28.1锐角三角函数（同步讲义）2025-2026学年人教版数学九年级下册

本讲义聚焦锐角三角函数核心知识点，从定义（正弦、余弦、正切）出发，逐步延伸至同角三角函数关系（平方关系、积的关系）、互余两角三角函数关系及特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值，构建递进式学习支架，帮助学生系统掌握知识脉络。 该资料通过严谨的知识梳理与多样题型（选择、填空、解答题）结合，培养学生抽象能力（如三角函数定义的符号表达）、推理意识（如关系推导）和几何直观（如网格、圆中三角函数应用）。课中辅助教师分层教学，课后详细解析助力学生自查，强化知识应用与查漏补缺。

28.1锐角三角函数（同步讲义）2025-2026学年人教版数学九年级下册 【知识精讲】 1．锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 即sinA＝∠A的对边除以斜边． （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即cosA＝∠A的邻边除以斜边． （3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边． （4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 2．同角三角函数的关系 （1）平方关系：sin2A+cos2A＝1； （2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA或sinA＝tanA•cosA． 3．互余两角三角函数的关系 在直角三角形中，∠A+∠B＝90°时，正余弦之间的关系为： ①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）； ②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）； 也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA． 4．特殊角的三角函数值 （1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值． sin30°； cos30°；tan30°； sin45°；cos45°；tan45°＝1； sin60°；cos60°； tan60°； （2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记． （3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． 【题型演练】 一、选择题 1．sin60°的值等于(　　) A． B． C． D． 2．在中，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．由4个形状相同、大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，∠O=60°，则tan∠ABC 的值为(　　) A． B． C． D． 4．如图，在中，于点D，．若E，F分别为，的中点，则的长为（　　） A． B． C．1 D． 5．下列各式中，不正确的是(　　) A． B． C． D． 6．在△ABC中，tan A=，cos B=，则∠C的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 7．如图，四边形是的内接四边形，，，，，则的长为（　　） A． B． C． D．2 8．已知cosα=，且α是锐角，则α=(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 9．点M(-sin60°，cos60°)关于原点对称的点的坐标是(　　) A．[，] B．[，] C．[，] D．[，] 二、填空题 10．若，则锐角　 　. 11．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，每个小正方形的顶点都叫做格点.若△ABC 的顶点都在格点上，则cosA=　 　. 12．如图，将三角板的直角顶点放置在直线上的点处，使斜边．则的余弦值为　 　． 13．如图，已知，A（0，4），B（﹣3，0），C（2，0），过A作y轴的垂线交反比例函数的图象于点D，连接CD，AB∥CD．则此反比例函数的解析式为　 　；sin∠DAC的值为　 　． 14．如图，在RtABC中，，，则为　 　． 15． 在△ABC中，若|2sin A-|与(-2cos B)2互为相反数，则∠C=　 　. 16．如图，中，，为的角平分线，以点O为圆心，为半径作与边交于点D.若，，则　 　. 三、解答题 17．先化简，再求值：，其中. 18．先化简，然后再从sin30°，1，这三个数中选取一个你认为合适的数作为a的值代入求值. 19．如图， AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O相切于点A，C，连结BC，AC．若∠P=60°，PA=，求AB的长． 20．在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，a=，b=，解这个直角三角形． 21． 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，D 为边BC(除端点外)上的一点，设∠ADC=α，∠B=β. （1）猜想 sinα与 sinβ之间的大小关系并证明. （2）若D 为射线CB(除端点外)上一点，试猜想锐角α，β之间的大小关系与它们正弦值的规律. 22． 如图，是的直径，是的切线，以为邻边作平行四边形，边交于点E，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求AE的长度； （3）在（2）的条件下，求的值． 23．如图，AB为⊙O的直径，点C为圆周上一点，OC的延长线交⊙O的切线BD于点D，AC的延长线交⊙O的切线BD于点E． （1）若∠A=35°，求∠DBC的度数； （2）证明：CE·BD=BC·CD； （3）若AB＝8，sinD＝，求BE的长． 24． 如图，在中，，以为直径作，交边于点D，点E是边的中点，直线交于点F． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求线段的长度． 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【解答】解：sin60°=， ∴， 故答案为：D. 【分析】根据60°的正弦值是计算即可得出答案. 2．【答案】A 【解析】【解答】解：∵，， ∴， 故答案为：A． 【分析】 根据特殊角的三角函数，即可得B的度数． 3．【答案】C 【解析】【解答】解：如图，设OB 的中点为D，连结CD，BD. 由题意， 易得∠ACD=60°，△BCD为等边三角形，则 BC=CD=AC，∠DCB=60°， 故答案为：C． 【分析】先通过构造中点和等边三角形；再利用等腰三角形和等边三角形的性质，求出∠ACB的度数；接着结合等腰三角形的性质求出∠ABC的度数；最后根据特殊角的三角函数值求出∠ABC的值． 4．【答案】C 【解析】【解答】解：∵AD垂直BC， ∴∠ADB=∠ADC=90°， ∵ ∴∠BAD=45°， ∴DA=DB， ∵ ， ∴DA=， ∵∠C=60°， ∴sin∠C=， ∴AC=2， ∵ E，F分别为，的中点， ∴EF为△ABC的中位线， ∴EF==1. 故答案为：C． 【分析】根据等腰直角三角形的性质求出AD的长度及三角函数求出AC长度，再根据中位线定理可知EF=. 5．【答案】B 【解析】【解答】解：A、 1，A正确； B、，B错误； C、 ，C 正确； D、 ，D正确． 故答案为：B． 【分析】根据同角三角函数的平方关系sin2α+cos2α=1，以及特殊角，，，，，的值，即可逐项判断． 6．【答案】D 【解析】【解答】tan A=，cos B=， 故答案为：D. 【分析】先根据特殊角的三角函数值求得再利用三角形的内角和定理即可求解. 7．【答案】C 8．【答案】A 【解析】【解答】解：∵cosα=，且α是锐角， ∴α=30°， 故答案为：A. 【分析】利用特殊角的三角函数值分析求解即可. 9．【答案】B 【解析】【解答】解：∵ sin60°=，cos60°=， ∴点M的坐标是（-，）， ∴ 点M关于原点对称的点的坐标是（，-）， 故答案为：B. 【分析】根据特殊锐角的三角函数值，先确定点M的坐标，然后根据关于原点对称的点的纵坐标、横坐标互为相反数的特点进行选择即可. 10．【答案】60° 【解析】【解答】解：∵， ∴， 故答案为. 【分析】根据cos60°=即可求解. 11．【答案】 【解析】【解答】解：如图， 由勾股定理得 ∴ 故答案为 【分析】利用格点构造直角三角形ACD，然后求出AC和AD的长，根据余弦的定义解答即可. 12．【答案】 【解析】【解答】解：， ，， ， 故答案为：． 【分析】根据直线平行性质可得，再根据补角可得，再根据特殊角的三角函数值即可求出答案. 13．【答案】； 【解析】【解答】解：∵A（0，4），B（﹣3，0），C（2，0） ∴OA=4，OB=3，OC=2 ∴BC=OB+OC=5 ∵DA⊥y轴，x轴⊥y轴 ∴DA∥x轴 ∴∠DAC=∠ACO 在Rt△AOC中， ∴ ∴ ∵AB∥CD ∴四边形ABCD是平行四边形 ∴AD=BC=5 ∴点D的坐标为（5，4） 将D（5，4）代入得：，解得：k=20 ∴反比例函数的解析式为 故答案为：第1空、 第2空、 【分析】根据题意可得BC=OB+OC=5，再根据直线平行性质可得∠DAC=∠ACO，在Rt△AOC中，根据勾股定理可得，再根据锐角三角函数的定义可得，根据平行四边形的判定定理可得四边形ABCD是平行四边形，则点D的坐标为（5，4），再根据待定系数法将点D坐标代入反比例函数解析式即可求出答案. 14．【答案】 【解析】【解答】解：如图，在Rt△ABC中，. 故答案为：. 【分析】根据正切函数的定义求解即可. 15．【答案】105° 【解析】【解答】|2sin A-|与(-2cos B)2互为相反数， |2sin A-|+(-2cos B)2=0， 2sin A-=0，-2cos B=0， ∠A=45°，∠B=30°， ∠C=180°-45°-30°=105°， 故答案为：105°. 【分析】根据 |2sin A-|与(-2cos B)2互为相反数，得到|2sin A-|+(-2cos B)2=0，利用绝对值、偶次方的非负性求得进而求的∠A=45°，∠B=30°，利用三角形内角和定理即可求解. 16．【答案】2 【解析】【解答】解：过O作于H， ∵， ∴， ∵为的角平分线，， ∴， 即为的半径， ∵， ∴为的切线； 设的半径为，则， 在中， ∵， ∴=， ∴=， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴. 故答案为：2. 【分析】过O作OH⊥AB于H，根据角平分线的性质可得OH=OC，推出AB为⊙O的切线，设半径为3x，则OH=OD=OC=3x，根据三角函数的概念可得AH=4x，由勾股定理可得AO=5x，则AO=OD+AD=3x=2，据此可得x的值，然后求出OA、OH、AC的值，再根据三角函数的概念进行计算. 17．【答案】解： = = =. ∵=2×+1=+1， ∴原式===. 【解析】【分析】对括号中的第二个分式的分母进行分解，然后对括号中的式子进行通分，将除法化为乘法，再进行约分即可对原式进行化简，根据特殊角的三角函数值可得a的值，然后代入化简后的式子中进行计算. 18．【答案】解：原式===a-1 ∵a-1≠0，a+1≠0且a≠0 ∴a≠1，a≠-1且a≠0 又sin30°=，=-2 ∴a可取或-2 当a=时，原式=-1=-（当a=-2时，原式=-2-1=-3） 【解析】【分析】对括号中的式子进行通分，对括号外分式的分母进行分解，然后将除法化为乘法，再进行约分即可对原式进行化简，根据特殊角的三角函数值可得sin30°=，根据负整数指数幂的运算性质可得(-)-1=-2，然后选取一个使分式有意义的a的值代入计算即可. 19．【答案】解：是的切线， ， 是等边三角形， 是的直径， 【解析】【分析】由切线长定理可得PA＝PC，∠BAP＝90°，再结合∠P＝60°，可推出△PAC是等边三角形，由等边三角形的性质可得AC＝PA＝，∠PAC＝60°，推断∠BAC＝30°，由直径所对的圆周角是直角得∠ACB＝90°，根据∠BAC得余弦三角函数的定义及特殊锐角三角函数值可求出AB的长. 20．【答案】解：如图， 由题意知b=6，a=2， 则c===， ∵sinA===， ∴∠A=30°， ∴∠B=90°-∠A=60° 【解析】【分析】先利用勾股定理求出c的值，再利用正弦定义及计算方法求出sinA===，再利用特殊角的三角函数值求出∠A的度数，最后利用三角形的内角和求出∠B的度数即可. 21．【答案】（1）解：sinα>sinβ. ∴ sinα>sinβ （2）解：当α>β时，sinα>sinβ；当α=β时，sinα=sinβ；当α<β时，sinα<sinβ 【解析】【分析】（1）根据正弦的定义比较大小即可； （2）根据（1）中的结论得到规律即可. 22．【答案】（1）证明：如解图①，连接， 图① 在中，， ，， ，， ，，， ， 是的切线，， 是的半径，是的切线； （2）解：如图②，过点作于点，延长交的延长线于点，连接交于点 图② ， ， 在中， 四边形为平行四边形，为直径， ，，， 在中， 又为的中点，， （3）解：由（2） 在中，，， ，， 解得 由（1）知，， 【解析】【分析】（1） 如图，连接， 根据平行线的性质得到，，进而可证∠2=∠3，据此可利用SAS证得，得出，再结合切线的性质得出∠CEO=∠B=90°，即可得到结论； （2） 过点作于点，延长交的延长线于点，连接交于点 ，先根据半径为3和求出BC=4，再利用勾股定理求出OC的长，得出， 在中， 利用∠BOC的余弦值求出OH的长，再证，利用相似三角形的性质建立等量关系，进而可得AE的长； （3）先由（2）的结果求出DE=，再根据平行线的性质得到，进而可证，根据相似三角形的性质得到，求出 ，再根据三角函数的定义计算即可. 23．【答案】（1）解：证明：∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ABC=90°-∠A=55° ∵BD 与⊙O 相切于点 B， ∴BD⊥AB， ∴∠DBC＝90°﹣∠ABC=35°， （2）证明：∵OA=OC ∴∠A=∠ACO，又∠ACO=∠DCE ∴∠DCE=∠A=∠DBC 又∵∠D=∠D ∴△DCE∽△DBC ∴ ∴CE·BD=BC·CD （3）解：∵AB＝8， ∴OC＝OB＝ AB＝4 ∴DC＝OD﹣OC＝6﹣4＝2，DB＝ ∵∠DBC＝∠DCE，∠D＝∠D， ∴△DBC∽△DCE， ∴BE 的长是 【解析】【分析】（1）先根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，进而得到∠ABC=55° ，再根据切线的性质得到∠ABD=90°，再利用角的和差计算即可； （2）先证∠DCE=∠DBC，进而可得△DCE∽△DBC ，再利用相似三角形的性质得到 ，将比例式转换为乘积式即可； （3）先根据锐角三角函数值求出OD=6，进而得到DC=2，在直角三角形OBD中，利用勾股定理求出DB的长，再利用 △DBC∽△DCE， 得到，据此求出DE的长，再利用线段的和差求解即可. 24．【答案】（1）证明：连接，则， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径，且， ∴直线是的切线． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴线段的长度是． 【解析】【分析】（1） 连接，则， 根据为的直径， 可得，， 由 点E是边的中点，可得进一步得到， 进而证明，从而求解； （2）先利用三角函数与勾股定理求得，再证明， 得到，进一步得到，， 进而得到关于BF的一元二次方程，解方程取符合题意的值即可求解. 学科网（北京）股份有限公司 $