第28章 解题方法专题 构造基本图形解直角三角形-【学海风暴】2024-2025学年九年级下册数学同步备课（人教版）

解题方法专题构造基本图形解直角三角形 题型① 构造单一直角三角形模型解决实际 问题 1.如图①，某工厂为了提升生产过程中所产生 废气的净化效率，需在气体净化设备上增加 一条管道A一D一C.如图②，已知DC L BC, ABI BC,∠A=60°，AB=11m,CD=4m, 求管道A一D一C的总长. 图① 图② 题型③ 构造“心”式模型解决实际问题 题型②构造“个”式模型解决实际问题 3.图①是我国第一个以“龙”为主题的主题公 2.(2024六安期未)某同学利用数学知识测量 园 “兰州龙源”.“兰州龙源”的“龙”字主 建筑物DEFG的高度.如下图，他从点A出 题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹， 发沿着坡度为i=1：2.4的斜坡AB步行 屹立在黄河北岸.某数学兴趣小组开展了测 26m到达点B处，用测角仪测得建筑物顶端 量“龙”字雕塑CD高度的实践活动，具体过 D的仰角为37°，建筑物底端E的俯角为 程如下：如图②，“龙”字雕塑CD位于垂直地 30°.若AF为水平的地面，测角仪竖直放置， 面的基座BC上，在平行于水平地面的A处 其高度BC=1.6m,求此建筑物的高度DE 测得∠BAC=38°，∠BAD=53°，AB=18m. (结果保留根号，sin37°≈0.60，cos37°≈ 求“龙”字雕塑CD的高度(B,C,D三点共 0.80,tan37°≈0.75). 线，BD LAB,结果精确到0.1m,参考数据： 下册第二十八章 61△ sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78， 题型⑤ 构造多个直角三角形模型解决实际 sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33). 问题 5.（2024南昌青云谱区月考)如下图，在一次综 合实践活动中，小亮要测量一栋楼房的高 度.他先在坡顶D处测得楼房顶部A的仰角 为30°，沿斜坡向下走到坡底C处，然后向楼 图① 图② 房方向继续行走10m到达E处，测得楼房顶 部A的仰角为60°.已知斜坡CD=10m,斜 坡的坡度i=1：√3，求楼房AB的高度（结 果精确到0.1m,参考数据：√5≈1.73，√2≈ 1.41). D130 5609 题型④构造“”式模型解决实际问题 4.如下图，为测量某大楼CD顶部广告牌DE 的高度，在距离大楼30m的A处用测角仪器 测得∠DAC=30°.从A处向大楼方向走 10m到达B处，测得∠EBC=48°，测角仪器 的高度忽略不计.求广告牌DE的高度（结果 保留小数点后一位，参考数据：√5≈1.732， sin48°≈0.743，cos48°≈0.669，tan48°≈ 1.111). E D 30°X480 A B 2 九年级数学RJ版CG-an28cD>2.4÷号-1km, DG 5 ..EG=AD=EC-CG=6-1=5(km). 故景点D到线路AB的距离为5km 5.A6.(4w15-25)7.20√3 8.解：如图，过点B作BF⊥AE于点F,则 FE=BD=6 m,BF=DE. .斜面AB的坡度i=1:2.4, .AF=2.4BF. 设BF=xm,则AF=2.4xm. 在Rt△ABF中，x2+(2.4x)2=132, 45° 解得x=5(负值已舍去)， .DE=BF=5 m,AF=12 m, ∴.AE=AF+FE=18m. 在Rt△ACE中，CE=AE·tan45=18×1=18(m), ..CD=CE-DE=13 m. 故大树CD的高度为13m. 解题方法专题构造基本图形解直角三角形 1.解：如图，过点D作DE⊥AB于点E,则 A ∠AED=90°，四边形BCDE是矩形， .BE=CD=4 m, D .AE=AB-BE=11-4=7(m) e..------..- ∠A=60°， .AD=AE cosA=14 m, .AD+CD=14十4=18(m),即管道A一D一C的总长为 18m. 2.解：如图，延长CB交AE于点H,过点C作CP⊥DE于点 P,则∠AHB=90°. D G H 在Rt△ABH中，i=1:2.4,AH=2.4BH .AB=26m, ∴.BH+AH=BH2+(2.4BH)2=262,∴.BH=10m .PE=CH=BH+BC=10+1.6=11.6(m). 在Rt△CPE中，.'∠PCE=30°， …PC=BPE=583 5 m. 在Rt△CPD中，∠DCP=37°， :PD=PC.tan37°≈873(m), 10 DE-PD+PE-(). 故建筑物的商度DE约为(7+婴）m 3.解：在Rt△ABC中，AB=18m,∠BAC=38° :n∠BAC-AS, ..BC=AB·tan∠BAC≈18X0.78=14.04(m). 在Rt△ABD中，AB=18m,∠BAD=53°. 'tan∠BAD=BD. AB' .BD=AB·tan∠BAD≈18X1.33=23.94(m), .CD=BD-BC=23.94-14.04=9.9(m) 故“龙”字雕塑CD的高度约为9.9m. 4.解：在Rt△ADC中，∠DAC=30°，AC=30m, DC=AC·m80=30X号=10(m>. .'AB=10 m,..BC=AC-AB=20 m. 在Rt△BCE中，∠EBC=48°， .EC=BC·tan48°≈20×1.111=22.22(m), ∴.DE=EC-DC=22.22-10W3≈4.9(m). 故广告牌DE的高度约为4.9m. 5.解：过点D作DG⊥BC于点G,DH⊥AB于点H,交AE于 点F,过点F作FP⊥BC于点P,如图所示，则DG=FP= HB,DF-GP. D330° 60°1 H B :CD=l0m,斜坡的坡度i=1:√， ∴.∠DCG=30°，∴.FP=BH=DG=CD·sin30°=5m,CG= CD·cos30°=5√/3m. 在R△EFP中，∠FEP=60,EP==5m, tan60° ÷DF=GP=55+10+5-(20y5+10)m .∠ADH=30°，∠AEB=60°， .∠DAH=60°，∠EAB=30°，∴.∠DAF=30°=∠ADF, AF=DF=(20E+10)m 3 在Rt△AFH中，∠AFH=60°， .AH=AF·sin60°=(10+5√3)m, ∴.AB=AH+BH=10+5√3+5=15+5√/3≈23.7(m) 故楼房AB的高度约为23.7m. 阶段综合训练解直角三角形的实际应用 1.(30-53) 2.解：如图，过点D作DF⊥AB,垂足为F, 01.27 450 E30°C 由题意，得DF=AE,DE=AF,DE⊥CE 在Rt△DCE中，CD=6m,∠DCE=30°， DE-CD-3m.CE-CD.cos30-33m, ..AF=DE=3 m. 设AC=xm, ..DF=AE-AC+CE=(x+33)m. 在Rt△BDF中，∠BDF=27°， .BF=DF·tan27°≈0.5(x+3√/3)m. 在Rt△ABC中，∠BCA=45°，∴.AB=AC=xm .BF+AF=AB,.0.5(x+3√3)+3=x, 解得x=6+3√3，..AB=6十3√3≈11(m) 故塔AB的高度约为11m. 3.解：(1)由题意，得∠CAB=14°，∠CBA=90°， ∴.∠C=180°-∠CAB-∠CBA=76, anC-8提.BC=1.7m .AB=BC·tanC=1.7Xtan76≈6.8(m). AH下册参考答案 155