甘肃临潭县第一中学2025-2026学年上学期2月份模拟卷高三数学

临潭县第一中学2025-2026学年上学期2月份模拟卷 高三 数学 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：高考所有内容 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．设复数满足，则的实部为（   ） A． B． C． D． 3．已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．一个将输入计算机的正整数“归零”的程序执行规则如下：按回车键，计算机等可能地用中的任意一个整数替换的值并输出替换后的值，重复以上操作，直到输出0后终止操作.若输入的初始值为3，终止操作时按回车键的次数为，则的数学期望为（    ） A． B． C． D． 5．已知，且，则（　　） A． B． C． D． 6．向量，且，则（     ） A． B． C． D． 7．已知分别为双曲线：的左、右焦点，为右支上的一点，线段与轴交于点为坐标原点，过点作，垂足为为线段上的一点，满足，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 8．若函数有极值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知某地近一周的最高气温如下：9，11，14，11，10，7，8（单位：），则（   ） A．这组数据的极差为7 B．这组数据的第40百分位数为8.5 C．这组数据的众数为11 D．这组数据的方差为 10．已知圆，抛物线的焦点为，为上一动点，当运动到点时，，直线与相交于，两点，则（   ） A． B．若为上一点，则最小值为1 C．若，则直线与圆相切 D．存在直线，使得，两点关于对称 11．若函数，则（   ） A．是奇函数 B．当在上单调递减时， C．当且仅当时，有两个不同的零点 D．当时，过原点可作图象的两条不同切线 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知等比数列的前n项和为，且，，则 ． 13．若正实数、满足，则的最小值为 ． 14．已知，若直线与曲线相切，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知是公差不为0的等差数列，，是和的等比中项． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 16．（15分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，,平面为棱上的点．    (1)当为棱的中点时，证明：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由． 17．（15分）某电商平台对其售卖的一款家电开展甲、乙两种促销活动，活动规则如下：参加活动的消费者只能在甲、乙两种活动中选择一个参加，且仅能参加一次，最多购买一台家电；活动甲设有4个不同的选择题、3个不同的填空题，活动乙设有3个不同的选择题、2个不同的填空题；参加活动的消费者在所选择的促销活动中先后抽取2个不同的题目作答，若两题都答对，则享受按2折购买的优惠，答对一题可享受按5折购买的优惠，全部答错只能享受按8折购买的优惠.小黄对该家电有购买需求，决定参加活动，其答对每道选择题的概率均为0.8，答对每道填空题的概率均为0.4，每次答题相互独立. (1)若小黄选择参加活动乙，求第二题抽到的题目是填空题的概率； (2)该款家电原价为a元/台，小黄应该选择参加甲、乙中的哪个活动？请说明理由. 18．（17分）已知椭圆：的焦距为，点在上． (1)求的方程． (2)直线与交于两点． （i）若线段的中点为，求直线的方程； （ii）在（i）的条件下，是椭圆上任意一点，求面积的最大值． 19．（17分）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在两个极值点，，且． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）已知函数有三个零点，分别记为，，，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 临潭县第一中学2025-2026学年上学期2月份模拟卷 高三 数学 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：高考所有内容 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的定义域求出集合，根据交集的运算即可求出答案. 【详解】令，解得，所以，又， 所以.故选：C. 2．设复数满足，则的实部为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由复数的乘法、除法运算，得到，即可求解. 【详解】由，得，则的实部为，故选：D 3．已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据线线、线面和面面的基本关系即可下结论. 【详解】如图，， 若，则与相交或异面，不一定垂直； 若，则不一定成立. 所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D 4．一个将输入计算机的正整数“归零”的程序执行规则如下：按回车键，计算机等可能地用中的任意一个整数替换的值并输出替换后的值，重复以上操作，直到输出0后终止操作.若输入的初始值为3，终止操作时按回车键的次数为，则的数学期望为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得出的所有可能取值，利用操作步骤求出对应概率可求出其期望值，可得结果. 【详解】易知的可能取值为1，2，3， 按一次输出数字0，； 按两次输出数字0，有两种情况，依次输出2，0或者1，0，故； 按三次出现数字0，即依次输出2，1，0，故. 所以，故选：A. 5．已知，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先逆用两角和的正弦公式可得的值，再根据同角三角函数的基本关系可得的值，最后利用倍角公式即可得解. 【详解】因为 ，又，所以， 所以． 故选：B. 6．向量，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，由可得，作出相应图象，结合图象利用二倍角公式计算即可求解. 【详解】设，则， 因为，所以， 即，即，所以． 如图，设，，，则，， 因为是等腰直角三角形， 设边中点为，则，所以边上的高，， 因为，所以三点共线，所以， 则，所以，， 所以．故选：C． 7．已知分别为双曲线：的左、右焦点，为右支上的一点，线段与轴交于点为坐标原点，过点作，垂足为为线段上的一点，满足，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得为的重心，为的中点．从而得，，进而得，在中，求得，在中，由余弦定理，得，即有解得，，即可得答案. 【详解】如图，设， 为的中点，； 为的重心，为的中点． 又．由双曲线的定义可知， ． 在中，． 在中，由余弦定理，得， 化简得或（舍去），． 故的渐近线方程为．故选：A. 8．若函数有极值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，得，将函数有极值问题转化为函数有极值问题，再求出导数，并按分类探讨导函数有无变号零点问题求解. 【详解】令，则，原函数化为，依题意，函数有极值， 求导得， 令，，求导得， 而，令，得， 当时，，则，得函数在上单调递减， 又时，；时，， 因此存在，使得，即函数，亦即函数存在极值； 当时，，由，得；由，得， 函数在上递减，在上递增，则， 设，求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，又，且时，， 则时，，此时函数，即无极值； 当时，，且时，；时，， 此时函数，即存在极值，所以的取值范围为.故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知某地近一周的最高气温如下：9，11，14，11，10，7，8（单位：），则（   ） A．这组数据的极差为7 B．这组数据的第40百分位数为8.5 C．这组数据的众数为11 D．这组数据的方差为 【答案】ACD 【分析】A选项，根据极差定义进行计算；B选项，根据百分位数的定义进行计算；C选项，根据众数的定义进行计算；D选项，计算出平均数，进而求出方差. 【详解】A选项，极差为，故A正确； B选项，，故从小到大，选择第3个数据作为数据的第40百分位数，即第40百分位数为9，故B错误； C选项，11出现了2次，其他数均出现了1次，故11为众数，故C正确； D选项，平均数为，故方差为，故D正确；故选：ACD 10．已知圆，抛物线的焦点为，为上一动点，当运动到点时，，直线与相交于，两点，则（   ） A． B．若为上一点，则最小值为1 C．若，则直线与圆相切 D．存在直线，使得，两点关于对称 【答案】AC 【分析】根据焦半径公式求得判断A，设，利用二次函数性质求得最小值为4，进而利用圆的性质求得最小值为判断B，求出直线的方程，然后利用圆心到直线的距离等于半径判断C，设，与抛物线方程联立，利用韦达定理求出中点坐标，代入求出，与判断D. 【详解】因为当运动到点时，，所以，故A正确； 抛物线，其焦点，圆的圆心，半径为， 设，则，即最小值为4， 所以最小值为，故B错误； 若，由B选项可知，则，故直线的方程为， 因为圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相切，故C正确； 假设存在直线使得，两点关于对称， 设，由，消得到，即， 则，解得，又，， 则，解得，与矛盾，不符合题意，故D错误.故选：AC. 11．若函数，则（   ） A．是奇函数 B．当在上单调递减时， C．当且仅当时，有两个不同的零点 D．当时，过原点可作图象的两条不同切线 【答案】ABD 【分析】代入得，根据解析式可直接判断A；求导，根据导数得单调性可判断B；根据三次函数性质结合极值可判断C；根据导数的几何意义求得切线方程，由题意列式计算可判断D. 【详解】对于A，， 所以是奇函数，所以A正确； 对于B，， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 当在上单调递减时，，所以，所以B正确； 对于C，由上可知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以的极大值为，的极小值为， 若有两个不同的零点，则或，所以C错误； 对于D，当时，， 设在处的切线斜率为，切点为， 则，所以切线方程为， 当切线过原点时，，解得或3，所以D正确． 故选：ABD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知等比数列的前n项和为，且，，则 ． 【答案】121 【分析】求出公比和首项，利用等比数列求和公式求出答案. 【详解】设公比为，故，解得，所以， 故.故答案为：121 13．若正实数、满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据对数的运算公式，求出实数、满足的等量关系，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】由题意得，可得， 由对数性质可知，根据基本不等式可知，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为4.故答案为：4. 14．已知，若直线与曲线相切，则 . 【答案】 【分析】求导，根据导数的意义及切点在切线和曲线上列方程组求解可得. 【详解】由得， 设直线与曲线相切于点，则，解得， 代入，可得.故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知是公差不为0的等差数列，，是和的等比中项． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意，得到和，联立求得的值，即可求得的通项公式； （2）由（1）知，得到，结合裂项法求和，即可求解. 【详解】（1）解：设等差数列的公差为，因为，可得， 又因为是和的等比中项，可得，即，即， 因为，所以，代入，可得， 所以，所以数列的通项公式为. （2）解：由（1）知：，可得， 所以. 16．（15分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，,平面为棱上的点．    (1)当为棱的中点时，证明：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点为棱上靠近点的三等分点. 【分析】（1）取棱的中点，连接，证明四边形为平行四边形，得，再由线面平行的判定定理即可得证； （2）如图建系，取线段的中点为，连接，易得平面，可得平面的一个法向量，设，根据点的坐标求出平面的一个法向量，利用空间向量的夹角公式列出方程求解即得. 【详解】（1）如图1，取棱的中点，连接，因为棱的中点，则． 又因为， 所以，则四边形为平行四边形，所以． 又因为平面平面，所以平面. （2）如图2，以点为坐标原点，分别以所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则． 则， 取线段的中点为，连接.因平面，平面，则， 又，则，因，平面，则平面， 因，则，可取平面的一个法向量为. 假设在棱上存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为， 设，则. 设为平面的一个法向量， 则，故可取. 设平面与平面的夹角为， 则． 解得（舍）或. 此时点为棱上靠近点的三等分点.    17．（15分）某电商平台对其售卖的一款家电开展甲、乙两种促销活动，活动规则如下：参加活动的消费者只能在甲、乙两种活动中选择一个参加，且仅能参加一次，最多购买一台家电；活动甲设有4个不同的选择题、3个不同的填空题，活动乙设有3个不同的选择题、2个不同的填空题；参加活动的消费者在所选择的促销活动中先后抽取2个不同的题目作答，若两题都答对，则享受按2折购买的优惠，答对一题可享受按5折购买的优惠，全部答错只能享受按8折购买的优惠.小黄对该家电有购买需求，决定参加活动，其答对每道选择题的概率均为0.8，答对每道填空题的概率均为0.4，每次答题相互独立. (1)若小黄选择参加活动乙，求第二题抽到的题目是填空题的概率； (2)该款家电原价为a元/台，小黄应该选择参加甲、乙中的哪个活动？请说明理由. 【答案】(1) (2)应该选择参加乙活动，理由见解析 【分析】（1）结合题意，分第1题抽到选择题、第1题抽到填空题两种情况求解即可； （2）分别求出小黄参加甲、乙活动花费金额的数学期望，进而判断即可. 【详解】（1）由题意，小黄第1题抽到选择题的概率为，第1题抽到填空题的概率为， 则小黄第二题抽到的题目是填空题的概率为. （2）由题意，小黄答对每道选择题的概率均为，答对每道填空题的概率均为， 若小黄选择参加甲活动，设答对题目数为，则的可能取值为， 所以， ， ， 则小黄参加甲活动花费金额的数学期望为； 若小黄选择参加乙活动，设答对题目数为，则的可能取值为， 所以， ， ， 则小黄参加乙活动花费金额的数学期望为. 由于，所以小黄应该选择参加乙活动. 18．（17分）已知椭圆：的焦距为，点在上． (1)求的方程． (2)直线与交于两点． （i）若线段的中点为，求直线的方程； （ii）在（i）的条件下，是椭圆上任意一点，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）方法一：由椭圆的定义以及即可求解； 方法二：将点代入椭圆方程以及求解即可. （2）（i）设，，求解线段的中点，利用点差法求解即可. （ii）方法一：直线与椭圆方程联立，通过参数方程求解点到直线的距离，求解即可. 方法二：直线与椭圆方程联立，再由直线平行，点到直线的距离的最大值就是平行线间的距离，求解即可. 【详解】（1）方法一： 由题意知，，即，设椭圆的左、右焦点分别为， 则．因为，所以， 解得，又因为，所以.所以椭圆的方程为. 方法二： 由题意知，，即，因为点在椭圆上，所以，又因为，所以， 所以，即，化简得或（舍去），所以，所以，所以椭圆的方程为. （2）（i）设，， 因为线段的中点为，所以， ，因为，两点在椭圆上，所以 所以，所以，所以， 所以直线的方程为. （ii）方法一： 直线的方程为，联立 化简得，. 所以. 设，则点到直线的距离 其中，当时，取最大值，此时， 所以面积的最大值为. 方法二： 直线的方程为， 设与直线平行，且与椭圆相切的直线的方程为， 联立化简得，，解得， 当时，直线与直线的距离更大，此时，切点就是椭圆上到直线距离最大的点， 点到直线的距离的最大值就是平行线间的距离， 联立化简得，则， 所以，， 所以面积的最大值为 19．（17分）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在两个极值点，，且． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）已知函数有三个零点，分别记为，，，证明：． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）根据条件，利用导数的几何意义求出函数在点处切线的斜率，再由直线的点斜式，即可求解； （2）（i）根据条件，将问题转化成存在两个变号零点，，利用导数，分和两种情况，分别求出函数的单调区间，再结合条件，即可求解；（ii）利用（i）中结果，结合条件可得，从而将问题转化成证明，构造及，，利用导数与函数单调性间的关系可得，再由的单调性，即可求解. 【详解】（1）当时，，则，所以， 又，故函数在点处切线方程为． （2）（ⅰ）因为，恒成立，令， 由题知存在两个极值点，，等价于存在两个变号零点，． 因为，则当时，，单调递增，此时最多一个零点，不合题意； 当时，令，得， 当时，，在区间上单调递增， 当时，，在区间上单调递减， 由题意得，解得， 当时，因为，， 由零点存在性原理及函数的单调性知，当时，存在唯一，使得， 令，则，当时，，当时，， 即在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，即，当且仅当时取等号， 则，所以当时，， 则当时，，所以， 由零点存在性原理及函数的单调性知，当时，存在唯一，使得， 综上所述，实数的取值范围为． （ⅱ）由（2）知在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，且， 又，不妨设，显然， 又，且， 则，即，所以， 则要证，只需证． 因为存在两个变号零点，，所以，得到， 令，则，又， 所以在上单调递增，在上单调递减，且有， 构造函数，， 因为，所以在上单调递增， 又，所以，即， 所以， 又因为，，且在上单调递减， 则，所以， 又因为在上单调递增，所以， 故． 学科网（北京）股份有限公司 $临潭县第一中学2025-2026学年上学期2月份模拟卷 高三数学 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：高考所有内容 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A={x2<x≤2}，B={x∈Z=log,(c+1},则A∩B=() A.{-2,-1,0,1,2}B.{-1,0,1,2} C.{0,1,2} D.{0, 2.设复数z满足(1+i1)=(1-2i)i,则z的实部为() A月 B月 C. 3 D. 3.已知，n是两条不重合的直线，必，B是两个不重合的平面，且∥o,n/∥B,则&⊥B, 是“mln”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.一个将输入计算机的正整数“归零的程序执行规则如下：按回车键，计算机等可能地 用[0，n)中的任意一个整数替换n的值并输出替换后的n值，重复以上操作，直到输出0后终 止操作若输入的初始值为3，终止操作时按回车键的次数为X,则X的数学期望为() A.1 6 B.3 6 c.3 7 p. 5 5.已知a∈ 且m6asa-月-csn(B-a)-手，则2+cos2:() sin2a A月 6.向量=V2=√2，且a+b+c=0,则sim(a-c,6-c=() A B. 5 7已知，马分别为风曲线C:若若-a0,bs0)的左、右焦点，P为C右支上的 点，线段PR与y轴交于点A,131吼O为坐标原点，过点月作FBL PE.,垂足为B,Q 4 为线段BR上的一点，满足O2=Q,则C的渐近线方程为(） 2 A.y=±V3x B.y=±V2x C.y=+2x D.y=土x 8.若函数fw=eln(I+S)有极值，则实数a的取值范围是() A.(-n,0)U(e,+w) B.(-o,-e)U(0,+w) C.(-0,-e) D.(e,+0) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全鄗选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知某地近一周的最高气温如下：9,11,14,11,10,7,8（单位：℃），则() A.这组数据的极差为7 B.这组数据的第40百分位数为8.5 C.这组数据的众数为11 D。这组数祸的方差为号 10.己知圆C:(x-5)2+y2=12,抛物线E:y2=2px(D>0)的焦点为F,P为E上一动点， 当P运动到点Q,)时，|PF=2,直线1与E相交于A,B两点，则() A.p=2 B.若M为C上一点，则PM最小值为1 C.若|PC=4,则直线PF与圆C相切 D.存在直线I,使得A,B两点关于x+y-3=0对称 1.若司数f)=-2+3+e-引则《) A.g(x)=f(x+2)-c是奇函数 B.当f(x)在[a,a+d]上单调递减时，0<d≤2 C.当且仅当c号时，fy有两个不同的零点 D.当c-号时，过原点0可作f()图象的两条不同切线 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分： 12.己知等比数列{a}的前n项和为Sn,且a2=3,a=81,则S,= 13.若正实数x、y满足log2x+log2y=1,则x+2y的最小值为 14.已知a,b∈R,若直线y=x-b与曲线y=e+a相切，则a+b= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)已知{a}是公差不为0的等差数列，4=5，a2是a,和a的等比中项. (1)求{a}的通项公式： 2记=，求数列}的前n项和S. a.d 16.（15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD, AD/IBC,AD=AP=2,AB=BC=1,PA⊥平面ABC,E为棱PD上的点. A% D 2 (1)当E为棱PD的中点时，证明：EC1/平面PAB; (2)在棱PD上是否存在点五，使得平面PAC与平面AC的夹角的余弦值为5？若存在，请 3 确定点E的位置；若不存在，请说明理由. 17.(15分)某电商平台对其售卖的一款家电开展甲、乙两种促销活动，活动规则如下：参 加活动的消费者只能在甲、乙两种活动中选择一个参加，且仅能参加一次，最多购买一台家 电；活动甲设有4个不同的选择题、3个不同的填空题，活动乙设有3个不同的选择题、2 个不同的填空题；参加活动的消费者在所选择的促销活动中先后抽取2个不同的题目作答， 若两题都答对，则享受按2折购买的优惠，答对一题可享受按5折购买的优惠，全部答错只 能享受按8折购买的优惠小黄对该家电有购买需求，决定参加活动，其答对每道选择题的 概率均为0.8，答对每道填空题的概率均为0.4，每次答题相互独立 (1)若小黄选择参加活动乙，求第二题抽到的题目是填空题的概率： (2)该款家电原价为α元/台，小黄应该选择参加甲、乙中的哪个活动？请说明理由. 8(17分)已知椭圆C:+a>b>0)的焦距为2W3,点M(21)在C上 (1)求C的方程. (2)直线1与C交于A,B两点 ()若线段AB的中点为T 21 33 求直线AB的方程： (ii)在(i)的条件下，P是椭圆上任意一点，求△ABP面积的最大值. 19.(17分)已知函数f(x)=xe-a(e2x-1),aeR. (1)当a=0时，求曲线f(x)在点(0，f(0)处的切线方程； (2)若f(x)存在两个极值点m,n,且m<n. (i)求实数a的取值范围： (i)己知函数∫(x)有三个零点，分别记为x,x2,x,证明：f(m+)>∫(：+x2+x)临潭县第一中学2025-2026学年上学期2月份模拟卷 高三 数学 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：高考所有内容 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A={x2<x≤2}，B=x∈Zy=log2(x+1},则A∩B=() A.{-2,-1,0,1,2}B.{-1,0,1,2} C.0,1,2} D.0, 【答案】C 【分析】根据对数函数的定义域求出集合B,根据交集的运算即可求出答案 【详解】令x+1>0,解得x>-1,所以B={x∈Zx>-1,又A={x2<x≤2}， 所以A∩B={0,1,2}.故选：C 2.设复数z满足(1+i)==(1-2i)i,则z的实部为() A月 B.3 c. D. 【答案】D 【分析】由复数的乘法、除法运算，得到z,即可求解 【详解】由0+)：=1-2i,得：=-i00-21i31 1+)1-1)22则z的实部为之：故选：D 3.己知m,n是两条不重合的直线，a,B是两个不重合的平面，且m/∥a,/∥B,则“a⊥B” 是“mln”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】D a 【分析】根据线线、线面和面面的基本关系即可下结论， 【详解】如图，n/1a,n/1B, m 若⊥B,则m与n相交或异面，不一定垂直； 若m⊥n,则a⊥B不一定成立 所以“a⊥B”是“m⊥n”的既不充分也不必要条件.故选：D 4.一个将输入计算机的正整数“归零”的程序执行规则如下：按回车键，计算机等可能地 用[0，n)中的任意一个整数替换n的值并输出替换后的n值，重复以上操作，直到输出0后终 止操作若输入的初始值为3，终止操作时按回车键的次数为X,则X的数学期望为() A君 13 7 5 B. D. 6 3 2 【答案】A 【分析】根据题意得出X的所有可能取值，利用操作步骤求出对应概率可求出其期望值， 可得结果 【详解】易知X的可能取值为1,2,3， 校-次箱出数字0P(不=)-片： 按两次输出数字0，有两种情况，依次输出2,0或者1,0，故P(x=2)×1+×号 32-29 按三次出现数字0，即依次输出2,1,0，故P(x=3)=×x1= 32 6 1 111 所以(X)×3+2x1+3x全 2 66,故选：A 4 5.已知a∈ ,U，且sin Bcos(a-E)-cosBsin(B-a)5,则+cos2a sin2a 4 A.-3 B. C. 3 D. 4 4 【答案】B 【分析】先逆用两角和的正弦公式可得siα的值，再根据同角三角函数的基本关系可得cosa 的值，最后利用倍角公式即可得解 【详解】因为sinBcos(a-B)-cosBsin(B-a)=sinBcos(a-B)+cosBsin(a-B) =sm[p+(a-pma=行又ae（经，所以-aa-号 所以l+cos2a 2cos'a cosa 3 sin2a 2sinacosa sina 4 故选：B 6.向量=2-25，且a+6+c=0,则sin(a-,五-c)=() 1 A.5 3 B C. D 5 【答案】C 【分析】设d==1,则=√2，由a+6+c=0可得a6=0,作出相应图象，结合图象 利用二倍角公式计算即可求解 【详解】设d==1,则=V2, 因为a+6+c=0,所以a+b=-&, a-c b-c 即a++2a6=c2,即1+1+2个b22,所以a6:0. 如图，设aA=a,OB=五，oc=c,则OA=o=1,od=V2, D 因为△OAB是等腰直角三角形， 设AB边中点为D,则OD1AB,所以AB边上的高OD= ，AD② 因为i+方=20苏=-E,所以C,0,D三点共线，所以cD=c0+0D=2+5_32 22 则m4C0=品-片所以o4cDam4cD 1 10 所以si血a-c,6-c=sin∠ACB=sm2∠ACD=2sin∠ACD.cos∠ACD=2xx3=3 005故选：c. Z已知R,R分别为双曲线C::Q>0,b>0)的左、右焦点，P为C右支上的 点，线段PR与y轴交于点41-专4,0为坐标原点，过点R作B1PR,垂足为BQ 为线段BR上的一点，满足0项-亚，则C的渐近线方程为() A.y=±V3x B.y=±V2x C.y=±2x D.y=土x 【答案】A 【分析】由题意可得O为△PFE的重心，B为PE的中点.从而得P=FF引=2c, PA=2c-2a,进面得4-hM叫-号，在Rt&QAR中，求得cs∠A0名在6PRR 中，由余骇定理，得cos∠RrP-(2+(2-(2c-201,即有c-&c+4r=0,解得 2.2c.2c 8 c=2a,b=√3a,即可得答案 【详解】如图，设耳(-c,0),F(c,0), :O为耳F的中点，Pg=2Og: ·O为△PFE的重心，B为PF的中点. 又耳B⊥PE,P=F=2c.由双曲线的定义可知，P-PF=2a, :.PR=2c-2a Ah-A-号 coS∠AFO= c 7 在RtAOAF中， 8=8. 在aP月中，由余弦定理，得cos∠RFP-2c+(2e'-(2c-27 2.2c.2c 化简得3c-8ac+4r=0,c=2a或c=2a(舍去)，b=5a 3 b 故C的渐近线方程为y=±x=士V3x.故选：A a 8.若函数f)=elna+有极值，则实数a的取值范围是（) 01 A.(-n,0)U(e,+m) B.(-0,-eU(0,+0） C.(-0,-e) D.(e,+w) 【答案】A 【分析】令-t,得g0)=ent+1),将函数f(x)有极值问题转化为函数g()有极值问题， 再求出导数，并按a<0,a>0分类探讨导函数有无变号零点问题求解 【详解】令'=t,则x=ad,a≠0，原函数化为g0)=ehnt+1),依题意，函数g(回有极值， 求号得g0eae+e1aD 令0=++六1词求号释00 而a≠0，令p0=0,得1=1-1， a 当a<0时，t=上-1<-1，则0<0，得函数)在（←1，+）上单调递减， a 又t→-1时，p()→+0；t→+o时，p(t)→-0， 因此存在t。∈(-1，+∞)，使得p(t)=0,即函数g(t),亦即函数f(x)存在极值： 当a>0时，1.11，由00，得1<1日1：由90>0，得11 a 函数0在(-1})上递减，在合1，+ow)上递增，则p0=p-)=a-aha, 设h(d=a-ana,a>0,求导得h'(a)=-lna,当0<a<l时，l(a)>0;当a>l时，h'(a)<0, 函数h(d在(0,1)上单调递增，在L,+∞)上单调递减，又h(e)=0,且0<a<1时，pt)mm>0, 则0<a≤e时，pt)ma≥0，此时函数gt),即f(x)无极值； 当a>e时，p(t)mn<0,且t→-1时，p)→+oo;t→+on时，p()→+n, 此时函数g(t),即f(x)存在极值，所以a的取值范围为(-n,0)U(e,+o).故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知某地近一周的最高气温如下：9,11,14,11,10,7,8（单位：℃），则() A.这组数据的极差为7 B.这组数据的第40百分位数为8.5 C.这组数据的众数为11 D.这组数祸的方差为号 【答案】ACD 【分析】A选项，根据极差定义进行计算：B选项，根据百分位数的定义进行计算：C选项， 根据众数的定义进行计算；D选项，计算出平均数，进而求出方差 【详解】A选项，极差为14-7=7，故A正确： B选项，40%×7=2.8，故从小到大，选择第3个数据作为数据的第40百分位数，即第40 百分位数为9，故B错误： C选项，11出现了2次，其他数均出现了1次，故11为众数，故C正确： D选项，平均数为7+8+9+10+11+1+14=10，故方差为 -10+8-102+9-10+10-10+2×1-10旷+0410_2，故D正确：故选：ACD 7 10.己知圆C:(x-5)2+y2=12,抛物线E:y2=2px(D>0)的焦点为F,P为E上一动点， 当P运动到点Q,t)时，|PF=2,直线l与E相交于A,B两点，则() A.p=2 B.若M为C上一点，则|PM|最小值为1 C.若|PC=4,则直线PF与圆C相切 D.存在直线1，使得A,B两点关于x+y-3=0对称 【答案】AC 【分析】根据焦半径公式求得p=2判断A,设P 41 利用二次函数性质求得引PC最小 值为4，进而利用圆的性质求得引PM|最小值为4-2√3判断B,求出直线PF的方程，然后 利用圆心到直线的距离等于半径判断C,设：x-y+=0,与抛物线方程联立，利用韦达 定理求出中点坐标，代入x+y-3=0求出m=1,与△>0判断D 【详解】因为当P运动到点Q0时，PF-1+号-2，所以p-2,故A正确： 抛物线E:y2=4x,其焦点F(1,0),圆C:(x-5)2+y2=12的圆心C(5,0),半径为r=25, 设行，则-+f-层r-1g64即最小值为4 所以|PM1最小值为4-2√5，故B错误： 若1PC上4，由B选项可知t2=12,则P3,士2W3),故直线PF的方程为y=±V3(x-1), 因为圆心C(5,O)到直线PF的距离为d= ±V3(5-1)儿 =25=r, V1+3 所以直线PF与圆C相切，故C正确： 假设存在直线1使得A,B两点关于x+y-3=0对称， x-y+m=0 设l:x-y+m=0,由 y2=4x ，消x得到y=4(y-m),即y2-4y+4=0. 则△=16-16m>0,解得m<1,又y+2=4,+x2=片-m+2-m=4-2m, 则4-2+3=0，解得m=1,与m<1矛盾，不符合题意故D错误故选：AC 22 1.若函数d)-写-2+3x+0则（） 2 A.8(x)=f(x+2)-c是奇函数 B.当f(x)在[a,a+d]上单调递减时，0<d≤2 C.当且仅当c=二时，f(w)有两个不同的零点 D.当c=时，过原点O可作f(0图象的两条不同切线 【答案】ABD 【分析】代入得g(x),根据解析式可直接判断A;求导，根据导数得单调性可判断B:根 据三次函数性质结合极值可判断C:根据导数的几何意义求得切线方程，由题意列式计算可 判断D. 【详解】对于A,f)=(x-2-(x-2)+c, 所以&()=(+2)-c-背式-x是奇函数，所以A正确 对于B,f'(x)=x2-4x+3=(x-1)(x-3), 当x∈[1,3]时，f'(x)≤0，所以f(x)在[卫，3]上单调递减， 当x∈(-o,1)(3,+∞)时，f(x)>0,所以f(y)在(-∞，1)，(3，+∞)上单调递增， 当f(x)在[a,a+d]上单调递减时，[a,a+d[1,3],所以0<d≤2，所以B正确： 对于C,由上可知，∫()在(-o,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3，+∞)上单调递增， 所以9的极大值为0=c+子fe)的极小值为/3)=c-号” 2 若有两个不同的零点，则c=号或号所以C错误： 3 对于D,当c时，f)吉-2x4()=x-4x+3, 设f(x)在x=a处的切线斜率为k,切点为(a,f(a), 则东-fa=a-4a+3,所以切线方程为y30-2x+刘（口-4a+3c-a, 当切线过原点时。 行a-2n+3a=(d-4a+3-a,解得a=0或3，所以D正确。 故选：ABD. 第二部分（非选择题共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知等比数列{a}的前n项和为Sn,且a=3,a=81,则S= 【答案】121 【分析】求出公比和首项，利用等比数列求和公式求出答案 详解】设公比为g,故g=及=8127，解得q=3,所以4=二=1， a 3 故g= a(1-q)1-3 =121.故答案为：121 1-q 1-3 13.若正实数x、y满足10g2x+l0g2y=1,则x+2y的最小值为 【答案】4 【分析】根据对数的运算公式，求出实数x、y满足的等量关系，再利用基本不等式求出最 小值 【详解】由题意得log2x+log2y=l0g2y=1，,可得xy=2, 由对数性质可知x>0,y>0,根据基本不等式可知x+2y≥2Vx.2y=4,当且仅当x=2y, 即x=2,y=1时，等号成立，所以x+2y的最小值为4.故答案为：4 14.己知a,b∈R,若直线y=x-b与曲线y=e+a相切，则a+b= 【答案】-1 【分析】求导，根据导数的意义及切点在切线和曲线上列方程组求解可得。 【详解】由y=ex+a得y=et", 「eoa=1 设直线y=x-b与曲线y=e+“相切于点(o,),则以=eo加，解得x,=-a,火=1， =x。-b 代入。=x。-b,可得a+b=-1.故答案为：-1. 四、解答题：本题共5小题。共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)已知{a}是公差不为0的等差数列，4=5，a2是a和4的等比中项. (1)求{a}的通项公式： (2)记6=1 -,求数列bn}的前n项和Sn ad 【答案】(1)4.=21-1 Q21+1 【分析】(1)设等差数列{a}的公差为d(d≠o),根据题意，得到a+2d=5和d=2a,联 立求得a,d的值，即可求得{a}的通项公式： ②)南少知a=2n-山，得到6ad22, 结合裂项法求和，即可求解 【详解】(1)解：设等差数列{a}的公差为d(d≠0)，因为4=5，可得4+2d=5, 又因为4是a和a的等比中项，可得a=44,即(g+d)2=a(a+4d),即d2=2a,d, 因为d≠0，所以d=2a,代入a+2d=5,可得a1=1,d=2, 所以an=1+(n-1)×2=2n-1,所以数列{a}的通项公式为a.=21-1. (2)解：由(1)知：a=21-1,可得=，1 1 11-1), aa+1(2n-1)(2n+1)22n-12n+1 所以8=4点++60月兮为为)0点州 16.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD, AD//BC,AD=AP=2,AB=BC=1,PA⊥平面ABC,E为棱PD上的点. B (1)当E为棱PD的中点时，证明：EC/平面PAB; (Q在棱PD上是否存在点B,使得平面PAC与平面E4C的夹角的余弦值为5？若存在，请 3 确定点E的位置；若不存在，请说明理由 【答案】(1)证明见解析 (②)存在，点E为棱PD上靠近点D的三等分点， 【分析】(1)取棱PA的中点Q,连接EQ,BQ,证明四边形QBCE为平行四边形，得EC/1QB, 再由线面平行的判定定理即可得证： (2)如图建系，取线段AC的中点为F,连接BF,易得BF⊥平面PAC,，可得平面PAC的 个法向量，设PE=PD(0≤1≤1)，根据点的坐标求出平面EAC的一个法向量，利用空间 向量的夹角公式列出方程求解即得 【详解】(1)如图1，取棱PA的中点2，连接EQ,B2,因E为棱PD的中点，则 OEIIAD.OE-AD 1 又因为BC1AD,BC=AD, 所以QE/BC,QE=BC,则四边形QBCE为平行四边形，所以EC/1QB. 又因为OBC平面PAB,EC丈平面PAB,所以ECII平面PAB (2)如图2，以点A为坐标原点，分别以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角 坐标系， 则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,0,2),D(0,2,0) 则AC=(1,1,0),AP=(0,0,2）,PD=(0,2,-2, 取线段AC的中点为F,连接BF.因PA⊥平面ABC，,BFC平面ABC,则PAL BF, 又AB=BC,则BF⊥AC,因PAOAC=A,PA,ACC平面PAC,则BF⊥平面PAC, 可取平面PAC的一个法向量为m=2BF=（-1,1,0). 假设在棱PD上存在点B,使得平面PAC与平面AC的夹角的余弦值为V 3 设PE=PD(0≤1≤1)，则AE=AP+PE=(0,2元，2-22). 设i=(x,y,)为平面EAC的一个法向量， mA正=2y+2-22归=0，故可取i=(2-11-元-) 则 iAC=x+y=0 设平面PAC与平面EAC的夹角为B, m.n 1-+1-元 则cos0= 网凤 2V2-1)'+1-2+22 3 2 解得入=2（舍）或1= 3 此时点E为棱PD上靠近点D的三等分点 A 图1 图2 17.(15分)某电商平台对其售卖的一款家电开展甲、乙两种促销活动，活动规则如下：参 加活动的消费者只能在甲、乙两种活动中选择一个参加，且仅能参加一次，最多购买一台家 电；活动甲设有4个不同的选择题、3个不同的填空题，活动乙设有3个不同的选择题、2 个不同的填空题；参加活动的消费者在所选择的促销活动中先后抽取2个不同的题目作答，