精品解析：安徽马鞍山市第七中学2025-2026学年九年级上学期数学期末试卷

2025－－2026学年度第一学期期末测试 九年级数学学科 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 二次函数的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个点，在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，则点A的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为的直径，点、在上，．则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，补充下列条件之一，不一定能判定和相似的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正六边形的中心为原点O，顶点B，E在轴上，半径为4，则顶点F的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，、分别是的边、上的点，且，、相交于点，若，则是（ ） A. B. C. D. 9. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，为的直径，，点D为上一个动点，E为的中点，，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 如图，在中，，，，则的值为_____． 12. 如图，是的弦，半径于点D，若，，则的长是_______ 13. 如图，已知A，B两点在双曲线上，A、B两点关于O点对称，垂直于y轴于C点，若的面积为6，则_______． 14. 如图，在中，，点为边上一点，垂直交于点E，垂足为点H，连接并延长交于点F，， （1）若，则_______， （2）若，则的值为_______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算： （1）； （2） 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． （1）请在平面直角坐标系中画出关于原点对称的，并写出的坐标； （2）以点为位似中心，将放大为原来的2倍，得到，请在所给平面直角坐标系中画出； 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，是的边上的一点，连接，已知． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 18. 如图，内接于为的直径，点D在的延长线上，连接，过点B作，交于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，是一次函数图象和反比例函数图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式． （2）求的面积． （3）直接写出时x的取值范围 20. 某数学兴趣小组尝试利用所学知识测量河对岸的大树的高度，并利用课余时间完成了实地测量，测量数据如下表： 项目 内容 课题 测量河对岸的大树的高度 测量示意图 说明：点B，C，E 在同一水平线上 测量数据 ①在C处测得大树顶端A的仰角为 ②在D处测得大树顶端A的仰角为 ； ④斜坡的坡度：； 请你帮助该兴趣小组根据上表中的测量数据，求出： （1）点处到水平地面的距离； （2）河对岸的大树的高度． 六、（本大题共2小题，每小题12分，满分24分） 21. 商场销售一种商品，成本价为20元千克，经市场调查发现，每天销售量（千克）与销售单价（元千克）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示，并规定该商品每千克售价不能低于30元，且不高于50元． 销售单价x（元/千克） 30 40 … 每天销售量y（千克） 140 120 … （1）根据表格求出与之间的函数关系式，并直接写出的取值范围； （2）设该商品的总销售利润为元，若要使销售利润最大，售价应定为多少元？最大利润是多少？ 22. 如图 ，已知四边形，，交于点H，，D为中点，E为上一点，，、相交于F，． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求的值． 七、（本题满分14分） 23. 已知，如图，函数，，直线与抛物线交于A点． （1）求抛物线的解析式； （2）若时，的取值范围：，且，求b的值； （3）点在直线上（），过B作x轴的垂线交x轴于C，直线交抛物线于D，若，求h与n的关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－－2026学年度第一学期期末测试 九年级数学学科 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 二次函数的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数顶点解析式，利用顶点解析式求顶点坐标，解题的关键是掌握二次函数的顶点解析式． 将解析式化成顶点解析式进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， 即为， ∴ 顶点坐标为 ， 故选：B． 2. 下列四个点，在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，在该反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为8，据此求解即可． 【详解】解：∵反比例函数解析式为， ∴在反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积一定为8， ∵， ∴只有点在反比例函数的图象上， 故选：A． 3. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的基本性质． 由已知等式直接求解的值． 【详解】解：∵ ， ∴ 两边同时除以（），得， 即， 故选：C． 4. 如图，已知，则点A的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角函数的应用：过点A作轴于B，设，利用求出，再根据勾股定理求出即可得到点A的坐标． 【详解】过点A作轴于B，设． ∵点在第二象限， ∴点A的坐标是． 故选：B． 5. 如图，为的直径，点、在上，．则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，直径所对圆周角是直角，解题的关键是掌握以上性质． 根据直径所对圆周角是直角得出，由圆周角定理得出，然后根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 6. 如图，，补充下列条件之一，不一定能判定和相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形相似的判定定理，熟练掌握三角形相似的判定条件是解题关键． 结合“两角对应相等”、“两边对应成比例且夹角相等”等判定规则对选项进行分析即可． 【详解】解：已知， 选项：，结合，根据“两角对应相等”，可判定； 选项：，则，即，结合，根据“两角对应相等”，可判定； 选项：，即，根据“两边对应成比例且夹角相等”，可判定； 选项：成比例的两边是与、与，它们的夹角并非已知的、，不一定能判定． 故选：． 7. 如图，正六边形的中心为原点O，顶点B，E在轴上，半径为4，则顶点F的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，掌握直角三角形的角所对的边等于斜边的一半，勾股定理等知识是解决此题的关键． 连接，与轴的交点为，根据正多边形的性质求出圆心角，证明为等边三角形，然后利用直角三角形的角所对的边等于斜边的一半以及勾股定理求出相关线段的长度，最后确定点的坐标即可． 【详解】解：如图，连接，与轴的交点为， ∵六边形为正六边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴点F的坐标为， 故选：B． 8. 如图，、分别是的边、上的点，且，、相交于点，若，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，同高三角形的面积比，理解“同高三角形面积比等于底的比”是解题关键． 先由得，根据两个三角形的面积比推出，再由推出，最后由“同高三角形的面积比等于底的比”得出结果． 【详解】解：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 与的高相等， ． 故选：． 9. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，解题的关键是掌握不等式的基本性质． 根据不等式的基本性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴； ∴， ∵， ∴， ∴, 不一定成立； B、，不成立； C、, 不成立； D、，成立； 故选：D． 10. 如图，为的直径，，点D为上一个动点，E为的中点，，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理，等边三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，作出的中点F，连接、、、，先得出点是在以点为圆心，2为半径的圆上，所以当点在线段上时，有最小值，再据此求解即可． 【详解】解：如图，作出的中点F，连接、、、， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵点F是的中点，E为的中点， ∴，， ∴点是在以点为圆心，2为半径的圆上， ∴当点在线段上时，有最小值， ∵，， ∴为等边三角形， ∵， ∴, ∴, ∴的最小值为． 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 如图，在中，，，，则的值为_____． 【答案】##0.8 【解析】 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握正弦函数的定义（在直角三角形中，锐角的正弦等于对边与斜边的比值）是解题的关键． 根据锐角三角函数的定义，在直角三角形中，等于的对边与斜边的比值，直接结合已知边长计算即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 故答案为：． 12. 如图，是的弦，半径于点D，若，，则的长是_______ 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答本题的关键．根据垂径定理求出，设，则，由勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， 由勾股定理得，即， 解得：， ∴． 故答案为：3． 13. 如图，已知A，B两点在双曲线上，A、B两点关于O点对称，垂直于y轴于C点，若的面积为6，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，利用面积求反比例函数参数，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质． 关于原点对称得出相等的线段，求出，然后根据直角三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵A、B两点关于O点对称， ∴， ∴， ∵的面积为6， ∴， ∵垂直于y轴， ∴， ∵反比例函数图象位于第二象限， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在中，，点为边上一点，垂直交于点E，垂足为点H，连接并延长交于点F，， （1）若，则_______， （2）若，则的值为_______． 【答案】 ①. 35 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据垂直得出直角，然后根据直角三角形的两个锐角互余求出，再根据直角三角形斜边中线定理得出相等的边，根据等边对等角及对顶角相等即可求解； （2）过点作于点，根据勾股定理求出，根据等面积得出，再根据勾股定理以及直角三角形斜边中线定理求出相关线段的长度，最后利用相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解：（1）∵垂直， ∴， ∴， ∵， ∴点为斜边的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：35； （2）如图所示，过点作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴由勾股定理得， 由等面积得，， 由勾股定理得， 由（1）得点为斜边的中点， ∴， ∴， 由勾股定理得， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了含乘方的实数的混合运算，特殊角的锐角三角函数值，求一个数的算术平方根，负整数指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）利用特殊角的锐角三角函数值进行求解即可； （2）利用特殊角的锐角三角函数值，算术平方根和负整数指数幂运算法则进行求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． （1）请在平面直角坐标系中画出关于原点对称的，并写出的坐标； （2）以点为位似中心，将放大为原来的2倍，得到，请在所给平面直角坐标系中画出； 【答案】（1） 如图，即为所求， 点的坐标为； （2） 如图，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查的是画关于原点对称的三角形，画关于原点位似的三角形，熟练的利用原点对称与位似的性质画图是解本题的关键． （1）根据原点对称的性质，确定对称点的坐标，然后连接对称点即可； （2）根据位似的性质找出对应点，然后连接对应点即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，是的边上的一点，连接，已知． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：在和中，，， ∴； （2）2 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． （1）根据已知角相等，再由公共角，利用两对角相等的三角形相似即可得证； （2）由相似得比例，求出即可得到的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 18. 如图，内接于为的直径，点D在的延长线上，连接，过点B作，交于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的直径所对圆周角是90度，切线的判定和性质，等边对等角，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上性质． （1）连接，根据直径得出直角，根据等边对等角得出相等的角，然后根据等量代换得出，即可得出结论； （2）根据勾股定理求出，证明，然后根据相似三角形对应边成比例即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ， ∴由勾股定理得， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，是一次函数图象和反比例函数图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式． （2）求的面积． （3）直接写出时x的取值范围 【答案】（1）， （2）6 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的结合，求函数表达式，求三角形面积，利用图象交点确定不等式的解集，解题的关键是掌握待定系数法和数形结合的思想． （1）利用待定系数法进行求解即可； （2）令直线与轴的交点为，求出点坐标，然后利用三角形的面积公式进行求解即可； （3）利用函数图象进行求不等式的解集即可． 【小问1详解】 解：将代入得， ， 解得， ∴反比例函数的表达式为； 将代入得， ， ∴， 将，代入得， ， 解得 ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：如图所示，令直线与轴的交点为， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为6； 【小问3详解】 解：结合函数图象可得， 当时，或． 20. 某数学兴趣小组尝试利用所学知识测量河对岸的大树的高度，并利用课余时间完成了实地测量，测量数据如下表： 项目 内容 课题 测量河对岸的大树的高度 测量示意图 说明：点B，C，E 在同一水平线上 测量数据 ①在C处测得大树顶端A的仰角为 ②在D处测得大树顶端A的仰角为 ； ④斜坡的坡度：； 请你帮助该兴趣小组根据上表中的测量数据，求出： （1）点处到水平地面的距离； （2）河对岸的大树的高度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形． （1）过点作于点，假设，根据坡度和勾股定理列出方程求解即可； （2）过点作于点，假设大树的高度为，则，表示出相关线段的长度，然后根据正切列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点， ∵斜坡的坡度为， ∴假设， ∴由勾股定理得， ∵， ∴， ∴点处到水平地面的距离为； 【小问2详解】 解：如图所示，过点作于点， 假设大树的高度为，则， 由图可知，为等腰直角三角形， ∴， 由（1）可得， ∴， ∵， ∴， 解得 ∴大树的高度为． 六、（本大题共2小题，每小题12分，满分24分） 21. 商场销售一种商品，成本价为20元千克，经市场调查发现，每天销售量（千克）与销售单价（元千克）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示，并规定该商品每千克售价不能低于30元，且不高于50元． 销售单价x（元/千克） 30 40 … 每天销售量y（千克） 140 120 … （1）根据表格求出与之间的函数关系式，并直接写出的取值范围； （2）设该商品的总销售利润为元，若要使销售利润最大，售价应定为多少元？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）售价应定为50元，利润最大，最大利润是3000元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的应用，解题的关键是掌握一次函数和二次函数的性质． （1）利用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）根据题意列出二次函数解析式，利用二次函数的性质进行求解即可． 【小问1详解】 解：假设与之间的函数关系式为， 将和代入得， ， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：设该商品的总销售利润为元，根据题意得， ， ∵， ∴二次函数的顶点为最高点，顶点纵坐标为最大值， ∴顶点横坐标为， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴售价应定为50元，利润最大，最大利润是3000元． 22. 如图 ，已知四边形，，交于点H，，D为中点，E为上一点，，、相交于F，． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求的值． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：∵，D为中点， ∴， ∴，， 设，则， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、全等三角形的性质与判定； （1）先证明，得到，则； （2）设，则，得到，即可证明，则； （3）先证明，得到，即，再证明，得到，代入得，整理得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴， 由（1）可得， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 由（2）可得， 由（1）可得， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得． 七、（本题满分14分） 23. 已知，如图，函数，，直线与抛物线交于A点． （1）求抛物线的解析式； （2）若时，的取值范围：，且，求b的值； （3）点在直线上（），过B作x轴的垂线交x轴于C，直线交抛物线于D，若，求h与n的关系式． 【答案】（1） （2）或5 （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数综合，待定系数法求解析式，二次函数的最值； （1）由，得到直线与抛物线交于A点，将代入计算即可； （2），则抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，分别求出范围内的最大值和最小值，结合列方程求解即可； （3）先确定，，，得到，，根据列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，， ∵直线与抛物线交于A点， ∴， 将代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴点的对称点为， 分以下四种情况讨论： 当时，最小值，最大值， ∵， ∴， 解得（舍）或； 当时，最小值，最大值， ∵，， ∴不符合题意； 当时，最小值，最大值， ∵， ∴， 解得（舍）或（舍）； 当时，最小值，最大值， ∵， ∴， 解得（舍）或； 综上所述，b的值为或5； 【小问3详解】 解： 如图， ∵点在直线上（），过B作x轴的垂线交x轴于C，直线交抛物线于D， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴或， 解得或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $