25.2 正比例函数 讲义-2025-2026学年 沪教版（五四制 )八年级数学下册精讲精练

25.2 正比例函数 一、正比例函数的概念 1.变量之间的正比例关系 举例： （1）设某种水果的单价为25元/千克，售出的数量为x千克，销售金额为y元，于是y=25x或 ； （2）一个正方形的周长随着边长的变化而变化.设正方形的边长为x(x>0),则其周长为y=4x, 也可表示为 变量y与变量x成正比例： 如果变量y与变量x 的比值是一个不等于0的常数，那么就说变量y与变量x成正比例.用数学式子表示为 或y=kx, 其中k是一个不等于0的常数. 2.正比例函数 变量y与变量x成正比例，说明y是x的一个函数. 形如y=kx(k是常数，k≠0) 的函数叫作正比例函数，其中非零常数k称为比例系数，自变量x的取值范围是一切实数. 确定了比例系数k, 就可以给出正比例函数的表达式：y=kx(k≠0). 3.待定系数法 例1：已知y 是 x 的正比例函数，当x=3 时函数值为24. (1)求该函数的表达式； (2)当函数值分别为-5、0、3时，求自变量x 解：(1)因为y 是 x 的正比例函数，可设其表达式为y=kx(k≠0). 根据题意，3k=24, 解得 k=8. 所以该函数的表达式为y=8x. ( 2 ) 由y=8x, 知 当y=-5时，-5=8x, 解得 ； 当 y=0时，0=8x, 解得x=0； 当 y=3时，3=8x, 解得 这里求正比例函数 表达式的方法是待定系数法.表达式中k 是待定系数，利用已知条件列出关于k的方程再求解，可确定k的值. 2、 正比例函数的图像与性质 1.作正比例函数的图像 已知正比例函数y=2x. (1) 列表：取自变量x的一些值，计算出相应的函数值y, 见表25-4. (2)描点：分别以所取 x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图25-2-1(1)所示，不难发现上述所有点均落在同一条过原点的直线上. (3)连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用直线连接起来，如图25-2-1(2)所示. 注意到所画直线上任意一点的坐标都满足函数的表达式y=2x; 同时，对于任意一对满足这个函数表达式的x 、y, 以(x,y) 为坐标的点都在所画的直线上.因此，函数y=2x的图像就是这条直线. 2.正比例函数的特点 如图25-2-2所示为y=-2x的图像； 观察可见，函数y=2x与y=-2x的图像都经过原点.实际上，原点O的坐标(0,0)满足这两个函数的表达式. 我们知道，两点确定一条直线.例如，函数y=2x的图像，可以由原点 O(0,0) 和点(1,2)确定；函数 y=-2x 的图像可以由原点O(0,0) 和 点(1,—2)确定. ①正比例函数y=kx(k≠0)的图像是一条经过原点的直线，这条直线称为直线y=kx. ②比例系数的符号决定正比例函数y=kx(k≠0)所经过的象限 当k＞0时，直线y=kx经过第一、三象限，；当k＜0时，直线y=kx经过第二、四象限。 3.正比例函数的性质 通过观察，可以归纳正比例函数y=kx(k≠0) 有如下性质： (1)当k>0时，正比例函数的图像经过第一、三象限，函数值y随着自变量x的增大而增大； (2)当k<0时，正比例函数的图像经过第二、四象限，函数值y随着自变x 的增大而减小. (1)(2)这两个性质的逆命题也是成立的. 4.正比例函数的应用 例2：在水管放水的过程中，放水的时间 x(单位：min) 与流出的水量y(单位：m³) 是两个变量.已知每分钟流出的水量是0.2m³, 放水的过程持续10 min.写出y 关于x 的函数表达式，并指出自变量x的取值范围，再画出这个函数的图像. 解：在水管放水的过程中，变量y与变量x 成正比例，比例系数是0.2. 相应函数的表达式是y=0.2x, 自变量x的取值范围是0≤x≤10.这个函数的图像是一条线段，如图25-2-5所示. 题型1：正比例函数的概念 1．下列表达式中，y是x的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，难度不大，注意基础概念的掌握．根据正比例函数 的定义条件： 为常数且 ，自变量次数为1，判断各选项，即可得出答案． 【详解】解：A、 符合正比例函数的含义，故本选项正确； B、 是一次函数，故本选项错误； C、 是二次函数，故本选项错误； D、 是反比例函数，故本选项错误． 故选：A． 2．下列函数中，表示 是 的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的定义，掌握正比例函数的形式为 （ 是不为 的常数）是解题的关键． 根据正比例函数的形式为 （k为常数且 ），判断各选项，即可得出答案． 【详解】解：正比例函数定义为 ， A、 ，符合题意； B、 ，是二次函数，不符合题意； C、 ，不是函数关系，不符合题意； D、 ，是一次函数，不符合题意． 故选：A． 3．下列函数中， 是 的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的定义，正比例函数的定义为形如 （ 为常数且 ）的函数，据此判断各选项是否符合定义． 【详解】解：∵正比例函数的形式为 （ ）， A、 ，可写为 ，含 项，不符合 形式，不符合题意； B、 ，即 形式，且 ，符合定义，符合题意； C、 ，含常数项 ，不符合 形式，不符合题意； D、 ，含常数项 ，不符合 形式，不符合题意； 故选：B． 4．下列关系中，属于成正比例函数关系的是（    ） A．正方形的面积与边长 B．从甲地到乙地，所用的时间和行驶速度 C．圆的面积与它的半径 D．等边三角形的周长和边长 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数定义的应用，根据各个选项中的说法，利用学过的数学知识得到变量之间的关系式，判断它们的函数关系是否是正比例函数关系即可得到答案．读懂题意，判断变量之间是否满足正比例函数关系是解决问题的关键． 【详解】解：A、正方形的面积 与边长 的关系是 ，不是正比例函数关系，故选项不符合题意； B、从甲地到乙地距离固定为 ，所用的时间 和行驶速度 的关系是 ，不是正比例关系，故选项不符合题意； C、圆的面积 与它的半径 的关系是 ，不是正比例函数关系，故选项不符合题意； D、等边三角形的周长 和边长 的关系是 ，是正比例函数关系，故选项符合题意； 故选：D． 题型2：根据正比例函数的概念求参数Ⅰ 5．若 是正比例函数，则 的值是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的定义，掌握“正比例函数的表达式常数项为 ” 是解题的关键． 正比例函数的形式为 ，无常数项，故需使常数项为零即可． 【详解】解： EMBED Equation.DSMT4 是正比例函数， 常数项 ， EMBED Equation.DSMT4 ． 故选：C． 6．已知正比例函数 的图象经过点 ，则 的值为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，将点坐标代入函数解析式，即可求出k的值． 【详解】解：∵正比例函数 的图象经过点 ， ∴ ， ∴ ． 故选：C 7．若y关于x的函数 是正比例函数，则a，b应满足的条件是（　　） A． B． C． 且 D． 且 【答案】C 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，根据正比例函数为 ，因此x的系数需非零且常数项为零，进行解答即可． 【详解】解：∵ 是正比例函数， ∴ 且 ， ∴ 且 ， 故选：C． 题型3：根据正比例函数的概念求参数Ⅱ 8．当 时，函数 是正比例函数． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义，是解题的关键．根据正比例函数的定义，函数需满足指数为1且系数不为零． 【详解】解：由正比例函数的定义得： 且 ， 由 得 ， 解得： 或 ， 当 时， ，不符合系数不为零的条件； 当 时， ，符合条件； 故 ． 故答案为： ． 9．若关于x的函数 是正比例函数，则该函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，由定义得函数形式应为 （ ），因此常数项必须为0，且一次项系数不为0，据此即可求解． 【详解】解：由题意得 ，且 ， 解得 ， EMBED Equation.DSMT4 ． 故答案为： ． 10．若一个正比例函数的图象经过 ， 两点，则m的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式以及正比例函数图象上点的坐标特征．根据点A的坐标，利用待定系数法可求出正比例函数解析式，再利用正比例函数图象上点的坐标特征可求出m的值． 【详解】解：设正比例函数的解析式为 ， 将 代入 ，得： ， 解得 ， ∴正比例函数解析式为 ， 将 代入 中，得 ， 解得： ． 故答案为：2． 11．已知 在正比例函数 上，则k的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，熟练掌握正比例函数解析式的求法是解题的关键． 将点P的坐标代入正比例函数解析式，即可求解k的值． 【详解】解：∵ 在正比例函数 上， ∴ ， ∴ ． 故选：A． 12．已知函数 （m是常数）是正比例函数，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了正比例函数的定义，根据正比例函数的定义，函数形式应为 ，因此常数项必须为0且x的系数不为0，即可作答． 【详解】解：∵函数 （m是常数）是正比例函数， ∴ ， 解得 ， 故答案为：1． 题型4：正比例函数的有关求值问题 13．若正比例函数的图像经过点 ，则这个图像必经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数，先求出正比例函数的比例系数 ，然后验证各点是否满足函数解析式即可，正确求出正比例函数的解析式是解此题的关键． 【详解】解：设正比例函数为 ， ∵图象经过点 ， ∴ ， 解得 ， ∴函数解析式为 ， 当 时， ，不经过 ，故A不符合题意； 当 时， ，不经过 ，故B不符合题意； 当 时， ，不经过 ，故C不符合题意； 当 时， ，经过 ，故D符合题意； 故选：D． 14．函数 的图象是经过点(0， )和点( ，6)的一条直线． 【答案】 0 1 【分析】本题考查正比例函数的图象，分别令 ，进行求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴当 时， ，当 时， ，解得： ； 故答案为：0，1 15．已知正比例函数 经过点 和 ，则x的值为（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数的解析式与待定系数法，解题的关键是利用函数图象上的点求出比例系数 ． 先将已知点代入正比例函数求出 的值，再将另一点代入函数求解 ． 【详解】解： 正比例函数 经过点 ， 将 代入得： ，解得 ， 则函数解析式为 ， 又 函数经过点 ， 将 代入解析式得： ，解得 ． 故选：D． 16．对于正比例函数 ，当自变量x的值增加1时，函数y的值增加 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，根据正比例函数的性质求解即可． 【详解】解：因为正比例函数 ， 所以当自变量x的值增加1时，函数y的值减少2， 即当自变量x的值增加1时，函数y的值增加 ． 故答案为： ． 题型5：判断正比例函数经过的象限 17．正比例函数 的图象经过（　　） A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第二、三象限 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质．熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题的关键． 根据 时，正比例函数图象经过第一、三象限， 时，正比例函数图象经过第二、四象限，判断作答即可． 【详解】解：∵ ， ∴正比例函数 的图象经过第一、三象限． 故选：C． 18．正比例函数 的图象 ，则图象经过第 象限． 【答案】二、四 【分析】此题考查了正比例函数的性质，根据题意求出 ，即可得到答案． 【详解】解：∵比例函数 的图象 ， ∴ ， ∴ ∵ ∴正比例图象经过第二、四象限． 故答案为：二、四 19．已知正比例函数 （ 是常数， ），如果 的值随 的值增大而减小，那么该正比例函数的图像经过第 象限． 【答案】二、四 【分析】根据正比例函数 ， 的值随 的值增大而减小，得出 ，进而判断其经过的象限，即可求解． 【详解】解： 正比例函数 的值随 值的增大而减小， ， 该函数图象经过第二、四象限， 故答案为：二、四 题型6：比较大小问题—正比例函数的性质应用 20．已知 ， 在函数 图象上，则 （填“ ”或“ ”）． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数值的大小比较，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 把 ， 分别代入计算出 和 的值再比较即可． 【详解】∵ 点 和 在函数 的图象上， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， 故答案为： ． 21．已知点 ， ， 都在经过原点的同一条直线上，则 ， 的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的定义和性质，设经过原点的直线解析式为 ，代入点C求出 的值，再利用正比例函数的性质求出 ， ，比较大小即可得出结论． 【详解】解：设经过原点的直线解析式为 ， 代入 ，得 ，解得 ， ∴直线解析式为 ， 当 时， ； 当 时， ； ∵ ∴ ， 故选：B． 22．如果正比例函数的图象经过点 ， ， ，且 ，那么 和 ，的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能比较 【答案】B 【分析】本题主要考查了正比例函数图象上点的坐标特点，熟知正比例函数的性质是解题的关键． 通过点 坐标求出正比例函数解析式，再计算和比较 和 的大小即可． 【详解】解：∵ 正比例函数图象经过点 ， ∴ 设函数为 ，代入得 ， ∴ ， ∴ 函数解析式为 ， ∵ 点 和点 在图象上， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ，即 ． 故选：B． 题型7：正比例函数的图像与性质综合 23．关于函数 ，下列判断正确的是（   ） A．图像经过第一、三象限 B．无论 为何值，总有 C．图像经过点 D． 随 的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的图像与性质，由函数 是正比例函数， ，根据性质，图像经过第二、四象限， 随 增大而减小，逐一判断选项即可，掌握正比例函数的图像与性质是解题的关键． 【详解】解： 、∵函数 中 ， ∴图像经过第二、四象限，该选项错误，不符合题意； 、当 时， ，该选项错误，不符合题意； 、当 时， ，图像不经过 ，该选项错误，不符合题意； 、∵函数 中 ， ∴ 随 的增大而减小，该选项正确，符合题意； 故选： ． 24．下列选项中，是正比例函数 （ ），且 随 的增大而减小的图象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正比例函数的图象是过原点的直线，且当 时， 随 的增大而减小，据此分析各选项． 【详解】解：正比例函数 （ ）的图象必过原点，且 随 增大而减小，则 （图象经过第二、四象限）． A、图象过原点，且经过第一、三象限， 随 增大而增大，不符合题意； B、图象不过原点，不是正比例函数图象，不符合题意； C、图象过原点，且经过第二、四象限， 随 增大而减小，符合题意； D、图象不过原点，不是正比例函数图象，不符合题意． 故选：C ． 【点睛】本题考查了正比例函数的图象与性质，解题关键是牢记“正比例函数图象过原点， 时过一、三象限（ 随 增大而增大）， 时过二、四象限（ 随 增大而减小）”． 题型8：根据正比例函数的图像或性质综求参数 25．已知正比例函数 的图像经过第一、三象限，那么 的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数图像的性质，熟练掌握正比例函数图像的性质是解题的关键． 根据正比例函数的性质，可得 ，即可求解． 【详解】解：∵正比例函数 的图象经过第一、三象限， ∴ ， 解得： ， 故选：A． 26．若函数 是正比例函数，且图像经过一、三象限，则 ． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数的定义与性质，一元一次不等式，掌握知识点是解题的关键． 根据自变量的次数等于1，系数大于0，列式求解即可． 【详解】解：∵函数 是正比例函数，且图像经过一、三象限， ∴ 且 ， 即 且 ， ∴ ． 故答案为： ． 27．如果正比例函数 的图象在二、四象限，那么 的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查根据正比例函数的定义求参数的值，根据正比例函数的定义，结合正比例函数图象所经过的象限，得到 ，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得： ， ∴ ； 故答案为： ． 28．已知正比例函数 的图像经过第二、四象限，那么 的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，熟知正比例函数的性质是解题的关键． 根据“ ，当 时，该函数的图象经过第二、四象限；当 时，该函数的图象经过第一、三象限”解题即可． 【详解】解：∵正比例函数 的图像经过第二、四象限， ∴ ， ∴ ． 故答案为： ． 29．若正比例函数 的图象经过第一、第三象限，则 的值可以等于 （填一个即可）． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】本题考查正比例函数的性质，解题的关键是掌握：在正比例函数 中，当 时， 随 的增大而增大，图象经过第一、三象限；当 时， 随 的增大而减小，图象经过第二、四象限．据此解答即可． 【详解】解：∵正比例函数 的图象经过第一、三象限， ∴ ， ∴ 的值可以等于 ． 故答案为： （答案不唯一）． 30．已知正比例函数 ，y的值随x的值增大而减小，那么k的值可以是 ．（写出一个符合题意的k的值即可） 【答案】3（答案不唯一） 【分析】本题考查正比例函数的增减性，掌握正比例函数的意义是解题关键． 由正比例函数增减性直接求解即可得到答案． 【详解】解：在正比例函数 中， ∵ 的值随 的值增大而减小， ∴ ． 解不等式 得 ． ∴只要取大于2的数都符合题意； 故答案为：3（答案不唯一）． 31．已知正比例函数 （其中 为常数，且 ），如果 的值随 的值增大而增大，那么下列 的值中，不可能的是（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的性质，根据如果 的值随 的值增大而增大，得到 ，进行判断即可． 【详解】解：∵正比例函数 （其中 为常数，且 ）， 的值随 的值增大而增大， ∴ ， ∴ ， ∴ 的值不可能是 ； 故选A． *题型9：根据正比例函数的图像比较比例系数的大小 32．四个正比例函数 的图象如图所示，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查正比例函数的图象与性质，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据对于正比例函数 ，当 时，图象经过第一、三象限，k越大，图象越靠近y轴；当 时，图象经过第二、四象限， 越大，图象越靠近y轴，然后根据函数图象可进行求解． 【详解】解：由图象可知： 的图象都经过第一、三象限，所以 ，且 的图象更靠近y轴，所以 ； 的图象都经过第二、四象限，所以 ，且 的图象更靠近y轴，所以 ，所以 综上所述： ； 故选D． 33．如图是四个正比例函数的图象，则 ， ， ， 的大小关系是 ； 【答案】 / 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握正比例函数的图象与性质． 先由正比例函数的图象与性质得到 ， ，然后通过取点作垂线求解即可． 【详解】解：∵直线 经过第一、三象限， ∴ ； ∵直线 经过第二、四象限， ∴ ， 在直线 上任取一点 ，过点 作 轴，交直线 ， 轴于点 ， 设 ，则 ， ∵ ，且 ， ∴ ； 在直线 上任取一点 ，过点 作 轴，交直线 ， 轴于点 ， 设 ，则 ， ∵ ，且 ， ∴ ； ∴ ， 故答案为： ． 34．如图，三个函数图象分别对应的表达式是：① ；② ；③ ．则 ， ， 的大小关系是 ．（用“ ”号连接） 【答案】 【分析】本题考查的知识点是正比例函数图象与性质，解题关键是熟练掌握正比例函数的图象特征． 正比例函数图象过第一、三象限时 ，过第二、四象限时 ；直线越靠近 轴， 越大，先判断 ， ， 的正负，再比较绝对值大小，最终确定三者的大小关系． 【详解】解： 正比例函数 的图象特征为： 图象过第一、三象限时 ，过第二、四象限时 ；直线越靠近 轴， 越大， 由图象可知：①②过第一、三象限，故 ， ， ③过第二、四象限，故 ， ②比①更靠近 轴，故 ， 综上， ． 故答案为： ． 35．如图，三个正比例函数的图象分别对应的表达式是：① ；② ；③ ．请用“>”表示 ， ， 的大小关系 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正比例函数的图象，掌握正比例函数图象的性质是解题的关键． 直接根据正比例函数的性质判断a、b、c的大小即可解答． 【详解】解：由图象可得， ， ∴ ． 故答案为： ． 题型10：根据正比例关系求函数表达式 36．已知y与 成正比例，当 时 ；当 时， ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，求函数值等知识﹒根据题意设 ，根据当 时 求出 ，把 代入即可求解﹒ 【详解】解：∵y与 成正比例， ∴设 ， 当 时， ， ∴ ， 解得 ， ∴函数关系式为 ， 当 时， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， 故答案为： ﹒ 37．已知 与 成正比例，比例系数是 ，则 与 的函数关系式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，掌握正比例函数的定义是解题的关键．根据正比例函数的定义：形如 （ 为常数，且 ）叫正比例函数，列出表达式，化简即可得出答案． 【详解】解：由题意得 ， 即 与 的函数关系式是 ， 故答案为： ． 题型11：最值、取值范围问题 38．如图，已知正比例函数 经过点P，若 ，则y的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的性质已经函数增减性的判断，属于基础题． 先根据正比例函数的性质求出函数表达式，再结合 的取值范围求出 的取值范围． 【详解】解：正比例函数的表达式为 ， 因为正比例函数 经过点 ， 将点 代入 中，可得： ， 解得 ， 所以，正比例函数的表达式为 ， 已知 ，因为 ， 所以 随 的增大而减小． 当 时， ； 当 时， ． 所以当 时， ． 故答案为： ． 39．当 时，函数 的最大值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了正比例函数的性质，根据 的 ，得出y随x的增大而减小，又结合 ，故把 代入进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意， 的 ， ∴y随x的增大而减小， 依题意，把 代入 得 ， 故答案为：4． 40．当 时，函数 的最大值与最小值的和为 ． 【答案】2 【分析】此题主要考查了一次函数在自变量限定范围内的最值，需利用一次函数增减性求解，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 由函数解析式可知，y随x的增大而减小，所以当 时，函数有最大值，当 时，函数有最小值，最后将最大值与最小值相加即可． 【详解】解： ， y随x的增大而减小， 当 时，函数有最大值，最大值为 ； 当 时，函数有最小值，最小值为 ； 当 时，函数 的最大值与最小值的和为 ． 故答案为：2． 题型12：解答题 41．已知y与x成正比例，且当 时， ． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)设点 在这个函数的图象上，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，求自变量的值： （1）设出函数解析式，再代入已知的数据求解即可； （2）把 代入（1）所求解析式中进行求解即可． 【详解】（1）解：设 ， ∵当 时， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2）解：∵点 在这个函数的图象上， ∴ ， ∴ ． 42．已知y是x的正比例函数，且当 时， ． (1)求这个正比例函数的解析式； (2)若点 在该函数图象上，试比较 ， 的大小． 【答案】(1)正比例函数的解析式是 (2) 【分析】（1）用待定系数法即可得 ； （2）由正比例函数性质可得答案． 【详解】（1）解：设正比例函数的解析式是 ， ∵当 时， ， ∴ ， 解得 ， ∴正比例函数的解析式是 ； （2）解：∵ ， ∴y随x的增大而减小， 又 ， ∴ ． 【点睛】本题考查待定系数法求正比例函数的解析式和正比例函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法． 43．已知 与 成正比例，且当 时， ，求 与 之间的函数解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义与性质．可设 ，代入 ， ，进行计算求出 的值，整理即可得到答案． 【详解】解： EMBED Equation.DSMT4 与 成正比例， 设 ， 当 时， ， ， 解得： ， ， 整理得： ， EMBED Equation.DSMT4 与 之间的函数关系式为： ． 44．已知函数 是正比例函数． (1)若函数关系式中y随x的增大而减小，求m的值； (2)若函数的图象过第一、三象限，求m的值． 【答案】(1) ； (2) 【分析】（1）由函数关系式中y随x的增大而减小，利用正比例函数的性质可得出 ，解之即可得出m的取值范围，进而可确定m的值； （2）由函数的图象过第一、三象限，利用正比例函数的性质可得出 ，解之即可得出m的取值范围，进而可确定m的值． 【详解】（1）解：∵函数 是正比例函数， ∴ ， 解得： ． ∵函数关系式中y随x的增大而减小， ∴ ， ∴ ， ∴ ． （2）∵函数的图象过第一、三象限， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】此题考查了正比例函数的性质以及正比例函数的定义，牢记“当k＞0时，y随x的增大而增大，且函数图象经过第一、三象限；当k＜0时，y随x的增大而减小，且函数图象经过第二、四象限”是解题的关键． 45．已知 与 成正比例，且当 时， ． (1)求y与x之间的函数解析式． (2)当 时，求y的值； (3)若点 ， 都在该函数的图象上，且 ，试判断 ， 的大小关系． 【答案】(1) (2)12 (3) 【分析】本题考查正比例函数的图象和性质： （1）设 ，待定系数法求出函数解析式即可； （2）将 代入（1）中解析式进行求解即可； （3）根据正比例函数的性质，求解即可． 【详解】（1）解：由题意，设： ， ∵ 时， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2）∵ ， ∴当 时， ； （3）∵ ， ， ∴ 随 的增大而增大， ∵点 ， 都在该函数的图象上，且 ， ∴ ． 46．已知 与 成正比例，并且 时， ． (1)写出 与 之间的函数关系式； (2)当 时，求 的值； (3)当 时，求 的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设 与 之间的函数关系式为： ，当 时， ，代入求出 的值，即可得到答案； （2）将 代入（1）中的函数解析式，即可得到 的值； （3）将 代入（1）中的函数解析式，即可得到 的值． 【详解】（1）解：设 与 之间的函数关系式为： ， 当 时， ， ， 解得： ， EMBED Equation.DSMT4 与 之间的函数关系式为 ； （2）解：当 时， ； （3）解：当 时， ， 解得： ． 【点睛】本题考查的是待定系数法求正比例函数的解析式，熟知待定系数法求函数解析式一般步骤是解答此题的关键． 47．已知：y＝y1+y2，y1与x成正比例，y2与x﹣2成正比例，当x＝1时，y＝0；当x＝3时，y＝4． (1)求y与x之间的关系式； (2)当x＝﹣1时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意分别设出y1，y2，代入y＝y1＋y2，表示出y与x的解析式，将已知两对值代入求出k与b的值，确定出解析式； （2）将x＝－1代入计算即可求出值． 【详解】（1）设y1＝ax，y2＝k（x﹣2）， ∴y＝ax+k（x﹣2） 由当x＝1时，y＝0．当x＝3时，y＝4可得， ， 解得： ， ∴y与x之间的关系式为：y＝2x﹣2； （2）当x＝﹣1时, ． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，解题关键是熟练掌握待定系数法． 48．小明爸妈上山游玩，爸爸步行，妈妈乘坐缆车，相约在山顶缆车的终点会合．步行的路程是缆车所经线路长的 倍，妈妈在爸爸出发后 分钟才坐上缆车，缆车的平均速度为每分钟 米．图中反映了爸爸整个过程中步行的路程 (米)与时间 (分钟)之间的函数关系． (1)爸爸行走的总路程是________米，他途中休息了________分钟； (2)当 时， 与 之间的函数关系式是________； (3)爸爸休息之后，行走的速度是每分钟________米；当妈妈到达缆车终点时，爸爸离缆车终点的路程是________米． 【答案】(1) ； (2) (3) ； 【分析】（1）根据图象获取信息：爸爸到达山顶用时 分钟，中途休息了 分钟，行程为 米； （2）利用待定系数法解答正比例函数解析式即可； （3）休息前 分钟行走 米，休息后 分钟行走 米，利用路程、时间得出速度即可，先求妈妈到达缆车终点的时间，再计算爸爸行走路程，从而求出爸爸离缆车终点的路程． 【详解】（1）根据图象知：爸爸行走的总路程是 米，他途中休息了 分钟． 故答案为 ， ； （2）设函数关系式为 ，图像过 可得： ， 解得： ， 所以解析式为： ， 故答案为 ； （3）爸爸休息之后行走的速度是 米 分钟， 妈妈到达缆车终点的时间： EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 分 ， 此时爸爸比妈妈迟到 分 ， 妈妈到达终点时，爸爸离缆车终点的路程为： 米 ， 故答案为 ； ． 【点睛】此题考查一次函数及其图象的应用，从图象中获取相关信息是关键． 一、单选题 1．下列函数中，是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了正比例函数的定义，形如 的函数，叫做正比例函数，据此进行解答即可． 【详解】解：A． 是一次函数，不是正比例函数，故该选项错误，不符合题意； B． 不是整式，故该选项错误，不符合题意； C．a的指数是2，不属于正比例函数，故该选项错误，不符合题意； D． 是正比例函数的形式，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 2．若正比例函数 的图像经过第二、四象限，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正比例函数图像的性质，对于正比例函数 ，当 时，函数图像经过第一、三象限，当 时，函数图像经过第二、四象限，据此可得答案． 【详解】解：∵正比例函数 的图像经过第二、四象限， ∴ ， 故选：D． 3．下列各图像中，表示函数 的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】正比例函数的图象是一条经过原点的直线，且当 时，经过一、三象限． 【详解】解：∵正比例函数的图象是一条经过原点的直线，且当 时，经过一、三象限． ∴正比例函数 的大致图象是A． 故选：A． 【点睛】此题比较简单，主要考查了正比例函数的图象特点：是一条经过原点的直线． 4．正比例函数 的自变量增加 ，函数值相应减少 ，则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】正比例函数中 为比例系数，用函数值的变化量除以自变量的变化量即可． 【详解】解：∵自变量增加 ，函数值相应减少 ， ∴ ， 故选B． 【点睛】本题主要考查比例系数的定义，熟知 的含义是解题关键． 5．已知正比例函数y=kx的图象经过点（2，﹣4），（1， ），（﹣1， ），那么 与 的大小关系是（　　） A． ＜ B． ＝ C． ＞ D．无法确定 【答案】A 【分析】利用待定系数法求得k=-2＜0，则该正比例函数经过第二、四象限，且y随x的增大而减小，据此可以比较 与 的大小． 【详解】解：∵正比例函数y=kx的图象经过点（2，-4）， ∴k= =-2．则k＜0， ∴正比例函数y=-2x的图象经过第二、四象限，且y随x的增大而减小． 又∵1＞-1， ∴ ＜ ． 故选：A． 【点睛】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特点．熟练掌握正比例函数的性质是解题关键． 6．已知正比例函数 ，下列结论正确的是（　　） A．图象是一条射线 B．图象必经过点 C．y随x的增大而减小 D．图象经过第一、三象限 【答案】D 【分析】本题主要考查的是正比例函数的图象和性质．掌握正比例函数的性质是解题关键． 根据正比例函数的图象和性质逐一判断即可． 【详解】解：A、正比例函数的图象是一条经过原点的直线，A选项错误； B、把 代入 ，得 ，B选项错误； C、因为 ，所以y随x的增大而增大，C选项错误； D、 因为 ，所以图象经过第一、三象限， D选项正确． 故选D． 二、填空题 7．若 与 成正比例，当 时， ，则 关于 的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例，根据 与 成正比例可设 ，再代入求值即可． 【详解】∵ 与 成正比例， ∴设 ， ∵当 时， ， ∴ ， 解得 ， ∴ 关于 的函数解析式为 ， 故答案为： ． 8．已知 与 成正比例，且当 时， ，那么当 时， ． 【答案】3 【分析】根据正比例函数的定义设出函数解析式，再把当 时， 代入求出 的值，最后把 代入计算即可．本题考查的是用待定系数法求一次函数的解析式，关键是根据正比例函数的定义列出函数解析式． 【详解】解：设 ， 把 ， 代入，得 ， 解得 ， 则 与 之间的函数关系式是 ， 当 时， ． 故答案为：3． 9．正比例函数 的图像经过第二、四象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，正比例函数 时，图象在第一、三象限，呈上升趋势，当 时，图象在第二、四象限，呈下降趋势．根据正比例函数的图象经过第二、四象限列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵正比例函数 的图象经过第二、第四象限， ∴ ， ∴ 故答案为： ． 10．正比例函数 的图像经过 ，且 ，则k的范围是 ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了正比例函数图象的性质，根据题意可知y随x增大而减小，则 ，可得 ．对于正比例函数 ，当 时，y随x增大而增大，当 时，y随x增大而减小． 【详解】解：∵正比例函数 的图像经过 ，且 ， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ． 11．已知正比例函数 的图象上的两点 ，当 时，有 ，那么 的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，牢记“ ， 随 的增大而增大； ， 随 的增大而减小”是解题的关键．由当 时，有 ，可得出 随 的增大而增大，结合函数的性质可得出 ，解之即可得出 的取值范围． 【详解】解：∵正比例函数 的图象上的两点 ，当 时，有 ， ∴ 随 的增大而增大， ∴ ， 解得： ． 故答案为： ． 12． 如图，直线l1⊥x轴于点（1，0），直线l2⊥x轴于点（2，0），直线l3⊥x轴于点（3，0），…，直线ln⊥x轴于点（n，0）．函数y=x的图象与直线l1，l2，l3，…，ln分别交于点A1，A2，A3，…，An；函数y=2x的图象与直线l1，l2，l3，…，ln分别交于点B1，B2，B3，…，Bn．如果△OA1B1的面积记作S1，四边形A1A2B2B1的面积记作S2，四边形A2A3B3B2的面积记作S3，…，四边形An-1AnBnBn-1的面积记作Sn，那么S2019= ．    【答案】 【分析】先结合图形确定 的长度规律及图形形状为梯形的规律，再根据所得规律将具体值代入梯形面积公式即得． 【详解】解：由题意可得：当 时， ， ∴ ∴ ， ∵直线l1⊥x轴，直线l2⊥x轴，直线l3⊥x轴， ，直线ln⊥x轴 ∴l1∥l2∥l3∥ ∥ln ∴当 时四边形An-1AnBnBn-1是梯形 ∵平行线间距离处处相等，所以梯形An-1AnBnBn-1的高为1 ∴ ∴ 故答案为： ． 【点睛】本题是规律题，考查了一次函数求点的坐标及平行线间距离处处相等，根据特殊情况找出一般规律是解题关键． 三、解答题 13．已知 与 成正比例，当 时， (1)求 与 的函数表达式； (2)当 时，求函数值 ； (3)当 时，求自变量 的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正比例函数的定义得出 的值，即可得出答案； （2）将 代入（1）中函数解析式进而得出答案； （3）将 代入（1）中函数解析式进而得出答案． 【详解】（1）解：∵ 与 成正比例， ∴ ． ∴ ． ∵当 时， ， ∴ ． ∴ ． ∴ 与 的函数表达式为 ； （2）当 时， ； （3）当 时， ． ∴ ． 【点睛】本题主要考查了待定系数法确定一次函数的解析式，一次函数的性质，利用待定系数法解答是解题的关键． 14．已知 与 成正比例，且当 时， ． (1)写出 与 之间的函数关系式； (2)若点 在这个函数的图象上，求 的值； (3)若 的取值范围为 ，求 的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】题目主要考查正比例函数的图象与性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题关键． （1）根据题意设 ，然后利用待定系数法代入求解即可； （2）将点 代入 求解即可； （3）根据正比例函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，设 ， 将 代入，得 ， 解得 ， 所以 ，即 ． （2）解：将点 代入 ， 得 ， 解得 ． （3）在 中， 因为 ， 所以 随 的增大而增大， 所以当 取最小值时， 值最小． 当 时， ， 解得 ， 所以 的最小值为 ． 15．已知如图，在平面直角坐标系中，点A（3，7）在正比例函数图像上． （1）求正比例函数的解析式． （2）点B（1，0）和点C都在x轴上，当△ABC的面积是17.5时，求点C的坐标． 【答案】（1） ；（2） 或 ． 【分析】（1）根据点 的坐标，利用待定系数法即可得； （2）如图（见解析），过点 作 轴于点 ，从而可得 ，设点 的坐标为 ，从而可得 ，再根据三角形的面积公可求出 的值，由此即可得出答案． 【详解】解：（1）设正比例函数的解析式为 ， 将点 代入得： ，解得 ， 则正比例函数的解析式为 ； （2）如图，过点 作 轴于点 ， ， ， 设点 的坐标为 ，则 ， 的面积是 ， ，即 ， 解得 或 ， 故点 的坐标为 或 ． 【点睛】本题考查了求正比例函数的解析式、点坐标，熟练掌握待定系数法是解题关键． 16．如图，正方形ABCD的各边都平行于坐标轴，且在第一象限内，点A、C分别在直线 和 上． (1)如果点A的横坐标为8，AD=10，求点D的坐标； (2)如果点A在直线 上运动，求点B所在直线的正比例函数解析式； (3)当四边形OADC的面积为170时，求点C的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用点A的横坐标代入 求出点A的坐标即可求出答案． （2）由图，根据正方形性质可知点 横坐标与点 横坐标相等，点 纵坐标与点 纵坐标相等，根据函数解析式可设 ， 表示出点 ，求出 ， 即可得出答案． （3）由（2）中可得的坐标 ，再利用已知正方形的面积即可求出答案． 【详解】（1）解：把 代入 中得， ，即点 的坐标为 ， 又 ， ∴点 的坐标为 ． （2）由题意可设点B所在直线的解析式为 , , , 则点 的坐标为 ， 由 ， 得 ，整理得 ， ∴ ，代入解析式得， ， 解得 ， ∴点B所在直线的正比例函数解析式为 ． （3）由（2）可得 ， ， ∴ ， 解得 或 （舍去）， ∴点C的坐标为 ． 【点睛】本题考查了正比例函数的图象及性质、正方形的性质，解题关键在于熟练掌握正比例函数图象上的点的特征及正方形的性质． 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.2 正比例函数 一、正比例函数的概念 1.变量之间的正比例关系 举例： （1）设某种水果的单价为25元/千克，售出的数量为x千克，销售金额为y元，于是y=25x或； （2）一个正方形的周长随着边长的变化而变化.设正方形的边长为x(x>0),则其周长为y=4x, 也可表示为 变量y与变量x成正比例： 如果变量y与变量x 的比值是一个不等于0的常数，那么就说变量y与变量x成正比例.用数学式子表示为 或y=kx, 其中k是一个不等于0的常数. 2.正比例函数 变量y与变量x成正比例，说明y是x的一个函数. 形如y=kx(k是常数，k≠0) 的函数叫作正比例函数，其中非零常数k称为比例系数，自变量x的取值范围是一切实数. 确定了比例系数k, 就可以给出正比例函数的表达式：y=kx(k≠0). 3.待定系数法 例1：已知y 是 x 的正比例函数，当x=3 时函数值为24. (1)求该函数的表达式； (2)当函数值分别为-5、0、3时，求自变量x 解：(1)因为y 是 x 的正比例函数，可设其表达式为y=kx(k≠0). 根据题意，3k=24, 解得 k=8. 所以该函数的表达式为y=8x. ( 2 ) 由y=8x, 知 当y=-5时，-5=8x, 解得； 当 y=0时，0=8x, 解得x=0； 当 y=3时，3=8x, 解得 这里求正比例函数 表达式的方法是待定系数法.表达式中k 是待定系数，利用已知条件列出关于k的方程再求解，可确定k的值. 2、 正比例函数的图像与性质 1.作正比例函数的图像 已知正比例函数y=2x. (1) 列表：取自变量x的一些值，计算出相应的函数值y, 见表25-4. (2)描点：分别以所取 x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图25-2-1(1)所示，不难发现上述所有点均落在同一条过原点的直线上. (3)连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用直线连接起来，如图25-2-1(2)所示. 注意到所画直线上任意一点的坐标都满足函数的表达式y=2x; 同时，对于任意一对满足这个函数表达式的x 、y, 以(x,y) 为坐标的点都在所画的直线上.因此，函数y=2x的图像就是这条直线. 2.正比例函数的特点 如图25-2-2所示为y=-2x的图像； 观察可见，函数y=2x与y=-2x的图像都经过原点.实际上，原点O的坐标(0,0)满足这两个函数的表达式. 我们知道，两点确定一条直线.例如，函数y=2x的图像，可以由原点 O(0,0) 和点(1,2)确定；函数 y=-2x 的图像可以由原点O(0,0) 和 点(1,—2)确定. ①正比例函数y=kx(k≠0)的图像是一条经过原点的直线，这条直线称为直线y=kx. ②比例系数的符号决定正比例函数y=kx(k≠0)所经过的象限 当k＞0时，直线y=kx经过第一、三象限，；当k＜0时，直线y=kx经过第二、四象限。 3.正比例函数的性质 通过观察，可以归纳正比例函数y=kx(k≠0) 有如下性质： (1)当k>0时，正比例函数的图像经过第一、三象限，函数值y随着自变量x的增大而增大； (2)当k<0时，正比例函数的图像经过第二、四象限，函数值y随着自变x 的增大而减小. (1)(2)这两个性质的逆命题也是成立的. 4.正比例函数的应用 例2：在水管放水的过程中，放水的时间 x(单位：min) 与流出的水量y(单位：m³) 是两个变量.已知每分钟流出的水量是0.2m³, 放水的过程持续10 min.写出y 关于x 的函数表达式，并指出自变量x的取值范围，再画出这个函数的图像. 解：在水管放水的过程中，变量y与变量x 成正比例，比例系数是0.2. 相应函数的表达式是y=0.2x, 自变量x的取值范围是0≤x≤10.这个函数的图像是一条线段，如图25-2-5所示. 题型1：正比例函数的概念 1．下列表达式中，y是x的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列函数中，表示是的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 3．下列函数中，是的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 4．下列关系中，属于成正比例函数关系的是（    ） A．正方形的面积与边长 B．从甲地到乙地，所用的时间和行驶速度 C．圆的面积与它的半径 D．等边三角形的周长和边长 题型2：根据正比例函数的概念求参数Ⅰ 5．若是正比例函数，则的值是（   ）． A． B． C． D． 6．已知正比例函数的图象经过点，则的值为（   ） A．2 B．3 C． D． 7．若y关于x的函数是正比例函数，则a，b应满足的条件是（　　） A． B． C．且 D．且 题型3：根据正比例函数的概念求参数Ⅱ 8．当 时，函数是正比例函数． 9．若关于x的函数是正比例函数，则该函数的表达式为 ． 10．若一个正比例函数的图象经过，两点，则m的值为 ． 11．已知在正比例函数上，则k的值为（    ） A． B．2 C． D． 12．已知函数（m是常数）是正比例函数，则 ． 题型4：正比例函数的有关求值问题 13．若正比例函数的图像经过点，则这个图像必经过点（   ） A． B． C． D． 14．函数的图象是经过点(0， )和点( ，6)的一条直线． 15．已知正比例函数经过点和，则x的值为（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 16．对于正比例函数，当自变量x的值增加1时，函数y的值增加 ． 题型5：判断正比例函数经过的象限 17．正比例函数的图象经过（　　） A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第二、三象限 18．正比例函数的图象，则图象经过第 象限． 19．已知正比例函数（是常数，），如果的值随的值增大而减小，那么该正比例函数的图像经过第 象限． 题型6：比较大小问题—正比例函数的性质应用 20．已知，在函数图象上，则 （填“”或“”）． 21．已知点，，都在经过原点的同一条直线上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 22．如果正比例函数的图象经过点，，，且，那么和，的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能比较 题型7：正比例函数的图像与性质综合 23．关于函数，下列判断正确的是（   ） A．图像经过第一、三象限 B．无论为何值，总有 C．图像经过点 D．随的增大而减小 24．下列选项中，是正比例函数（），且随的增大而减小的图象的是（   ） A． B． C． D． 题型8：根据正比例函数的图像或性质综求参数 25．已知正比例函数的图像经过第一、三象限，那么的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 26．若函数是正比例函数，且图像经过一、三象限，则 ． 27．如果正比例函数的图象在二、四象限，那么的值是 ． 28．已知正比例函数的图像经过第二、四象限，那么的取值范围是 ． 29．若正比例函数的图象经过第一、第三象限，则的值可以等于 （填一个即可）． 30．已知正比例函数，y的值随x的值增大而减小，那么k的值可以是 ．（写出一个符合题意的k的值即可） 31．已知正比例函数（其中为常数，且），如果的值随的值增大而增大，那么下列的值中，不可能的是（   ） A． B． C．0 D．2 *题型9：根据正比例函数的图像比较比例系数的大小 32．四个正比例函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 33．如图是四个正比例函数的图象，则，，，的大小关系是 ； 34．如图，三个函数图象分别对应的表达式是：①；②；③．则，，的大小关系是 ．（用“”号连接） 35．如图，三个正比例函数的图象分别对应的表达式是：①；②；③．请用“>”表示，，的大小关系 ． 题型10：根据正比例关系求函数表达式 36．已知y与成正比例，当时；当时， ． 37．已知与成正比例，比例系数是，则与的函数关系式是 ． 题型11：最值、取值范围问题 38．如图，已知正比例函数经过点P，若，则y的取值范围是 ． 39．当时，函数的最大值为 ． 40．当时，函数的最大值与最小值的和为 ． 题型12：解答题 41．已知y与x成正比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)设点在这个函数的图象上，求m的值． 42．已知y是x的正比例函数，且当时，． (1)求这个正比例函数的解析式； (2)若点在该函数图象上，试比较，的大小． 43．已知与成正比例，且当时，，求与之间的函数解析式． 44．已知函数是正比例函数． (1)若函数关系式中y随x的增大而减小，求m的值； (2)若函数的图象过第一、三象限，求m的值． 45．已知与成正比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数解析式． (2)当时，求y的值； (3)若点，都在该函数的图象上，且，试判断，的大小关系． 46．已知与成正比例，并且时，． (1)写出与之间的函数关系式； (2)当时，求的值； (3)当时，求的值． 47．已知：y＝y1+y2，y1与x成正比例，y2与x﹣2成正比例，当x＝1时，y＝0；当x＝3时，y＝4． (1)求y与x之间的关系式； (2)当x＝﹣1时，求y的值． 48．小明爸妈上山游玩，爸爸步行，妈妈乘坐缆车，相约在山顶缆车的终点会合．步行的路程是缆车所经线路长的倍，妈妈在爸爸出发后分钟才坐上缆车，缆车的平均速度为每分钟米．图中反映了爸爸整个过程中步行的路程(米)与时间(分钟)之间的函数关系． (1)爸爸行走的总路程是________米，他途中休息了________分钟； (2)当时，与之间的函数关系式是________； (3)爸爸休息之后，行走的速度是每分钟________米；当妈妈到达缆车终点时，爸爸离缆车终点的路程是________米． 一、单选题 1．下列函数中，是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．若正比例函数的图像经过第二、四象限，则（   ） A． B． C． D． 3．下列各图像中，表示函数的大致图像是（    ） A． B． C． D． 4．正比例函数的自变量增加，函数值相应减少，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．已知正比例函数y=kx的图象经过点（2，﹣4），（1，），（﹣1，），那么与的大小关系是（　　） A．＜ B．＝ C．＞ D．无法确定 6．已知正比例函数，下列结论正确的是（　　） A．图象是一条射线 B．图象必经过点 C．y随x的增大而减小 D．图象经过第一、三象限 二、填空题 7．若与成正比例，当时，，则关于的函数解析式为 ． 8．已知与成正比例，且当时，，那么当时， ． 9．正比例函数的图像经过第二、四象限，则m的取值范围是 ． 10．正比例函数的图像经过，且，则k的范围是 ． 11．已知正比例函数的图象上的两点，当时，有，那么的取值范围是 ． 12． 如图，直线l1⊥x轴于点（1，0），直线l2⊥x轴于点（2，0），直线l3⊥x轴于点（3，0），…，直线ln⊥x轴于点（n，0）．函数y=x的图象与直线l1，l2，l3，…，ln分别交于点A1，A2，A3，…，An；函数y=2x的图象与直线l1，l2，l3，…，ln分别交于点B1，B2，B3，…，Bn．如果△OA1B1的面积记作S1，四边形A1A2B2B1的面积记作S2，四边形A2A3B3B2的面积记作S3，…，四边形An-1AnBnBn-1的面积记作Sn，那么S2019= ．    三、解答题 13．已知与成正比例，当时， (1)求与的函数表达式； (2)当时，求函数值； (3)当时，求自变量的值． 14．已知与成正比例，且当时，． (1)写出与之间的函数关系式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值； (3)若的取值范围为，求的最小值． 15．已知如图，在平面直角坐标系中，点A（3，7）在正比例函数图像上． （1）求正比例函数的解析式． （2）点B（1，0）和点C都在x轴上，当△ABC的面积是17.5时，求点C的坐标． 16．如图，正方形ABCD的各边都平行于坐标轴，且在第一象限内，点A、C分别在直线和上． (1)如果点A的横坐标为8，AD=10，求点D的坐标； (2)如果点A在直线上运动，求点B所在直线的正比例函数解析式； (3)当四边形OADC的面积为170时，求点C的坐标． ( 第 1 页 共 8 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $