上期末T17】 某款游戏预推出一项皮肤抽卡活动，玩家每次抽卡需要花费 元，现有以下两种方案．方案一：没有保底机制，每次抽卡抽中新皮肤的概率为 ；方案二：每次抽卡抽中新皮肤的概率为 ，若连续99次未抽中，则第 次必中新皮肤．已知 ，玩家按照一、二两种方案进行抽卡，首次抽中新皮肤时的累计花费为 ，（元） （1） 求 ， 的分布列；（2） 求 ； （3） 若 ，根据花费的均值从游戏策划角度选择收益较高的方案．（参考数据：．） 解析： （1） （3） （2） 服从几何分布，可以理解成 【24届武汉四调T19】 的情况 则期望满足 解得 有一枚质地均匀的硬币，现进行连续抛硬币游戏，规则如下：在抛掷的过程中，无论何时，连续出现奇数次正面后出现一次反面，则游戏停止；否则游戏继续进行.最多抛掷10次，则该游戏抛掷次数的数学期望为_____ 解析： 记最多抛掷 次时该游戏抛掷次数的数学期望为 . 易知 . 考虑 时的情形，最多投掷 次，分以下三种情形讨论 （1） 第一次投郑为反面，概率为 ，变为 的情形，数学期望为 （2） 第一、二次投掷均为正面，概率为 ，变为 的情形，数学期望为 （3） 第一次投郑为正面，第二次为反面,游戏停止，概率为 ，数学期望为 2 . 所以 因为 所以递推可得 故答案为 【23届江苏盐城中学高三三模T20】 2021年奥运会我国射击项目收获丰盛，在我国射击也是一项历史悠久 运动.某射击运动爱好者甲来到靶场练习. （1） 已知用于射击打靶的某型号枪支弹夹中一共有 发子弹，甲每次打靶的命中率均为 ，一旦出现子弹脱靶或者子弹打光便立即停止射击.记标靶上的子弹数量为随机变量 ，求 的分布列和数学期望； （2） 若某种型号的枪支弹巢中一共可装填 发子弹，现有一枪支其中有 发为实弹，其余均为空包弹，现规定：每次射击后，都需要在下一次射击之前填充一发空包弹，假设每次射击相互独立且均随机，在进行 次射击后，记弹巢中空包弹的发数为 ， ① 当 时，请直接写出数学期望 与 的关系； ② 求出 关于 的表达式.解析： （1） （2） ① 第 次射击后，包含两种情况：第 次射出空包弹和第 次射出实弹 第 次射击前，剩余空包弹的期望是 若第 次射出空包弹，则此时对应的概率为 因为射击后要填充一发空包弹，则此时空包弹的数量为 若第 次射出实弹，则此时对应的概率为 ，此时空包弹的数量为 所以 ② 当 时，弹巢中有 发空包弹，即 由 得 当 时，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列 而当 时， 满足上式 三、马氏链无记忆性的期望递推 【浙南名校联盟 2024 高二下期末联考T19】 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程 . 该过程要求具备 “无记忆” 的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关 甲、乙两口袋中各装有 个黑球和 个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行 次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为 ，恰有 个黑球的概率为 ，恰有 个黑球的概率为 ，恰有 个黑球的概率为 . （1） 求 ， 的值； （2） 根据马尔科夫链的知识知道 ，其中 为常数，同时 ，请求出 ； （3） 求证： 的数学期望 为定值 . 解析： （1） ， （2） （3） 记第 次操作后，甲口袋中黑球个数为 ，则乙口袋中黑球个数为 则第 次操作时， 从甲口袋中取出黑球的个数服从超几何分布，则取出黑球个数的期望为 从乙口袋中取出黑球的个数也服从超几何分布，则取出黑球个数的期望为 则第 次操作后， 甲盒子中黑球个数 满足 第 次操作时从甲盒中取出黑球的个数服从超几何分布，则取出黑球个数的期望为 从乙盒中取出黑球的个数也服从超几何分布，则取出黑球个数的期望为 即 数列 是常数列，即 【24届深圳中学预测卷T14】 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型, 也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程 . 该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定, 在时间序列中它前面的事件均与之无关 . 甲口袋中各装有 个黑 球和 个白球，乙口袋中装有 个黑球和 个白球。现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋， 重复进行 次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为 ，恰有 个黑球的概率为 . 则 的 值是______； 的数学期望 是______. 解析： （1） 第一次操作后，口袋甲中恰有 个黑球只可能有两种情况： ① 从口袋甲中摸出的是白球，则从口袋乙中摸出的也必须是白球，这种情况的概率为 ② 从口袋甲中摸出的是黑球，则从口袋乙中摸出的也必须是黑球，这种情况的概率为 （2） （以下利用期望递推做，概率递推可以参考标答，群内分享） 记第 次操作后，口袋甲中黑球个数为 ，则口袋乙中黑球个数为 则第 次操作时从口袋甲中取出黑球的个数服从超几何分布，则取出黑球个数的期望为 从口袋乙中取出黑球的个数也服从超几何分布，则取出黑球个数的期望为 则第 次操作后， 口袋甲中黑球个数 满足 第 次操作时， 从口袋甲中取出黑球的个数服从超几何分布，则取出黑球个数的期望为 从口袋乙中取出黑球的个数也服从超几何分布，则取出黑球个数的期望为 即 数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列 【24届贵州黔西南州部分学校联考9月考T21】 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，因俄国数学家安德烈·马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第 次状态的概率分布只跟第 次的状态有关，与第 ，，，…次状态无关，即 . 已知甲盒子中装有 个黑球和 个白球，乙盒子中装有 个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，重复次这样的操作.记甲盒子中黑球个数为 ，恰有 个黑球的概率为 ，恰有 个黑球的概率为 （1） 求 ， 和 ，； （2） 证明： 为等比数列（ 且 ）； （3） 求 的期望（用 表示， 且 ）. 解析： （1） （2） （3） 记第 次操作后，甲盒中黑球个数为 ，则乙盒中黑球个数为 则第 次操作时， 从甲盒中取出黑球的个数服从超几何分布，则取出黑球个数的期望为 从乙盒中取出黑球的个数也服从超几何分布，则取出黑球个数的期望为 则第 次操作后， 甲盒子中黑球个数 满足 第 次操作时从甲盒中取出黑球的个数服从超几何分布，则取出黑球个数的期望为 从乙盒中取出黑球的个数也服从超几何分布，则取出黑球个数的期望为 即 数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列 即 【“宜荆荆恩”24届高三起点9月考T21】 甲、乙两个盒子中都装有大小、形状、质地相同的 个黑球和 个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，重复 次这样的操作后，记甲盒子中黑球的个数为 ，甲盒中恰有 个黑球的概率为 ，恰有3个黑球的概率为 （1） 求 ； （2） 设 ，证明： ； （3） 求 的数学期望 的值. 解析： （1） （2） （3） 记第 次操作后，甲盒中黑球个数为 ，则乙盒中黑球个数为 则第 次操作时， 从甲盒中取出黑球的个数服从超几何分布，则取出黑球个数的期望为 从乙盒中取出黑球的个数也服从超几何分布，则取出黑球个数的期望为 则第 次操作后， 甲盒子中黑球个数 满足 第 次操作时， 从甲盒中取出黑球的个数服从超几何分布，则取出黑球个数的期望为 从乙盒中取出黑球的个数也服从超几何分布，则取出黑球个数的期望为 即 数列 是常数列，即 四、另一些可以用期望递推的摸球模型 已知袋中有 个球，其中 个白球， 个黑球，这些球除颜色外完全相同。从袋中取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不放回，并且另外补一个白球放入袋中。重复上述过程 次后，袋中白球的个数记为 （1） 求随机变量 ，的概率分布及数学期望 （2） 求随机变量 的数学期望 关于 的表达式 解析： （1） （2） 设第 次取完球后的白球个数为 ，所以黑球的个数为 则第 次取球时，分为两种情况 ① 取出的是白球，概率为 ，取完后白球则有 ② 取出的是黑球，概率为 ，取完后白球则有 所以第 次的期望为 设 对比上式可得 第一次后， 可能取 数列 是以 为首项， 为公比的等比数列 即 【24届温州高三上期末（1.5模）T18】 现有标号依次为 ，，…， 的 个盒子，标号为 号的盒子里有 个红球和 个白球，其余盒子里都是 个红球和 个白球 ．现从 号盒子里取出 个球放入 号盒子，再从 号盒子里取出 个球放入 号盒子，…，依次进行到从 号盒子里取出 个球放入 号盒子为止 （1） 当 时，求 号盒子里有 个红球的概率； （2） 当 时，求 号盒子里的红球的个数 的分布列； （3） 记 号盒子中红球的个数为 ，求 的期望 ． 解析： （1） （2） （3） （标答利用的是概率递推写的，以下利用期望递推解答） 从 号盒子里取出 个球放入 号盒子之前， 号盒子中总共有 个球，设红球个数为 ，则白球个数为 从 号盒子取两个球，取出红球的个数服从超几何分布，则取出红球个数的期望为 则 号盒子中红球的个数为 满足 号的盒子里有 个红球，则 数列 是常数列，即 【湖北圆创24届3月联考T19】 设 的所有可能取值为 ，称 （ ，，，，，，，）为二维离散随机变量 的联合分布列，用表格表示为： 仿照条件概率的定义，有如下离散随机变量的条件分布列：定义 ，对于固定的 ，若 ，则称 为给定 条件下的 条件分布列离散随机变量的条件分布的数学期望（若存在）定义如下：． （1） 设二维离散随机变量 的联合分布列为 求给定 条件下的 条件分布列； （2） 设 为二维离散随机变量，且 存在，证明： ； （3） 某人被困在有三个门的迷宫里，第一个门通向离开迷宫的道，沿此道走 分钟可走出迷宫；第二个门通一条迷道，沿此迷道走 分钟又回到原处；第三个门通一条迷道，沿此迷道走 分钟也回到原处．假定此人总是等可能地在三个门中选择一个，试求他平均要用多少时间才能走出迷宫． 解析： （1） 用第一行各元素分别除以 ，可得给定 条件下的 条件分布列 （2） 二维离散随机变量 的概率为 由 可知 所以 （3） 由 （2） 知，对于二维离散随机変量 设他需要 小时离开迷宫，记 表示第一次所选的门，事件 表示选第 个门 选第一个门后 分钟可离开迷宫 选第二个门后 分钟回到原处 选第三个门后 分钟回到原处 由题意得 所以 的分布列为 所以 解得 ，即他平均要 分钟才能离开迷宫 学科网（北京）股份有限公司 $$