安徽亳州市普通高中2025-2026学年第一学期高三期末质量检测数学试题

毫州市普通高中2025一2026学年度第一学期高三期末质量检测 数学·答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1.答案B 命题透析本题考查圆的方程. 解析将圆的一般方程转换为标准方程，得(x-1)2+(y-2)2=4,故圆的半径为2. 2.答案A 命题透析本题考查复数的运算， 解析1z2+z=1(1+i)2+1-il=11+il=2. 3.答案D 命题透析本题考查等差数列的性质. 解析由等差数列的性质得a1+a3+a5=3a3=12,则a3=4,又a3+a1=2a,=6,所以a11=2. 4.答案A 命题透析本题考查集合的性质， 解析当3-a=0或3-a=a时，lnaB,故3-a=a+1,则a=1,此时A={2,0},B={0,1,2},满足A二B. 5.答案C 命题透析本题考查向量的基底表示 解析由(a-b)1a,得(a-b)·a=0,将坐标代入，得1-x+4=0,解得x=5,故b=(5,0),设c=Aa+b,则 3 「入= -1=入+5u, 2 解得 即c= 3-1b. 3=2λ， 24 1 2 = 29 6.答案C 命题透析本题考查解三角形和充分必要条件 解析设A=年，C=牙，显然满足甲，此时B-没，△ABC不是纯角三角形，放充分性不成立：者△ABC是纯角 三角形，则C>受，则a<c,由正弦定理可知sinA<sinC,故必要性成立。 7.答案B 命题透析本题考查基本不等式的应用， 解析由基本不等式，得(a+10(6+2)=号(2a+2)(6+2)≤分×2a+24+2》'-8,当且仅当2a+2=6+ 4 -1 2,即a=1,b=2时取等号. 8.答案D 命题透析本题考查三角函数的应用， 解析令f(x)=g(x),得sin2x=sin2x,即sinx(sinx-2cosx)=0,所以sinx=0或sinx=2cosx.若sinx1=0, 则sinx2=0,g(x2)=0,与g(x1）≠g(x2)矛盾，故舍去，所以sinx1=2cosx1,结合sin2x1+cos2x1=1,得f八x1)= sinx=号，即6(x,)=sn2x=专，由于x),8(x)的最小正周期均为m,放只需考虑区间[0，]即可，如图作 出图象由于✉)图象的一条对称轴为=受，所以士=受，又由于8()图象的一个对称中心为（受，0， 所以g()=-(x)=-4 4 g(x) f(x) 0 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分 9.答案AC 命题透析本题考查双曲线的几何性质. 解析由双曲线的定义，得1PF,1-PF,1=2a,结合1PR,1+PF,1=14a得1PF,1=6a,PF,1=8a,所以PP, IPFI 子，故A正确； 因为P·P=0,所以∠F,PE,=受，在R△PF,F中，由勾股定理得F,R1=10a,设双曲线的半焦距为c,则 c=5a,b=√2-云=26a,C的离心率e=日=5，故B错误，C正确： 作AM1PR,垂足为A,则PH=号PF,=号，A=子PE,1-2,所以m∠APR,=2,放D结误 10.答案ACD 命题透析本题考查立体几何初步： 解析根据正三棱台的对称性，可知BB1⊥AC,又BB1⊥CA1,AC∩CA1=C,AC,CA1C平面ACC1A1,所以BB1⊥ 平面ACC1A1,所以BB,⊥AA1,BB1⊥CC1,正三棱台的三条侧棱两两垂直，将正三棱台补全得到的正三棱锥 0-ABC正好是棱长为2的正方体的一个角，如图. 对于A,由BB1⊥平面ACC1A1,AC1C平面ACC1A1,可知BB,⊥AC1,故A正确； 一2 对于B,由图知，BB1是正方体棱长的一半，即BB1=1,故B错误； 对于C,取BC的中点M,连接OM,AM,易得直线AA1与平面ABC所成的角即为∠OAM,二面角A-BC-C1的 平面角为∠AMO,在Rt△OAM中，∠OAM与∠AM0互余，故C正确； 对于D,连接4，二面角4-c-G的平面角为2A0,m∠AM0-品-号，=面角4-C-G的平面 角为∠AM0,m∠AW0=9-2,因为B∠AM0.m∠A,M0=1,所以∠A,M0与乙AW0互余，放D正确 B B 11.答案ABD 命题透析本题考查组合与条件概率的应用. 解析对于A,P(a=)=己=行，放A正确： 对于B,易知Pa>6)=P(a<b),则P(a>b)=1-P(a=b)]=2-)=易故B正确； a<b不含数字6)=周=P(a<blb含数字6)1，又P6不含数字6)瓮 全概率公式，得P(a<8)=7×易+(1-)×1-器故C错误； 对于D,与c项同理得Pa<6)是×-司)(-月)1=1（定+分）义=a+1,故代a 81-a创（娘+n设2云品2，当 x≥4时'(x)>0,x)单调递增，又3)=4)=4，所以P(a≥6)=m)≥4，故D正确 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.答案6 命题透析本题考查抛物线的定义. 解析点A到准线x=-1的距离d=|AF1=10,故xA=9,所以yA=√4xA=6. 13.答案3 命题透析本题考查分段函数的性质与应用. 一3— rx<0, x≥0， 解析解不等式组 得-3<x<-1或-1<x<0;解不等式组 得0≤x<2. -1<x2+2x<3, -1<2-1<3, 综上，-1<f(x)<3成立时，x∈(-3，-1)U(-1,2).所以(a,b)≤(-3，-1)U(-1,2),所以当b=2,a= -1时，b-a取得最大值，最大值为3. 14.答案 e-1 e+1 命题透析本题考查反函数的性质、指数函数与对数函数的应用. 解析如图，由函数y=心，y=1血x互为反函数，可知其图象关于直线y=x对称，则曲线y=之，y=(-)关 于直线x+y=0对称，设Q,P在x轴上的射影分别为A,B,IOB1=t(t>0),则1OB=IAM1=t,IOA|=1PB1= 图则P01Ac-设数)上则()}当0<<1时W©<0当>1时 IMNI IOMIe+t Γe*+x 了()>0，故)的极小值点为x=1)1)+引即州的最小值为 e+1 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.命题透析本题考查递推数列与等差数列、数列求和. 解析(1)易知0，≠0，由题意得1_20，+1-L+2,即1-1-2. (3分) an+1 anan an+1 an 所以{}是公差为2的等差数列. (5分) (2)由(1)知上=1+2(n-1)=2n, (7分) aa 所以S.=n2,2m=n(n+1) 2 (9分) 所以 111 s.=n(n+1)）=元n+1? …(11分） 1,1 n=1--1- ,11 n+in+f…(13分) n 16.命题透析本题考查频率分布直方图的应用、独立性检验. 解析（1)由10×(a+0.015+0.030+0.035+a)=1,解得a=0.010,…（1分) 一4 估计A品种所得评分的平均数为10×(55×0.010+65×0.015+75×0.030+85×0.035+95×0.010)=77. …(3分） 由10×(0.005+b+0.030×2+0.015)=1,解得b=0.020.…（4分) 估计B品种所得评分的中位数为70+0.5-0.05-0.2×10=70+ 25 ≈78. 0.3 (6分) (2)2×2列联表如下： 满意 不满意 总计 A品种 180 20 200 B品种 95 5 100 总计 275 25 300 (9分) 零假设H:A,B两个品种的食用满意度没有差异. (10分) y3300×(180×5-20×95）22.182<3.841, 200×100×275×25 (13分) 根据小概率值α=0.05的独立性检验，推断H。成立，即认为A,B两个品种的食用满意度没有差异. …(15分） 17.命题透析本题考查空间向量及其应用. 解析(1)BN⊥平面AMP,∴.BN⊥AP, BC⊥平面PAB,BC⊥AP,…(3分) 又BC∩BN=B,BC,BNC平面ABC,.AP⊥平面ABC,…(5分) 又APC平面PAC,.平面PACL平面ABC.… (6分) (2):BC⊥平面PAB,∴.BC⊥AB. … (7分) 以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过点B且与AP平行的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxy2, M 设4B=(>0),则A(04,0),B(0,0,0),C(2,0,0),N1,7,0,M1,0,0), -5- B=（1,5,0,4i=(1,-,0) N1平面A即，8y1AM,即B,-1-号-0，解得=反，（9分剂) .AP=√BP2-AB2=√2，则P(0,2,√2)， 亦-(02).威=(1，. 设平面PBN的法向量为n=(x,y,z), rn·B=0, rW2y+√2z=0, 则 即 取n=(1,-√2,2). (11分) n.BN=0,*+ 2y=0, 同理，平面PBC的一个法向量为m=(0,-1,1). (13分) m·n_25 .cos(m,n）=1mlln=5 (14分) 设二面角N-BP-C的大小为0，则sin0= 1-(2-5,即=面角N-即-C的正孩值为 (15分) 18.命题透析本题考查椭圆的性质及其应用. 解析(1)设C的半焦距为c(c>0). e=后=78+=6=原。 a 2a.①… (2分) 将点2,3)代人c的方程，得导+是=1② ……………… (3分) 联立①②，解得a=4,b=25, x2y2」 C的方程为16+2=1.… (4分) (2)(i)设0为坐标原点.当直线PQ与x轴重合时，M(2,0). (5分) 当直线PQ不与x轴重合时，设直线PQ的方程为x=my-2, 与C联立，得(3m2+4)y2-12my-36=0, 12m -36 设P(x,),Q(2,2),则1+h3m+42=3m+4 (6分) 由F1(-2,0),得F,=PM=(2+2,2), .0成=O币+PM=(x1+2+2,当+y2),即M(x1+2+2,+2). f3m+M(-82m 又名+名+2=m(y+)-2=6m-8. （3m2+4'3m2+4 … (8分) 圆后-及-g亦普+学- 十 4 3 一6 点M(2,0)也满足上式，心W的方程为士名1，即W为椭圆， (ii)设M(x3,y3),N(x4,y4),直线A,M的方程为x=ty-4, 与W联立，得(32+4)y2-24y+36=0, 由△=（-24t)2-4×36(3t2+4)=144t2-576>0,得t2>4, 24t 36 则⅓+⅓=3+4%=32+4 (12分) 由椭圆的对称性可知，所求的面积S=4S60w=4×5)4104,1=8,-4l.… 2 (14分) 叉1y-y1=V(0+P-4=12_4 3t2+4, 设=√P-4>0,则2YF-4=,12A=12 4n4662 12 v …（15分)》 2V3.6 2， 当且仅当-5，即f-2时，取等号…(16分) .S=81y3-y4|≤4√3，即所求的四边形的面积最大值为4√5.…（17分) 19.命题透析本题考查利用导数研究函数性质. 解析(1)f(x)的定义域为(0，+0)，求导得f(x)=ae- x’ 因为a>0,y=ae,y=-1均是(0，+)上的增函数，所以∫(x)在(0，+0)上单调递增.…(2分) 又f(）=ae-a=a(e÷-1)>0,当x0时f'(x)-0, 根据零点存在定理，存在唯一的6∈(0，），使得f'(x)=0, …(3分) 且当xe(0,)时f'(x)<0)单调递减；当xe（,)时f'(x)>0x)单调递增， 因此名是x)在(0，)上唯一的极小值点 (5分) (2)由(1)可知，f(x)的最小值为f(xo),其中x满足f'(x)=0. 若f(x)在定义域内不存在零点，则f(x)>0. 由)=0，可得a=之博a。放)=-n-L 二nx一1在(0，+0)上单调递减，…… 又h(1)=1-0-1=0,要使得f(x)>0,即h(x)>0,必须有0<xo<1. (8分) 令p(x)=xe,则p'(x)=(1+x)e, 一7 当x>0时，p'(x)>0,故p(x)在(0，+∞)上单调递增， 因为0<x<1,所以p(0)<p(x)<p(1),即0<xoe0<e, 则，心>。故a的原值范柑是（仁+） …（10分) (3)由fx)=0,可得ae-lnx-1=0,等价于ae*=lnx+1. 令t=lnx+l,则x=e-1,所以lna+e-1=lnt,lna=lnt-e-l. 设g()=n-e-,则g(0=}-6-(>0, 易知g'(t)在(0，+∞)上单调递减， 又g'(1)=1-1=0,则当t∈(0,1)时，g'(t)>0,g(t)单调递增； 当t∈(1，+∞）时，g'(t)<0,g(t)单调递减。…（12分) f(x)有两个不同的零点x1,x2,等价于方程g(t)=lna有两个不同的实数根t1,t2, 其中t1=lnx1+1,t2=lnx2+1. 不妨令t1<t2,则由g(t)的单调性可知0<t1<1<t2, 要证明x1x2>1,即lnx1+lnx2>0,(t1-1)+(t2-1)>0,即t1+t2>2t2>2-t1. 因为0<t1<1,所以2-t1>1,而t2>1,又g(t)在(1，+o)上单调递减， 只需证明g(t2)<g(2-t1),即证明g(t1)<g(2-t1)对任意t1∈(0,1)成立.…(13分) 设F(x)=g(2-x)-g(x),x∈(0,1)， 则F'(x)=-g'(2-x)-g'(x)=e-+e1-1-,1 (14分) x2-x 构造函数求导可证。≤<1)，当且仅当x=0时，等号威立， 所以当0<x<1时，有e<e<2 所以e…+e<士+ 1 因此，当x∈(0,1)时，F'(x)<0恒成立，F(x)在(0,1)上单调递减， 所以当x∈(0,1)时，F(x)>F(1)=0,即g(2-x)>g(x),也即g(2-t1)>g(t1). 故原不等式成立.…(17分） 一8毫州市普通高中2025一2026学年度第一学期高三期末质量检测 数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定 位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的， 1.圆x2-2x+y2-4y+1=0的半径为 A.1 B.2 C.5 D.4 2.若复数z=1+i,则1z2+引= A.2 B.2 C.1 D.10 3.在等差数列{an}中，a1+a3+a5=12,a,=3,则a1= A.-2 B.-1 C.1 D.2 4.已知集合A={3-a,lna},B={0,a,a+1},若A二B,则a= A.1 B.2 C.e D.3 5.已知向量a=(1,2),b=(x,0),c=（-1,3),若(a-b)⊥a,则c= A知-b B.a-go C.Za-3b D20-b 6.在△ABC中，A,B均为锐角，设甲：sinA<sinC;乙：△ABC是钝角三角形，则甲是乙的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D,既不充分也不必要条件 7.已知a>0,b>0,2a+b=4,则(a+1)(b+2)的最大值为 A.16 B.8 C.4 D.22 数学第1页（共4页） 8.已知函数f(x)=sin2x,g(x)=sin2x,若x1,x2满足f(x1)=g(x1)=f(x2)≠g(x2),则 g(x2）= B号 c-号 D号 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，分选对的得部分分，有选错的得0分 Q.设双曲线C:号素=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F,右顶点为A,P在C的左支 上，lPF,l+IPF21=14a,PF·PF=0,则 IPFI 3 A.P,=4 B.b=4 C.C的离心率为5 D.tan∠APF,=3 10.在正三棱台ABC-AB,C,中，BB1⊥CA1,AB=2A1B1=22,则 A.BB1⊥AC B.BB1=√2 C.直线AA,与平面ABC所成的角与二面角A-BC-C,互余 D.二面角A1-BC-C,与二面角A-BC-C,互余 11.设m,n是不小于3的正整数，从1至m这m个正整数中随机抽取3个不同的数组成最大 的三位数a(如：抽到数字1,2,3，组成的最大的三位数为321)，从1至n这n个正整数中 随机抽取3个不同的数组成最大的三位数b,则下列选项正确的是 A当m=n=4时，P(a=b)=4 B.当m=n=5时，P(a>b)=20 9 C.当m=5,n=6时，P(a<6)=是 D.当n=m+1时，P(a≥6)≥4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,A是C上一点，且位于第一象限，若1AF1=10,则点A的 纵坐标为 13.已知函数f代x)= x2+2x,x<0, 当a<x<b时，-1<f(x)<3,则b-a的最大值为 2-1,x≥0， 14设直线y=x+a(a≠0)与曲线y=。y=h(-)的交点分别为P,Q,与：轴y轴的交点 分别为M,,则的最小值为 数学第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知数列a,中，012a+14=2 an (1)证明：{合}是等差数列： (2)记s.为{}的前n项和，求数列{}的前n项和T 16.(15分) 某乡村企业加工的水果玉米相关产品有A,B两个品种，为了解市场行情，该企业对这两个 品种的食用满意度进行了问卷调查，共收集到300份评分数据，其中A品种200份，B品种 100份，整理成如图所示的频率分布直方图（每组区间包含左端点值，不包含右端点值）. 十频率组距 ↑频率/阻距 0.035 0.030 0.030 0.015 0.015 0 0.005 05060708090100评分分 05060708090100评分分 A品种 B品种 (1)估计A品种所得评分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）以及B 品种所得评分的中位数（结果四舍五人保留整数）； (2)客户评分不低于60的记为“满意”，低于60的记为“不满意”，补充下面的2×2列联 表，并根据小概率值=0.05的独立性检验，分析A,B两个品种的食用满意度是否有 差异 满意 不满意 总计 A品种 200 B品种 100 总计 300 n(ad-be)2 P(x2≥k) 0.050 0.010 0.001 =a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 3.841 6.635 10.828 数学第3页（共4页） 17.(15分) 如图，在三棱锥P-ABC中，BC⊥平面PAB,M,N分别是BC,AC的中点，BN⊥平面AMP. (1)证明：平面PAC⊥平面ABC; (2)若BP=BC=2,求二面角N-BP-C的正弦值 18.（17分) 已知椭图c号+京=1(e>6>0)的离心率为7，且C经过点(2,3.C的左，有焦点分别 为F1,F2,左、右顶点分别为A1,A2 (1)求C的方程 (2)过点F,的直线与C交于P,Q两点，点M满足P=F,Q,设M的轨迹为W. (i)证明：W是椭圆； (iⅱ)设直线A,M与W的另一个交点为N,过点A2作A,M的平行线，与W交于R,S两 点，求以M,N,R,S为顶点的四边形的面积最大值 19.(17分) 已知函数f(x)=ae*-lnx-1,其中a>0. (1)证明x)在区间0，)上存在唯一的极小值点； (2)若f(x)不存在零点，求a的取值范围； (3)当f(x)有两个不同的零点x1,x2时，证明：xx2>1.