精品解析：广东省东莞市2025-2026学年第一学期教学质量自查高一数学试题

广东省东莞市2025-2026学年第一学期教学质量自查高一数学试题 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑. 1. 已知全集是小于8的正整数，集合，则中元素的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】先求全集中元素，再求集合中的补集，进而求出元素个数. 【详解】因为是小于8的正整数，所以， 又因为集合，所以，所以的元素个数为4. 故选：B. 2. 如图，①②③④中不属于函数的一个是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的图象与性质即可得出结果. 【详解】根据函数都是指数函数且为减函数，过点， 又，结合图象可知①函数为，②函数为， 函数为单调递减的对数函数，过，，结合图象可知④函数图象符合. 所以③不是已知函数的图象. 故选：C 3. 一个扇形弧长与面积的数值都是5，则这个扇形中心角的弧度数为（ ） A. 5 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据扇形的弧长和面积公式计算. 【详解】设扇形中心角为，半径为，则，得， 则扇形中心角的弧度数为. 故选：B 4. 下列函数中，为偶函数且在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇偶函数的定义，结合指数函数、对数函数的单调性逐项判断即可. 【详解】对于A，令得，所以的定义域为， 因为，所以函数是偶函数， 定义域不包含，不合题意，A错误； 对于B，函数定义域为R，记， 因， 所以函数为奇函数，B错误； 对于C，定义域为R，因为，所以函数是偶函数， 当时，单调递减，C正确； 对于D，函数的定义域为，所以函数在上是没有图象， 是非奇非偶函数，D错误. 故选：C 5. 已知角的顶点为坐标原点，始边为轴非负半轴，终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数的定义结合诱导公式可得出的值. 【详解】由三角函数的定义可得，故. 故选：A. 6. 函数的最值情况是（ ） A. 有最小值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最大值 【答案】C 【解析】 【分析】 结合基本不等式性质即可求解 【详解】，， ， 当且仅当时，即时取到等号，故函数取到最小值 故选：C 【点睛】本题考查基本不等式求最值，属于基础题 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两角和与差的余弦公式及二倍角公式求值即可. 【详解】由，， 可得， 所以， 所以. 故选：D 8. 设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，，则，从而可判断函数的周期性，再结合指数运算，利用周期性计算求解. 【详解】因为为奇函数，所以，即， 因为为偶函数，所以，所以， 令，所以， 故， 所以，所以4为的一个周期， 所以， 又，所以， 所以. 故选：A 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 9. 下列命题中正确的有（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “”是“”的必要不充分条件 C. “”是“”的充要条件 D. “”是“”的既不充分也不必要条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合不等式性质及同角公式逐项推理判断即可. 【详解】对于A，若，则，而当时，也有，因此“”是“”的充分不必要条件，A正确； 对于B，，取，得，反之由，得，则，， 因此“”是“”的必要不充分条件，B正确； 对于C，取，满足，而，因此“”不是“”的充要条件，C错误； 对于D，取，满足，而，反之取， 满足，而，因此“”是“”的既不充分也不必要条件，D正确. 故选：ABD 10. 已知函数的图象关于点对称，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正切型函数的对称性可得出关于的等式，结合赋值法可得出合适的选项. 【详解】因为函数的图象关于点对称，则， 解得，令可得， 令可得，令可得，令可得，BC选项符合题意. 故选：BC. 11. 已知函数的零点分别为a，b，c，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意得函数，，与函数的交点的横坐标分别为，画出函数图，结合图象及函数的对称性即可逐项求解. 【详解】由函数的零点分别为， 得函数，，的图象与函数的交点的横坐标就是， 如图，在平面直角坐标系中，作函数，，的图象， 由图知，，故A错误，B正确； 因为，互为反函数，其图象关于直线对称. 因为与垂直，所以与的中点是直线与的交点. 由得，所以，. 又，所以，所以，故C正确； 又，，所以，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置上. 12. 命题“”的否定是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题求解即可. 【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可知： 命题“”的否定为“”. 故答案为： 13. 已知a2x＝2（a＞0），则＝___________． 【答案】##3.5 【解析】 【分析】由可得，根据对原式化简计算即可. 【详解】由，得，所以， 则 故答案为：. 14. 如图，点A，B分别是圆心在坐标原点，半径为1和2的圆上的动点.动点从初始位置开始，按逆时针方向以角速度做圆周运动，同时点从初始位置开始，按顺时针方向以角速度做圆周运动.经过t秒后，点与点的纵坐标之差的绝对值最大，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的定义先确定与的函数关系式，从而得到所求函数关系式，再利用两角和与差的三角函数公式将函数关系式化成，最后根据正弦函数性质求解即可. 【详解】由题意可知：经过t秒后，点的纵坐标为， 点的纵坐标为， 则点与点的纵坐标之差的绝对值为 ， 所以当时，取到最大值， 此时，又，所以当时，有最小值为. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，第15题13分，第16、17题各15分，第18、19题各17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效. 15. 已知集合. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）解分式不等式求解集合A，求解函数定义域可得集合B，然后利用并集运算求解即可； （2）先求出集合B的补集，然后利用交集运算得，进而列不等式求解即可. 【小问1详解】 因，所以，解得，所以， 因为，即，所以，解得， 所以， 所以； 【小问2详解】 由，得或， 若，则，， 当，即时，满足； 当，即时，满足； 综上，的取值范围是或. 16. 已知函数， （1）求函数的最小正周期并说明的图象可由正弦曲线经过怎样的变换得到； （2）求函数的单调递减区间； （3）求使成立的的取值集合. 【答案】（1），答案见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式，倍角公式，辅助角公式化简，再用周期公式可求周期；利用伸缩变换，平移变换的法则即可求解； （2）利用复合函数的单调性即可求解 （3）先将问题化为，再将作为一个整体，结合正弦函数的图象即可求解. 【小问1详解】 由题可知， 所以最小正周期 方法一： 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象， 再将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象， 再将函数图象上所有点的纵坐标伸长为原来的倍（横坐标不变）， 可得到函数的图象； 方法二： 将函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）得到函数 的图象， 再将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象， 再将函数的图象上各点的纵坐标伸长为原来的倍（横坐标不变）， 可得到函数的图象. 【小问2详解】 解得 即函数的单调递减区间为 【小问3详解】 即. 所以 解得 所以满足要求的的取值集合为 17. 已知函数且在上的最大值和最小值之和为1，函数是奇函数. （1）求和的值； （2）用函数单调性的定义判断并证明函数的单调性； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2）函数在R上单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）结合对数函数的单调性，利用最值和为1列式求得，方法一：先利用奇函数性质，求得，再代入检验；方法二：利用奇函数的定义列式求解； （2）结合指数函数性质，利用单调性的定义证明即可； （3）利用奇函数性质将已知式化为，然后利用单调性可得，解一元二次不等式即可. 【小问1详解】 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减， （因为函数且在上单调） 所以函数在上的最大值与最小值之和为，解得． 所以的定义域为R， 方法一： 因为函数是奇函数，所以， 解得， 当时，， 因为，都有，且 ， 则函数是奇函数，满足题意. 故. 方法二： 因为函数是奇函数，所以，即， 则， 即， 解得. 故. 【小问2详解】 函数在上单调递增. 证明如下： ，且， ， 显然有，则， 又由，得，则， 于是，即， 所以，函数在R上单调递增. 【小问3详解】 由，得， 由函数为奇函数，得， 所以 由函数在上单调递增，得，即， 解得， 故的取值范围为. 18. 如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为AB，DA上的动点，且的周长为2. （1）证明为定值，并求出该定值； （2）求面积的最小值. 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）设， 在直角三角形中表示出，进而表示出的周长，根据已知化简得出，结合角的范围即可得出答案； （2）方法一：利用角的正弦表示出面积，然后根据角的范围结合三角函数的性质得出最值；方法二：，将面积表示成角的正切形式，根据正切运算结合基本不等式求解得出答案；方法三：设，根据已知三角形的周长，化简得出，然后表示出三角形的面积，进而根据基本不等式求解即可得出答案. 【小问1详解】 设， 由已知可得，，， 所以，，. 因为的周长为2， 所以， 即， 所以. 所以，. 又， 所以， ， 所以，为定值. 【小问2详解】 方法一： 所以最小值为. 方法二： . 由， 化简得. 因为，当且仅当时，等号成立 所以，， 整理可得， 所以， 整理得， 所以. 方法三： 设 . 令， 则. 当且仅当时，S的最小值为. 19. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度为（单位）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.某日室温保持为，小李用某品牌电热养生壶烧一升水，8分钟后水烧开（温度为），再过30分钟，壶中开水自然冷却到.假设烧水时水的温度是关于时间的一次函数，水的初始温度与室温一致. （1）从开始烧水算起，求壶中水的温度关于时间的函数解析式； （2）养生壶在保温模式下会自动检测水温：若水温高于临界值，保温管不加热；若水温不高于临界值，保温管开始加热至后停止，已知保温管加热时水温的上升速度是正常烧水时的，若小李在一升水烧开后立即将养生壶设定为保温模式，此时时钟显示9点整，10点38分小李发现养生壶处于未加热状态且水温为. ①求养生壶在此保温过程中加热次数及保温临界值；（提示：临界值为正整数） ②若小李需要的水，请写出他在9点到12点之间倒水的时间段，并说明理由.（假设保温管加热时水温的上升速度与水容量无关，计算结果保留到分钟） 参考数据： 【答案】（1） （2）①加热次数为一次，；②答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意分和两个情况，根据已知条件分别求出解析式即可； （2）①分别求出水温从冷却至临界值所需时间，水温从临界值加热至所需时间，水温从冷却至临界值所需时间，然后根据已知条件结合函数单调性分析即可；②根据①所得结论分析即可. 【小问1详解】 当时，依题意设，则， 解得，所以， 当时，依题意得，即，所以， 此时，即， 综上，. 【小问2详解】 ①水温从冷却至临界值，则， 所需时间， 水温从临界值加热至， 因为保温管加热时水温的上升速度是正常烧水时的， 所需时间， 水温从冷却至临界值，则， 所需时间， 若水温从冷却至， 所需时间分钟， 从加热至，所需时间分钟， 从冷却至，所需时间分钟， 由题意知，故， 则从9:00到10:38这98分钟内至少加热了一次， 若加热两次，则总时间方程为，即， 而已知的最小值为，由于，该方程无解，故假设不成立， 综上，养生壶在此保温过程中加热次数为一次． 水温从冷却至临界值，再加热至，最后冷却至， 所需时间， 即 由于在上单调递减，且， 因此保温临界值. ②若水温从冷却至， 所需时间分钟，此时9点51分， 水温从冷却至，所需时间， 水温在加热过程中从升至用时分钟，此时10点01分， 则第一次倒水时间段为9点51分点01分（持续时长10分钟）， 水温从加热至，再从冷却至， 所需时间分钟， 即每间隔56分钟开启新一轮倒水． 则第二次倒水时间段为10点47分～10点57分， 第三次倒水时间段为11点43分～11点53分. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省东莞市2025-2026学年第一学期教学质量自查高一数学试题 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑. 1. 已知全集是小于8的正整数，集合，则中元素的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 2. 如图，①②③④中不属于函数的一个是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 3. 一个扇形的弧长与面积的数值都是5，则这个扇形中心角的弧度数为（ ） A. 5 B. C. 1 D. 4. 下列函数中，为偶函数且在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知角的顶点为坐标原点，始边为轴非负半轴，终边过点，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数的最值情况是（ ） A. 有最小值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最大值 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 9. 下列命题中正确的有（ ） A. “”是“”充分不必要条件 B. “”是“”必要不充分条件 C. “”是“”的充要条件 D. “”是“”的既不充分也不必要条件 10. 已知函数的图象关于点对称，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的零点分别为a，b，c，则下列结论正确的有（ ） A B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置上. 12. 命题“”的否定是______. 13. 已知a2x＝2（a＞0），则＝___________． 14. 如图，点A，B分别是圆心在坐标原点，半径为1和2的圆上的动点.动点从初始位置开始，按逆时针方向以角速度做圆周运动，同时点从初始位置开始，按顺时针方向以角速度做圆周运动.经过t秒后，点与点的纵坐标之差的绝对值最大，则的最小值为______. 四、解答题：本大题共5小题，第15题13分，第16、17题各15分，第18、19题各17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效. 15. 已知集合. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知函数， （1）求函数的最小正周期并说明的图象可由正弦曲线经过怎样的变换得到； （2）求函数的单调递减区间； （3）求使成立的的取值集合. 17. 已知函数且在上的最大值和最小值之和为1，函数是奇函数. （1）求和的值； （2）用函数单调性的定义判断并证明函数的单调性； （3）若，求的取值范围． 18. 如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为AB，DA上的动点，且的周长为2. （1）证明定值，并求出该定值； （2）求面积的最小值. 19. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度为（单位）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.某日室温保持为，小李用某品牌电热养生壶烧一升水，8分钟后水烧开（温度为），再过30分钟，壶中开水自然冷却到.假设烧水时水的温度是关于时间的一次函数，水的初始温度与室温一致. （1）从开始烧水算起，求壶中水温度关于时间的函数解析式； （2）养生壶在保温模式下会自动检测水温：若水温高于临界值，保温管不加热；若水温不高于临界值，保温管开始加热至后停止，已知保温管加热时水温的上升速度是正常烧水时的，若小李在一升水烧开后立即将养生壶设定为保温模式，此时时钟显示9点整，10点38分小李发现养生壶处于未加热状态且水温为. ①求养生壶在此保温过程中加热次数及保温临界值；（提示：临界值为正整数） ②若小李需要的水，请写出他在9点到12点之间倒水的时间段，并说明理由.（假设保温管加热时水温的上升速度与水容量无关，计算结果保留到分钟） 参考数据： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $