精品解析：江苏苏州市部分区市2025-2026学年七年级上学期期末数学试卷

初一数学 （满分130分，时间120分钟） 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案用2B铅笔填涂在答题卡相应位置上． 1. 的倒数是（　　） A. B. C. D. 2026 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查倒数的定义．根据“乘积为1的两个数互为倒数”这一概念计算即可求解． 【详解】解：的倒数是， 故选：B． 2. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，熟练掌握合并同类项的法则是解题的关键． 根据合并同类项的法则，只有字母部分相同的项才能合并，系数相加减，字母部分不变进行逐一判断选项的正误即可． 【详解】解：对于A：和不是同类项，不能合并，不符合题意； 对于B：， 不符合题意； 对于C：，符合题意； 对于D：， 不符合题意； 故选：C． 3. 把图中的纸片分别沿虚线折叠成一个几何体，则这个几何体的名称是（ ） A. 四棱柱 B. 四棱锥 C. 三棱柱 D. 三棱锥 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查几何体的展开图，根据展开图得到几何体是解题的关键． 根据展开图得到几何体即可． 【详解】解：根据展开图可知，该几何体为三棱柱， 故选：C． 4. 如图，小张同学将四边形沿虚线裁剪后，发现剩下的五边形的周长比原四边形的周长小．下列选项中能正确解释这一现象的是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 垂线段最短 D. 经过一点有无数条直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查两点之间，线段最短的实际应用． 根据五边形的周长比原四边形的周长小，即可说明两点之间，线段最短． 【详解】解：如图可知，五边形的周长比原四边形的周长小，说明两点之间，线段最短， 故选：A． 5. 关于的不等式的解集如图所示，则的值为（ ） A. －2 B. 0 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的解集、数轴上解集的表示，根据数轴得到解集是解题的关键． 首先根据数轴写出解集为，再将不等式化简即可得到解得的值即可． 【详解】解：如图可知，关于的不等式的解集为， ∴不等式的解集为， ∵， ∴， ∴， 解得：， 故选：D． 6. （九章算术）中有这样一道题：“今有程传委输，空车日行七十里，重车日行五十里．今载太仓粟输上林，五日三返．问：太仓去上林几何?”其大意为：驾马车在驿站间运送货物，空车一日行70里，重车一日行50里，现在从太仓运谷子到上林，五日往返3次．问：太仓距上林多少里?设太仓距上林里，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查列一元一次方程，根据题意准确列出一元一次方程是解题的关键． 根据“五日三返”的条件，结合一次往返包括重车去和空车回的时间，即根据总时间相等列方程即可． 【详解】解：设太仓距上林里， ∵ 一次往返中，重车去的时间为天，空车回的时间为天， ∴ 一次往返的总时间为天， ∵ 5日完成3次往返， ∴ 可列方程：， 故选：B． 7. 图案设计是纺织品设计中的一个重要环节，“数”可以为纺织品图案的设计提供灵感．例如：．图1是将从上到下按蛇形排列填入方格内，然后用不同的图形“○”、“Δ”、“◇”、“□”、“☆”、“○”表示各个数字，最后将图形填入方格中所得到的图案．图2是利用某个循环小数的循环规律（不同的数字分别用不同的图形来表示），由内向外按某种顺序螺旋排列设计而成的一幅纺织品图案，则这个数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查无限循环小数、图案的规律探索，根据图案得到循环位数是解题的关键． 首先将选项中的分数化为无限循环小数，再观察图2只含有“Δ”、“◇”、“☆”所对应的三种数字，进而判断出循环位数即可得到答案． 【详解】解：∵，，，， 如图2可知，该数字只含有“Δ”、“◇”、“☆”所对应的三种数字， ∴该数字是一个三位循环数， ∴该数为， 故选：A． 8. 数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：数轴上表示数与3两点间的距离是．若．则的最大值为（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查数轴与绝对值，熟练掌握数轴上点的特点，能够根据数的范围准确去掉绝对值符号是解题的关键． 利用数轴上两点距离的几何意义，确定x和y的取值范围，再求的最大值即可． 【详解】解：由题意得，表示点x到3和的距离和， 当时，最小值为5； 表示点y到1和5的距离和， 当时，最小值为4； 又∵， ∴且， 即，， ∵取最大值， ∴y取最大值，x取最小值，即， ∴的最大值为7． 故选C． 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 9. 如图是某市1月1日的天气情况，则当天的温差（最高气温与最低气温的差）是__________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查有理数减法的实际应用，掌握有理数减法的运算法则是解题的关键． 用当天的最高气温减去最低气温即为当天的温差，由此可解． 【详解】解：． 故答案为：8． 10. 2025年江苏省城市足球联赛总决赛现场观看人数达到62300人．数据62300用科学记数法表示为__________． 【答案】 6.23× 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，将62300转换为科学记数法形式，即，其中，n为整数. 【详解】解：， 故答案为：. 11. 若一个角的补角是这个角的余角的4倍，那么这个角的度数为__________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程、余角和补角，根据题意列出一元一次方程是解题的关键． 首先设这个角为，则其补角为，余角为，根据题意补角是余角的4倍，列出方程求解即可． 【详解】解：设这个角为， ∴补角的度数为，余角的度数为， ∴，解得：， ∴这个角的度数为， 故答案为：． 12. 若举例说明“如果，那么”的说法是错误的，则的值可以取__________．（写出一个的值即可） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查去绝对值，取绝对值存在两种取值范围是解题的关键． 首先将进行化简求值得到或，即可以写出的值． 【详解】解：∵，即，解得：或， ∴可取（或任意小于的数即可）， 故答案为：． 13. 已知线段，延长线段至点，使得，点为线段中点，则的长度为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是线段的长度计算问题，能正确表达线段之间的和差关系是解决本题的关键． 根据已知条件先求的长度，再求的长度，然后利用中点定义求，最后通过线段和差关系求即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵点为的中点， ∴， 又∵点在线段上， ∴ ， 故答案为：． 14. 已知，则代数式的值为__________． 【答案】 7 【解析】 【分析】本题主要考查求代数式的值，根据已知代数式进行整体代入是解题的关键． 由已知可得，整体代入代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：7． 15. 光线从空气射入水中时，传播方向会发生改变，这就是折射现象．如图，，光线从空气射入水中时发生了折射，沿射到水底处，射线是光线的延长线，，若，，则的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，对顶角，角度的计算，根据平行线的性质得到相等的角是解题的关键． 首先根据两直线平行，内错角相等得到，再根据直角计算得到，再根据对顶角相等即可得到的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16. 一副三角板如图摆放，边落在直线上，点、点在直线的上方，其中、、．现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时将三角板绕点以每秒5°的速度逆时针旋转，设旋转时间为秒，则当时，的值为_______． 【答案】2或 【解析】 【分析】当时，，，由，得，解得；当时，，，得，解得． 【详解】解：当与相遇前时，， ∵，， 且， ∴， 解得； 当与相遇时，，此时，，不符合题意，舍去， 当与相遇后时，当时， ，， ∴， 解得． 故答案为：2或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，角的和差倍分的计算，一元一次方程的应用等知识，分类讨论，画出旋转后的图形，是解题的关键． 三、解答题：本大题共11小题，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算、绝对值、有理数的乘方，按照顺序进行计算是解题的关键． （1）首先去绝对值，再按照顺序进行计算即可； （2）首先去括号，再进行计算乘除，最后按顺序进行加减计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】解集为，数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解题步骤是解答本题的关键． 先对不等式通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤，求出不等式的解集，再根据在数轴上表示解集时“”，“”要用实心圆点表示． 【详解】解： 解得， 在数轴上表示这个不等式的解集如图所示， 19. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求解一元一次方程，准确的计算是解决本题的关键． 先去分母，再去括号，然后移项和合并同类项，最后系数化为1进行求解即可． 【详解】解： 解得． 20. 如图．在正方形网格中，每个小方格的边长都为单位1，点在正方形网格的格点上．请按下述要求画图并回答问题： （1）确定一个格点，画直线，使得垂直； （2）画射线，则与所在直线的位置关系是：__________；（填“平行”或“相交”）； （3）画线段，则四边形的面积是__________． 【答案】（1）见解析 （2）相交 （3）14.5 【解析】 【分析】本题考查了网格作图，熟练掌握全等三角形的性质，平移性质，三角形面积公式，是解题的关键． （1）取格点，画直线，使得垂直； （2）画射线，与所在直线的位置关系是相交； （3）画线段，四边形的面积等于的正方形面积减去周围３个三角形面积． 【小问1详解】 解：取格点，画直线，使得垂直． 理由：如下图，∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：画射线，与所在直线的位置关系是相交， 理由：把线段平移到线段的位置， 则， ∵点H在外， ∴， ∴射线与直线在直线的右下方相交． 故答案为：相交． 【小问3详解】 解：画线段， ∵四边形在一个的正方形中， ∴四边形的面积为 ． 故答案为：14.5． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减运算（去括号、合并同类项）及代数式求值，解题的关键是正确去括号并合并同类项化简代数式． 先对代数式去括号、合并同类项进行化简，再将代入化简后的式子计算出结果． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 22. 如图，点，在线段上，点是线段的中点． （1）若，求线段的长度； （2）若，点是线段的中点吗？请说明理由． 【答案】（1） （2）点是线段的中点,理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了线段的计算，熟练掌握线段中点定义，线段的和差关系，是解题的关键． （1）根据中点定义得，由，即可求出结果； （2）由，可得，由中点定义，得，即得． 【小问1详解】 解：∵点是线段的中点，， ∴， ∵， ∴()． 【小问2详解】 解：点是线段的中点．理由： ∵， ∴， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴是线段的中点． 23. 已知代数式与 （1）试比较代数式与的大小关系； （2）当满足什么条件时，代数式的值大于的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查代数式的化简与大小比较，以及一元一次不等式的解法． （1）根据题意列出进行化简判断与0的大小关系即可判断代数式与的大小关系； （2）根据题意列出一元一次不等式，进行求解即可得到满足的条件． 【小问1详解】 解：， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵的值大于的值， ∴， ， ， ∴当满足时，代数式的值大于的值． 24. 如图，四边形中，是的延长线上一点，连接，交于点，． （1）试说明． 解：理由如下 因为与相交于点， 所以． 因为（已知）， 所以（__________）， 所以（__________）（同旁内角互补，两直线平行）， 所以（__________）． 请将以上说理过程补充完整． （2）若，是的角平分线，且，求的度数． 【答案】（1）对顶角相等，等量代换，，两直线平行，同位角相等 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线，熟练掌握平行线的性质和判定，是解题的关键． （1）根据对顶角的性质，等式性质，平行线判定和性质解答； （2）根据平行线的性质，得，得，得，得，根据角平分线性质得，即得答案． 【小问1详解】 解：理由如下： 因为与相交于点， 所以（对顶角相等）． 因为（已知）， 所以（等量代换）， 所以（同旁内角互补，两直线平行）， 所以（两直线平行，同位角相等）． 故答案为：对项角相等，等量代换，，两直线平行，同位角相等； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴． 25. 一家商场因换季将某种服装共50件打折销售，该服装的进价为每件200元，标价为每件360元． （1）每件服装按标价的七折出售时，每件服装的利润率是__________； （2）每件服装按标价的七折出售时，每件服装的利润是__________元； （3）商场打折销售时先将每件服装按标价的八折出售，售出部分后为尽快回笼资金，将剩余部分的服装每件按标价的五折出售，售完后共获利2240元，求按标价五折出售的服装的数量． 【答案】（1） （2）52 （3）按五折出售的服装数量为20件 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意是解决本题的关键． （1）依次算出七折的售价，单件利润，进而即可求解利润率； （2）由（1）即可求解； （3）设按五折出售的服装为件，则按八折出售的为件，再算出八折售价和相对应的单件利润；五折售价和相对应的单件利润，进而根据题意列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，七折售价：元， 单件利润：元， ∴利润率：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（1）得，单件利润为52元， 故答案为：52； 【小问3详解】 解：设按五折出售的服装为件，则按八折出售的为件． 由题意得，八折售价：元，则单件利润：元； 五折售价：元，则单件利润：元， 根据总利润列方程： 解得， 答：按五折出售的服装数量为20件． 26. 在数学中，数形结合思想通过将数与形相互转化、相互结合，把抽象的数量关系与直观的几何图形结合起来，从而使复杂问题简单化；抽象问题具体化． 如图1，一个边长为1的正方形，依次取正方形面积的，，，．通过观察图形可以发现，图1中阴影部分的面积为，进而得到． 如图2，按图1的方式依次取这个正方形面积的（是正整数）．类比图1．可以求的值． （1）直接写出的结果为__________（用含的式子表示）； （2）运用（1）发现的结论计算的值； （3）如图3，依次取这个正方形的面积的．类比图2求的值．（结果保留幂的形式） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的求和运算，解题的关键是运用数形结合思想，将分数和转化为几何图形的面积关系推导规律． （1）通过观察正方形面积的截取过程，利用“总面积剩余面积”，得出分数和为． （2）提取，将式子转化为含（1）中规律的形式，代入计算． （3）通过观察正方形面积的截取过程，利用“总面积剩余面积”，得出分数和为，可得，代入即可． 【小问1详解】 解：∵第1次截取后剩余， 第2次截取后剩余， 第3次截取后剩余， …， 第n次截取后剩余， ∴． 故答案为：； 【小问2详解】 解：将原式变形，提取， 得到． 根据（1）的结论，． ∴原式． 【小问3详解】 解：∵第1次截取后剩余， 第2次截取后剩余， 第3次截取后剩余， …， 第n次截取后剩余， ∴， ∵， ∴， ∴． 27. 点P，点A和点B均是数轴上的点，点P到点A的距离为，点P到点B的距离为，规定：若，其中表示与中较大的值，表示与中较小的值，则称点P为线段的“倍关联点”，例如：若点P表示的数为0，点A表示的数为，点B表示的数为1，此时，满足，则P是线段的 “3倍关联点”． （1）如图1，点A所表示的数为， ①若点B所表示的数为4，点P表示的数为，则k的值为　　　 ， ②若点P代表的数为0，P为线段的“3倍关联点”，求点B所表示的数； （2）已知点P为线段的“倍关联点”，若点P从数轴上表示的点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，点A从数轴上表示的点出发,以每秒2个单位长度的速度向右运动，点B从数轴上表示20的点出发,以每秒2个单位长度的速度向左运动，三个点同时运动，设运动的时间为t秒，求当t取何值时k的值最小，请直接写出t的取值． 【答案】（1）①；②或或或 （2）或 【解析】 【分析】（1）①先求出，即可求出，再由求解即可； ②设点表示的数为， ，，由题意得，整理得，，再分类讨论求解即可； （2）由题意得，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则，，，当且仅当时，取得最小值为1，再分类讨论求解即可． 【小问1详解】 解：①由题意得，， ∴， ∴； ②设点表示的数为， ∴，， ∵P为线段的“3倍关联点” ∴ 整理得，， 当时，则，解得； 当时，则，解得 综上：点B所表示的数为或或或； 【小问2详解】 解：由题意得，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ，， ∵ ， ∵， ∴， 当且仅当时，取得最小值为1， 或， 即或时的值最小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初一数学 （满分130分，时间120分钟） 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案用2B铅笔填涂在答题卡相应位置上． 1. 的倒数是（　　） A. B. C. D. 2026 2. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 把图中的纸片分别沿虚线折叠成一个几何体，则这个几何体的名称是（ ） A. 四棱柱 B. 四棱锥 C. 三棱柱 D. 三棱锥 4. 如图，小张同学将四边形沿虚线裁剪后，发现剩下的五边形的周长比原四边形的周长小．下列选项中能正确解释这一现象的是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 垂线段最短 D. 经过一点有无数条直线 5. 关于的不等式的解集如图所示，则的值为（ ） A. －2 B. 0 C. 2 D. 4 6. （九章算术）中有这样一道题：“今有程传委输，空车日行七十里，重车日行五十里．今载太仓粟输上林，五日三返．问：太仓去上林几何?”其大意为：驾马车在驿站间运送货物，空车一日行70里，重车一日行50里，现在从太仓运谷子到上林，五日往返3次．问：太仓距上林多少里?设太仓距上林里，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 图案设计是纺织品设计中的一个重要环节，“数”可以为纺织品图案的设计提供灵感．例如：．图1是将从上到下按蛇形排列填入方格内，然后用不同的图形“○”、“Δ”、“◇”、“□”、“☆”、“○”表示各个数字，最后将图形填入方格中所得到的图案．图2是利用某个循环小数的循环规律（不同的数字分别用不同的图形来表示），由内向外按某种顺序螺旋排列设计而成的一幅纺织品图案，则这个数可能是（ ） A. B. C. D. 8. 数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：数轴上表示数与3两点间的距离是．若．则的最大值为（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 9. 如图是某市1月1日的天气情况，则当天的温差（最高气温与最低气温的差）是__________． 10. 2025年江苏省城市足球联赛总决赛现场观看人数达到62300人．数据62300用科学记数法表示为__________． 11. 若一个角的补角是这个角的余角的4倍，那么这个角的度数为__________． 12. 若举例说明“如果，那么”的说法是错误的，则的值可以取__________．（写出一个的值即可） 13. 已知线段，延长线段至点，使得，点为线段中点，则的长度为__________． 14. 已知，则代数式的值为__________． 15. 光线从空气射入水中时，传播方向会发生改变，这就是折射现象．如图，，光线从空气射入水中时发生了折射，沿射到水底处，射线是光线的延长线，，若，，则的度数为__________． 16. 一副三角板如图摆放，边落在直线上，点、点在直线的上方，其中、、．现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时将三角板绕点以每秒5°的速度逆时针旋转，设旋转时间为秒，则当时，的值为_______． 三、解答题：本大题共11小题，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 19. 解方程：． 20. 如图．在正方形网格中，每个小方格的边长都为单位1，点在正方形网格的格点上．请按下述要求画图并回答问题： （1）确定一个格点，画直线，使得垂直； （2）画射线，则与所在直线的位置关系是：__________；（填“平行”或“相交”）； （3）画线段，则四边形的面积是__________． 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 如图，点，在线段上，点是线段的中点． （1）若，求线段的长度； （2）若，点是线段的中点吗？请说明理由． 23. 已知代数式与 （1）试比较代数式与的大小关系； （2）当满足什么条件时，代数式的值大于的值． 24. 如图，四边形中，是的延长线上一点，连接，交于点，． （1）试说明． 解：理由如下 因为与相交于点， 所以． 因为（已知）， 所以（__________）， 所以（__________）（同旁内角互补，两直线平行）， 所以（__________）． 请将以上说理过程补充完整． （2）若，是的角平分线，且，求的度数． 25. 一家商场因换季将某种服装共50件打折销售，该服装的进价为每件200元，标价为每件360元． （1）每件服装按标价的七折出售时，每件服装的利润率是__________； （2）每件服装按标价的七折出售时，每件服装的利润是__________元； （3）商场打折销售时先将每件服装按标价的八折出售，售出部分后为尽快回笼资金，将剩余部分的服装每件按标价的五折出售，售完后共获利2240元，求按标价五折出售的服装的数量． 26. 在数学中，数形结合思想通过将数与形相互转化、相互结合，把抽象的数量关系与直观的几何图形结合起来，从而使复杂问题简单化；抽象问题具体化． 如图1，一个边长为1的正方形，依次取正方形面积的，，，．通过观察图形可以发现，图1中阴影部分的面积为，进而得到． 如图2，按图1的方式依次取这个正方形面积的（是正整数）．类比图1．可以求的值． （1）直接写出的结果为__________（用含的式子表示）； （2）运用（1）发现的结论计算的值； （3）如图3，依次取这个正方形的面积的．类比图2求的值．（结果保留幂的形式） 27. 点P，点A和点B均是数轴上的点，点P到点A的距离为，点P到点B的距离为，规定：若，其中表示与中较大的值，表示与中较小的值，则称点P为线段的“倍关联点”，例如：若点P表示的数为0，点A表示的数为，点B表示的数为1，此时，满足，则P是线段的 “3倍关联点”． （1）如图1，点A所表示的数为， ①若点B所表示的数为4，点P表示的数为，则k的值为　　　 ， ②若点P代表的数为0，P为线段的“3倍关联点”，求点B所表示的数； （2）已知点P为线段的“倍关联点”，若点P从数轴上表示的点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，点A从数轴上表示的点出发,以每秒2个单位长度的速度向右运动，点B从数轴上表示20的点出发,以每秒2个单位长度的速度向左运动，三个点同时运动，设运动的时间为t秒，求当t取何值时k的值最小，请直接写出t的取值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $