湖北黄石市2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

数学试题参考答案与评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1.C 2.A 3.D 4.C 5.B 6.D 7.B 8.D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.ABD 10.ACD 11.ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 2π 2V6 25 3 33:1 12. 13. 14. (第一空2分，第二空3分) 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.解： 0.004×50=20 (1) n,n=100. …2分 则20+40+m+10+5=100,m=25 10 .=0.008 25一=0.005 10 =0.002 5 100×50 ,100×50 ,100×50 ,100×50 =0.001 ,…4 分 由此完成频率分布直方图，如下图！ 0 .6分 50100150200250空气质量指数/(4g/m) (2)由频率分布直方图得该组数据的平均数为 数学答案第1页（共7页） 25×0.004×50+75×0.008×50+125×0.005×50+175×0.002×50+225×0.001×50=95 …9分 因为[0,50]的频率为0.004×50=0.2，(50,100]的频率为0.008×50=0.4， 00+ 0.2 ×50=140 (100,150]的频率为0.005×50=0.25，所以第80百分位数为 0.25 …13分 16.解： (I)取PD中点N,连接AN,MN, 因为ABI1CD,CD=2AB, 在△PCD中有MN平行且相等于AB, 所以四边形ABMN是平行四边形.3分 所以BMIIAN, 又ANC平面PAD,BM￠平面PAD, 所以BMII平面PAD …7分 (2)因为△PAD为等边三角形，N是PD的中点，所以AW⊥PD,所以CD⊥平 面PAD, …11分 又ANC平面PAD,所以CD⊥AN, 又PD∩CD=D,所以AN⊥平面PCD 由(1)知BM IIAN,所以BM⊥平面PCD …15分 17.解： 。2=年-四°+3-四++(3，-02 2026 数学答案第2页（共7页） =5-24匹++2-24m,+2++x2-2+x2 2026 =s2+七2++x6)-24(5+x++506)+2026r 2026 =++2- 2 2026 …5分 2)因为x)=。1 d-2x+)=r-2x觉+觉 2026台 2026台 x+2026 =x2-2ux+ 1 2026台 所f在0，川上单调选减，在4+切）上单调道增。 在 所以xmn=f(C②=。、1 ∑(x-02=62=4 2026 ..10分 (3)证明：由题意可知≤5≤≤%，i=12,,2026 (G-x3s-X)0,所以+xs≤(+5wsx. 1 觉+06=a2++xms≤(6+a）20262入， 1226 两边累加取平均可得2026 所a+w≤(6+名加=0，即02+0 …15分 18.解： A+CπB (1)由三角形的内角和定理得2=22： 数学答案第3页（共7页） 此时asin4+C=bsind就变为asim πB =bsin A 22 由诱导公式得s血 πB 22月 左，所以acos9=bsin 3分 在△ABC中，由正弦定理知a=2 Rsin A,b=2 Rsin B, 此时就有sin Acos-子 sin Asin B,cos sinB, 2 2 =2号0o号解得8-号 BB 再由二倍角的正弦公式得cos 2 5分 (2)(i)由ac=4 sin AsinC,结合正弦定理a=2 Rsin A,c=2 Rsin C,得R=1. 因此6=2Rin8=2x5-5,且C-2”-A. 2 3 因为△4BC为纯角三角形，B= 3,故钝角只能是4或C: <5号×c否4，所以4e0U孕.…分 2π 3 61 由正弦定理得 3 c=2(sin 4+sin C)=2sin 4+sinsin cos4] 2 2sm4+os40=25sn(4+君， ,2π5π 6 66’3 6 所以a+c∈(N3,3) ..10分 （@因为BD为∠ABC的角平分线，且B 3 由面积关系SMBC=SMBD+SARDC ∠ABD=∠CBD= 61 cnBD.csn0asm石化箱aDB血 32 62 a+c 数学答案第4页（共7页) 又因为ac=4 sin AsinC=4 sin Asin(3 4)=4sin AC oos+sin A) =V3sin2A-cos2A+1=-2cos(2A+)+1=-21-2sin2(4+】+1 =4sin2(4+)-1, .13分 6 由(i)知a+c=25sin(4+, 61 所以BD= ac V3[4sin2(4+7)-14sin2(A+)-1 6 6 a+c 2W5sin(A+） 2sin(A+) 6 6 ,5,所以e0.5) 1=2si4+,由（知si(4+名e5号 6 6 t 因为函数y=1一在(L,)上是单调递增函数， 所，=1时m=0当，=5时，BD=3 3 02. 17分 19.解： (1)过点A作直线PB的垂线，垂足记为H, 因为平面PAB⊥平面PBC,且交线为PB,所以AH⊥ 平面PBC, 所以AH⊥BC,又PA⊥平面ABC,可得PA⊥BC, BC⊥平面PAB,所以BC L AB,BC⊥PB 所 所以三棱锥P-ABC是鳖臑. …5分 数学答案第5页（共7页） (2)可将该鳖精补成长方体，长，宽，高分别为a,b,C，设三棱锥P-ABC的外接 球半径为R,正好就是长方体的外接球，球直径2R=Va2+b+C2,外接球表面积 S=4πR2=π(a2+b2+c2), …7分 对于正数4，bc, (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≤a2+b2+c2+(a2+b)+(a2+c2)+(b2+c2) (a+b+c)2≤3(a2+b2+c2) a+b+c2≤d+b2+c2=(2R) 所以3 4R2364 64π 所 3,所以外接球表面积最小值为3 …10分 (3)因为PA=AB=BC,此时 PBA=π 4 PA sina= TsinB= PM,又PB=V2A,所以simB=√2sina …12分 2 则sina&+cosB=2 nA+eoA-65mp6 2、3 o)=6 3 n(A+ 其中 3p∈(0， 2 …14分 当 2-p 时sina+cosP取得最大值，此时 nB=n写=cosp-5 3 可以计算出此时PM=√6PA,则点M在BC的延长线上且BM=2PA=2BC,点 C是BM中点，点M到平面PAC的距离即点B到平面PAC的距离，即点B到平面 数学答案第6页（共7页) PA AC的距离，即2 所以直线PM与平面AC所成角8的正弦值 √2 PA 5 sin= 6PA 6 …17分 数学答案第7页（共7页）高一数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.复数2+的虚部是() 1-2i B.3 C.1 D.i 2.在平行四边形ABCD中，若AE=2ED,则BE=（) A音丽+号衣 D.孤+号C 3 B号丽+号cC西+号c 3.已知圆锥的底面半径为√2，其侧面展开图为一个圆心角为直角的扇形，则该圆锥的 母线长为（) A.2 B.2√2 C.4 D.42 4.如图，已知直三棱柱ABC-AB,C的所有棱长都相等，M为AC A M C B 的中点，则AM与BC所成角的余弦值为() A.5 B.5 c.vio D.6 3 4 4 5.已知函数f()=2sin(ox+T(a>0),则“f(x)在[0，]上既不是增函数也不是 减函数”是“0>1”的(） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 数学试题第1页（共4页） 6.如图，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图(1)形成对称形态，图 (2)形成“右拖尾”形态，图(3)形成“左拖尾”形态.根据所给图示做出判断，则 下列结论正确的是() (1) (2) (3) A.图(1)中平均数<中位数=众数 B.图(2)中平均数<众数<中位数 C.图(2)中众数<平均数<中位数 D.图(3)中平均数<中位数<众数 7、函数f(x)=2-x2+2x-1的零点个数为() A.4 B.3 C.2 D.1 sin B 8.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a+b=8,tan 2 2-cos B 且△ABC的面积为4，则tanC=() 么号 B.3 1 C.2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.若虚数31,22是方程x2-x+1=0的两根，则下列说法正确的有（) A.131月z2 B.31+22=Z122 C.=2 D.22z 10.三棱锥P-ABC中，点P在底面ABC的射影为点O,则下列叙述正确的有() A.若PA=PB=PC,则点O为△ABC的外接圆圆心 B.若△OAB,△OAC,△OBC面积相等，则点O为△ABC的内切圆圆心 C.若三个侧面与底面所成的二面角相等，则点O为△ABC的内切圆圆心 D.若AB⊥CP,AC⊥BP,则点O为△ABC的垂心 11.在△ABC中，下列说法正确的有（) A.若A>B>C,则sinA>sinB>sinC B.若A>B>C,则sin2A>sin2B>sin2C C.若A>B>C,则cosA<CoSB<cosC D.若A>B>C,则cos2A<cos2B<cos2C 数学试题第2页（共4页) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 北 12.如图，某海警船在A处看灯塔B在它的北偏东75°，距 离为3√6 nmile,在A处看灯塔C在海警船的北偏西30°， 605 距离为2√3 nmile,海警船由A处向正北航行到D处时，再C 30 看灯塔B在南偏东60°，则灯塔C与D处之间的距离 75 为 nmile. 13.已知非零向量m,元满足(m+2)⊥(m-2),且m在元上的投影向量为-n,则 向量m,n的夹角0= 14.在棱长为4的立方体ABCD-ABC,D中，E是BC的中点，则点C到平面C,DE 的距离是」 :点A,与点C到平面C,DE的距离之比是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2026年1月某日起连续n天监测 空气质量指数(AQI),数据统计如下表： 空气质量指数 [0,50] (50,1001 (100,150 (150,200] (200,250] (μg/m) 空气质量等级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 天数 20 40 m 10 5 频率 组距 0.008 0.007 0.006 0.005 0.004 0.003 0.002 0.001 050100150200250空气质量指数/（μg/m) (1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n,m的值，并完成频率分布 直方图： (2)由频率分布直方图，求该组数据的平均数与第80百分位数. 数学试题第3页（共4页) 16.(15分) 如图，已知在四棱锥P-ABCD中，M是 PC的中点，CD⊥平面PAD,△PAD为等 边三角形，AB/CD,CD=2AB: (1)求证：BM/1平面PAD; (2)求证：BM⊥平面PCD. 17.(15分) 已知一组数据x,x2,,x2026,其平均数记为μ，标准差记为g: （)求证：g2_+士+-； 2026 (2)若σ=2，求函数f()= 6c-对+-+-名e月的摄 小值； (3)若x≤x2≤≤x2026且4=0，求证：o2≤-xx20m6: 18.(17分) 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若asin A+C=bsinA: 2 (1)求角B: (2)若ac=4 sin AsinC,且△ABC是钝角三角形： （i)求a+c的范围； (1i)若点D在AC上，且BD为∠ABC的角平分线，求BD的取值范围. 19.(17分) 我国古代数学经典《九章算术》中把四个面都是直角三角形的四面体称为“整膈” 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC; (1)求证：三棱锥P-ABC是鳖臑； (2)记PA=a,AB=b,BC=c,若a+b+c=8,求三棱锥 P-ABC的外接球面积的最小值； (3)当PA=AB=BC时，设点M是线段BC或者BC延长 线上的点，记∠PMA=a,∠PMB=B,当sina+cosB取得最 大值时，求此时直线PM与平面PAC所成角的正弦值， 数学试题第4页（共4页）