第五章 一元函数的导数及其应用 基础巩固卷-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第5章 一元函数的导数及其应用（基础巩固卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（25-26高二·全国·课后作业）设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为（    ） A．2.1 B．1.1 C．2 D．0 【答案】A 【分析】由平均变化率的定义计算． 【详解】 故选：A． 2．（24-25高二下·河南郑州·期中）若，则（    ） A．2 B．1 C．-2 D．-1 【答案】C 【分析】根据导数的定义，，代入即可求得 【详解】因为，则. 故选：C 3．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期末）已知函数，若，则等于（　　） A． B．1 C．ln2 D．e 【答案】D 【分析】求导，由得出. 【详解】， 故选：D 4．（25-26高三·广东中山·期中）曲线在点处的切线方程为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数的几何意义进行求解即可. 【详解】由， 所以曲线在点处的切线的斜率为，而， 因此切线方程为， 故选：C 5．（24-25高二下·江西·期末）若是定义在区间上的函数，其图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图象，利用导数与函数单调性间的关系，得和时，的取值范围，即可求解. 【详解】由图可知的减区间为，，增区间为， 所以当时，，当时，， 又由图知，当时，，当时，， 所以的解集为， 故选：B. 6．（24-25高二下·河北衡水·期末）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由导数与函数单调性的关系，建立不等式，根据正弦函数的值域，可得答案. 【详解】由，求导可得，由题意可得， 由，则， 当时，由没有变号零点，符合题意. 故选：A. 7．（2026·全国·模拟预测）已知函数，若曲线存在与y轴垂直的切线，则a的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可推出方程有实根，分离参数即方程有实根．由此构造函数，利用导数求出其最值，即可求得答案. 【详解】由，得， 因为曲线存在与y轴垂直的切线，所以方程有实根， 即方程有实根． 设，则，当时，单调递增， 当时，单调递减，故， 又当趋向于负无穷大时，也趋向于负无穷大，当趋向于正无穷大时，趋向于0， 所以， 则a的最大值为， 故选：C． 8．（2025·四川攀枝花·二模）若关于的方程存在三个不等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方程转化为，令，利用导数求函数单调性和极值，确定关于的方程存在三个不等实数根的条件，求出实数的取值范围. 【详解】关于的方程存在三个不等的实数根， 等价于方程存在三个不等的实数根， 令，，解得，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且时，时，当时，有极大值， 方程，，方程有两个不等的实数根，且两根之积为， 则方程有一正根一负根，且正根位于区间上， 此时关于的方程存在三个不等的实数根， 所以，解得， 所以的取值范围为. 故选：B. 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（25-26高二上·江苏连云港·期末）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由基本初等函数的导数与导数的运算法则计算即可. 【详解】，， ，. 故选：BC. 10．（24-25高二下·江苏盐城·期末）已知函数的定义域为，其导函数为，的部分图象如图所示，则（    ） A．在上单调递增 B．的最大值为 C．的一个极大值点为 D．的一个减区间为 【答案】CD 【分析】根据导函数的图像与大小比较可得的单调性，进而分析出极值进行分析即可． 【详解】对A，由的部分图像并不能确定在恒成立，故A错误； 对B，由图只能得出的部分区间单调性，最大值不一定为，故B错误； 对C，由图可知，且在左右两侧左正右负，故为的一个极大值，故C正确； 对D，当时，，所以在上单调递减，故D正确． 故选：CD． 11．（24-25高二下·山东济宁·月考）设函数，则（    ） A．当时，有两个零点 B．当时，是的极大值点 C．当时，点为曲线的对称中心 D．当时，在区间上单调递增 【答案】ACD 【分析】根据因式分解可得函数的零点，结合导函数的图像去研究函数的极大值、对称中心与单调性. 【详解】已知，所以, 当时，，方程有两个根，所以正确， 当时，的解集为，的解集为， 所以在上单调减，在上单调增，所以在处取极小值，所以错误, 当时，， 所以关于中心对称，所以正确， 当时，的解集为，而,所以在上单调递增，所以正确. 故选： 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（25-26高二·全国·课后作业）设函数，若，则 ． 【答案】1 【分析】根据导数的定义求出，再将代入计算即可. 【详解】解:因为 =， ∴， ∴． 故答案为：1 13．（24-25高二下·安徽六安·期中）已知函数的图象在处的切线与直线平行，则实数 【答案】 【分析】对函数求导，求出，结合已知条件两直线平行斜率相等，得：，解出值即可. 【详解】由题可知，所以， 又直线的斜率为，所以，解得：. 故答案为：. 14．（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知函数，则函数的最大值为 ；若关于x的方程恰有3个不同的实数解，则实数t的取值范围为 . 【答案】 / 【分析】①直接求导确定单调性，即可求出最大值； ②先因式分解得到或，由函数图像得有两个不同的解，解不等式即可求出t的取值范围. 【详解】①定义域为，，当时，单调递增，当时，单调递减， 故是函数的极大值也是最大值； ②当时，，当时，，当时，， 由即，解得或，显然只有一个解， 所以方程有两个不同的解，所以，解得，故t的取值范围为. 故答案为：；. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（24-25高二下·河北唐山·期中）已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程﹔ （2）求的单调区间和极值. 【答案】（1）；（2）单调增区间为，单调减区间为，极大值为，极小值为. 【分析】（1）由导函数，求出切线斜率，由点斜式得切线方程，整理即得； （2）由导函数可得得的解，列表确定的正负，得的单调区间与极值． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴，又 所以切线方程为. 即 （2） 可得或. 令，得或；令，得. 当变化时，，的变化情况如下表： x 1 + 0 0 + 单调递增↗ 3 单调递减↘ 单调递增↗ 所以，的单调增区间为，单调减区间为 当时，有极大值，并且极大值为 当时，有极小值，并且极小值为． 16．（24-25高二下·重庆沙坪坝·期中）已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【答案】(1)； (2)答案见解析﹒ 【分析】(1)求f(2)及在x＝2处导数值，根据导数几何意义和直线点斜式方程即可求解； (2)求f(x)导数，根据a的范围讨论导数正负，从而判断f(x)单调性． 【详解】（1）当时，，，，， 故在处的切线方程为， 即； （2）， 当，即时，，在R上单调递增； 当，即时， 由，得，由，得， ∴在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，在R上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 17．（24-25高二下·北京·期中）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若对恒成立.求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间； （2）利用导数求出函数在区间上的最小值，可得出，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）因为，则， 令，可得或， 所以当或时，当时， 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为； （2）由（1）可知，函数在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，， 故当时，， 因为对恒成立，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 18．（24-25高三下·江西·月考）已知函数. (1)当时，求在点处的切线方程； (2)当时，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义可知斜率，代入直线的点斜式方程可得切线方程为；（2）由可得，利用函数单调性即可知在处取得最小值，即证明即可，令函数即可得出证明. 【详解】（1）当时，； 则， 所以在点处的切线斜率，又； 切线方程为，即 所以，在点处的切线方程为. （2）当时，可得 , 又，令可得； 所以当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增； 即在处取得极小值，也是最小值， 所以； 要证明，即证明，也即 构造函数，则， 所以当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增； 所以；即可得， 当且仅当时等号成立； 故. 19．（25-26高二上·河南郑州·期末）已知函数. （1）若，求函数单调区间； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）的单调增区间为，单调减区间为；（2）. 【解析】（1）求出导函数，由确定增区间，由确定减区间； （2）时，原问题利用分离参数变形为恒成立，引入函数，利用导数求得有单调性，求出取值范围，从而可得的取值范围． 【详解】（1）定义域为，由得， ， 令得， 令得或 函数的单调增区间为，单调减区间为. （2）， 即. ， 原问题等价于恒成立 令， 令， 则， 当时，， 当时， 在区间上是增函数，在区间上是减函数 又， 当时，， ， 函数，在区间上是增函数， ， 即实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：本题考查用导数求函数的单调区间，用导数研究不等式恒成立问题．不等式恒成立问题的解题方法一般是分离参数，然后引入新函数，再由导数求出函数的单调性，确定最值或取值范围，从而可得参数范围． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 一元函数的导数及其应用（基础巩固卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（25-26高二·全国·课后作业）设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为（    ） A．2.1 B．1.1 C．2 D．0 2．（24-25高二下·河南郑州·期中）若，则（    ） A．2 B．1 C．-2 D．-1 3．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期末）已知函数，若，则等于（　　） A． B．1 C．ln2 D．e 4．（25-26高三·广东中山·期中）曲线在点处的切线方程为 （    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·江西·期末）若是定义在区间上的函数，其图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·河北衡水·期末）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·全国·模拟预测）已知函数，若曲线存在与y轴垂直的切线，则a的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·四川攀枝花·二模）若关于的方程存在三个不等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（25-26高二上·江苏连云港·期末）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二下·江苏盐城·期末）已知函数的定义域为，其导函数为，的部分图象如图所示，则（    ） A．在上单调递增 B．的最大值为 C．的一个极大值点为 D．的一个减区间为 11．（24-25高二下·山东济宁·月考）设函数，则（    ） A．当时，有两个零点 B．当时，是的极大值点 C．当时，点为曲线的对称中心 D．当时，在区间上单调递增 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（25-26高二·全国·课后作业）设函数，若，则 ． 13．（24-25高二下·安徽六安·期中）已知函数的图象在处的切线与直线平行，则实数 14．（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知函数，则函数的最大值为 ；若关于x的方程恰有3个不同的实数解，则实数t的取值范围为 . 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（24-25高二下·河北唐山·期中）已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程﹔ （2）求的单调区间和极值. 16．（24-25高二下·重庆沙坪坝·期中）已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性. 17．（24-25高二下·北京·期中）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若对恒成立.求实数的取值范围. 18．（24-25高三下·江西·月考）已知函数. (1)当时，求在点处的切线方程； (2)当时，求证：. 19．（25-26高二上·河南郑州·期末）已知函数. （1）若，求函数单调区间； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $