第28章锐角三角函数（章节测试）2025-2026学年人教版数学九年级下册

第28章锐角三角函数（章节测试）2025-2026学年人教版数学九年级下册 一、单选题 1．在中，AC是斜边，若，则AC的长为（　　） A． B． C． D． 2．如图，点为边上的任意一点，作于点，于点，下列用线段比表示的值，正确的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，一辆小车沿倾斜角为 的斜坡向上行驶13m，若 ，则小车上升的高度是（　　） A．4米 B．5米 C．6米 D．12米 4．如图，河坝横断面迎水坡的坡度是，坡面，则坝高的长度是（　　） A． B． C． D． 5．如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD=（　　） A． B． C． D． 6．如图，在矩形中，，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么的值是（　　） A． B． C． D． 7．如图，为了测量河两岸A、B两点间的距离，只需在与垂直方向的点C处测得垂线段米，若，那么等于（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 8．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=43°，BC=8，若用科学计算器求AC的长，则下列按键顺序正确的是（　　） A． B． C． D． 9．如图，在矩形中，，，P是上一个动点，过点P作，垂足为G，连接，取中点E，连接，则线段的最小值为（　　） A． B． C．3 D． 10．到目前为止，勾股定理的证明已超过400种，其中一种简洁易懂方法叫做“常春证法”，即利用面积分割法证得．如图，已知，，边ED和CD分别与AB交于点F和点G，连接CF．若△ABD的面积为7，且，则FD的值为（　　） A． B．3 C． D． 二、填空题 11．如果 ，那么锐角 　 　°． 12．在△ABC中，（2sinA﹣1）2+=0，则△ABC的形状为　 　 13．在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b分别是∠A、∠B的对边，如果sinA：sinB=2：3，那么a：b等于　 　． 14．某河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡比是，则的长为　 　． 15．如图，正方形和中，，将正方形绕顶点从和重合开始逆时针旋转角度（），即．连接、、，当为直角三角形时，的长为　 　． 16．如图所示，，半径为的圆内切于．为圆上一动点，过点作、分别垂直于的两边，垂足为、，则的取值范围为 　 　． 17．如图，已知矩形ABCD，AB=，BC=3，点P是在直线AB的右侧的一动点，且∠APB=60°，CE=-3．点P到直线AB距离的最大值是　 　；PE的最小值是　 　 三、解答题 18．先化简，再求值：（1+ ）÷ ，其中x=4﹣tan45°． 19．已知在中，，、、分别为、、所对的边，根据下列条件解直角三角形． （1）已知，，求； （2）已知，，求和． 20．如图，在中，，，，点D是边上一点，连接，且．求的长． 21．一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点处测得左边水平地面上某汽车的顶端点的俯角为，同一时刻测得右边某建筑物顶端点的俯角为，已知建筑物的高度米，汽车的高度米，汽车与建筑物的距离为30米，求无人机飞行的高度．（结果精确到1米，参考数据：，． 22．某市为了加快5G网络信号覆盖，在市区附近小山顶架设信号发射塔，如图，山顶上有一个信号塔 ，已知信号塔高 米，在山脚下点 处测得塔底 的仰角 ，塔顶 的仰角 ，求山高 （点 ， ， 在同一条竖直线上）.（参考数据： ， ， .） 23．如图所示，某施工队要测量隧道长度BC，AD＝600米，AD⊥BC，施工队站在点D处看向B，测得仰角为45°，再由D走到E处测量，DE∥AC，ED＝500米，从点E看向点C，测得仰角为53°，求隧道BC长．（sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）．. 24．在平面直角坐标系中，对于线段AB与直线，给出如下定义：若线段AB关于直线l的对称线段为(，分别为点A，B的对应点)，则称线段为线段AB的“关联线段”． 已知点，． （1）线段为线段AB的“关联线段”，点的坐标为，则的长为______，b的值为______； （2）线段为线段AB的“关联线段”，直线经过点，若点，都在直线上，连接，求的度数； （3）点，，线段为线段AB的“关联线段”，且当b取某个值时，一定存在k使得线段与线段PQ有公共点，直接写出b的取值范围． 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：在中，AC是斜边， ， ， ， ， ， 故答案为：B． 【分析】先求出，再利用解直角三角形的方法求出即可。 2．【答案】C 【解析】【解答】解：在中，；在中，． 故答案为：C． 【分析】根据正弦函数的定义可得，，继而判断即可. 3．【答案】B 【解析】【解答】解：设小车上升的高度是xm， ∵sinα ， ∴ ， 解得：x=5. 故答案为：B. 【分析】根据正弦的定义列式计算，得出答案. 4．【答案】C 5．【答案】D 【解析】【解答】解：∵D（0，3），C（4，0）， ∴OD=3，OC=4， ∵∠COD=90°， ∴CD= =5， 连接CD，如图所示： ∵∠OBD=∠OCD， ∴sin∠OBD=sin∠OCD= ． 故选：D． 【分析】连接CD，可得出∠OBD=∠OCD，根据点D（0，3），C（4，0），得OD=3，OC=4，由勾股定理得出CD=5，再在直角三角形中得出利用三角函数求出sin∠OBD即可．本题考查了圆周角定理，勾股定理、以及锐角三角函数的定义；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键． 6．【答案】C 7．【答案】D 【解析】【解答】解：由题可知，，， ∴， ∴米； 故答案为：D． 【分析】正切等于对边与邻边的比值，据此求解； 8．【答案】D 【解析】【解答】解：∵， ∴． 故答案为：D． 【分析】根据正切的定义可得，即可得解． 9．【答案】A 10．【答案】D 【解析】【解答】解：∵， ∴，， 在Rt△CEF中，设， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 即，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，解得：，解得：， ∵的面积为7， ∴，即，解得：（舍弃负值）， ∴． 故答案为：D. 【分析】设，由正切的定义可得；再根据全等三角形的性质可得、 再依据相似三角形及勾股定理得出、、，最后根据三角形的面积公式列方程求解即可． 11．【答案】30 【解析】【解答】解：∵ ∴ 故答案为30 【分析】根据特殊角的三角函数值即可得出答案. 12．【答案】直角三角形 【解析】【解答】解：∵（2sinA﹣1）2+=0， ∴2sinA﹣1=0，cosB﹣=0， ∴sinA=，∠A=30°； cosB=，∠B=60°． ∴∠C=90°． ∴△ABC是直角三角形． 【分析】先根据非负数的性质及特殊教的三角函数值求出∠A、∠B的度数，再根据三角形的内角和定理求出∠C的度数，最后根据三个内角关系判断出其形状． 13．【答案】2：3 【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b分别是∠A、∠B的对边，c为∠C对的边， ∴sinA= ，sinB= ， ∵sinA：sinB=2：3， ∴ ： =2：3， ∴a：b=2：3． 故答案为2：3． 【分析】根据正弦的定义得到sinA= ，sinB= ，再由sinA：sinB=2：3得到 ： =2：3，然后利用比例性质化简即可． 14．【答案】米 【解析】【解答】解：∵AC=4米， 迎水坡AB的坡比是1∶2， ∴AC∶BC=1∶2， ∴4∶BC=1∶2， ∴BC=8， 由勾股定理得AB=. 故答案为：米. 【分析】根据坡比的概念可得AC∶BC=1∶2，据此求出BC的长，进而根据勾股定理算出AB的长即可. 15．【答案】或7 16．【答案】 17．【答案】6； 【解析】【解答】解：由题意得点P在以AB为边的等边三角形的外接圆的优弧AB上，过点O作OF⊥AB于点F，则OF是AB的垂直平分线， ∴当点P在OF上时，点P到直线AB距离的最大，最大值为PF的长，此时△PAB为等边三角形， ∴PB=PA=AB=，∠PBA=60°， ∴PF=PB=6， 当点P、E、O共线时，PE的值最小，如图，连接OB， 在Rt△BFO中，∠BOF=60°，∠FBO=30°，BF=CG=AB=， ∴OF=BF=2， ∴OG=3-2=1，GE=CG-CE=3， ∴OE=， ∴PEmin=OP-OE=4- 故答案为：6，4-， 【分析】由题意得点P在以AB为边的等边三角形的外接圆的优弧AB上，过点O作OF⊥AB于点F，则OF是AB的垂直平分线，可得当点P在OF上时，点P到直线AB距离的最大，最大值为PF的长；当点P、E、O共线时，PE的值最小，据此分别画出图形，利用解直角三角形分别求解即可. 18．【答案】解：原式= • = ， 当x=4﹣tan45°=4﹣1=3时，原式= = ． 【解析】【分析】先算括号里面的，再算除法，求出x的值代入进行计算即可．本题考查的是分式的化简求值，分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助． 19．【答案】（1） （2）， 20．【答案】 21．【答案】无人机飞行的高度约为40米 22．【答案】解：由题意，在 与 中， ， . ∴ . 又 ∴ ∴ 答：山高 约为105米。 【解析】【分析】利用三角函数的概念可得AD=0.9BD，CD=0.75BD，然后表示出AC，根据AC=21可得BD的值，进而求得CD的值. 23．【答案】解：∵AD⊥BC，DE∥AC， ∴∠DAB=∠ADE=90°， ∵∠EDB=45°， ∴∠ADB=90°-45°=45°， ∵△BAD是等腰直角三角形， ∴AB=AD=600米， 过点C作CM⊥DE于点M，如图所示： ∵DE∥AC，AD⊥BC， ∴四边形ADMC是矩形， ∴CM=AD=600米，AC=DM， 在Rt△CEM中，， ∴EM≈450(米)， ∴DM=DE+EM≈500+450=950(米)， ∴AC=DM=950米， ∴BC=AC-AB=950-600=350(米)， ∴隧道BC长为350米 【解析】【分析】易证△BAD是等腰直角三角形，得出AB=AD=600米，过点C作CM⊥DE于点M，易证四边形ADMC是矩形，得出EM=AD=600米，由锐角三角函数的定义求出EM =450米，即可得出结果. 24．【答案】（1）2；-1 （2）15°或105° （3）或 学科网（北京）股份有限公司 $