23.4 三角形的中位线与重心（第2课时 三角形的重心）课件-【满分全攻略备课系列】-2025-2026学年沪教版（五四制）数学八年级下册教学课件

八年级沪教版数学下册 第二十三章 四边形 23.4 三角形的中位线与重心 第二课时 三角形的重心 布置作业 3 学习目标 1 5 课堂小结 习题巩固 4 知识详解 2 6 布置作业 典例分析 学习目标 1.理解三角形重心的定义，明确重心是三角形三条中线的交点。 2.掌握三角形重心的核心性质：重心到三角形一个顶点的距离等于它到该顶点对边中点距离的2倍，能准确运用该性质进行简单的线段长度计算。 3.重心与三角形三个顶点组成的三个小三角形面积相等，均为原三角形面积的三分之一。 任意一个三角形都有三条中线，如图，已知BD、CE 分别是△ABC的边AC、AB上的中线，它们交于点O，连接 AO并延长交边BC于点F. AF是边BC上的中线吗? 线段AO与线段OF有怎样的数量关系? 线段CO与线段OE呢? 线段BO与线段OD呢? 据此，你能得到什么结论? 例1.如图,已知:在ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的中线，BD和CE交于点O，连接AO并延长交边BC于点F. 求证：AF是边BC上的中线。 证明：如图，延长AF到点G，使OG=AO，分别连接BG、CG. EB=EA,0G=A0, EO//BG(三角形的中位线定理). ∴ OC//BG.同理，可得OB//CG. ∴四边形BGCO是一个平行四边形∴BF=FC(平行四边形的对角线互相平分)， ∴AF是边BC上的中线. 取一块质地均匀的三角形硬纸片，在三条中线的交点处用细绳将其挂住，该硬纸片将会保持水平，这说明整个三角形硬纸片所受重力的合力可视为集中作用在此点，“重心”因而得名。 本题的结论表明:三角形的三条中线交 于一点，此交点叫作三角形的重心. 教材 例题 三角形重心定理 三角形的重心到一个顶点的距离等于它到该顶点三角形重心定理对边中点的距离的两倍. 例2.如图,已知:ABC中，AF、BD、CE分别是边BC、AC、AB 上的中线，并交于点O. 求证:AO=2OF. 证明：如图，延长AF到点G，使OG=AO，分别连接BG、CG. EB=EA,0G=A0, EO//BG(三角形的中位线定理). ∴ OC//BG.同理，可得OB//CG. ∴四边形BGCO是一个平行四边形 所以OG=2OF.又因为0G=A0,所以AO=2OF. 教材 例题 例3.如图，已知:在△ ABC中，O是△ ABC的重心，分别连接OA、OB和OC. 求证: 证明：如图，延长CO、BO和AO，与AB、AC、 BC分别交于点E、D、F. ∵O是ABC的重心，∴F是边BC的中点. ∴ BF=FC.∴ ∵O是△ ABC的重心，∴AO=2OF(三角形重心定理). ∴ , . ∴ = 为什么可以得到 , , 教材 练习 课内练习 1.填空:如图，已知O是人ABC的重心. (1)AB=2 =2 ; (2)BF= = ; (3) = = . AE EB FC BC 2.在Rt △ ABC中，∠ACB=90°，AB=24，G是△ ABC 的重心,连接CG并延长，交边AB于点D.求DG的长. 解:∵G是人ABC的重心，∴CD是AB边上的中线。 在Rt △ ABC中,∠ACB= 90°, AB=24,∴CD=AB= x24=12。 ∵CG:GD=2:1,∴CG= CD= x12=8。 ∵CD=CG+DG,∴DG = CD - CG = 12 -8 =4. 答:DG的长为4。 变式训练 3.在△ ABC中，AB=AC=17，BC=16,G是△ ABC的重心. (1)求AG的长; (2) 求 . 解：(1)由等腰三角形性质，中线AD也是高，其中D为BC中点。 BD=DC=8，由勾股定理得AD==15。 重心G将中线AD分成2:1，故AG=xAD=10。答案:AG=10 (2)三角形面积= XBCX AD=12x16x15=120。 重心将三角形分成三个面积相等的小三角形， 故 = =40。答案: =40 变式训练 基础巩固题 1．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，则它的重心G到C点的距离是 ． 解：∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，∴AB＝＝15， 则斜边AB上的中线为：， ∴重心G到C点的距离是：×＝5， 故答案为：5． 2．点是的重心，，，则 ． 解：如图， ∵点是的重心，∴点是的中点， ∵，∴，， 在中， ， , 在中，． 故答案为：． 3．在中，，，，那么它的重心到点的距离是 ． 解：如图，延长交于点，点为的重心， 为边上的中线，， ，， ，，， ，， 即三角形的重心到点的距离是．故答案为：． 4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点G是△ABC的重心，如果，AG＝2，那么AB＝ ． ∵点G是△ABC的重心，AG＝2，∴DG＝1，AD＝3； ∵∠C＝90°，∴，而， ∴CD＝2，BC＝2CD＝4； 由勾股定理得：，∴． 故答案为：． 能力提升题 5.如图，点G为△ABC的重心．如果AG＝CG，BG＝2，AC＝4，那么AB的长等于 ． 解：（如图）延长BG交AC与点D， ∵点G为△ABC的重心，BG=2,∴AD=CD，BD=3， 又∵AG＝CG，GD=GD，∴∆ADG≌∆CDG， ∴∠ADG=∠CDG，∴BD⊥AC， ∵AC＝4，∴AD=2， ∴AB= ==， 故答案为：． 6．两个三角形重心之间的距离称为两个三角形的“重心距”，如图，在菱形中，边，对角线，那么与的“重心距”为 ． 解：连接，与交于点，设点为的重心， 点为的重心，如图，四边形为菱形， ，，． ． 点为的重心，点为的重心， ，． 与的“重心距”为：．故答案为：． 三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心。 重心的核心性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点距离的2倍（简称“重心分中线为2:1”）。 判定方法：若一个点是三角形两条中线的交点，则该点就是三角形的重心 重心的相关计算与应用 课堂小结 教科书第41-42页练习 第1，2，3题 布置作业 $