第五章 一元函数的导数及其应用 能力提升卷-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第5章 一元函数的导数及其应用（能力提升卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（24-25高二下·四川成都·月考）设函数的图象在点处的切线方程为，则（    ） A．2024 B．2023 C．4048 D．4046 2．（2026高三·全国·专题练习）函数的图像大致是（    ） A．   B．   C．   D．   3．（25-26高一上·湖北黄石·期中）若偶函数定义域为在上的图象如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二·全国·课后作业）若函数的图象存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知函数在内单调递增，则实数a的取值范围为（   ）. A． B． C． D． 6．（24-25高三下·四川成都·月考）下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·云南红河·月考）已知奇函数的定义域为R，其函数图象连续不断，当时，，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·江苏南京·月考）已知对任意的，不等式恒成立，则正数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（25-26高二上·福建莆田·月考）下列求导正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（24-25高二下·河北·期中）已知函数，曲线在点处的切线方程为.则下列结论正确的有（    ） A． B． C．若在上有最大值，则的取值范围为 D． 11．（24-25高二下·河北邢台·月考）设，则（    ） A． B． C． D． 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（24-25高二下·湖北·期中）若函数的导函数为．，且满足，则 ． 13．（2026·全国·模拟预测）已知函数，若方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是 . 14．（24-25高二下·江苏苏州·期中）设，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是 ． 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性，并求最值. 16．（2025·青海海东·一模）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若在点处的切线为，函数的图象在点处的切线为，，求直线的方程. 17．（25-26高三上·天津·期中）已知函数在定义域上不是单调函数． (1)求实数的取值范围； (2)若在定义域上的极大值为，极小值为，求的取值范围． 18．（25-26高二·全国·单元测试）某单位设计了一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内布设一条对角线在上的四边形电气线路，如图所示，为充分利用现有材料，边是用一根长的材料弯折而成的，边，是用一根长的材料弯折而成的，要求角A和角互补，且，. （1）求的解析式，并指出的取值范围； （2）求四边形面积的最大值. 19．（25-26高三上·北京·开学考试）已知函数，其中为常数. (1)若，求函数的极值； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (3)若，求函数在上的极值点的个数. 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 一元函数的导数及其应用（能力提升卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（24-25高二下·四川成都·月考）设函数的图象在点处的切线方程为，则（    ） A．2024 B．2023 C．4048 D．4046 【答案】C 【分析】根据切线方程可知，再由导数的定义可得解. 【详解】因为函数的图象在点处的切线方程为， 所以斜率， 所以. 故选：C 2．（2026高三·全国·专题练习）函数的图像大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】由函数的奇偶性，导数与单调性的关系判断. 【详解】易知函数的定义域为R，且， 故为偶函数，排除选项A、D， 又，当时，，所以函数在上单调递增， 记，则， 当时，，所以函数在上单调递增， 故增长越来越快，知B中图象符合题意. 故选：B. 3．（25-26高一上·湖北黄石·期中）若偶函数定义域为在上的图象如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的性质判断出函数图象在y轴左侧的情况，然后结合导数的意义，不难求出等式的解集. 【详解】由图可知：在区间上单调递增，则在区间上. 又由为偶函数，则在区间上单调递减，则在区间上. 由可得在区间上，， 在区间上，，在区间上，， 在区间上，. 故不等式的解集为. 故选：B 4．（25-26高二·全国·课后作业）若函数的图象存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意将问题转化为“有解”，即在上有解，根据的取值范围求解即可. 【详解】因为，，所以， 若函数的图象存在与直线垂直的切线， 则，即在有解， 因为，所以， 即实数的取值范围是. 故选：A. 5．（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知函数在内单调递增，则实数a的取值范围为（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得，转化为在上恒成立，设，求得，得到函数的单调性与最小值，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为在内单调递增， 即在上恒成立，即在上恒成立， 设，可得， 令，即，解得，在单调递增， 令，即，解得，在单调递减， 所以，当时，，所以， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 6．（24-25高三下·四川成都·月考）下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数函数的性质判断A，构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可利用单调性逐一判断BCD. 【详解】对于A，由于， 所以，故，故A错误； 对于BCD，设，则， 当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 因此， 即，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 故选：C 7．（24-25高二下·云南红河·月考）已知奇函数的定义域为R，其函数图象连续不断，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，根据条件判断单调性，再结合奇偶性可解. 【详解】解：令，则，， 当时，， 所以在上单调递增，所以，即，从而可得，，故A错误； 因为为奇函数，所以，所以B错误； 对于C，因为当时，，则当时，，所以，． 又为奇函数，所以，C错误． 由选项A的推理过程可知，又，，可得，D正确． 故选：D 【点睛】本题考查了函数的奇函数的性质，也考查了利用导数确定函数的单调性，难点在于构造函数，属于较难题. 8．（25-26高三上·江苏南京·月考）已知对任意的，不等式恒成立，则正数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不等式中出现的指数式，对数式，故可以考虑同构，将原不等式变形为，以实现不等式左、右两边统一于函数，再利用导数研究函数的单调性，从而由可得，再分离参数求最值即可. 【详解】因为对任意的，不等式恒成立， 即对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 设，则， 因为，又， 所以，所以在上单调递增， 所以对任意的恒成立，即对任意的恒成立， 令，， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以. 故选:A 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（25-26高二上·福建莆田·月考）下列求导正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】根据基本初等函数的导数的运算公式和导数的运算法则，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，，则，A正确； 对于B中，，则，B错误； 对于C中，，则，C错误； 对于D中，，则，D正确. 故选：AD 10．（24-25高二下·河北·期中）已知函数，曲线在点处的切线方程为.则下列结论正确的有（    ） A． B． C．若在上有最大值，则的取值范围为 D． 【答案】ACD 【分析】利用导数的几何意义可求出的值判断A，B项；对求导，得到函数的单调性和极值点，结合给定区间即可求得参数范围，判断C项；对相应函数求导即可判断D项. 【详解】依题意可知，点为切点，代入可得， ，又，即. 又由，得. 依题可得，代入上式，可得，即， 由，解得，故A正确，B错误； 对于C，由上分析可得，则 由，可得或；由，可得， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为， 因， 由题在区间上有最大值，故有， 解得，故C正确； 对于D，因，则， 于是，故D正确. 故选：ACD. 11．（24-25高二下·河北邢台·月考）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据指数函数的性质，可得，继而可判断选项A,B;构造函数及，利用导数可判断单调性，继而可得，进一步分析即可判断选项C,D. 【详解】由，得， 由，， 得，， 所以， 则，则A正确，B错误； 当时，， 则， 所以在上单调递增， 得，即． 记，则， 所以在上单调递增， 得，即． 故当时，， 则， 因为， 所以， 得， 则，得， 故C,D正确， 故选：ACD. 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（24-25高二下·湖北·期中）若函数的导函数为．，且满足，则 ． 【答案】 【分析】先算出导函数，再将代入求解即可． 【详解】由于，所以， 令，则， ． 故答案为：． 13．（2026·全国·模拟预测）已知函数，若方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】通过求导得出函数的单调性和极值，即可得出有三个实根时实数的取值范围. 【详解】由题意， 在中，， 当时，解得或， 当即时，单调递减， 当即，时，单调递增， ∵，， 当， 方程有三个不同的实根， ∴即， 故答案为：. 【点睛】易错点点点睛：本题考查函数求导，两函数的交点问题，在研究函数的图象时很容易忽略这个条件. 14．（24-25高二下·江苏苏州·期中）设，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】令函数，，因为不等式在上恒成立，所以是函数的切线，分别利用切点坐标表示，再求出，构造函数求最小值即得的最小值. 【详解】令函数，， ， 则，故在上单调递增； 因为在上恒成立，即在上恒成立； 故在上图象恒在上方或者只有一个切点； 考虑临界情况，当直线与曲线相切时，可以求解的最值. 设切点为 ，则 ， 由，可得，解得， 故， 令 ，所以； 令则，， 当时， ，则在上单调递减； 当时， ，在上单调递增； 所以，所以的最小值是； 故答案为： 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性，并求最值. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）通过求导得到切线斜率，利用点斜式即可求得切线方程； （2）将函数求导后，根据参数分类讨论函数的单调性，即可判断求解函数的最值. 【详解】（1）当时，，求导得：， 则，， 则在处的切线方程：，即； （2）由求导得：， ①当时，在上恒成立，故在上单调递增，无最值； ②当时，由，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，在单调递增， 所以在有最小值，为,无最大值. 16．（2025·青海海东·一模）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若在点处的切线为，函数的图象在点处的切线为，，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件及函数值的定义，利用导数的运算法则及基本初等函数的导数公式，结合导数的几何意义及直线的点斜式即可求解. （2）利用导数法求出函数的最小值及基本不等式，结合导数的几何意义、两直线平行的条件及直线的点斜式方程即可求解. 【详解】（1）， ，则， 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）设，令，则. 当时，； 当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在时取得最大值2，即. ，当且仅当时，等号成立，取得最小值2. 因为，所以，得. 即， 所以直线的方程为，即. 17．（25-26高三上·天津·期中）已知函数在定义域上不是单调函数． (1)求实数的取值范围； (2)若在定义域上的极大值为，极小值为，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）先求得，然后根据二次函数在区间上有正有负列不等式，由此求得的取值范围. （2）根据（1）将表示为仅含的形式，利用换元法、构造函数法，结合导数来求得的取值范围． 【详解】（1）函数的定义域为，， 由得：，设． ∵函数不是单调函数，∴在有正实根， 又，设的两根为，， 则由可得：有两个不相等的正实根，且． （2）由（1）可知： ， ． 令，所以， 因为， 所以， 故． 【点睛】方法点睛：利用导数研究含参数的函数在区间上的单调性，首先要注意先求得函数的定义域，求导后，根据参数的位置以及题目所给函数单调性相关的条件，可以直接利用二次函数的性质来列不等式来求解，也可以考虑分离常数法来进行求解. 18．（25-26高二·全国·单元测试）某单位设计了一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内布设一条对角线在上的四边形电气线路，如图所示，为充分利用现有材料，边是用一根长的材料弯折而成的，边，是用一根长的材料弯折而成的，要求角A和角互补，且，. （1）求的解析式，并指出的取值范围； （2）求四边形面积的最大值. 【答案】（1），；（2）. 【分析】（1）在与中，分别利用余弦定理，即可确定的解析式，及的取值范围； （2）四边形的面积，构建函数，，求导函数，即可求得四边形面积的最大值． 【详解】解：（1）在中，由余弦定理，得 . 同理，在中，. 因为角A和角互补，所以 ， 即， 解得，即，其中； （2）四边形的面积 ，. 记，. 由， 得或（舍去）或（舍去），所以. 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以的最大值为， 即所求四边形面积的最大值为. 19．（25-26高三上·北京·开学考试）已知函数，其中为常数. (1)若，求函数的极值； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (3)若，求函数在上的极值点的个数. 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2) (3)1个 【分析】（1）求出的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可； （2）求得导数和单调区间，讨论与极值点的关系，结合单调性，运用参数分离和解不等式可得的范围； （3）当时，求出导数，利用二次求导求出函数的单调性即可判断极值点的个数. 【详解】（1）当时，，定义域为， ， 令，即， ，解得， 当时，， 当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 故的极大值为，无极小值. （2），定义域为且， ， 要使在上单调递增，则， 又时，， 只需在上恒成立， 即在上恒成立， 令，即， 则， 令，即， 解得， 当时，， 当时，， 在上单调递减，在上单调递增， ， . （3）当时，，， 由（2）知， 令， 则， 当时，， 当时，， 在单调递增，在上单调递减， ， 又，， 则在上有且仅有一个零点，设该零点为， 则当时，，即， 当时，，即， 则在上单调递增，在上单调递减， 则为的极大值点， 故函数在上有一个极值点. 【点睛】利用导数研究函数在区间上单调的方法： （1）已知在上单调递增恒成立； （2）已知在上单调递减恒成立； 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $