精品解析：河南淮阳县搬口乡中学等校2025-2026学年九年级上学期期末数学试题

2025-2026学年度九年级上册期末考试 数学 试题（HS） 满分： 120分考试时间： 90分钟 考生须知 1．本试卷分为选择题、填空题、解答题三部分，共23小题； 2．答题前，务必将姓名、准考证号填写在答题卡指定位置； 3．所有答案均写在答题卡相应区域，写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 每小题只有一个正确答案，请将正确答案的序号填在答题卡对应位置． 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若二次根式有意义，则实数x取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程：的解是（ ） A. B. ， C. D. ， 4. 用配方法解一元二次方程：配方后得到的方程是 （ ） A. B. C. D. 5. 已知，相似比为，则与的周长比为（ ） A B. C. D. 6. 在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 下列事件中，属于必然事件是 （ ） A. 掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为6 B. 任意画一个三角形，其内角和为 C. 从装有数字1，2，3，4的四张卡片中随机摸出一张卡片，上面的数字为偶数 D. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 8. 如图，在 中，，若 ，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 9. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A. B. 且 C. D. 且 10. 一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外均相同，从中随机摸出2个球，恰好摸到1个红球和1个白球的概率为 （ ） A. B. C. D. 二、填空题 （本大题共6小题，每小题3分，共18分） 请将答案直接填在答题卡对应位置． 11. 计算：________． 12. 若是一元二次方程的一个根，则m的值为_____． 13. 已知，的值为______． 14. 在中，，，，则________． 15. 若关于x的一元二次方程 的两个根分别为 ，则_____． 16. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处，当为直角三角形时，BE的长为____ 三、解答题 （本大题共7小题，共72分） 17. 计算： （1） （2） 18 解下列一元二次方程： （1）（公式法）； （2） 19. 如图， 中，，点 D、E分别在上，且，求证： 20. 在一次数学实践活动中，小明同学要测量学校旗杆的高度，站在教学楼的 C 处测得旗杆底端 B 的俯角为 ，测得旗杆顶端A 的仰角为 若旗杆与教学楼的水平距离 为，则旗杆的高度是多少米？（结果保留根号） 21. 为了丰富学生的课余生活，学校准备购买一批篮球和足球，已知购买个篮球和个足球共需元，购买个篮球和个足球共需元． （1）求每个篮球和每个足球的售价； （2）学校计划购买篮球和足球共个，总费用不超过元，求最多可购买多少个篮球． 22. 如图，在中，，的平分线交于点，过点作交于点，以的长为直径作半圆． （1）求证：是半圆的切线； （2）若，，求的长和的值． 23. 在平面直角坐标系中，点A为y轴正半轴上一点，点B为x轴上一动点，连接，以为腰作等腰，． （1）如图1，点B在x轴负半轴上，点C的坐标是，直接写出点A和点B的坐标； （2）如图2，点B在x轴负半轴上，交x轴于点D，若平分．且点C的纵坐标是，求线段的长； （3）如图3，点B在x轴正半轴上，以为边在左侧作等边，连接，，若，且，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度九年级上册期末考试 数学 试题（HS） 满分： 120分考试时间： 90分钟 考生须知 1．本试卷分为选择题、填空题、解答题三部分，共23小题； 2．答题前，务必将姓名、准考证号填写在答题卡指定位置； 3．所有答案均写在答题卡相应区域，写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 每小题只有一个正确答案，请将正确答案的序号填在答题卡对应位置． 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了最简二次根式，正确把握最简二次根式的定义是解题关键． 根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母且不含平方因子），逐一判断各选项． 【详解】解： A．，不是最简二次根式； B．被开方数含分母，不是最简二次根式； C．，被开方数10无平方因子且无分母，是最简二次根式； D．，不是最简二次根式． 故选：C． 2. 若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数非负，得到不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴． 故选：C． 3. 一元二次方程：的解是（ ） A. B. ， C. D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 通过因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 即，． 故选：B． 4. 用配方法解一元二次方程：配方后得到的方程是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的配方法．把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可做出判断． 详解】解：∵， ∴， 两边加9得， 即． 故选：B． 5. 已知，相似比为，则与的周长比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，掌握周长比等于相似比是解题关键． 根据相似三角形的性质，周长比等于相似比． 【详解】解：∵，相似比为， ∴与的周长比为． 故选：A． 6. 在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理， 在直角中，根据勾股定理可以求出的长，再根据三角函数的定义就可以求出函数值． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴． 故选：B． 7. 下列事件中，属于必然事件的是 （ ） A. 掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为6 B. 任意画一个三角形，其内角和为 C. 从装有数字1，2，3，4的四张卡片中随机摸出一张卡片，上面的数字为偶数 D. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：A、任意抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数是6，是随机事件； B、任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件； C、从装有数字1，2，3，4的四张卡片中随机摸出一张卡片，上面的数字为偶数，是随机事件； D、抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是随机事件； 故选：B． 8. 如图，在 中，，若 ，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． 根据得到，根据证明，得到，即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 9. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【详解】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．利用一元二次方程根的判别式，可知Δ＞0，进一步求解即可． 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且 解得：且． 故选：B． 10. 一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外均相同，从中随机摸出2个球，恰好摸到1个红球和1个白球的概率为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求解概率，概率公式，正确列出所有情况是解题的关键．先列表表示出所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 红1 红2 红3 白1 白2 红1 红1，红2 红1，红3 红1，白1 红1，白2 红2 红2，红1 红2，红3 红2，白1 红2，白2 红3 红3，红1 红3，红2 红3，白1 红3，白2 白1 白1，红1 白1，红2 白1，红3 白1，白2 白2 白2，红1 白2，红2 白2，红3 白2，白1 共20种情况，恰好摸到1个红球和1个白球的有12种， 故从中随机摸出2个球，恰好摸到1个红球和1个白球的概率为， 故选：C． 二、填空题 （本大题共6小题，每小题3分，共18分） 请将答案直接填在答题卡对应位置． 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减运算，先将化简为，然后与进行合并同类二次根式即可． 【详解】解：． 故答案为： 12. 若是一元二次方程的一个根，则m的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 将代入方程，利用方程根的定义求解m的值． 【详解】解：将代入方程，得，即， 整理得， 解得． 故答案为：1． 13. 已知，的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键；由题意可设，然后代入进行求解即可． 详解】解：由可设， ∴； 故答案为． 14. 在中，，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查含的直角三角形的性质，熟练掌握基本性质是解题关键； 利用“直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半”直接解题即可． 【详解】中，，，， ∵ ， ∴ （直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半）， 即， 故答案为：． 15. 若关于x的一元二次方程 的两个根分别为 ，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． 根据一元二次方程根与系数的关系，由两根之和与两根之积求解b和c的值，再计算． 【详解】解：∵方程的两根分别为，， ∴由根与系数的关系，得， 即， ∴； 又， 即， ∴． 故答案为：． 16. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处，当为直角三角形时，BE的长为____ 【答案】3或 【解析】 【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形． 【详解】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况： ①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示． 连结AC， 在Rt△ABC中，AB=3，BC=4， ∴AC==5， ∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处， ∴∠AB′E=∠B=90°， 当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°， ∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处， ∴EB=EB′，AB=AB′=3， ∴CB′=5-3=2， 设BE=x，则EB′=x，CE=4-x， 在Rt△CEB′中， ∵EB′2+CB′2=CE2， ∴x2+22=（4-x）2，解得， ∴BE=； ②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形， ∴BE=AB=3． 综上所述，BE的长为或3． 故答案为：或3． 【点睛】此题考查了折叠和矩形的性质，勾股定理的运用，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握折叠和矩形的性质，勾股定理的运用，正方形的判定和性质． 三、解答题 （本大题共7小题，共72分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答； （2）先根据平方差公式和二次根式乘法法则去括号，然后计算加减法即可解答． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解： 原式 ． 18. 解下列一元二次方程： （1）（公式法）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】题目主要考查解一元二次方程的方法步骤，熟练掌握是解题关键 （1）根据公式法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可 【小问1详解】 解： 其中， ； 【小问2详解】 ， 或， ∴ 19. 如图， 在 中，，点 D、E分别在上，且，求证： 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是正确运用相似三角形的性质求解． 先证明，则，即可证明平行． 【详解】证明： ． 20. 在一次数学实践活动中，小明同学要测量学校旗杆的高度，站在教学楼的 C 处测得旗杆底端 B 的俯角为 ，测得旗杆顶端A 的仰角为 若旗杆与教学楼的水平距离 为，则旗杆的高度是多少米？（结果保留根号） 【答案】米 【解析】 【分析】该题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，分析题意，可利用正切函数的定义分别在、求出、的长，即可解答本题． 【详解】解：在 中， ， ， ， ， 在 中， ， ， ， 则旗杆 的高度是米． 21. 为了丰富学生的课余生活，学校准备购买一批篮球和足球，已知购买个篮球和个足球共需元，购买个篮球和个足球共需元． （1）求每个篮球和每个足球售价； （2）学校计划购买篮球和足球共个，总费用不超过元，求最多可购买多少个篮球． 【答案】（1）每个篮球售价元，每个足球售价元 （2）最多可购买个篮球 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用和一元一次不等式的实际应用，根据题意准确列出方程组和不等式，并结合实际意义取整数解是解题的关键． （1）设每个篮球售价元，每个足球售价元，根据两次购买的总价列出二元一次方程组，求解即可得出两种球的售价； （2）设购买篮球个，则购买足球个，根据总费用不超过元的条件列出一元一次不等式，结合整数要求即可求出篮球数量的最大值． 【小问1详解】 解：设每个篮球售价元，每个足球售价元，根据题意得 ， 解得：； 答：每个篮球售价元，每个足球售价元； 【小问2详解】 解：设购买篮球个，则购买足球个，根据题意得 解得， ∵为非负整数， ∴最大值为， 答：最多可购买个篮球． 22. 如图，在中，，的平分线交于点，过点作交于点，以的长为直径作半圆． （1）求证：是半圆的切线； （2）若，，求的长和的值． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】此题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角函数，熟练掌握相关知识是解本题的关键． （1）连接，由为直径、，可得点在上，且， 根据平分可得出，由“内错角相等，两直线平行”可得出，再结合即可得出，进而即可得证； （2）在中，利用勾股定理可求出的长度，设，则， 由可得，推出，代入数据即可求出值，以及的值，再求出，根据勾股定理求出，即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 在中，点为的中点， ， 点在上，且， 又平分， ， ， ， ， ，即， 又为半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：在中，，， ， 设，则， ， ， ，即， 解得， ， ， ， 即 ， ， ， ， ． 23. 在平面直角坐标系中，点A为y轴正半轴上一点，点B为x轴上一动点，连接，以为腰作等腰，． （1）如图1，点B在x轴负半轴上，点C的坐标是，直接写出点A和点B的坐标； （2）如图2，点B在x轴负半轴上，交x轴于点D，若平分．且点C的纵坐标是，求线段的长； （3）如图3，点B在x轴正半轴上，以为边在左侧作等边，连接，，若，且，求的面积． 【答案】（1）， （2）6 （3）8 【解析】 【分析】（1）如图1，作于，由，可得，，证明，则，，进而可得，； （2）如图2，作轴，交轴于，交的延长线于，证明，则，证明，根据，计算求解即可； （3）如图3，在上截取，使，连接，则是等边三角形，证明，则，由，求得，如图3，作于，于，则，，，，，证明，则，根据，计算求解即可． 【小问1详解】 解：如图1，作于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，； 【小问2详解】 解：如图2，作轴，交轴于，交的延长线于， ∴， ∵平分， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的长为6； 【小问3详解】 解：∵为等边三角形， ∴，， 如图3，在上截取，使，连接， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图3，作于，于，则， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为8． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线，含的直角三角形．熟练掌握一线三垂直的全等模型，由构造等边三角形证明全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $