精品解析：河南郑州市第十九高级中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题

2025－2026学年上期高一年级期末试题 数学学科 考试时间120分钟 分值150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，．”的否定是（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系xOy中，设角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，若角α终边过点P（2，-1），则sin（π-α）的值为（　　） A. B. C. D. 5. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 已知，，则的值为 A. B. C. D. 7. 已知定义在上的偶函数满足，且当时，，则下列说法错误的是（ ） A. B. 函数关于直线对称 C. 函数是偶函数 D. 关于的方程在区间上所有根的和为0 8. 若函数在区间内恰有一个零点，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．） 9. 下列说法正确是（ ） A. 函数且的图象恒过点 B. 函数与表示同一个函数 C. 函数的最小值为3 D. 若关于不等式的解集为或，则 10. 已知函数，，下列命题正确的是（ ） A. 若对任意，且，都有，则为上减函数 B. 若为上的偶函数，且在内是减函数，，则的解集为 C. 若为上的奇函数，则也是上的奇函数 D. 若一个函数是定义域为且的奇函数，当时，，则当时， 11. 已知函数，则（ ） A. 的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象 B. 在上有3个零点，则实数的取值范围是 C. 单调递减区间为 D. 的图象与的图象关于轴对称 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知一元二次不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是__________. 13. 若，，，那么、、的大小关系为______（按从小到大排序） 14. 按照《中小学校教室换气卫生要求》，教室内空气中二氧化碳浓度不高于，经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内的二氧化碳浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，设该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间（单位：分钟）的最小整数值为______． （参考数据：，） 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. （1）计算：； （2）若，求的值． （3）解不等式． 16. 已知函数． （1）求的最小正周期和单调递减区间； （2）当时，求最小值以及取得最小值时的集合． 17. （1）把函数写出分段函数形式，并在答题卡上画出该函数的图象，写上该函数的定义域与值域（不需要过程） （2）给定函数． （i）在答题卡上的同一个坐标系画出函数的图象； （ii），用表示中的较小者，记为，请分别用图象法和解析法表示函数． 18. 已知函数是R上的奇函数． （1）求a的值； （2）判断并证明的单调性； （3）若对任意实数x，不等式恒成立，求m的取值范围． 19. 问题：正数，满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当，且时，即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题： （1）若正实数，满足，求的最小值； （2）若正实数，，，满足，且，试比较和的大小，并说明理由； （3）若，利用（2）的结论，求代数式的最小值，并求出使得最小的的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年上期高一年级期末试题 数学学科 考试时间120分钟 分值150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合，，再根据交集的定义求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：D. 2. 命题“，．”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据命题的否定的概念直接可得. 【详解】命题“，．”的否定是，， 故选：D. 3. 下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本初等函数的单调性以及单调性的性质、函数奇偶性的定义逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】对于A：为奇函数，在定义域上有增有减，不是增函数，故选项A不正确； 对于B：为奇函数，在上单调递增，但在定义域上不是增函数，故选项B不正确； 对于C：既不是奇函数也不是偶函数，故选项C不正确； 对于D：，所以是奇函数，因为和都是上的增函数，所以在定义域上是增函数，故选项D正确； 故选：D. 4. 在平面直角坐标系xOy中，设角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，若角α终边过点P（2，-1），则sin（π-α）的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知利用任意角的三角函数的定义求得sinα,再由诱导公式即可得答案 【详解】解：∵角α终边过点, ∴, ∴ ∴, 故选A 【点睛】本题考查已知终边上一点求三角函数值,考查诱导公式的应用,是基础题 5. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】用特殊值验证A是错误的；根据不等式的性质证明B是错误的；利用作差法验证CD是否正确. 【详解】对于A，例如，时，，但，故A错误． 对于B，若，则，故B错误． 对于C，， ，，，， ，，故C正确． 对于D，， ，，， ，，故D错误． 故选：C 6. 已知，，则的值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 则 ，故 选B 7. 已知定义在上的偶函数满足，且当时，，则下列说法错误的是（ ） A. B. 函数关于直线对称 C. 函数是偶函数 D. 关于的方程在区间上所有根的和为0 【答案】C 【解析】 【分析】由，取可判断A；由为偶函数结合可判断B；令，验证与的关系可判断C；画出在区间上的图象可判断D. 【详解】取，得， 所以，故A正确； 因为，则，即， 又由为偶函数，即， 所以函数关于直线对称，故B正确； 令，则， 所以为奇函数，即函数是奇函数，故C错误； 因为为偶函数，画出函数的图象可知，方程所有根的和为0，故D正确. 故选：C. 8. 若函数在区间内恰有一个零点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将函数在区间内恰有一个零点转化为方程在区间内恰有一根，然后分类讨论结合一次方程和二次方程根的分布列不等式求解即可. 【详解】函数在区间内恰有一个零点转化为方程在区间内恰有一根， 当时，方程可化为，解得，满足题意； 当时，方程为一元二次方程，其对称轴为，. 若，，此时方程的解为，满足题意； 若，即当且时， 由题意只需，解得且， 又时，，即， 其实数根为，满足题意， 时，，即， 其实数根为，满足题意， 所以且； 综上，实数的取值范围为. 故选：D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数且的图象恒过点 B. 函数与表示同一个函数 C. 函数的最小值为3 D. 若关于的不等式的解集为或，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据指数函数的性质求得定点判断A，根据同一函数的概念判断B，根据基本不等式的应用条件判断C，根据二次不等式的解集及韦达定理求解即可判断D. 【详解】对于A：，令，得的图象恒过点，故A正确； 对于B：的定义域为的定义域为，定义域不同，与不表示同一个函数，故B错误； 对于C，令，则在上单调递增，当时，，故C错误； 对于D，的解集为或，且和1为方程的两个根，且，得且，故D正确. 故选：AD 10. 已知函数，，下列命题正确的是（ ） A. 若对任意，且，都有，则为上减函数 B. 若为上的偶函数，且在内是减函数，，则的解集为 C. 若为上的奇函数，则也是上的奇函数 D. 若一个函数是定义域为且的奇函数，当时，，则当时， 【答案】AC 【解析】 【分析】利用减函数的定义判断A；利用函数的单调性及偶函数性质解不等式判断B；利用奇函数定义判断C；由奇函数定义求出解析式判断D. 【详解】对于A，对任意，且，都有，则为上减函数，A正确； 对于B，依题意，偶函数在上单调递增，， 不等式，则，解得或，B错误； 对于C，由为上的奇函数，得， 函数是上的奇函数，C正确； 对于D，依题意，当时，，，D错误. 故选：AC 11. 已知函数，则（ ） A. 的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象 B. 在上有3个零点，则实数的取值范围是 C. 的单调递减区间为 D. 的图象与的图象关于轴对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，利用图象变换求解判断AD；由零点个数求出范围判断B；求出单调减区间判断C. 【详解】函数， 对于A，，A正确； 对于B，当时，，由在上有3个零点， 得，解得，B错误； 对于C，由，得， 因此的单调递减区间为，C正确； 对于D，函数的图象关于轴对称的图象对应函数为 ，D正确. 故选：ACD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知一元二次不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】一元二次不等式对一切实数都成立，的图象在轴上方，，由此能够求出的取值范围． 【详解】解：一元二次不等式对一切实数都成立， 由题意知， 根据的图象 ，，解得． 的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解题时要抓住二次函数与轴无交点的特点进行求解．主要考查了二次函数的恒成立问题．二次函数的恒成立问题分两类，一是大于0恒成立须满足开口向上，且判别式小于0，二是小于0恒成立须满足开口向下，且判别式小于0． 13. 若，，，那么、、的大小关系为______（按从小到大排序） 【答案】 【解析】 【分析】利用两角差的正弦求得，利用同角三角函数关系式和二倍角公式化简，利用两角差的正切化简，比较大小得到结果； 【详解】因为， ， ， 因为时，，所以，所以，故 故答案：. 14. 按照《中小学校教室换气卫生要求》，教室内空气中二氧化碳浓度不高于，经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内的二氧化碳浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，设该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间（单位：分钟）的最小整数值为______． （参考数据：，） 【答案】3 【解析】 【分析】由，可得.再由，求解即可. 【详解】当时，，解得， 所以. 令，即， 即， 所以，故所需时间(单位：分钟)的最小整数值为. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. （1）计算：； （2）若，求的值． （3）解不等式． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）利用指数运算及换底公式化简计算即得. （2）利用对数运算求出，再借助因式分解法求出目标值. （3）按分段求解指数不等式即可. 【详解】（1）原式 . （2）， 所以. （3）当时，， 由，得，则，原不等式无解； 当时，， 解得，则，所以的解集为. 16. 已知函数． （1）求的最小正周期和单调递减区间； （2）当时，求的最小值以及取得最小值时的集合． 【答案】（1），； （2），. 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数，再求出最小正周期及单调递减区间. （2）求出相位的范围，确定最小值点，求出最小值及对应值集合. 【小问1详解】 函数， 所以的最小正周期； 由，得， 所以的单调递减区间是. 【小问2详解】 当时，，则当，即时，取得最小值， 所以的最小值为，取得最小值时的集合为. 17. （1）把函数写出分段函数形式，并在答题卡上画出该函数的图象，写上该函数的定义域与值域（不需要过程） （2）给定函数． （i）在答题卡上的同一个坐标系画出函数的图象； （ii），用表示中的较小者，记为，请分别用图象法和解析法表示函数． 【答案】（1），图象见解析；（2）（i）图象见解析；（ii）图象见解析，. 【解析】 【分析】（1）去掉绝对值，得到分段函数，并画出函数的图象，由图象可写出函数的定义域和值域； （2）（i）分析出的图象特征，画出函数图象； （ii）在（i）基础上，画出的图象，并根据图象写出解析式. 【详解】（1）， 该函数的图象如下： 由图象可知，定义域为R，值域为； （2）（i）为一次函数，其图象为一条直线，经过点， 二次函数，其图象为抛物线，开口向上，顶点坐标为， 故在答题卡上的同一个坐标系画出函数的图象，如下： （ii）的图象如下： 解析法表示为. 18. 已知函数是R上的奇函数． （1）求a的值； （2）判断并证明的单调性； （3）若对任意实数x，不等式恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1) ； (2)证明见详解； (3) . 【解析】 【分析】(1)由可直接求出结果； (2)设，再通过作差判断的符号即可判断单调性； (3)首先根据奇函数转变，再根据单调性转化为，最后参变分离即可求解.. 【详解】(1)∵是R上的奇函数 ∴，即：，∴. (2)由(1)知，∴在上单调递增. 证明：设，则 ∵，∴ 又∵， ∴ ∴即 ∴在上单调递增. (3) ∵ ∴ ∵是R上的奇函数，∴ 即 由(2)知在上单调递增 ∴ 故对任意实数恒成立 由得，∴ ∴，则 ∴ 【点睛】定义法判断函数单调性的一般步骤： 1.取值，设，且； 2.作差，求； 3.变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）； 4.判断的正负符号； 5.根据函数单调性定义下结论. 19. 问题：正数，满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当，且时，即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题： （1）若正实数，满足，求的最小值； （2）若正实数，，，满足，且，试比较和的大小，并说明理由； （3）若，利用（2）结论，求代数式的最小值，并求出使得最小的的值. 【答案】（1） （2），理由见解析 （3）时，取得最小值 【解析】 【分析】（1）由题知，进而根据基本不等式“1”的用法求解即可； （2）由题知，进而结合判断即可； （3）令，，构造，进而结合（2）的结论求解即可. 【小问1详解】 解： ，，，则， 所以，， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值是. 小问2详解】 解：， 又，当且仅当时等号成立， 所以， 所以，当且仅当，即同号时等号成立. 此时，满足； 【小问3详解】 解：令，，构造， 所以，即，因此，， 所以， 取等号时，即，结合，解得，， 即，. 所以时，取得最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $