精品解析：湖南长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校2025-2026学年第一学期期末考试初三数学试卷

育竹湖湘一外国语学校2025－2026学年第一学期期末考试 初三数学 时重：120分钟 总分：120分 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列实数中是无理数的是（ ） A. 3.14 B. C. D. 2. 某种芯片每个探针单元的面积为，0.00000164用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（　　） A. （﹣2a3）2＝4a6 B. a2•a3＝a6 C. 3a+a2＝3a3 D. （a﹣b）2＝a2﹣b2 4. 下图是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A. 圆锥 B. 圆柱 C. 三棱锥 D. 长方体 5. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 如图，直线，将一块含角（）的直角三角尺按图中方式放置，其中和两点分别落在直线和上．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，已知在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是（ ） A. 24 B. 30 C. 36 D. 42 8. 如图，是的直径，点，在上，，交于点．若．则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元设两次降价的百分率都为x，则x满足（ ） A. B. C. D. 10. 已知在同一直角坐标系中二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：__________． 12. 若，则_____． 13. 若关于x的一元二次方程有一个解为，则______． 14. 已知圆锥的底面半径为2cm，侧面积为10πcm2，则该圆锥的母线长为_____cm． 15. 如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，连接AC，OC．若sin∠BAC＝，则tan∠BOC＝_____． 16. 如图，BD是正方形ABCD的一条对角线，E是BD上一点，F是CB延长线上一点，连接CE，EF，AF．若，，则的度数为__________． 三、解答题：（第17、18、19题，每题6分，第20、21题，每题8分，第22、23题，每题9分，第24、25题，每题10分，共72分） 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值． 20. 如图，平行四边形的对角线，交于点，于点，点在延长线上，且， （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，，求的长． 21. 学校为调查学生对环保知识的了解情况，从全校学生中随机抽取名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如图的频数直方图和扇形统计图．请根据图中信息解答下列问题： （1）补全频数直方图； （2）在扇形统计图中，“”这组的百分比_____； （3）抽取的名学生测试成绩的中位数是_____分，其中“”这组的数据如下： 81，83，84，85，85，85，86，86：86，97，88，88，89． （4）若从测试成绩最好的甲、乙、丙、丁四位同学中挑选两位去参加环保知识竞赛，求甲被选中的概率． 22. 某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克14元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克16元． （1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要360元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要176元，求的值． （2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1020元又不多于1028元，设购买甲种蔬菜x千克（x为正整数），求有哪几种购买方案？哪种方案可让超市获得最大利润，最大利润是多少？ 23. 如图，在中，，以斜边上的中线为直径作，与交于点，与的另一个交点为，过作，垂足为． （1）求证：是的切线； （2）若的直径为5，，求的长． 24. 在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“差距离”，给出如下定义：若，则点与点的“差距离”为；若，则点与点的“差距离”为．例如：点，点，因为，所以点与点的“差距离”为．当时，我们将称为点与点的“完美距离”（“完美距离”是“差距离”的特殊情况）． （1）已知点，为轴上的一个动点．判断下列说法正确与否：（填“√”，或“×”） ①若点与点的“差距离”为1，则点的坐标为或_____； ②点与点的“差距离”的最大值为3_____， ③已知是直线上的一个动点，点，当点与点的“差距离”是“完美距离”时，这样的点只有一个_____， （2）已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，点为线段上一动点，点是以点为圆心，1为半径的圆上的一个动点；求点与点的“完美距离”的取值范围． （3）已知二次函数的图象与轴最左侧的交点为点，与轴交于点．点，点分别在线段和直线下方的抛物线上，均不与、点重合，且，求点与点的“差距离”的最大值． 25. 如图，已知是的直径，弦于点，点是线段延长线上一点，连接交于点，连接交于点，连接交于点，连接、、． （1）求证： （2）若，求的值； （3）若，记，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 育竹湖湘一外国语学校2025－2026学年第一学期期末考试 初三数学 时重：120分钟 总分：120分 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列实数中是无理数的是（ ） A. 3.14 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据算术平方根、无理数的定义即可得． 【详解】A、是有限小数，属于有理数，此项不符题意； B、，是有理数，此项不符题意； C、是无理数，此项符合题意； D、是分数，属于有理数，此项不符题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根、无理数，熟记定义是解题关键． 2. 某种芯片每个探针单元的面积为，0.00000164用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】绝对值小于1的数利用科学记数法表示的一般形式为a×10-n，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.00000164=1.64×10-6， 故选：B． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小数的方法，写成a×10-n的形式是关键． 3. 下列运算正确的是（　　） A. （﹣2a3）2＝4a6 B. a2•a3＝a6 C. 3a+a2＝3a3 D. （a﹣b）2＝a2﹣b2 【答案】A 【解析】 【分析】根据各个选项中的运算，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题． 【详解】解：∵（﹣2a3）2＝4a6，故选项A正确； ∵a2•a3＝a5，故选项B错误； ∵3a+a2不能合并，故选项C错误； ∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选项D错误； 故选：A． 【点睛】本题考查的是积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，完全平方公式，掌握以上知识是解题的关键． 4. 下图是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A. 圆锥 B. 圆柱 C. 三棱锥 D. 长方体 【答案】A 【解析】 【分析】根据几何体的三视图，对各个选项进行分析即可得到答案． 【详解】根据主视图是三角形可知，圆柱、三棱锥、长方体不符合要求 根据几何体的三视图，可得该几何体为圆锥 故选：A． 【点睛】本题考查的是几何体的三视图，掌握主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形是解题的关键． 5. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用关于轴对称点的性质得出答案． 【详解】解：点与点关于轴对称， ，． 故选：B． 【点睛】直接利用关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y），即可得出a，b的值，进而得出答案． 6. 如图，直线，将一块含角（）的直角三角尺按图中方式放置，其中和两点分别落在直线和上．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用平行线的性质结合三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：直线， ， ，，， ． 故选C． 【点睛】本题主要考查平行线的性质和定理，这是几何中的必考点，必须熟练掌握. 7. 如图，已知在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是（ ） A. 24 B. 30 C. 36 D. 42 【答案】B 【解析】 【分析】过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，根据角平分线的性质得到DE=CD=4，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】如图，过D作DE⊥AB交BA的延长线于E， ∵BD平分∠ABC，∠BCD=90°， ∴DE=CD=4， ∴四边形的面积 故选B. 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键． 8. 如图，是的直径，点，在上，，交于点．若．则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据圆周角定理得到∠，再根据等弧所对的弦相等，得到，∠，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得到∠CAD=，∠BAG=，即可求解． 【详解】解：∵是的直径 ∴∠ ∵ ∴ ∴∠ ∵ ∴∠ ∴∠ ∴∠ 故选：B． 【点睛】此题主要考查圆周角定理和弧、弦及圆周角之间的关系，熟练掌握圆周角定理和三者之间的关系是解题关键． 9. 一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元设两次降价的百分率都为x，则x满足（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】等量关系为：原价×(1-降价的百分率)2=现价，把相关数值代入即可． 【详解】第一次降价后的价格为：25×(1-x)； 第二次降价后的价格为：25×(1-x)2； ∵两次降价后的价格为16元， ∴25(1-x)2=16． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．求平均变化率的方法：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b． 10. 已知在同一直角坐标系中二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数图象和二次函数图象位置可得出：a﹤0，b﹥0，c﹥0，由此可得出﹤0，一次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴，对照四个选项即可解答． 【详解】由二次函数图象可知：a﹤0，对称轴﹥0， ∴a﹤0，b﹥0， 由反比例函数图象知：c﹥0， ∴﹤0，一次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴， 对照四个选项，只有B选项符合一次函数的图象特征． 故选：B· 【点睛】本题考查反比例函数的图象、二次函数的图象、一次函数的图象，熟练掌握函数图象与系数之间的关系是解答的关键· 二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 12. 若，则_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，求代数式的值，根据算术平方根和绝对值的非负性，求出a和b的值，再计算代数式的值． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：1． 13. 若关于x的一元二次方程有一个解为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，同时也考查了一元二次方程的定义．把代入方程中，得出关于的一元二次方程，解方程求的值，注意原方程的二次项系数． 【详解】解：把代入 得到： ， ，， ， ， ． 故答案为：． 14. 已知圆锥的底面半径为2cm，侧面积为10πcm2，则该圆锥的母线长为_____cm． 【答案】5 【解析】 【分析】根据圆的周长公式求出圆锥的底面周长，根据圆锥的侧面积的计算公式计算即可． 【详解】设圆锥的母线长为Rcm， 圆锥的底面周长＝2π×2＝4π， 则×4π×R＝10π， 解得，R＝5（cm） 故答案为:5 【点睛】本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 15. 如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，连接AC，OC．若sin∠BAC＝，则tan∠BOC＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据切线的性质得到AB⊥BC，设BC＝x，AC＝3x，根据勾股定理得到AB＝＝＝2x，于是得到结论． 【详解】解：∵AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B， ∴AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∵sin∠BAC＝＝， ∴设BC＝x，AC＝3x， ∴AB＝＝＝2x， ∴OB＝AB＝x， ∴tan∠BOC＝＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质、解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的相关知识是解决本题的关键． 16. 如图，BD是正方形ABCD的一条对角线，E是BD上一点，F是CB延长线上一点，连接CE，EF，AF．若，，则的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先连接AE，由题可知，DE=DC=AD,所以△DEC,△AED,△EFC是等腰三角形，由正方形的性质得∠EBC=∠ADE=∠EDC=45°，求出,得出=22.5°，,,所以 ,得出∠AEF=90°，再证明 ,则,所以△AEF为等腰直角三角形，∠FAE=45°，减去∠BAE即可． 【详解】连接AE,如图， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD=CD,∠ADE=∠EDC=∠CBE=45°， , ∵DE=CD, ∴AD=DE=CD， ∴∠DAE=∠DEA=∠DEC=∠DCE=67.5°， ∴ , , 又∵EF=EC, ∴ , ∴ , ∴ , ∴ , 在△DAE和△DEC中： ∵ ∴△DAE≌△DEC(SAS), ∴AE=EC， 又∵EC=EF, ∴AE=EF， ∴△AEF为等腰直角三角形， ∴∠FAE=45°， ∴, 故填：22.5°． 【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定，三角形内角和，解题关键是添加辅助线，构造全等三角形． 三、解答题：（第17、18、19题，每题6分，第20、21题，每题8分，第22、23题，每题9分，第24、25题，每题10分，共72分） 17. 计算：． 【答案】4 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算和特殊角的三角函数值．利用零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂进行计算即可． 【详解】解： 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的求解，解决本题的关键是去分母并检验． 两边乘以公分母化为整式方程求解，最后检验即可． 【详解】解：两边同乘得，， 解得， 检验：当时，， 所以原方程的解为． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴该方程总有两个实数根； （2）2 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的应用，利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）先根据根与系数的关系得出，，再由完全平方公式得，即可得关于m的方程，解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据题意得，，， ∵方程的两个实数根的差为2， ∴，即， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴． 20. 如图，平行四边形的对角线，交于点，于点，点在延长线上，且， （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形及勾股定理； （1）根据平行四边形的性质得到且，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）解直角三角形得到，由矩形的性质得到．根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 在中，，，， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴． ∵， ∴． 21. 学校为调查学生对环保知识的了解情况，从全校学生中随机抽取名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如图的频数直方图和扇形统计图．请根据图中信息解答下列问题： （1）补全频数直方图； （2）在扇形统计图中，“”这组的百分比_____； （3）抽取的名学生测试成绩的中位数是_____分，其中“”这组的数据如下： 81，83，84，85，85，85，86，86：86，97，88，88，89． （4）若从测试成绩最好的甲、乙、丙、丁四位同学中挑选两位去参加环保知识竞赛，求甲被选中的概率． 【答案】（1） 补全频数直方图如下： ； （2） （3）84.5分 （4） 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图与直方图的联系，画树状图或列表求概率，解题的关键是： （1）先求出样本容量，再用用本容量减去已知各部分的频数，即可求出“”这组的频数，从而补全频数直方图； （2）用“”这组的频数除以样本容量即可； （3）根据中位数的定义求解即可； （4）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：人， 人， 补全频数直方图略 【小问2详解】 解：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵分的人数已有人，“”组有12人， ∴中位数在“”这组， 又“”这组的数据如下： 81，83，84，85，85，85，86，86：86，97，88，88，89， ∴第25和26名的成绩分别是84分，85分， ∴中位数是分； 【小问4详解】 解：画树状图如下： 共有12种可能结果，其中甲被选中的有6种， ∴甲被选中的概率． 22. 某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克14元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克16元． （1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要360元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要176元，求的值． （2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1020元又不多于1028元，设购买甲种蔬菜x千克（x为正整数），求有哪几种购买方案？哪种方案可让超市获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1） （2） 有3种购买方案．方案1：购买甲种蔬菜43千克，乙种蔬菜57千克；方案2：购买甲种蔬菜44千克，乙种蔬菜56千克；方案3：购买甲种蔬菜45千克，乙种蔬菜55千克．方案3可让超市获得最大利润，最大利润是490元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，以及一次函数的性质，解决本题的关键是根据题意由等量关系建立等式． （1）根据购买甲、乙两种蔬菜的金额列出二元一次方程组，求解m和n的值即可． （2）设购买甲种蔬菜x千克，则乙种蔬菜为千克，根据投入资金范围列出不等式组，求解x的取值范围，得到购买方案；利润函数为一次函数，根据系数判断增减性，从而找到最大利润即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得方程组： ， 化简①：除以5，得， 化简②：除以2，得， 两式相减，， 化简可得，，解得； 代入，解得； ∴． 【小问2详解】 解：设购买甲种蔬菜x千克，则乙种蔬菜千克， 投入资金为：， ∵投入资金不少于1020元又不多于1028元， ∴，即， 解得， x为正整数，即， 购买方案： 方案1：甲43千克，乙57千克； 方案2：甲44千克，乙56千克； 方案3：甲45千克，乙55千克； 设利润y元， 则利润， ∵，即y随x增大而增大， 当时，利润y最大为． 答：方案3可让超市获得最大利润，最大利润是490元． 23. 如图，在中，，以斜边上的中线为直径作，与交于点，与的另一个交点为，过作，垂足为． （1）求证：是的切线； （2）若的直径为5，，求的长． 【答案】 （1）证明：连接， ， ． 在中，是斜边上的中线， ， ， ， ， ，， 是的切线． （2）． 【解析】 【分析】（1）欲证明MN为⊙O的切线，只要证明OM⊥MN． （2）连接，分别求出BD=5，BE=，根据求解即可． 【详解】（1）略 （2）连接，易知， 由（1）可知，故M为的中点， ， ， 在中，， ． 在中，， ． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识；熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“差距离”，给出如下定义：若，则点与点的“差距离”为；若，则点与点的“差距离”为．例如：点，点，因为，所以点与点的“差距离”为．当时，我们将称为点与点的“完美距离”（“完美距离”是“差距离”的特殊情况）． （1）已知点，为轴上的一个动点．判断下列说法正确与否：（填“√”，或“×”） ①若点与点的“差距离”为1，则点的坐标为或_____； ②点与点的“差距离”的最大值为3_____， ③已知是直线上的一个动点，点，当点与点的“差距离”是“完美距离”时，这样的点只有一个_____， （2）已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，点为线段上一动点，点是以点为圆心，1为半径的圆上的一个动点；求点与点的“完美距离”的取值范围． （3）已知二次函数的图象与轴最左侧的交点为点，与轴交于点．点，点分别在线段和直线下方的抛物线上，均不与、点重合，且，求点与点的“差距离”的最大值． 【答案】（1）①√；②√③× （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数综合，相似三角形的判定与性质，与圆有关的最值问题； （1）根据“差距离”和“完美距离”的定义判断即可； （2） 过作轴交于，过作于，由点与点的“完美距离”得到，则直线经过圆心时，有最大值和最小值，求出，即可得到由可得； （3）先求出，，设，过作轴，过作轴交于，交轴于，过，得到，即，设，则，则，把代入得到，再根据点与点的“差距离”为求解即可． 【小问1详解】 解：为轴上的一个动点，设， ∵， ∴，， ①若点与点的“差距离”为1，则，解得，点的坐标为或， ∴原说法正确， 故答案为：√； ②若，，则点与点的“差距离”为； 若，，则点与点的“差距离”为； 当，时，点与点的“完美距离”（“完美距离”是“差距离”的特殊情况）． ∴点与点的“差距离”的最大值为3， ∴原说法正确， 故答案为：√； ③是直线上的一个动点，设， ∵点，当点与点的“差距离”是“完美距离”时， ∴， 解得或， ∴这样的点有两个， ∴原说法错误， 故答案为：×； 【小问2详解】 解：过作轴交于，过作于， ∵点与点的“完美距离” ∴， ∴，， ∵一次函数的图象与轴，轴分别交于点，， ∴，， ∴， ∴， ∵轴 ∴， ∴，， ∴， ∵点为线段上一动点，点是以点为圆心，1为半径的圆上的一个动点， ∴直线经过圆心时，有最大值和最小值， 此时，， ∴，， ∴， ∴， 由可得； 【小问3详解】 解：当时，解得，当时，， ∴，， 设直线解析式为，把代入得，解得， ∴直线解析式为， 设， 过作轴，过作轴交于，交轴于，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 设，则， ∴向下移动，再向右移动得到 ∴， 把代入得， 整理得， ， 解得， ∵，， ∴点与点的“差距离”为， ∴点与点的“差距离”的最大值为． 25. 如图，已知是的直径，弦于点，点是线段延长线上一点，连接交于点，连接交于点，连接交于点，连接、、． （1）求证： （2）若，求的值； （3）若，记，求的最大值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴，即， 又， ∴，即； （2）3 （3）20 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理得出，根据圆周角定理得出，即可证明； （2）根据直径所对的圆周角是直角并结合已知可得出，证明，根据相似三角形的性质并结合已知可得出，求出，根据勾股定理求出，根据圆周角定理和正切的定义即可求出； （3）根据垂径定理，圆周角定理，弧、弦的关系可得出，，证明，可得出，证明，可得出，，，进而求出，同（2）可证，得出，则可求出，，进而求出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是直径， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴， 解得（负值舍去）， 同理得：， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴，，， ∴ ， ∵，， ∴， 同（2）可证， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴ ， ∵， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， 又， ∴当时，y有最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，弧、弦的关系，相似三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的性质，正切的定义等知识，解题的关键要注意掌握数形结合的思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $