精品解析：广东省汕头市第一中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题

2025—2026学年度第一学期期末考试 高二级数学科试题 注意：试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题有且只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集、交集的定义求解即可. 【详解】由，，则， 又，则. 故选：C 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算可化简复数. 【详解】复数满足，则. 故选：C. 3. 已知，则直线与垂直的充要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线垂直，则，化简即可判断. 【详解】因为，所以直线的斜率存在， 故两条直线的斜率分别为与， 由垂直可知，即. 故选：A 4. 记为等比数列的前项和，若，则（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列的性质及求和公式，即可求解判断. 【详解】设等比数列的公比为， 则根据等比数列的性质可得：， 即得， 根据公比不为1的等比数列的求和公式得： . 故选：B. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角正弦公式和诱导公式化简等式，结合角的范围求解. 【详解】原等式可化为，即， 因为，所以，所以， ， . 故选：A. 6. 已知是一个随机试验中的两个随机事件，若，，则（ ） A. 与相互独立且 B. 与不相互独立且 C. 与相互独立且 D. 与不相互独立且 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知判断是否成立，结合概率的性质求，即可得. 【详解】由题设，，， 所以事件与事件相互独立； 由概率的性质，有. 故选：C 7. 设实数，满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将所求看成过点的直线与圆有公共点时斜率的最大值问题，用点到直线的距离小于等于半径，解不等式可得最大值. 【详解】设，即得直线方程，因为实数，满足圆的方程， 则直线与圆有公共点，故圆心到直线的距离，， 解得，所以的最大值为，故的最大值为. 故选：C. 8. 已知双曲线的左､右焦点分别为，点是其渐近线上一点，若，，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，进而可判断为正三角形，求得，得解. 【详解】由，得为直角三角形， 又，所以点在第一或第四象限内，不妨取点在第一象限内，如图， 则，又，所以为正三角形，故， 因为点是其渐近线上的一点，所以， 则双曲线的离心率. 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知等差数列中，为其前项和，，则（ ） A. B. C. D. 使得成立的最大整数 【答案】ABD 【解析】 【分析】由可得，进而可得，根据等差数列通项公式求法即前项和公式计算求解，依次判断各选项正误即可. 【详解】在等差数列中，由，得，则， 因此，而，则， 对于A，公差，A正确； 对于B，，因此，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，由，得， 因此使得成立的最大整数，D正确. 故选：ABD 10. 已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，则（ ） A. 的准线方程为 B. 若，则到轴的距离为10 C. 的最大值为16 D. 为钝角 【答案】AD 【解析】 【分析】直接求抛物线准线方程可判断A；由抛物线定义可判断B；设，直线与抛物线联立方程，得出根与系数的关系，再由抛物线定义表示出，计算可判断C；由计算可判断D. 【详解】设， 对于A：由题意抛物线的准线方程为，故A正确； 对于B：因为抛物线的准线方程为，由抛物线的定义可知，所以6，故B错误； 对于C：由题意直线斜率不为0且过点， 所以不妨设，将其与抛物线方程联立消去，得， 而， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立，所以最小值为16，故C错误； 对于D：由C选项分析可知 ， 由于不共线，所以是钝角，即为钝角，故D正确. 故选：AD 11. 已知函数，则（ ） A. 当时， B. 当时，是增函数 C. 记曲线过定点，则 D. ，当且仅当 【答案】ABD 【解析】 【分析】明确函数解析式，求函数值可判断A的真假；根据增函数与增函数的和为增函数可判断B的真假；函数化成的形式，根据函数过定点，可求的值，可判断C的真假；根据恒成立可求的取值范围，判断D的真假. 【详解】对于A，当时，，故，故A正确； 对于B，当时，是增函数，是增函数，所以是增函数，故B正确； 对于C，，因为定点与无关， 所以得，， 即，于是，故C错误； 对于D，恒成立，即，即，所以恒成立. 因为函数的值域为，故只需，解得.于是当且仅当，故D正确. 故选：ABD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.（13题第一空3分，第二空2分） 12. 椭圆的长轴长为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】由椭圆的标准方程，根据长轴长的概念，可得答案. 【详解】方程等价于，可知长半轴．故长轴长为． 故答案为． 13. 从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知______（结果保留3位小数）．若要从身高在，，三组的学生中，用分层随机抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]的学生中选取的人数应为______． 【答案】 ①. 0.030 ②. 3 【解析】 【分析】由频率分布直方图面积可得，由三组之比为可求解第二空. 【详解】由， 解得， 的频率为，的频率为，的频率为， 三组之比为， 所以用分层随机抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]的学生中选取的人数应为， 故答案为：，3 14. 在空间直角坐标系中，若平面经过点，且以向量为法向量，则方程表示平面.已知点在平面内，则点到的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题设确定平面的法向量且，进而有，应用向量法求点面距离. 【详解】由题意知，平面的法向量， 由，可得，于是，所以， 故点到的距离. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知抛物线，直线与交于两点，为坐标原点.求的面积. 【答案】 【解析】 【分析】直线与抛物线联立方程组，根据弦长公式求得，再由点到直线的距离公式结合三角形面积公式计算即可求解. 【详解】联立方程化简，得 设交点为 ， ， 点到直线的距离， 所以的面积为. 16. 已知中，的对边分别为，且的面积. （1）求； （2）若，且为钝角，求边上的高. 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式列式求解. （2）由（1）及已知得，再利用余弦定理及三角形面积求解. 【小问1详解】 在中，由的面积，得， 解得，而，因此或. 【小问2详解】 由为钝角，得必为锐角，即， 由余弦定理得， 此时，B为钝角，符合题意， 设边上高为，由，得. 17. 已知等比数列的前项和为，且. （1）求数列通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）方法1：先根据等式写出的表达式，然后两式相减求得公比，然后根据等比数列的通项公式计算即可；方法2：根据等比数列的通项公式和前项和公式列出方程组，求出首项和公比，进而求得结果. （2）分别求出奇数项和偶数项的通项公式，然后利用分组求和法计算即可. 【小问1详解】 方法1：由数列满足， 当时，，当时，， 两式相减，可得，整理得，即， 又，且是等比数列，则其公比为4， 所以，即， 所以的通项公式为：. 方法2：为等比数列，设首项为，公比为， ，， 即，解得， 所以数列通项公式为：. 【小问2详解】 由题意，，则前项中： 奇数项：，共项，且， 是首项为3，公差为4的等差数列， 则： 偶数项：，共项，且， 是首项为4，公比为16的等比数列，则： 因此前项和为. 故. 18. 如图，已知三棱锥. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若三棱锥的各顶点都在球的球面上，求球的半径. 【答案】（1） 在中，由， 得，所以， 则在中利用余弦定理得 ， 所以. 又因为，所以，所以. 又因为，所以，所以， 又因为平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求证平面，再利用面面垂直的判定定理求证； （2）以为原点建系，利用向量求出线面角的正弦值； （3）设球心，根据球的定义计算. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，以为原点，分别为轴和轴正方向建立如图所示空间直角坐标系， 则， ， 设平面一个法向量为， 则，即，取，则得； 设直线与平面所成的角为，所以 则直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 设球心，半径，则， 所以 ， 解得，所以球的半径为. 19. 已知椭圆的焦距为2，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为. （1）求椭圆的方程； （2）设A，B为椭圆的左右顶点，过右焦点的直线交椭圆于M，N两点，直线AM，BN交于点. （i）求证点在定直线上； （ii）设，求的最大值. 【答案】（1） （2）（i）证明：由（1）知可设直线方程为， 联立和， 得，直线l过椭圆焦点，必有， ， ，直线方程为， 直线方程为， 联立两方程得， ，即点在定直线上； （ii）1 【解析】 【分析】（1）由题意求出的值，即得答案； （2）（i）设直线方程为，联立椭圆方程可得根与系数关系，写出直线，的方程，联立化简，即可证明结论；（ii）由可得的表达式，化简，即可求得答案. 【小问1详解】 依题意，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为， 椭圆方程为 【小问2详解】 （i）略 （ii）依（i）有.设，若， 则，则， . 故当时，的最大值为1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期末考试 高二级数学科试题 注意：试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题有且只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，则为（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则直线与垂直的充要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 记为等比数列的前项和，若，则（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 9 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知是一个随机试验中的两个随机事件，若，，则（ ） A. 与相互独立且 B. 与不相互独立且 C. 与相互独立且 D. 与不相互独立且 7. 设实数，满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左､右焦点分别为，点是其渐近线上一点，若，，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 4 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知等差数列中，为其前项和，，则（ ） A. B. C. D. 使得成立的最大整数 10. 已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，则（ ） A. 的准线方程为 B. 若，则到轴的距离为10 C. 的最大值为16 D. 为钝角 11. 已知函数，则（ ） A. 当时， B. 当时，是增函数 C. 记曲线过定点，则 D. ，当且仅当 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.（13题第一空3分，第二空2分） 12. 椭圆的长轴长为__________． 13. 从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知______（结果保留3位小数）．若要从身高在，，三组的学生中，用分层随机抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]的学生中选取的人数应为______． 14. 在空间直角坐标系中，若平面经过点，且以向量为法向量，则方程表示平面.已知点在平面内，则点到的距离为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知抛物线，直线与交于两点，为坐标原点.求的面积. 16. 已知中，的对边分别为，且的面积. （1）求； （2）若，且为钝角，求边上的高. 17. 已知等比数列的前项和为，且. （1）求数列通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和. 18. 如图，已知三棱锥. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若三棱锥的各顶点都在球的球面上，求球的半径. 19. 已知椭圆的焦距为2，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为. （1）求椭圆的方程； （2）设A，B为椭圆的左右顶点，过右焦点的直线交椭圆于M，N两点，直线AM，BN交于点. （i）求证点在定直线上； （ii）设，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $