第五章一元函数的导数及其应用【章末基础知识专项训练】-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第五章　一元函数的导数及其应用 【章末基础知识专项训练】 单项选择题 1.【教材变式】[2025兰州一中高二月考]函数f(x)=x3-3x2+1的单调递减区间为(　　) A.(-∞,0) B.(-1,2) C.(0,2) D.(2,+∞) 2.[2025扬州大学附中高二调研]函数f(x)=x2在区间[1,3]上的平均变化率等于x=m时的瞬时变化率,则m=(　　) A. B.1 C.2 D. 3.[2025台州中学、台州一中等校高二期中联考]2025年哈尔滨亚洲冬季运动会高山滑雪比赛的滑雪赛场中某一段滑道的示意图如图中的曲线f(x),综合考虑安全性和趣味性,在滑道最陡(点P)处的切线方程是y=-x+8,则=(　　)  A.- B.-1 C.1 D.-2 4.[2024西安三十八中模拟]函数f(x)=在[-3,3]上的最大值和最小值分别是(　　) A.,- B.,- C.,- D.,- 5.[2025南通中学模拟]函数f(x)=(ex+e-x)sin x-2x在区间[-2,2]上的大致图象为(　　) 6.[2025云南大学附中高二期中]已知函数f(x)=cos x+ax,若对于任意两个不相等的实数x1,x2,都有>0恒成立,则实数a的取值范围是(　　) A.[1,+∞) B.[0,1] C.(-∞,0] D.R 7.[2024新课标Ⅰ卷改编]若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线,则a=(　　) A.ln 2 B.1 C.ln 3 D.2ln 2 8.[2025南京二十九中月考]已知log2a=≠1,log4b=≠1,log5c=,则(　　) A.a<c<b B.b<c<a C.c<b<a D.a<b<c 多项选择题 9.[2025山西大学附中、太原五中等校高二期末联考]下列导数运算正确的是(　　) A.(sin 3x)'=3cos 3x B.(e2)'=2e C.[ln(2x)]'= D.(x2·2x)'=2x·2x+x2·2x 10.[2024成都石室中学高二月考]定义在区间[-5,3]上的函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,以下结论正确的是(　　)  A.函数f(x)的最小值是f(-5) B.f(x)在区间(-4,1)上单调 C.x=0是函数f(x)的极值点 D.曲线y=f(x)在x=1附近比在x=2附近上升得更缓慢 11.[2024新课标Ⅱ卷]设函数f(x)=2x3-3ax2+1,则(　　) A.当a>1时,f(x)有三个零点 B.当a<0时,x=0是f(x)的极大值点 C.存在a,b,使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴 D.存在a,使得点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中心 填空题 12.[2025长春外国语学校高二期中]已知函数f(x)=2x2-xf'(1),则f'(2)=　　　　.  13.[2025乌鲁木齐一中模拟]已知函数f(x)的导函数为f'(x),且f(x)+f'(x)>0在R上恒成立,则不等式e2x+1f(2x+1)>e3-xf(3-x)的解集是　　　　.  14.[2024北大附中月考]已知函数f(x)= ①当a=-1时,函数f(x)的最大值为　　　　.  ②如果f(x)存在最小值且最小值小于-,则实数a的取值范围是　　　　.(本题第一空2分,第二空3分)  解答题 15.(13分)[2025山西省吕梁市部分学校开学考试]已知函数f(x)=xex-x2-x+4. (1)求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)求f(x)的极值. 16.(15分)[2025南师附中、南京外国语学校等校高二期中]已知函数f(x)=x-2ln x,g(x)=-3ln x+3. (1)求f(x)的单调区间; (2)若f(x)≥g(x)恒成立,求a的取值范围. 17.(15分)【情境创新】[2024合肥一中期中]南京玄武湖号称“金陵明珠”,是我国古代较大的皇家湖泊园林.在玄武湖的一角有大片的荷花,每到夏季,荷花飘香,令人陶醉.夏天的一个傍晚,小胡和朋友游玄武湖,发现只能在岸边观赏荷花,无法深入其中,影响观赏荷花的乐趣,于是他便有了一个愿景:若在玄武湖盛开荷花的一角(该处岸边近似半圆,如图所示)设计一些栈道和一个观景台,观景台P在半圆形的中轴线OC上(图中OC与直径AB垂直,P与O,C不重合),通过栈道把PA,PB,PC,AB连接起来,使人行在其中,犹如置身花海.已知AB=200米,∠PAB=θ,栈道总长度为f(θ). (1)求f(θ); (2)若栈道的造价为每米5万元,试确定观景台P的位置,使实现该愿景的建造费用最小(观景台的建造费用忽略不计),并求出实现该愿景的建造费用的最小值. 18.(17分)[2024南师附中高二期末]已知a为正实数,函数 f(x)=-x2+ax. (1)当a=2时,讨论f(x)的单调性; (2)若函数f(x)有且仅有2个零点,求a的值; (3)当x∈[0,3]时,函数f(x)的最小值为0,求a的取值范围. 19.(17分)[2024新课标Ⅰ卷]已知函数f(x)=ln +ax+b(x-1)3. (1)若b=0,且f'(x)≥0,求a的最小值; (2)证明:曲线y=f(x)是中心对称图形; (3)若f(x)>-2当且仅当1<x<2,求b的取值范围. 参考答案 1.C　由f(x)=x3-3x2+1,得f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),由f'(x)<0,得0<x<2,所以函数f(x)=x3-3x2+1的单调递减区间为(0,2). 2.C　函数f(x)=x2在区间[1,3]上的平均变化率为==2. 方法一　f(x)=x2在x=m时的瞬时变化率为==(Δx+m)=m,所以m=2. 方法二　f(x)=x2,则f'(x)=x,f(x)=x2在x=m时的瞬时变化率为f'(m)=m,所以m=2. 3.A　由导数的几何意义可知f'(5)=-1,即=f'(5)=-1,则=-. 4.D　f'(x)=,x∈[-3,3],令f'(x)>0,解得-1<x<1,即f(x)在(-1,1)上单调递增,令f'(x)<0,解得x∈[-3,-1)∪(1,3],所以f(x)在[-3,-1)和(1,3]上单调递减,又f(-3)=-,f(-1)=-,f(1)=,f(3)=,所以函数f(x)在[-3,3]上的最大值为,最小值为-(求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值时,在得到极值的基础上,将区间端点的函数值f(a),f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值). 5.C　首先利用奇偶函数的定义判断奇偶性,可排除A,B,再利用导函数求x∈(0,)时,f(x)的单调性可排除D.当x∈[-2,2]时,f(-x)=(e-x+ex)sin(-x)-2(-x)=-[(ex+e-x)sin x-2x]=-f(x),故f(x)在[-2,2]上为奇函数,因此f(x)的图象关于(0,0)对称,故排除A,B.f'(x)=(ex-e-x)sin x+(ex+e-x)cos x-2,令h(x)=f'(x),则h'(x)=(ex+e-x)sin x+(ex-e-x)cos x+(ex-e-x)cos x+(ex+e-x)(-sin x)=2(ex-e-x)cos x,当x∈(0,)时,h'(x)=2(ex-e-x)cos x>0,因此f'(x)在(0,)上单调递增,故f'(x)>f'(0)=0,即当x∈(0,)时,f'(x)>0,因此f(x)在(0,)上单调递增,结合图象知C正确. 6.A　由函数的单调性求参数 思路导引　依题意可得f(x)在R上单调递增,则f'(x)≥0恒成立,参变分离可得a≥sin x恒成立,即a≥(sin x)max,求出(sin x)max,即可得解. 因为对于任意两个不相等的实数x1,x2,都有>0恒成立,所以f(x)在R上单调递增.又因为f(x)=cos x+ax,所以f'(x)=-sin x+a≥0在R上恒成立,即a≥sin x在R上恒成立,所以a≥(sin x)max(将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题),又(sin x)max=1,所以a≥1,即实数a的取值范围是[1,+∞). 7.A　由题,令f(x)=ex+x,则f '(x)=ex+1,所以f '(0)=2,所以曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线方程为y=2x+1.令g(x)=ln(x+1)+a,则g'(x)=,设直线y=2x+1与曲线y=g(x)相切于点(x0,y0),则=2,得x0=-,则y0=2x0+1=(题眼),所以0=ln(-+1)+a,所以a=ln 2. 8.B　已知等式变形可得,利用导数分析函数f(x)的单调性,数形结合得出a,b,c的大小关系.因为log2a=≠1,log4b=≠1,则a≠2,b≠4,可得=,即=,=,即===,由log5c=可得=,则=.构造函数f(x)=,其中x>0,则f'(x)=,由f'(x)>0,可得0<x<e,由f'(x)<0,可得x>e,所以函数f(x)的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+∞).由上可知,f(2)=f(4),则==,由于a≠2,b≠4,则a=4,b=2,所以==>=,所以f(c)>f(2)=f(4),如图所示,由图可得b<c<a. 9.AC　A(√)令u=3x,y=sin u,因为u'x=3,y'u=cos u,所以y'x=y'u·u'x=3cos u=3cos 3x. B(✕)因为e2为常数,所以(e2)'=(注意常数的导数为0). C(√)令u=2x,y=ln u,因为u'x=2,y'u=,所以y'x=y'u·u'x=2·=. D(✕)因为(2x)'=2xln 2,所以(x2·2x)'=2x·2x+x2·2xln 2. 10.BD　A(✕)由题图可知,x∈[-5,-4)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,x∈(-4,3]时,f'(x)≥0,f(x)单调递增,所以f(x)min=f(-4)(所给图象为y=f'(x)的图象,不是y=f(x)的图象,不要误认为是y=f(x)而把f(-5)当成最小值). B(√)由题图可知,x∈(-4,1)时,f'(x)≥0,f(x)单调递增. C(✕)由题图可知x∈(-4,0)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,x∈(0,3]时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以x=0不是函数f(x)的极值点. D(√)由导数的几何意义知,f'(1)>0,f'(2)>0,且f'(1)<f'(2),所以曲线y=f(x)在x=1处的切线的斜率小于x=2处的切线的斜率,即曲线f(x)在x=1附近比在x=2附近上升得更加缓慢. 11.AD　由题可知,f'(x)=6x(x-a). A(√)当a>1时,由f'(x)<0得0<x<a,由f'(x)>0得x<0或x>a,则f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,且当x→-∞时,f(x)→-∞,f(0)=1,f(a)=-a3+1<0,当x→+∞时,f(x)→+∞,故f(x)有三个零点. B(✕)当a<0时,由f'(x)<0得a<x<0,由f'(x)>0得x>0或x<a,则f(x)在(-∞,a)上单调递增,在(a,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故x=0是f(x)的极小值点. C(✕)当x→+∞时,f(x)→+∞,当x→-∞时,f(x)→-∞,故曲线y=f(x)必不存在对称轴. D(√)方法一(配方、平移)　f(x)=2x3-3ax2+1=2(x-)3-a2(x-)+1-,令t=x-,则f(x)可转化为g(t)=2t3-a2t+1-,由y=2t3-a2t为奇函数,且其图象关于原点对称,可知g(t)的图象关于点(0,1-)对称,则f(x)的图象关于点(,1-)对称,故存在a=2,使得点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中心. 方法二(二级结论)　任意三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象均关于点(-,f(-))成中心对称. 12.6　先求导,再令x=1,求出f'(1),进而可求解.由f(x)=2x2-xf'(1),可得f'(x)=4x-f'(1),令x=1,可得f'(1)=2,所以f'(x)=4x-2,所以f'(2)=6. 13.{x|x>}　构造函数g(x)=exf(x),求导可得g(x)在R上单调递增,进而根据单调性可得2x+1>3-x,解不等式即可.令g(x)=exf(x),则g'(x)=ex[f(x)+f'(x)]>0,故g(x)在R上单调递增,由e2x+1f(2x+1)>e3-xf(3-x)可得g(2x+1)>g(3-x),故2x+1>3-x,解得x>,故不等式的解集为{x|x>}. 14.0　(0,e)　①当a=-1时,f(x)=当x≤0时,xex≤0,所以此时f(x)max=0;当x>0时,f(x)=-x2-2x单调递减,且f(x)<0,所以f(x)的最大值为0.②当x<0时,f'(x)=(x+1)ex,所以x<-1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,-1<x<0时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以当x≤0时,f(x)min=f(-1)=-;当x>0时,因为f(x)存在最小值且最小值小于-,所以),解得0<a<e. 15.【解析】(1)根据题意有f'(x)=(x+1)ex-x-1=(x+1)·(ex-1), 故所求切线的斜率k=f'(2)=3e2-3.(2分) 又f(2)=2e2,故切点坐标为(2,2e2),(3分) 所以曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-2e2=(3e2-3)(x-2),即y=3(e2-1)x-4e2+6.(5分) (2)由(1)知f'(x)=(x+1)(ex-1),当x∈(-∞,-1)∪(0,+∞)时,f'(x)>0; 当x∈(-1,0)时,f'(x)<0. 所以f(x)的单调递增区间是(-∞,-1),(0,+∞);单调递减区间是(-1,0).(9分) 所以当x=-1时,f(x)取得极大值f(-1)=-+;(11分) 当x=0时,f(x)取得极小值f(0)=4.(13分) 16.利用导数求函数的单调区间+函数不等式恒成立问题 思路导引　(1)确定定义域,求导函数f'(x),令f'(x)>0,f'(x)<0,解出不等式即可求单调区间; (2)方法一　由f(x)≥g(x),参变分离得a≤xln x+x2-3x,构造函数h(x)=xln x+x2-3x,对其进行求导分析,根据其单调性确定最值即可得解. 方法二　由f(x)≥g(x)得ln x+x-3-≥0,构造h(x)=ln x+x-3-,分类讨论a≥0,a<0,利用h(x)的最小值大于等于0,分析即可得解. 【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1-=.(2分) 令f'(x)>0得x>2,令f'(x)<0得0<x<2, 所以f(x)的单调递增区间为(2,+∞),单调递减区间为(0,2).(5分) (2)方法一　因为x-2ln x≥-3ln x+3(x>0),所以≤ln x+x-3, 即a≤xln x+x2-3x.(7分) 令h(x)=xln x+x2-3x,则h'(x)=ln x+2x-2, 因为h'(x)在(0,+∞)上单调递增且h'(1)=0, 所以当0<x<1时,h'(x)<0,h(x)在(0,1)上单调递减; 当x>1时,h'(x)>0,h(x)在(1,+∞)上单调递增.(11分) 故当x=1时,h(x)min=h(1)=-2, 所以a≤-2,即a的取值范围为(-∞,-2].(15分) 方法二　f(x)≥g(x)恒成立,即x-2ln x≥-3ln x+3, 即ln x+x-3-≥0恒成立.(7分) 构造函数h(x)=ln x+x-3-,则h'(x)=1++. 当a≥0时,h'(x)=1++>0,所以h(x)=ln x+x-3-在(0,+∞)上单调递增, 但当x→0时,ln x→-∞,x-3→-3,故h(x)→-∞,不满足条件;(9分) 当a<0时,令h'(x)=1++=0⇒x2+x+a=0,解得唯一正根x0=,此时h(x)在x0处取得极小值. 将a=--x0代入h(x0),化简得h(x0)=2x0+ln x0-2,则h(x0)≥0恒成立. 分析函数k(x0)=2x0+ln x0-2,因为k(1)=0,且k(x0)在x0≥1时单调递增,所以当x0≥1时,k(x0)≥0恒成立. 因此x0≥1时,对应a=--x0≤-2. 综上,a的取值范围为(-∞,-2].(15分) 17.【解析】(1)由题意知∠PAB=θ(0<θ<),OC⊥AB,OA=OB=100, 则PA=PB=,PO=100tan θ, 所以PC=100-100tan θ. 所以栈道总长度为f(θ)=PA+PB+PC+AB=+100-100tan θ+200=10(+3)(0<θ<).(6分) (2)f'(θ)=100×(0<θ<),(8分) 令f'(θ)=0,得sin θ=,又0<θ<,解得θ=, 当0<θ<时,f'(θ)<0,当<θ<时,f'(θ)>0, 令建造栈道的费用为F(θ)=5f(θ)=50(+3)(0<θ<), 则F(θ)在(0,)上单调递减,在(,)上单调递增, 故F(θ)min=F()=50(3+),(13分) 此时PC=100-100tan =100-, 故观景台位于离岸边半圆弧中点的距离为(100-)米时,建造费用最小,最小费用为50(3+)万元.(15分) 18.【解析】(1)当a=2时,f(x)=-x2+2x, 则f'(x)=x2-3x+2=(x-1)(x-2), 当x∈(-∞,1)∪(2,+∞)时,f'(x)>0,当x∈(1,2)时,f'(x)<0, 所以 f(x)在(-∞,1),(2,+∞)上单调递增,在(1,2)上单调递减.(3分) (2)f(x)=-x2+ax,f'(x)=x2-(a+1)x+a=(x-1)(x-a).(4分) ①当a=1时,f'(x)=(x-1)2≥0,f(x)在R上单调递增,f(x)只有一个零点,则a=1不成立.(5分) ②当a>1时,令f'(x)=0,则x=1或x=a,且a>1. 当x∈(-∞,1)时,f'(x)>0,f(x)在(-∞,1)上单调递增; 当x∈(1,a)时,f'(x)<0,f(x)在(1,a)上单调递减; 当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在(a,+∞)上单调递增. 函数f(x)有且仅有2个零点,且f(0)=0,所以f(a)=0,即-a2+a2=0,解得a=3.(7分) ③当0<a<1时,令f'(x)=0,则x=1或x=a,且a<1. 当x∈(-∞,a)时,f'(x)>0,f(x)在(-∞,a)上单调递增; 当x∈(a,1)时,f'(x)<0,f(x)在(a,1)上单调递减; 当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在(1,+∞)上单调递增. 函数f(x)有且仅有2个零点,且f(0)=0,所以f(1)=0,即-+a=0,解得a=.(9分) 综上所述,a的值为或3.(10分) (3)由(2)可知: ①当a=1时,f(x)在[0,3]上单调递增,则f(x)min=f(0)=0,故a=1成立.(11分) ②当a>1时,分为如下两种情况, 当a≥3时,f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,3)上单调递减,则f(3)≥0,即9-+3a≥0,可得a≤3,故a=3; 当1<a<3时,f(x)在(0,1),(a,3)上单调递增,在(1,a)上单调递减,则f(a)≥0,即-a2+a2≥0,可得a≤3,故1<a<3.(14分) ③当0<a<1时,f(x)在(0,a),(1,3)上单调递增,在(a,1)上单调递减,则f(1)≥0,即-+a≥0,可得a≥,所以≤a<1.(16分) 综上可得,a的取值范围为[,3].(17分) 19.【解析】(1)第一步:求函数f(x)的定义域 f(x)的定义域为(0,2)( 容易忽略求解函数的定义域,从而致错),(1分) 第二步:求解f '(x) 若b=0,则f(x)=ln+ax,f '(x)=·+a=+a,(2分) 第三步:根据f '(x)≥0求a的最小值 当x∈(0,2)时,x(2-x)∈(0,1],所以≥2,当且仅当x=1时等号成立.(4分) 由题意知,f '(x)min=2+a≥0,则a≥-2,故a的最小值为-2.(5分) (2)第一步:求解f(2-x)与f(x)的关系式 因为x∈(0,2),所以2-x∈(0,2),(6分) f(2-x)=ln+a(2-x)+b(1-x)3=-ln-ax-b(x-1)3+2a=-f(x)+2a,(8分) 第二步:得出曲线y=f(x)的对称中心 故曲线y=f(x)是中心对称图形,对称中心为点(1,a)(若f(2a-x)+f(x)=2b,则函数f(x)的图象关于点(a,b)中心对称).(9分) (3)令函数g(x)=f(x)+2,依题意g(x)>0当且仅当1<x<2,从而g(1)≤0.若g(1)<0,因为g()>0,所以存在x0∈(1,),使g(x0)=0,矛盾,(10分) 从而g(1)=0,故a=-2.(11分) f '(x)=+3b(x-1)2=(x-1)2[+3b].(12分) 若b<-,当x∈(1,1+)时,+3b<0,从而f '(x)<0,f(x)在区间(1,1+)上单调递减,不符合题目要求.(14分) 若b≥-,当x∈(0,2)时,+3b≥0.从而f '(x)≥0,当且仅当x=1时等号成立,故f(x)在区间(0,2)上单调递增,符合题目要求.(16分) 因此b的取值范围是[-,+∞).(17分) 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $