精品解析：安徽省亳州市2024-2025学年高三上学期期末质量检测数学试卷

亳州市普通高中2024—2025学年度第一学期高三期末质量检测 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为集合，， 因此，. 故选：A. 2. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】化简复数后，即可求解. 【详解】，所以的虚部为. 故选：B 3. 四川耙耙柑以果肉饱满圆润，晶莹剔透等特点深受民众喜爱，某耙耙柑果园的质检员对刚采摘下来的耙耙柑采用随机抽样的方式对成筐的耙耙柑进行质检，记录下了8筐耙耙柑中残次品的个数为5，7，6，3，9，4，8，10，则该组样本数据的第30百分位数为（ ） A. 5 B. 5.5 C. 6 D. 6.5 【答案】A 【解析】 【分析】把给定的数据组由小到大排列，再利用第30百分位数的定义求出结果. 【详解】残次品的个数由小到大排列为：3，4，5，6，7，8，9，10， 由，得该组样本数据的第30百分位数为5. 故选：A. 4. 下列函数中为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数的奇偶性，根据奇偶性的定义进行判定即可. 【详解】对于A，由且可得的定义域为，所以函数为非奇非偶函数，A错误； 对于B，函数的定义域为R，令，，∴函数不是偶函数，B错误； 对于C，函数的定义域为，令，则，所以函数为奇函数，C错误； 对于D，函数的定义域为R，令，， ∴函数为偶函数，D正确. 故选：D. 5. 已知抛物线的焦点为，直线与交于，两点，则的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】将直线方程与抛物线方程联立，解方程可得，然后结合点到直线距离公式可得答案. 【详解】. 解得：或，由图，，则. 又由题可得，则点F到PQ距离为. 则的面积为. 故选：B 6. 已知，且是关于的方程的一个根，则的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】由韦达定理得到，得到，由基本不等式求出最小值. 【详解】中，，故方程有两个不等实根， 设另一个根为， 由题意得， 由得，故，即， 故， 因为，由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D 7. 若当动点在圆上运动时，的取值范围，则圆心（ ） A. 一定在直线上 B. 一定在直线上 C. 一定在直线上 D. 一定在直线上 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知，直线、为圆的两条切线，设圆心，数形结合可知，直线的斜率为负数，利用圆心到直线、的距离都相等，可求得的值，由此可得出结论. 【详解】如下图所示：， 因为的取值范围， 所以，直线的倾斜角的取值范围是， 由题意可知，直线、为圆的两条切线， 即直线、为圆的两条切线， 由图可知，直线的斜率为负数，则 ， 设圆心，则，整理可得， 即，可得， 因为，解得，因此，圆心一定在直线上. 故选：C. 8. 已知四面体的棱，分别是同一个圆柱上、下底面的直径，若圆柱的体积为，则四面体体积的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先说明点到平面的距离相等都为，再应用圆柱体积公式计算，结合不等关系即可求得三棱锥体积最大值. 【详解】设圆柱的底面圆半径为，圆柱的高为，点到平面的距离为， 因是的中点，故到平面的距离也为， 由圆柱的体积为，可得， 故 . 当且仅当时取最大值4. 故选：B. 【点睛】思路点睛：解题思路是转化四面体的体积为两个三棱锥的体积和，进而结合距离范围求解. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于的展开式，下列结论正确的是（ ） A. 展开式共有7项 B. 每一项中的指数都是偶数 C. 各项系数的和为64 D. 常数项为540 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据二项式展开式的特征即可求解A，根据通项的特征即可求解BD，利用赋值即可求解C. 【详解】对于A,根据，即可得展开式共有7项，故A正确， 对于B，的展开式的通项为，由于为偶数，因此每一项中的指数都是偶数，故B正确， 对于C,令，则系数和为，故C正确， 对于D，令，故，故常数项为，故D错误， 故选：ABC 10. 若双曲线的渐近线方程为，且与直线交于两点，则（ ） A. B. C. 在两点处的切线倾斜角互补 D. 在两点处的切线夹角为 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A，由渐近线方程可得；选项B，联立与直线，得坐标，进而可得；选项CD，联立切线方程和双曲线方程，由，求得在两点处的切线斜率，进而可得. 【详解】由双曲线的渐近线方程，可得，故A错误； 双曲线的方程为，当时，， 故，，故，故B正确； 设双曲线在点处的切线方程斜率为，则切线方程为， 联立可得，、 则，得， 故切线方程为：， 同理可得双曲线在点处的切线斜率为，方程为， 故在两点处的切线倾斜角为故CD正确， 故选：BCD 11. 已知函数的图象关于点中心对称，，的最小正周期为，且，则（ ） A. B. C. D. 在区间内最多存在两个极值点 【答案】ACD 【解析】 【分析】A由三角函数对称中心性质可判断选项正误；B由A分析结合可得，然后由结合周期计算公式可判断选项正误；C由B分析可计算，结合图象关于点中心对称可判断选项正误；D由B分析，令，可得关于的表达式，然后由可判读极值点个数. 【详解】对于A，由图象关于中心对称，可得， ，则，故A正确； 对于B，由A分析， 则，. 又的最小正周期为，且，则. 则或， 则取满足题意，得或，故B错误； 对于C，由B分析，或. 则或， 又由题可知图象关于点对称，则，故C正确； 对于D，时，令， 由， 则时，在区间内有一个极值点； 时，令， 由， 则或时，在区间内有两个个极值点；综上，在区间内最多存在两个极值点，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，为两个相互垂直的单位向量，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由向量夹角公式可得答案. 【详解】由题，， 又， 则，又， 则. 故答案为： 13. 已知数列的奇数项按原来的顺序构成一个以为首项，2为公比的等比数列，偶数项按原来的顺序构成一个以为首项，3为公差的等差数列.若的前10项和，则______. 【答案】5 【解析】 【分析】由等比数列和等差数列的前项和公式可得. 【详解】由题意可知 ， 由得， 故答案为： 14. 已知函数，若关于的方程有唯一解，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据判别式，结合零点为0即可求解. 【详解】由于关于的方程有唯一解， 且有唯一的实数根，故， 故又零点为，故， 因此， 故， 故答案为：1 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在平面四边形中，，，平分. （1）若，，求； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件求的长，在中，由余弦定理可求. （2）设，，表示，在中利用余弦定理结合同角三角函数基本关系可求和，由此可得结果. 【小问1详解】 ∵平分，∴，故， ∵，， ∴，， 在中，由余弦定理得. 【小问2详解】 设，则. 设，则，， 在中，由余弦定理得， ∵，∴， ∴，， ∴. 16. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）若在区间内存在零点，求的取值范围. 【答案】（1）当，在上单调递增； 当，在上单调递增，在上单调递减. （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数分类讨论单调性； （2）结合函数单调性和零点存在定理求的取值范围. 【小问1详解】 ，. 若，则，所以在上单调递增. 若，令，得. 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当，在上单调递增； 当，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 当时，在上单调递增， 故有唯一的零点，不满足题意. 当时，在上单调递增，在上单调递减， 故的极大值为， 要使在区间内存在零点，须. 即解得， 故的取值范围是. 17. 如图，在六面体中，平面，平面，四边形为菱形，，，. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：因为平面，平面， 所以. 又平面，不在平面内， 所以平面. 因为，平面，不在平面内，所以平面. 又，平面,所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面平行的判定定理可得答案； （2）连接，交于点，取的中点，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求出坐标、平面的法向量，再由线面角的向量求法可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接，交于点，取的中点， 因为、分别为、的中点，所以， 又平面，所以平面， 又因为为菱形，所以， 故以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，. 设平面的法向量为， 则，即，取. 设直线与平面所成的角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 【点睛】 18. 信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量的所有可能取值为1，2，…，，且，，定义的信息熵. （1）证明：当且仅当时，； （2）若，且，比较与1的大小； （3）重复抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面朝上则继续抛，如果反面朝上就立即停止，且抛20次后即使没有出现反面朝上也停止，若将停止时抛掷硬币的次数记为，求. 【答案】（1）若，则，所以. 当时，因为，所以，所以. 综上可知：当且仅当时，. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当时，，当时，由可得，由此可说明结论成立. （2）根据条件可计算的值，由此可计算，进而比较大小. （3）根据题意表示，利用错位相减法计算. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由得，由，得. 因为，所以，解得，于是，.. 因为，所以. 【小问3详解】 由题意知，表示前次都正面朝上，第次反面朝上，表示前19次都正面朝上， 则，，，…， ，. 所以，. 所以. 设，则， 两式相减得， 所以， 故. 19. 已知曲线上任意一点到点的距离与到直线的距离之比为. （1）求的方程. （2）若点在圆上，，为的两条切线，，是切点. （i）求点的纵坐标的取值范围； （ii）求的面积S的最大值. 附：若曲线的两条切线相交于点，则两侧切点所在直线的方程为. 【答案】（1） （2）（i）（ii）4 【解析】 【分析】（1）设是曲线上任意一点，根据题意得到方程，化简得到的方程； （2）（i）点在圆上，得到，又点在椭圆外，求出圆和椭圆交点坐标，数形结合得到答案； （ii）设，由题可知直线的方程为，设，，联立直线和椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由弦长公式得到，求出点到直线的距离为，表达出，换元得，，求导得到单调性，得到当，即时，S取得最大值，且最大值为4. 【小问1详解】 设是曲线上任意一点， 由题意可得， 平方后化简可得的方程为； 【小问2详解】 （i）因为点在圆上，所以. 因为过点可以作椭圆的两条切线，所以点在椭圆外， 联立与圆的方程，可得解得（负值舍去）. 结合图可知点的纵坐标的取值范围为； （ii）设，，. 由题可知直线的方程为，即. 设，，由可得， ， ， 故 ， 点到直线的距离为. 所以 ， 又因为，所以. 设，由，得. 所以，，所以S在时单调递增， 故当，即时，S取得最大值，且最大值为4. 【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $