2025-2026学年山东省青岛市自主招生考试数学专题：圆

2025-2026学年山东省青岛市自主招生考试数学专题：圆 一、单选题 1．如图，AB是 的直径，点 在⊙ 上，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 2．下列说法：（1）长度相等的弧是等弧，（2）相等的圆心角所对的弧相等，（3）劣弧一定比优弧短，（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，⊙O的弦AB=6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，⊙O的半径为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 4．如图，是的直径，是上一点．若，则（　　） A． B． C． D． 5．如图，等边三角形ABC内接于⊙O，连接OA，OB，OC，延长AO，分别交BC于点P，与⊙O交于点D，连接BD，CD． 那么：①四边形BDCO是菱形，②若⊙O的半径为r，三角形的边长为r，③三角形ODC是等边三角形，④弧BD的度数为60°，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A=30°，则sin∠E的值为（　　） A． B． C． D． 7．如图，从一块直径为24cm的圆形纸片上剪出一个圆心角为90°的扇形ABC，使点A，B，C在圆周上，将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是（　　） A．12cm B．6cm C．3 cm D．2 cm 8．如图，是的直径，四边形内接于，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 9． 如图，在等腰中，，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点. 当点P沿半圆从点A运动至点B时，AM的最小值是（　　） A． B． C． D． 10．如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦，OM⊥AB、ON⊥CD，垂足分别为M、N，BA、DC的延长线交于点P，连接OP．下列四个说法：①=；②OM=ON；③PA=PC；④∠BPO=∠DPO；正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．如图，量角器外缘上有A、B两点，它们所表示的读数分别是80°、50°，则∠ACB的度数为　 　. 12．已知⊙O的半径为3，且点A到圆心的距离是5，则点A与⊙的位置关系是 　 　. 13．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若⊙O的半径为3cm，∠A=110°，则劣弧的长为　 　cm． 14．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”.由此可知，半径为4的“等边扇形”的面积为　 　. 15．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且∠BAC＝46°， ＝ ，则∠DAB＝　 　°. 16．如图，在△ABC中，∠C=45°，∠B=60°，BC为 +1，点P为边AB上一动点，过点P作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值为　 　. 17．如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，半径OA=2cm，C为的中点，D、E分别是OA、OB的中点，则图中阴影部分的面积为 　 　cm2. 三、解答题 18．如图所示，在⊙O中直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若BE=2 ，CD=6 .求⊙O的半径. 19．如下图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是中弦的中点，经过圆心O交圆O于点E，并且．求的半径． 20．如图，直径为 的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度 为 ，求水的最大深度 . 21．如图，AB是⊙O的直径，AC为弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D的切线交AC的延长线于点E． 求证： （1）DE⊥AE； （2）AE+CE=AB． 22．（1）如图1，PA、PB是⊙O的两条弦，AB为直径，C为的中点，弦CD⊥PA于点E，写出AB与AC的数量关系，并证明； （2）如图2，PA、PB是⊙O的两条弦，AB为弦，C为劣弧的中点，弦CD⊥PA于E，写出AE、PE与PB的数量关系，并证明． 23．如图，在中，是的直径；与相切于点，点在上，且． （1）求证：是的切线； （2）过点作于点，交于点，若， ①图中阴影部分面积是______； ②连接，若的内切圆圆心为，则线段的长为______． 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：如图，连接 ， 故答案为：C 【分析】根据圆周角定理即可求解。 2．【答案】A 【解析】【解答】解：（1） 长度相等的弧不一定是等弧，长度相等且度数也相同的弧才是等弧，故（1）错误； （2）同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故（2）错误； （3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故（3）错误； （4）直径是圆中最长的弦，故（4）正确， 综上正确的只有1个. 故答案为：A. 【分析】利用等弧的定义： 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧 ，据此可判断（1）；同弧或等弧所对的圆心角相等，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧也相等，据此可判断（2）；弧的长度与所在圆的半径及其所对的圆心角的度数有关，只有在同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，据此可判断（3）；连接圆上任意两点间的线段叫做弦，直径是圆中最长的弦，据此可判断（4）. 3．【答案】A 【解析】【解答】解：根据直线外一点到直线的线段中，垂线段最短，知：当OM⊥AB时，为最小值4， 连接OA， 根据垂径定理，得：BM=AB=3， 根据勾股定理，得：OA==5， 即⊙O的半径为5. 故答案为：A. 【分析】根据垂线段最短得出当OM⊥AB时值最小，进而根据垂径定理和勾股定理求解. 4．【答案】B 【解析】【解答】解：∵∠BOC=66°，∴ 故答案为：B。 【分析】根据圆周角定理，可直接由∠BOC的度数得出∠A的度数。 5．【答案】D 【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC， 在△ABO和△ACO中， ∵， ∴△ABO≌△ACO（SSS）， ∴∠BAD=∠CAD=30°， 则在Rt△ABD中，BD=AD=OB， 同理CD=AD=OB， ∵OB=OC=BD=CD， ∴四边形BDCO是菱形，故①正确； 在Rt△ABD中，AD=2r，BD=r， ∴AB==r，故②正确； ∵CO=OD=CD， ∴△ODC是等边三角形，故③正确； ∠BOD=2∠BAD=60°， ∴弧BD的度数为60°，故④正确． 综上可得：①②③④均正确，共4个． 故选D． 【分析】证明△ABO≌△ACO，可得∠BAD=∠CAD=30°，从而可得BD=CD=AO，可判断①正确；在Rt△ABD中，根据BD=OB=r，∠BAD=30°，可求出AB，从而判断②正确；由①可得OC=OD=CD，从而判断③正确；求出∠BOD的度数，即可判断④正确； 6．【答案】A 【解析】【解答】解：连接OC， ∵CE是⊙O切线， ∴OC⊥CE， ∵∠A=30°， ∴∠BOC=2∠A=60°， ∴∠E=90°﹣∠BOC=30°， ∴sin∠E=sin30°= ． 故选A． 【分析】首先连接OC，由CE是⊙O切线，可证得OC⊥CE，又由圆周角定理，求得∠BOC的度数，继而求得∠E的度数，然后由特殊角的三角函数值，求得答案．此题考查了切线的性质、圆周角定理以及特殊角的三角函数值．注意准确作出辅助线是解此题的关键． 7．【答案】C 【解析】【解答】解：作OD⊥AC于点D，连接OA， ∴∠OAD=45°，AC=2AD， ∴AC=2（OA×cos45°）=12 cm， ∴ =6 π ∴圆锥的底面圆的半径=6 π÷（2π）=3 cm． 故选C． 【分析】圆的半径为2，那么过圆心向AC引垂线，利用相应的三角函数可得AC的一半的长度，进而求得AC的长度，利用弧长公式可求得弧BC的长度，圆锥的底面圆的半径=圆锥的弧长÷2π．本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键． 8．【答案】B 【解析】【解答】解：∵CD为直径， ∴∠DBC=90°， ∵∠BDC=20°， ∴∠C=90°-∠BDC=90°-20°=70°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠A=180°﹣∠C=180°﹣70°=110°. 故答案为：B. 【分析】由圆周角定理可得∠DBC=90°，则∠C=90°-∠BDC=70°，由圆内接四边形的对角互补可得∠A+∠C=180°，据此求解. 9．【答案】A 【解析】【解答】解：取AB的中点N，连接CN，PN，MN，再取CN的中点P，连接MP， ∵点P为CN中点，点M为CP中点， ∴MP＝PN． ∵AC＝BC＝，且∠ACB＝90°， ∴AB＝4， ∴CN＝AN＝BN＝PN＝2， ∴MP＝1， ∴点M在以点P为圆形，半径长为1的圆上． 连接AP，当点M在AP与⊙P的交点处时，AM取得最小值． 在Rt△APN中，AP＝， ∴AM的最小值为． 故答案为：A． 【分析】取AB的中点N，连接CN，PN，MN，再取CN的中点P，连接MP，先证出点M在以点P为圆形，半径长为1的圆上，连接AP，当点M在AP与⊙P的交点处时，AM取得最小值．再利用勾股定理求出AM的长即可. 10．【答案】D 【解析】【解答】解：如图连接OB、OD； ∵AB=CD， ∴=，故①符合题意； ∵OM⊥AB，ON⊥CD， ∴AM=MB，CN=ND， ∴BM=DN， ∵OB=OD， ∴Rt△OMB≌Rt△OND， ∴OM=ON，故②符合题意； ∵OP=OP， ∴Rt△OPM≌Rt△OPN， ∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④符合题意； ∵AM=CN， ∴PA=PC，故③符合题意， 综上，四个选项都符合题意， 故答案为：D． 【分析】如图连接OB、OD；只要证明Rt△OMB≌Rt△OND，Rt△OPM≌Rt△OPN，即可得出结论。 11．【答案】15° 【解析】【解答】解：∵弧AB所对的圆心角为：80°-50°=30°， ∴∠ACB= ×30°=15°. 故答案为：15°. 【分析】观察量角器的数据可得弧AB所对的圆心角的度数，再根据圆周角定理“圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半”即可求解. 12．【答案】点A与⊙O外 【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为3，点A与点O的距离为5， 即A与点O的距离大于圆的半径， 所以点A与⊙O外. 故答案为：点A与⊙O外. 【分析】若点A到圆心的距离为d，圆的半径为r，当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d<r时，点在圆内，据此判断即可得出答案. 13．【答案】 【解析】【解答】解：如图，连接OB、OD， ∵∠A=110°， ∴∠C=70°， ∴∠BOD=140°， 则劣弧=． 【分析】连接OB、OD，根据圆内接四边形性质可得∠C=70°，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠BOD=140°，再根据弧长公式即可求出答案. 14．【答案】8 【解析】【解答】解： =2×4 =8 答：半径为4的"等边扇形"的面积为8. 故答案为：8. 【分析】先根据"等边扇形"的定义确定弧长，再利用扇形面积公式计算面积. 15．【答案】68 【解析】【解答】解：∵AB是半圆O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠BAC=46°， ∴∠B=44°， ∴∠ADC=136°， ∵ ＝ ， ∴AD=DC， ∴∠DAC=∠DCA= ， ∴∠BAD=∠DAC+∠CAB=68°. 故答案为：68. 【分析】由直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，根据三角形内角和定理和圆内接四边形的对角互补可求得∠ADC的度数，再结合等弧所对的弦相等得AD=DC，由等边对等角得∠DAC=∠DCA，再由角的构成∠BAD=∠DAC+∠CAB可求解. 16．【答案】 【解析】【解答】解：当CP⊥AB时，线段DE的值最小（因为四边形C、D、P、E四点共圆，PC是直径，BC= 和∠B=60°是定值，所以直径CP最小时，∠DCE所对的弦DE最小）；如图： ∵PD⊥BC于D，PE⊥AC于E， ∴∠CDP=∠AEP=90°， ∴∠CDP+∠AEP=180°， ∴C、D、P、E四点共圆，且直径为CP， ∵∠B=60°，CP⊥AB，BC= ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴ ， ∵∠ACB=45°， ∴∠EOD=90°， ∴△OED是等腰直角三角形， ∴ ； ∴DE的最小值为： . 故答案为： . 【分析】当CP⊥AB时，线段DE的值最小，利用四点共圆的判定可得：C、D、P、E四点共圆，且直径为CP，由∠B=60°，BC为 +1，求出PC，从而得出半径OD的长度，然后由∠ACB=45°，得到∠EOD=90°，利用等腰直角三角形的性质，可求出DE的值. 17．【答案】π+﹣ 【解析】【解答】连结OC，过C点作CF⊥OA于F， ∵半径OA=2cm，C为的中点，D、E分别是OA、OB的中点， ∴OD=OE=1cm，OC=2cm，∠AOC=45°， ∴CF=， ∴空白图形ACD的面积=扇形OAC的面积﹣三角形OCD的面积 =﹣×1× =π﹣（cm2） 三角形ODE的面积=OD×OE=（cm2）， ∴图中阴影部分的面积=扇形OAB的面积﹣空白图形ACD的面积﹣三角形ODE的面积 =﹣（π﹣）﹣ =π+﹣（cm2）． 故图中阴影部分的面积为（π+﹣）cm2． 故答案为：（π+﹣）． 【分析】连结OC，过C点作CF⊥OA于F，先根据空白图形ACD的面积=扇形OAC的面积﹣三角形OCD的面积，求得空白图形ACD的面积，再根据三角形面积公式得到三角形ODE的面积，再根据图中阴影部分的面积=扇形OAB的面积﹣空白图形ACD的面积﹣三角形ODE的面积，列式计算即可求解． 18．【答案】解： 连接OD，设半径为r， ∵AB⊥CD， ∵CD=6， ∴CE=DE=3， ∵BE=2，∴OE=r-2 ∴在Rt△OED中，r²=3²+(r-2)²， 解得：r= 【解析】【分析】连接OD，设半径为r，利用垂径定理求出DE的长，用含r的代数式表示出OE的长， 在Rt△OED中利用勾股定理建立关于r的方程，解方程求出r的值. 19．【答案】解：连接CO，如图： ∵M是弦CD的中点，且EM经过圆心O， ∴EM⊥CD，且． 在Rt△OCM中，令⊙O的半径为r m，EM=6m， ∵OC2＝OM2＋CM2， ∴， 解得：． 【解析】【分析】连接CO，利用垂径定理可得EM⊥CD，且再令⊙O的半径为r m，利用勾股定理建立方程，求解半径即可得到答案. 20．【答案】解：∵ 的直径为 ，∴ . ∵ ， ，∴ ， ∴ ， ∴ . 答：水的最大深度为 . 【解析】【分析】先求出OA的长，再由垂径定理求出AC的长，根据勾股定理求出OC的长，进而可得出结论. 21．【答案】（1）解：连接OD，如图1所示． ∵OA=OD，AD平分∠BAC， ∴∠OAD=∠ODA，∠CAD=∠OAD， ∴∠CAD=∠ODA， ∴AE∥OD． ∵DE是⊙O的切线， ∴∠ODE=90°， ∴OD⊥DE， ∴DE⊥AE． （2）解：过点D作DM⊥AB于点M，连接CD、DB，如图2所示． ∵AD平分∠BAC，DE⊥AE，DM⊥AB， ∴DE=DM． 在△DAE和△DAM中， ， ∴△DAE≌△DAM（SAS）， ∴AE=AM． ∵∠EAD=∠MAD， ∴ = ， ∴CD=BD． 在Rt△DEC和Rt△DMB中， ， ∴Rt△DEC≌Rt△DMB（HL）， ∴CE=BM， ∴AE+CE=AM+BM=AB． 【解析】【分析】（1）连接OD。∠DOB为三角形AOD的一个外角，所以可求得∠DOB=∠DOA+∠ADO；因为AD为∠CAB的平分线，OA=OD，可证明∠EAB=∠DOB；所以同位角相同，可证明两直线平行；因为D为圆的切点，所以∠ODE=90°，根据两直线平行，同旁内角互补即可求得DE⊥AE。 （2） 过点D作DM⊥AB于点M，连接CD、DB，在三角形AED和三角形AMD中，根据两个三角形的两个角以及一角的对边相同，可证明两个三角形全等，根据三角形全等的性质，对应边相同，即可得到AE=AM；根据同角所对的弧相同，弦相同，即可得到AD=DB，在直角三角形中，一条斜边和直角边相同，即可证明 Rt△DEC≌Rt△DMB，所以全等三角形的对应边相同，可得CE=BM；所以AE+CE=AM+MB=AB。 22．【答案】解：（1）AB=AC．理由如下：∵AB为直径，C为的中点，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC；（2）AE=PB+PE．理由如下：在AE上截取AF=BP，连结AC、BC、FC、PC，如图2，∵C为劣弧的中点，即=，∴AC=BC，在△CAF和△CBP中：，∴△CAF≌△CBP，∴CF=CP，∵弦CD⊥PA于E，∴EF=EP，∴AE=AF+EF=PB+PE． 【解析】【分析】（1）根据圆周角定理和勾股定理得到AB=AC； （2）在AE上截取AF=BP，连结AC、BC、FC、PC，如图2，由=​得到AC=BC，再证明△CAF≌△CBP，得到CF=CP，由于弦CD⊥PA于E，根据等腰三角形的性质得EF=EP，于是有AE=PB+PE． 23．【答案】（1）证明：连接､， 点在上， 为半径． 与相切于点， ． ． 在和中， ， ． ． ． 是的切线． （2）①；② 【解析】【解答】（2）①作于点， ， ，． 四边形是矩形． ． ． ． ， 是等边三角形． ． ． ． ． 在中，，则， ∴ ∵ ∴， ． ②如图所示 是等边三角形， 又为正的内心，则 【分析】本题考查三角形的内切圆、切线的性质与判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理、扇形面积公式、等腰三角形的性质、垂径定理、直角三角形的性质. （1）连接､，根据圆的切线的性质可得：，据此可得：，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：，据此可得．利用圆切线的判定定理可证明结论； （2）①作于点，据此可证明四边形是矩形 ，利用矩形的性质可得PC=AC，再根据PC=PA，据此可证明是等边三角形．在中，根据．利用直角三角形的性质和勾股定理可得：，根据，利用扇形的面积公式可三角形的面积计算公式可求出答案； ②根据题意，根据是等边三角形，利用直角三角形的性质可求出，由为正的内心，利用三角形内心的性质可得： ，利用勾股定理即可求出IE. （1）证明：连接､， 点在上， 为半径． 与相切于点， ． ． 在和中， ， ． ． ． 是的切线． （2）①作于点， ， ，． 四边形是矩形． ． ． ． ， 是等边三角形． ． ． ． ． 在中，，则， ∴ ∵ ∴， ． ②如图所示 是等边三角形， 又为正的内心，则 学科网（北京）股份有限公司 $