28.1 锐角三角函数 讲义 2024-2025学年人教版九年级数学下册

本讲义聚焦锐角三角函数核心知识点，从正弦、余弦、正切的定义出发，结合平面直角坐标系、正方形网格等情境，系统梳理三角函数值的求法、增减性、特殊角值及计算，衔接直角三角形和勾股定理知识，为后续解直角三角形应用奠定基础。 该资料通过多样化情境（如坐标系中点的坐标、网格图形）培养数学眼光，利用三角函数值变化规律的推理发展数学思维，结合杠杆等实际问题提升应用意识。课中辅助教师分层教学，课后学生可通过举一反三巩固知识，有效查漏补缺。

人教版（2024）九年级下册 28.1 锐角三角函数 讲义 【题型1】平面直角坐标系中求余弦值 【典型例题】如图，P是∠α的边OA上一点，且点P的坐标为(3，4)，则cosα的值是(　　) A. B. C. D. 【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则cosα的值是（　　）    A. B. C. D.2 【举一反三2】如图，已知锐角α的顶点在原点，始边为x轴的正半轴，终边经过(1，2)．如图，则sinα＝       ，cosα＝        ． 【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，点在点的左边，与轴交于点．抛物线的对称轴为直线，点的坐标为． (1)求点坐标； (2)求的值； (3)若点在该抛物线上，求的值． 【题型2】余弦值的变化情况 【典型例题】、都是锐角，且，则下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂，阻力臂，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（    ）                   A.越来越小 B.不变 C.越来越大 D.无法确定 【举一反三2】已知30°＜α＜60°，下列各式正确的是(　　) A.＜cosα＜ B.＜cosα＜ C.＜cosα＜ D.＜cosα＜ 【举一反三3】三角函数、、之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【举一反三4】已知30°＜α＜60°，下列各式正确的是(　　) A.＜cosα＜ B.＜cosα＜ C.＜cosα＜ D.＜cosα＜ 【举一反三5】cos30°________ cos40°(填大小关系) 【举一反三6】比较sin30°和cos30°的大小，用“＜”连接          ． 【举一反三7】比较大小： （用“”或“”填空）． 【题型3】直接由定义求正切值 【典型例题】如图，在中，，则的值是（    ） A.2 B. C. D. 【举一反三1】如图，在中，，，垂足为D．如果，那么的值是（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】中，，则        ． 【举一反三3】如图，AB和⊙O切于点B，AB=5，OB=3，则tanA=         ． 【举一反三4】如图，在中，． (1)求作分别与，相切，使得圆心O落在上，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，已知，，求的值． 【题型4】正弦值的变化情况 【典型例题】在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的4倍，那么锐角A的正弦值(　　) A.扩大4倍 B.缩小4倍 C.扩大16倍 D.没有变化 【举一反三1】在Rt△ABC中，若各边长都扩大5倍，则锐角A的正弦值(　　) A.不变 B.扩大5倍 C.缩小到原来的15 D.不能确定 【举一反三2】若的各边都扩大倍，得到，那么锐角、的正弦值的关系为（ ） A. B. C. D.不能确定 【举一反三3】比较大小：sin65°__________sin55°(用“＞”或“＜”填空)． 【举一反三4】比较大小：    ．（填“”，“”，或“”） 【举一反三5】在Rt△ABC中，∠C＝90°.当∠A确定时，它的正弦值是否随之确定？请说明理由． 【题型5】用计算器求锐角三角函数值 【典型例题】用计算器求的值，按键顺序是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】若tan，利用科学计算器计算的度数，下列按键顺序正确的是（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】利用计算器求值时，若按键顺序为则输出结果为          ．           【举一反三3】用科学计算器计算： cos 32°≈        .(精确到0.01) 【举一反三4】用计算器求下列各式的值．（结果精确到） (1)； (2)； (3)． 【举一反三5】用计算器求下列锐角三角函数值，并填入表中： 随着锐角A的度数不断增大，有怎样的变化趋势？呢？呢？你能说明自己的结论吗？ 【题型6】在正方形网格中求余弦值 【典型例题】如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的余弦值是(　　) A. B.1 C. D. 【举一反三1】如图，个形状大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点已知菱形的一个角为，、、都在格点上；点在过、、三点的圆弧上，若也在格点上，且，则的值为（    ）    A. B. C. D. 【举一反三2】如图，正方形网格中每个小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠OAB的余弦值是__________． 【举一反三3】如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是________． 【举一反三4】请按下列要求画图并填空： （1）平移线段使点平移到点，画出平移后所得的线段； （2）将线段绕点逆时针旋转90°，画出旋转后所得的线段，并直接写出 的值为　　      ． 【题型7】由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 【典型例题】若的内角满足，则的形状是（    ） A.直角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.三角不全相等的锐角三角形 【举一反三1】在中，，那么是（    ） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 【举一反三2】若∠A、∠B为△ABC中的锐角，且(2sinA-)2＋(cosB-)2＝0，则△ABC是(　　) A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.无法确定 【举一反三3】中，均为锐角，且， 则的形状是          ． 【举一反三4】在△ABC中，∠A、∠B为锐角，且sinA＝，cosB＝，试判断△ABC的形状． 【题型8】正切值的变化情况 【典型例题】已知30°＜α＜60°，下列各式正确的是(　　) A.22＜tanα＜ B.＜tanα＜ C.＜tanα＜ D.＜tanα＜ 【举一反三1】在RtABC中，∠C＝90°，各边都扩大5倍，则tanA的值（    ） A.不变 B.扩大5倍 C.缩小5倍 D.不能确定 【举一反三2】随着锐角α的增大，tanα的值(　　) A.增大 B.减小 C.不变 D.增大还是减小不确定 【举一反三3】比较tan20°，tan50°，tan70°的大小，下列不等式正确的是（　　） A.tan70°＜tan50°＜tan20° B.tan50°＜tan20°＜tan70° C.tan20°＜tan50°＜tan70° D.tan20°＜tan70°＜tan50° 【举一反三4】在直角三角形中， 如果各边都扩大 1 倍， 则其锐角的正切值（   ） A.扩大 1 倍 B.没有变化 C.缩小为原来的一半 D.不能确定 【举一反三5】比较大小： （填“”“”或“”）． 【举一反三6】比较、、和的大小，并由小到大排列：               ． 【举一反三7】比较大小： （填“”或“”） 【举一反三8】按从小到大的顺序用“”把，，，连接起来         【题型9】利用勾股定理求正弦值 【典型例题】如图，在矩形中，是边上两点，且，连接与相交于点，连接．若，，则的值为（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则sinA的值为(　　) A. B. C. D. 【举一反三2】在中，，则的正弦值为（    ） A. B. C.2 D. 【举一反三3】△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝3，那么sinB＝________. 【举一反三4】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，且AC＝1，BC＝2，则sin∠A＝____________. 【举一反三5】如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE＝3AE，试求sin∠ECM的值． 【题型10】根据余弦值确定角的大小 【典型例题】已知，则锐角的取值范围是（ 　） A. B. C. D. 【举一反三1】已知，A，B均为锐角，则A的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】当锐角的时，的值为（    ） A.小于 B.小于 C.大于 D.大于 【举一反三3】若锐角满足，则锐角的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【举一反三4】若 为锐角，且cos0.6，则（   ） A.0 30 B.30 45 C.45 60 D.60 90 【举一反三5】若cosA＞cos60°，则锐角A的取值范围是________． 【举一反三6】已知为锐角，，则      度． 【举一反三7】cosA =，A为锐角，则A =     ；2cos(α-10°) = 1，则锐角α =      . 【举一反三8】已知为锐角，，则      度． 【题型11】根据正切值确定角的大小 【典型例题】已知为锐角，且，则的度数为（     ） A. B. C. D. 【举一反三1】已知tan α＝，则锐角α的取值范围是(　　) A.0°＜α＜30° B.30°＜α＜45° C.45°＜α＜60° D.60°＜α＜90° 【举一反三2】锐角α满足，且，则α的取值范围为（　　） A.30°＜α＜45° B.45°＜α＜60° C.60°＜α＜90° D.30°＜α＜60° 【举一反三3】某同学遇到了这样一道题：，则锐角的度数应是（    ） A. B. C. D. 【举一反三4】已知∠A是Rt△ABC的一个内角，且tan A＜˙，那么∠A的取值范围是________． 【举一反三5】已知∠A是Rt△ABC的一个内角，且tan A＜˙，那么∠A的取值范围是________． 【举一反三6】已知tanA＝0.7，则∠A________________30°(填“＜”或“＞”)． 【题型12】求特殊角的三角函数值 【典型例题】小明利用如图所示的量角器量出的度数，的值为（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】等于（    ） A. B. C. D.1 【举一反三2】在△ABC中，∠A＝120°，∠B＝45°，∠C＝15°，则cosB等于(　　) A. B. C. D. 【举一反三3】已知∠A为锐角，且tanA=，则∠A的大小为        ． 【举一反三4】计算：sin30°+cos45°=    ． 【举一反三5】同学们，在我们进入高中以后，将还会学到下面三角函数公式： sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ， cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ 例：sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝ (1)试仿照例题，求出cos15°的准确值； (2)我们知道，tan α＝sinαcosα，试求出tan 15°的准确值． 【题型13】直接由定义求余弦值 【典型例题】cosα表示的是(　　) A.一个角 B.一个实数 C.一个点 D.一条射线 【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C=90，sinA=，则cosB的值等于（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】一等腰三角形的两边长为5 cm和8 cm，则它的底角的余弦值是(　　) A. B.或 C.或 D.或 【举一反三3】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4，则cos∠ABC值是（     ）． A.2 B. C. D. 【举一反三4】如图，Rt△ABC，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则cosB的值为(　　) A. B. C. D. 【举一反三5】在中，，，，那么      ． 【举一反三6】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于cosA的值的有      个 （1）；（2）；（3）；（4）． 【举一反三7】已知CD是Rt△ABC斜边上的高线，且AB＝10，若BC＝8，则cos∠ACD＝__________. 【举一反三8】已知等腰三角形两条边的长分别是底角为，则     ． 【题型14】锐角三角函数值的变化情况 【典型例题】把各边的长度都扩大倍得到，其中与是对应顶点，则锐角的余弦值比锐角的余弦值（    ） A.扩大4倍 B.保持不变 C.缩小4倍 D.扩大2倍 【举一反三1】在中，各边的长度都缩小4倍，那么锐角A的三角函数值（  ） A.扩大4倍 B.保持不变 C.缩小2倍 D.缩小4倍 【举一反三2】当角度在0°到90°之间变化时，函数值随着角度的增大而增大的三角函数是(　　) A.正弦和余弦 B.正弦和正切 C.余弦和正切 D.正弦、余弦和正切 【举一反三3】比较大小：     ． 【举一反三4】如图所示的网格是正方形网格，则∠AOB     ∠COD．（填“＞”，“＝”或“＜”）        【举一反三5】如图，已知和射线上一点（点与点不重合），且点到、的距离为、．          (1)若，，，试比较、的大小； (2)若，，，都是锐角，且． 试判断、的大小，并给出证明． 【举一反三6】已知：如图，，、是上的两点，．        （1）求证：； （2）锐角的正切函数值随角度的增大而________． 【题型15】利用勾股定理求余弦值 【典型例题】如图，四边形为菱形，对角线，交于点O，，垂足为E．若，，则为（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，中，，，则（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，中，，，，为直线上一动点，连接． （1）           ． （2）线段的最小值是            【举一反三3】如图，为的弦，C为上一点，于点D．若，，则        ． 【举一反三4】如图，在中，直径，与弦相交于点E，连接，若，求的值． 【题型16】锐角三角函数的定义 【典型例题】在中，为最大角，下列说法正确的是（   ） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，点A（x，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，cosα＝， 则tanα的值为（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3BC，则sinB＝________，cosB＝________. 【举一反三3】如图，在中，，，． 求的长、和的值．    【举一反三4】在直角三角形ABC中，已知∠C＝90°，AB＝15，AC＝9，分别求出sinA和tan B的值． 【题型17】已知三角函数值求另一个三角函数值 【典型例题】△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA的值是（　　） A.2 B. C.2 D. 【举一反三1】已知为锐角，且，那么的正切值为（     ） A. B. C. D. 【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝则cosA等于（     ） A. B. C. D. 【举一反三3】已知sinA＝，则cosA的值是(　　) A.2 B. C. D. 【举一反三4】已知sinA＝，∠A为锐角，则cos2A等于(　　) A. B. C. D.1 【举一反三5】在Rt△ABC中，∠ACB=90，sinB=，则cosB= ；若， 则=             ． 【举一反三6】已知是锐角，，则    ° 【举一反三7】已知，是锐角，则        . 【题型18】先求三角函数值再求角的度数 【典型例题】某个水库大坝的横断面为梯形，迎水坡的坡度是1∶，背水坡为1∶1，那么两个坡的坡角和为(　　)． A.90° B.75° C.60° D.105° 【举一反三1】如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝，下列判断正确的是(　　) A.∠A＝30° B.∠A＝45° C.cosA＝ D.tanA＝ 【举一反三2】在Rt△ABC中，已知∠B＝90°，AC＝10，AB＝5，则∠A等于(　　) A.45° B.30° C.60° D.50° 【举一反三3】如图，过点O、A(1，0)、B(0，)作⊙M，D为⊙M上不同于点O、A的点，则∠ODA的度数为（　　） A.60° B.60°或120° C.30° D.30°或150° 【举一反三4】中，，，，则      ． 【举一反三5】在Rt△ABC中，∠C＝90°，2a＝c，则∠B＝________. 【举一反三6】如图⊙O是△ABC的外接圆，AD是的直径，连接CD，若半径为2，AC=，则∠B=           【题型19】平面直角坐标系中求正弦值 【典型例题】如图，在平面直角坐标系中，已知⊙A经过点E、B、O、C且点O为坐标原点，点C在y轴上，点E在x轴上，A（﹣6，4），则sin∠OBC的值为（     ）            A. B. C. D. 【举一反三1】如图，点D(0，3)，O(0，0)，C(4，0)在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD的值是(　　) A. B. C. D. 【举一反三2】如图，已知∠α的一边在x轴上，另一边经过点A(2，4)，顶点为(－1，0)，则sinα的值是(　　) A. B. C. D. 【举一反三3】如图所示，直径为的经过点和点、是轴右侧优弧上一点，则 ．    【举一反三4】如图，四边形的边与y轴的正半轴重合，垂直于x轴，反比例函数的图象经过四边形的对角线，的交点．            （1）若，则 ； （2）若的面积为2，则k的值为           ． 【举一反三5】如图，点C是线段上一点，直线，垂足为点C．                     (1)在直线l上作一点P，使（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，若，求的值． 【题型20】在正方形网格中求正弦值 【典型例题】如图，每个小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上，则的值是（　　）                   A.1 B. C. D. 【举一反三1】如图，在单位长度为1的网格中，的三个顶点均在格点上，则的值等于（　　）                     A. B. C. D. 【举一反三2】在正方形网格中，的位置如图所示，则sin∠BAC的值为           ．                        【举一反三3】如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为          ．                      【举一反三4】多边形面积的求解有多种方法，通过不同方法的应用，可以求解某些边和角． [基础掌握]在中，，，．求的面积； [灵活运用]在中，，，．求的面积； [迁移提升]如图，的顶点都在边长为的小正方形的顶点上，请直接写出的值．                    【举一反三5】图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的三个顶点均在格点上．            只用无刻度的直尺，在图①、图②中分别画一个△PBC，使点P在格点上， 且∠BPC=∠BAC，所画的两个三角形不全等，不要求写出画法． (2) sin∠BPC=______． 【题型21】已知锐角三角函数值用计算器求角的度数 【典型例题】已知，求a，若用计算器计算且结果为“30”，最后按键(   ) A.AC10N B.SHIET C.MODE D.SHIFT 【举一反三1】已知sinA=0.1782，则锐角A的度数大约为（　　） A.8° B.9° C.10° D.11° 【举一反三2】已知，则锐角的度数大约为（    ） A. B. C. D. 【举一反三3】（1）若sinα=0.5138，则锐角α=         ； （2）若2cosβ=0.7568，则锐角β=         ； （3）若tan A=37.50，则∠A=         （结果精确到1〞）. 【举一反三4】已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角： (1)sinA＝0.7325，sinB＝0.0547； (2)cosA＝0.6054，cosB＝0.1659； (3)tanA＝4.8425，tanB＝0.8816. 【举一反三5】利用计算器求下列各锐角的度数．（精确到） （1），求； （2），求； （3），求； （4），求． 【题型22】直接由定义求正弦值 【典型例题】已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sinA的值是(　　) A. B. C. D. 【举一反三1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则sinB的值是(　　) A. B. C. D. 【举一反三2】在直角三角形ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，AC＝4，则sinB＝________. 【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，BC＝1，AC＝. (1)求sinA的值． (2)你能通过sinA的值求sin∠CBD的值吗？若能，请求出sin∠CBD的值，若不能，请说明理由． 【题型23】特殊角的三角函数值的运算 【典型例题】的值等于（    ） A.1 B. C. D.2 【举一反三1】sin45°－cos60°等于(　　) A. B. C. D. 【举一反三2】计算：          ． 【举一反三3】      ． 【举一反三4】计算：4cos30°-tan45°tan60°+2sin45°. 【题型24】平面直角坐标系中求正切值 【典型例题】如图，P是∠α的边OA上一点，点P的坐标为(12,5)，则tanα等于(　　) A. B. C. D. 【举一反三1】在直角坐标系xOy中，点P(4，y)在第四象限内，且OP与x轴正半轴的夹角的正切值是2，则y的值是(　　) A.2 B.8 C.－2 D.－8 【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，与y轴相交于B点，直线与圆相切，，若，则的值是          ．             【举一反三3】如图是直线的图像，求锐角的三个三角函数值．            【题型25】在正方形网格中求正切值 【典型例题】如图，在的正方形网格中，A，B，C是正方形网格的格点，连接，则的值是（     ）           A. B. C. D. 【举一反三1】如图，的三个顶点均在正方形网格的格点上，则tanA的值是（    ）                       A. B. C. D. 【举一反三2】如图，已知A、B、C三点均在格点上，则tanA的值为____________． 【举一反三3】如图，由边长为1的正方形构成的9×5网格，小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上        (1) _______； (2)仅用无刻度的直尺在上找一点E，使平分； （画图过程中起辅助作用的用虚线表示，画图结果用实线表示） (3)求的值． 【举一反三4】如图，正方形网格中的每一个小正方形的边长都是1，四边形的四个顶点都 在格点上，O为边的中点，若把四边形绕着点O顺时针旋转180°， 试解决下列问题：              (1)画出四边形旋转后的图形四边形； (2)设点B旋转后的对应点为，求的值． 【题型26】同角三角函数的关系 【典型例题】在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则cosA的值为(　　) A. B. C. D. 【举一反三1】 已知A，B是两个锐角，且满足，，则实数t所有可能值的和为（　　） A. B. C.1 D. 【举一反三2】如果∠A是锐角，则下列结论正确个数为(　　)个． ①＝sinA－1；②sinA＋cosA＞1；③tanA＞sin A；④cosA＝sin(90°－∠A) A.1 B.2 C.3 D.4 【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，是第一象限内的点，且，则    ． 【举一反三4】已知tan α＝，那么sinα＝__________.(其中α为锐角) 【举一反三5】化简求值：，其中tanα＝2. 【题型27】根据正弦值确定角的大小 【典型例题】α为锐角，且sinα＝0.6，则(　　) A.0°＜α＜30° B.30°＜α＜45° C.45°＜α＜60° D.60°＜α＜90° 【举一反三1】已知是锐角，且，那么等于（         ） A. B. C. D. 【举一反三2】如果∠A是锐角，且sinA＝，那么∠A的范围是(　　) A.0°＜∠A＜30° B.30°＜∠A＜45° C.45°＜∠A＜60° D.60°＜∠A＜90° 【举一反三3】若∠A是锐角，且sinA＝，则（    ） A.0°＜∠A＜30° B.30°＜∠A＜45° C.45°＜∠A＜60° D.60°＜∠A＜90° 【举一反三4】已知为锐角，，则        ． 【举一反三5】已知为锐角，，则=          度． 【举一反三6】若，则锐角     ． 【举一反三7】若，则锐角           °． 【题型28】互余两角的三角函数关系 【典型例题】在中，，若，则的值为（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】在中，，若，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【举一反三2】在中，∠C=90°，如果，那么的值是(  ) A. B. C. D. 【举一反三3】在中， C=90°，tan A =3，tanB=         【举一反三4】在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，求cosB. 【题型29】由特殊角的三角函数值求角的度数 【典型例题】若sin(α－10°)＝，则∠α为(　　) A.30° B.40° C.60° D.70° 【举一反三1】已知sinα＝，则锐角α的度数是(　　) A.30° B.37° C.45° D.60° 【举一反三2】已知tan A＝1，则锐角A的度数是(　　) A.30° B.45° C.60° D.75° 【举一反三3】如果（为锐角），则    ，    ． 【举一反三4】已知a为锐角，且则           ． 【举一反三5】已知，求锐角． 【举一反三6】 在中， 已知 求的值． 【题型30】利用勾股定理求正切值 【典型例题】矩形中，，，以为直径在矩形内作半圆．切于点（如图），则的值为（　　）                   A. B. C. D. 【举一反三1】如图，内接于，为的直径，若，，则的值为（    ）                  A. B. C. D. 【举一反三2】在中，是边上的高，是边上的中线，．若，，则的值为（    ） A.2或 B.2或 C.3或 D.3或 【举一反三3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若c＝4a，则tan A＝__________. 【举一反三4】若中，，，则 ．                【举一反三5】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，求tan A和tan B. 【举一反三6】如图，在矩形中，，E是边上的一点，将沿着 折叠，点A恰好落在边上的点F 处，连接．          (1)求证：； (2)求的值． 【题型31】由特殊角的三角函数值求三角形内角的度数 【典型例题】如果，那么＝（     ）． A.30° B.45° C.60° D.90° 【举一反三1】把一块直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】在△ABC中，若|sinA－|＋（cosB-）2＝0，则∠C的度数是(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 【举一反三3】若，则锐角的度数为（  ） A. B. C. D. 【举一反三4】如果，那么＝（     ）． A.30° B.45° C.60° D.90° 【举一反三5】的两个锐角和满足， 则的度数是      ． 【举一反三6】在△ABC中，已知sinA＝，cosB＝，则∠C＝________度． 【举一反三7】已知中，均为锐角，且满足，则        ． 人教版（2024）九年级下册 28.1 锐角三角函数 讲义（参考答案） 【题型1】平面直角坐标系中求余弦值 【典型例题】如图，P是∠α的边OA上一点，且点P的坐标为(3，4)，则cosα的值是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】过点P作PQ⊥x轴于点Q，则OQ＝3，PQ＝4.在Rt△OPQ中，由勾股定理，可得OP＝5.∴cosα＝＝.故选A. 【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则cosα的值是（　　）    A. B. C. D.2 【答案】C 【解析】如图，作AH⊥x轴于H．    ∵A（2，1）， ∴OH＝2，AH＝1， ∴OA＝＝＝， ∴cosα＝＝＝， 故选：C． 【举一反三2】如图，已知锐角α的顶点在原点，始边为x轴的正半轴，终边经过(1，2)．如图，则sinα＝       ，cosα＝        ． 【答案】 【解析】如图，过P点作PD⊥x轴，垂足为D， ∵P（1，2） ∴OD=1，PD=2, ∴OP=, ∴,. 【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，点在点的左边，与轴交于点．抛物线的对称轴为直线，点的坐标为． (1)求点坐标； (2)求的值； (3)若点在该抛物线上，求的值． 【答案】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线，点的坐标为， ∴， ∴； （2）∵抛物线， 当时，， ∴，而， ∴， ∴； （3）∵抛物线的对称轴为直线，点的坐标为， ∴， 解得：， ∴抛物线为：， ∵点在该抛物线上， ∴即， 解得，． 【题型2】余弦值的变化情况 【典型例题】、都是锐角，且，则下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 解：∵   、都是锐角，且， ∴   ， ∴   ，，． 故选： 【举一反三1】如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂，阻力臂，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（    ）                   A.越来越小 B.不变 C.越来越大 D.无法确定 【答案】A 【解析】 解：∵动力×动力臂=阻力×阻力臂， ∴当阻力及阻力臂不变时，动力×动力臂为定值，且定值＞0， ∴动力随着动力臂的增大而减小， ∵杠杆向下运动时的度数越来越小，此时的值越来越大， 又∵动力臂， ∴此时动力臂也越来越大， ∴此时的动力越来越小， 故选：A． 【举一反三2】已知30°＜α＜60°，下列各式正确的是(　　) A.＜cosα＜ B.＜cosα＜ C.＜cosα＜ D.＜cosα＜ 【答案】C 【解析】∵cos30°＝，cos60°＝，锐角的余弦函数是减函数，∴＜cosα＜.故选C. 【举一反三3】三角函数、、之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 解：， 又，余弦值随着角度的增大而减小， ． 故选：C． 【举一反三4】已知30°＜α＜60°，下列各式正确的是(　　) A.＜cosα＜ B.＜cosα＜ C.＜cosα＜ D.＜cosα＜ 【答案】C 【解析】∵cos30°＝，cos60°＝，锐角的余弦函数是减函数，∴＜cosα＜.故选C. 【举一反三5】cos30°________ cos40°(填大小关系) 【答案】＞ 【解析】∵锐角的余弦值随着角的增大而减小，∴cos 30°＞cos40°. 【举一反三6】比较sin30°和cos30°的大小，用“＜”连接          ． 【答案】 sin30°＜cos30° 【解析】 解：∵cos30°=sin60°，正弦的锐角三角函数值随角度的增大而增大， ∴sin30°＜sin60°，故sin30°＜cos30° 故答案为：sin30°＜cos30°． 【举一反三7】比较大小： （用“”或“”填空）． 【答案】 ＞ 【解析】 解：∵45°＜55°， ∴cos45°＞cos55°． 故答案为：＞． 【题型3】直接由定义求正切值 【典型例题】如图，在中，，则的值是（    ） A.2 B. C. D. 【答案】B 【解析】解：∵， ∴． 故选：B. 【举一反三1】如图，在中，，，垂足为D．如果，那么的值是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：∵，，∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【举一反三2】中，，则        ． 【答案】/ 【解析】解：在中，， ∴， 故答案为：． 【举一反三3】如图，AB和⊙O切于点B，AB=5，OB=3，则tanA=         ． 【答案】 【解析】解：根据切线的性质，由直线AB与⊙O相切于点B，可得∠OBA=90° 所以tanA= 【举一反三4】如图，在中，． (1)求作分别与，相切，使得圆心O落在上，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，已知，，求的值． 【答案】解：（1）如图，作的角平分线，过作的垂线，垂足为， 以为圆心，为半径画圆，作于M， 由角平分线的性质可得：到的距离为圆的半径， ∴是的切线，即， 由作图可得：是的切线， ∴即为所求． （2）由（1）得：，，， ∵， ∵，， ∴， ∴． 【题型4】正弦值的变化情况 【典型例题】在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的4倍，那么锐角A的正弦值(　　) A.扩大4倍 B.缩小4倍 C.扩大16倍 D.没有变化 【答案】D 【解析】根据锐角三角函数的概念，知若各边长都扩大4倍，则sinA的值不变．故选D. 【举一反三1】在Rt△ABC中，若各边长都扩大5倍，则锐角A的正弦值(　　) A.不变 B.扩大5倍 C.缩小到原来的15 D.不能确定 【答案】A 【解析】设Rt△ABC的三边长为a，b，c，则sinA＝，如果各边长都扩大3倍，则sinA＝＝，故∠A的正弦值大小不变．故选A. 【举一反三2】若的各边都扩大倍，得到，那么锐角、的正弦值的关系为（ ） A. B. C. D.不能确定 【答案】C 【解析】解：设Rt△ABC直角为∠C，对应边分别为a、b、c， 故知sinA=， 当各边扩大3倍时， sinA′==， 故sinA=sinA′， 故选C． 【举一反三3】比较大小：sin65°__________sin55°(用“＞”或“＜”填空)． 【答案】＞ 【解析】∵65°＞55°，∴sin65°＞sin55°. 【举一反三4】比较大小：    ．（填“”，“”，或“”） 【答案】 【解析】解：由“一个锐角的正弦值随着锐角的增大而增大”可知， ， 故答案为：． 【举一反三5】在Rt△ABC中，∠C＝90°.当∠A确定时，它的正弦值是否随之确定？请说明理由． 【答案】解　在Rt△ABC中，∠C＝90°.当∠A确定时，它的正弦值是随之确定，理由是：sinA＝，∠A确定，∠A对边与斜边的比值是不变的． 【题型5】用计算器求锐角三角函数值 【典型例题】用计算器求的值，按键顺序是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 解：先按键“”，再输入角的度数，按键“”即可得到结果． 故选：D． 【举一反三1】若tan，利用科学计算器计算的度数，下列按键顺序正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 解：在计算器中按下，然后找到的按键符号，即键 按下键，再按键，A项符合题意 故选：A． 【举一反三2】利用计算器求值时，若按键顺序为则输出结果为          ．           【答案】 【解析】 解：由题意得，计算器输出的结果为， 故答案为：． 【举一反三3】用科学计算器计算： cos 32°≈        .(精确到0.01) 【答案】 2.68 【解析】 解： cos 32°=3.1623×0.8480≈2.68， 故答案为2.68． 【举一反三4】用计算器求下列各式的值．（结果精确到） (1)； (2)； (3)． 【答案】 解：（1）； （2）； （3） 【举一反三5】用计算器求下列锐角三角函数值，并填入表中： 随着锐角A的度数不断增大，有怎样的变化趋势？呢？呢？你能说明自己的结论吗？ 【答案】 解： 随着锐角A的度数不断增大，的值不断增大，的值不断减小，的值不断增大． 理由：在中，，假定的对边不变，当增大时，必有斜边减小，因此的值增大；假定的邻边不变，当增大时，必有斜边增大，对边增大，因此的值减小，的值增大． 【题型6】在正方形网格中求余弦值 【典型例题】如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的余弦值是(　　) A. B.1 C. D. 【答案】D 【解析】由圆周角定理，得∠AED＝∠ABD.在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC＝＝5，cos∠AED＝cos∠ABC＝＝＝，故选D. 【举一反三1】如图，个形状大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点已知菱形的一个角为，、、都在格点上；点在过、、三点的圆弧上，若也在格点上，且，则的值为（    ）    A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：在图中标上点、，连接，    四边形为菱形， ，平分． ， 为等边三角形， ，点为圆弧的圆心． ， 以点为圆心长度为半径补充完整圆，点即是所求，如图所示． 所对的圆周角为、， 图中所标点符合题意． 四边形为菱形，且，为等边三角形， ． 故选：B． 【举一反三2】如图，正方形网格中每个小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠OAB的余弦值是__________． 【答案】 【解析】如图，作OC⊥AB的延长线于点C，在Rt△OAC中，AC＝4，OA＝＝2，则cos ∠OAB＝＝＝＝. 【举一反三3】如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是________． 【答案】 【解析】连接AB，∵OA2＝12＋32＝10，AB2＝12＋32＝10，OB2＝22＋42＝20，∴OA2＋AB2＝OB2，OA＝AB，∴△AOB是等腰直角三角形，即∠OAB＝90°，∴∠AOB＝45°，∴cos ∠AOB＝cos45°＝. 【举一反三4】请按下列要求画图并填空： （1）平移线段使点平移到点，画出平移后所得的线段； （2）将线段绕点逆时针旋转90°，画出旋转后所得的线段，并直接写出 的值为　　      ． 【答案】解：（1）如图，CD为所求作线段． （2）如图 ，BE为所求作线段． 过点B作BF⊥CE于F． 在Rt△BCE中， ∵CF=1，BF=4， ∴CB= ∴cos∠BCF= ∴cos∠BCE= 故答案为： 【题型7】由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 【典型例题】若的内角满足，则的形状是（    ） A.直角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.三角不全相等的锐角三角形 【答案】A 【解析】 解：由题意得：，， 即，， ∴， ∴， 即的形状是直角三角形． 故选：A． 【举一反三1】在中，，那么是（    ） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 是等腰三角形 故选：A． 【举一反三2】若∠A、∠B为△ABC中的锐角，且(2sinA-)2＋(cosB-)2＝0，则△ABC是(　　) A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.无法确定 【答案】A 【解析】∵(2sinA-)2＋(cosB－)2＝0，∴2sinA－＝0，cos B－＝0，∴sinA＝，cosB＝，∴∠A＝60°，∠B＝60°，∴∠C＝60°，∴△ABC为等边三角形．故选A. 【举一反三3】中，均为锐角，且， 则的形状是          ． 【答案】 等边三角形 【解析】 解：， 解得， 在中，均为锐角， ， 是等边三角形， 故答案为：等边三角形． 【举一反三4】在△ABC中，∠A、∠B为锐角，且sinA＝，cosB＝，试判断△ABC的形状． 【答案】解　由△ABC中，∠A、∠B为锐角，且sinA＝，cos B＝，得∠A＝∠B＝30°，△ABC是等腰三角形． 【题型8】正切值的变化情况 【典型例题】已知30°＜α＜60°，下列各式正确的是(　　) A.22＜tanα＜ B.＜tanα＜ C.＜tanα＜ D.＜tanα＜ 【答案】C 【解析】∵tan30°＝，tan60°＝，锐角的正切值随着α的增大而增大，∴＜tan α＜.故选C. 【举一反三1】在RtABC中，∠C＝90°，各边都扩大5倍，则tanA的值（    ） A.不变 B.扩大5倍 C.缩小5倍 D.不能确定 【答案】A 【解析】 解：∵∠C＝90°，各边都扩大5倍所得的三角形与原三角形相似， ∴∠A的大小没有变， ∴tanA的值不变． 故选：A． 【举一反三2】随着锐角α的增大，tanα的值(　　) A.增大 B.减小 C.不变 D.增大还是减小不确定 【答案】A 【解析】当角度在0°～90°间变化时，正切值随着角度的增大而增大，故选A. 【举一反三3】比较tan20°，tan50°，tan70°的大小，下列不等式正确的是（　　） A.tan70°＜tan50°＜tan20° B.tan50°＜tan20°＜tan70° C.tan20°＜tan50°＜tan70° D.tan20°＜tan70°＜tan50° 【答案】C 【解析】 解：由正切函数随角增大而增大，得：tan20°＜tan50°＜tan70°， 故C符合题意． 故选C． 【举一反三4】在直角三角形中， 如果各边都扩大 1 倍， 则其锐角的正切值（   ） A.扩大 1 倍 B.没有变化 C.缩小为原来的一半 D.不能确定 【答案】B 【解析】 解：根据锐角三角函数的概念，知： 如果各边都扩大 1 倍，即各边都变为原来的2倍，边长比不变， 则其锐角的正切值不变． 故选：B． 【举一反三5】比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 解：在锐角三角函数中，正切值随角度的增加而增加， 故答案为：． 【举一反三6】比较、、和的大小，并由小到大排列：               ． 【答案】 【解析】 解：，正弦值随着角度的增大而增大 ， 故答案为： 【举一反三7】比较大小： （填“”或“”） 【答案】 【解析】 解：在锐角三角函数中，正切值随角度的增加而增加， ， 故答案为：． 【举一反三8】按从小到大的顺序用“”把，，，连接起来         【答案】 【解析】 解：∵20°＜40°＜60°＜80°， ∴. 故答案为t 【题型9】利用勾股定理求正弦值 【典型例题】如图，在矩形中，是边上两点，且，连接与相交于点，连接．若，，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：∵矩形，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴ 过点作，则：， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，∴； 故选A． 【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则sinA的值为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC＝＝12，∴sinA＝＝，故选B. 【举一反三2】在中，，则的正弦值为（    ） A. B. C.2 D. 【答案】B 【解析】解：如图所示： ∵， ∴， ∴； 故选B． 【举一反三3】△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝3，那么sinB＝________. 【答案】 【解析】∵在△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝3，∴AB＝＝＝，∴sinB＝＝＝. 【举一反三4】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，且AC＝1，BC＝2，则sin∠A＝____________. 【答案】 【解析】∵∠C＝90°，∴AC2＋BC2＝AB2，∵AC＝1，BC＝2，∴AB＝；∴sin∠A＝＝＝. 【举一反三5】如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE＝3AE，试求sin∠ECM的值． 【答案】解　设AE＝x，则BE＝3x，BC＝4x，AM＝2x，CD＝4x，则EC＝＝5x，EM＝＝x，CM＝＝2x，∵EM2＋CM2＝CE2，∴△CEM是直角三角形，∴sin∠ECM＝＝. 【题型10】根据余弦值确定角的大小 【典型例题】已知，则锐角的取值范围是（ 　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：，， 由可得， 在锐角范围内，余弦函数值随着角度的增大而减小， ， 故选：D． 【举一反三1】已知，A，B均为锐角，则A的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：∵， ∵， 当，越大，越小， 故． 故选D． 【举一反三2】当锐角的时，的值为（    ） A.小于 B.小于 C.大于 D.大于 【答案】A 【解析】解：根据cos45°＝，余弦函数随角增大而减小，则∠A一定小于45°． 故选：A． 【举一反三3】若锐角满足，则锐角的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：∵，， ∴； 故选C． 【举一反三4】若 为锐角，且cos0.6，则（   ） A.0 30 B.30 45 C.45 60 D.60 90 【答案】C 【解析】解：根据特殊的三角函数值,得 cos45°=，cos60°= 由于＜0.6＜ 故45°＜＜60° 所以选C. 【举一反三5】若cosA＞cos60°，则锐角A的取值范围是________． 【答案】0°＜A＜60° 【解析】由cosA＞cos60°，得0°＜A＜60°，故答案为0°＜A＜60°. 【举一反三6】已知为锐角，，则      度． 【答案】 【解析】解：∵为锐角，，， ∴， ∴， 故答案为： 【举一反三7】cosA =，A为锐角，则A =     ；2cos(α-10°) = 1，则锐角α =      . 【答案】 45°， 70°. 【解析】解：∵cos45°= 且A为锐角， ∴A=45°； ∵2 cos(α-10°) = 1， ∴cos(α-10°)= ， 又∵cos60°= ，且α为锐角， ∴α-10°=60°， ∴α=70°. 【举一反三8】已知为锐角，，则      度． 【答案】 【解析】解：∵为锐角，，， ∴， ∴， 故答案为： 【题型11】根据正切值确定角的大小 【典型例题】已知为锐角，且，则的度数为（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：∵， ∴， ∵为锐角， ∴， 解得：， 故选：C． 【举一反三1】已知tan α＝，则锐角α的取值范围是(　　) A.0°＜α＜30° B.30°＜α＜45° C.45°＜α＜60° D.60°＜α＜90° 【答案】C 【解析】∵tan30°＝≈0.577，tan45°＝1，tan60°＝≈1.732，又∵tan α＝＝1.2，∴tan45°＜tan α＜tan60°，∵锐角的正切值随角度的增大而增大，∴45°＜α＜60°，故选C. 【举一反三2】锐角α满足，且，则α的取值范围为（　　） A.30°＜α＜45° B.45°＜α＜60° C.60°＜α＜90° D.30°＜α＜60° 【答案】B 【解析】解：∵，且， ∴45°﹤α﹤90° ∵，且 ，∴0°＜α＜60°， ∴45°＜α＜60°． 故选：B． 【举一反三3】某同学遇到了这样一道题：，则锐角的度数应是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：∵，， ∴， ∴； 故选：C． 【举一反三4】已知∠A是Rt△ABC的一个内角，且tan A＜˙，那么∠A的取值范围是________． 【答案】0°＜∠A＜60° 【解析】∵∠A是Rt△ABC的一个内角，∴∠A＜90°，∵tanA＜，∴0°＜∠A＜60°. 【举一反三5】已知∠A是Rt△ABC的一个内角，且tan A＜˙，那么∠A的取值范围是________． 【答案】0°＜∠A＜60° 【解析】∵∠A是Rt△ABC的一个内角，∴∠A＜90°，∵tanA＜，∴0°＜∠A＜60°. 【举一反三6】已知tanA＝0.7，则∠A________________30°(填“＜”或“＞”)． 【答案】> 【解析】∵tanA＝0.7，tan30°＝≈0.577，∴∠A>30°,故答案为∠A>30° 【题型12】求特殊角的三角函数值 【典型例题】小明利用如图所示的量角器量出的度数，的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：由量角器读数可知， ∴， 故选：． 【举一反三1】等于（    ） A. B. C. D.1 【答案】B 【解析】解：sin60°= 故选B． 【举一反三2】在△ABC中，∠A＝120°，∠B＝45°，∠C＝15°，则cosB等于(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵cos 45°＝，∴cos B＝.故选D. 【举一反三3】已知∠A为锐角，且tanA=，则∠A的大小为        ． 【答案】60° 【解析】解：∵∠A为锐角，且tanA=， ∴∠A=60°. 故答案为60°. 【举一反三4】计算：sin30°+cos45°=    ． 【答案】 【解析】解：sin30°+cos45°=+=, 故答案为：. 【举一反三5】同学们，在我们进入高中以后，将还会学到下面三角函数公式： sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ， cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ 例：sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝ (1)试仿照例题，求出cos15°的准确值； (2)我们知道，tan α＝sinαcosα，试求出tan 15°的准确值． 【答案】解　(1)cos15°＝cos(45°－30°)=cos45°cos30°＋sin 45°sin30° ＝×＋×＝； (2)tan15°＝＝÷＝2－. 【题型13】直接由定义求余弦值 【典型例题】cosα表示的是(　　) A.一个角 B.一个实数 C.一个点 D.一条射线 【答案】B 【解析】解：由三角函数的定义可知，三角函数是线段的比值，所以三角函数是一个实数， 故选B． 【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C=90，sinA=，则cosB的值等于（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=， ∴若设BC=3x，则AB=5x， ∴cosB=. 故选B. 【举一反三2】一等腰三角形的两边长为5 cm和8 cm，则它的底角的余弦值是(　　) A. B.或 C.或 D.或 【答案】D 【解析】过顶点A作底边BC的垂线AD，如图，①当5 cm是底边时，BD＝BC＝×5＝，cosB＝＝÷8＝，②当8 cm是底边时，BD＝BC＝×8＝4，cosB＝＝，综上所述，底角的余弦值是或.故选D. 【举一反三3】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4，则cos∠ABC值是（     ）． A.2 B. C. D. 【答案】B 【解析】解：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4， ∴AB＝， ∴cos∠ABC＝， 故选：B． 【举一反三4】如图，Rt△ABC，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则cosB的值为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】cosB＝＝.故选A. 【举一反三5】在中，，，，那么      ． 【答案】 【解析】解：如图，，，， ， 故答案为． 【举一反三6】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于cosA的值的有      个 （1）；（2）；（3）；（4）． 【答案】3 【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高， ∴∠A＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCD＝90°， ∴∠A＝∠BCD， ∴cosA＝＝＝． 故（1），（2），（4）正确． 故答案为：3． 【举一反三7】已知CD是Rt△ABC斜边上的高线，且AB＝10，若BC＝8，则cos∠ACD＝__________. 【答案】 【解析】∵CD是Rt△ABC斜边上的高线，∴CD⊥AB，∴∠A＋∠ACD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠B＋∠A＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴cos∠ACD＝cosB＝＝＝. 【举一反三8】已知等腰三角形两条边的长分别是底角为，则     ． 【答案】或 【解析】解∶如图，当腰长为4时，过点A作于点D， ∴， ∴； 如图，当腰长为6时，过点A作于点D， ∴， ∴； 故答案为：或 【题型14】锐角三角函数值的变化情况 【典型例题】把各边的长度都扩大倍得到，其中与是对应顶点，则锐角的余弦值比锐角的余弦值（    ） A.扩大4倍 B.保持不变 C.缩小4倍 D.扩大2倍 【答案】B 【解析】 解：∵在中，各边的长度都扩大4倍， ∴各角的大小不变，即大小不变． ∵一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关， ∴锐角A的余弦值保持不变． 故选B． 【举一反三1】在中，各边的长度都缩小4倍，那么锐角A的三角函数值（  ） A.扩大4倍 B.保持不变 C.缩小2倍 D.缩小4倍 【答案】B 【解析】 解：∵在中，各边的长度都缩小4倍， ∴各角的大小不变，即大小不变． ∵一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关， ∴锐角A的余切值保持不变． 故选B． 【举一反三2】当角度在0°到90°之间变化时，函数值随着角度的增大而增大的三角函数是(　　) A.正弦和余弦 B.正弦和正切 C.余弦和正切 D.正弦、余弦和正切 【答案】B 【解析】当角度在0°到90°之间变化时，函数值随着角度的增大而增大的三角函数是正弦和正切．故选B. 【举一反三3】比较大小：     ． 【答案】 【解析】 解：根据题意作图如下，      在中，，， ， ， ， 故答案为：． 【举一反三4】如图所示的网格是正方形网格，则∠AOB     ∠COD．（填“＞”，“＝”或“＜”）        【答案】 = 【解析】 解：根据题意可知tan∠AOB＝2，tan∠COD＝2， ∴∠AOB＝∠COD， 故答案为＝. 【举一反三5】如图，已知和射线上一点（点与点不重合），且点到、的距离为、．          (1)若，，，试比较、的大小； (2)若，，，都是锐角，且． 试判断、的大小，并给出证明． 【答案】 解：（1）在中，， ， 在中，， ， 又， ； （2）由（1）得，， ， ， ． 【举一反三6】已知：如图，，、是上的两点，．        （1）求证：； （2）锐角的正切函数值随角度的增大而________． 【答案】 解：（1）∵， ∴和均为直角三角形， ∴，， ∴； 由（1）可知锐角的正切函数值随角度的增大而增大． 【题型15】利用勾股定理求余弦值 【典型例题】如图，四边形为菱形，对角线，交于点O，，垂足为E．若，，则为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：∵四边形为菱形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴AC=2OA=16， ∵， ∴，， 即， ∴， ∴， 故选：A． 【举一反三1】如图，中，，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：∵， ∴． ∴． 故选：D． 【举一反三2】如图，中，，，，为直线上一动点，连接． （1）           ． （2）线段的最小值是            【答案】 / 【解析】解：（1），，， ， ， 故答案为：； （2）当时，线段取得最小值， ，，，， ， 即， 解得， 故答案为：． 【举一反三3】如图，为的弦，C为上一点，于点D．若，，则        ． 【答案】 【解析】解：∵，， ∴， 在中，， ∴OD＝， ∴． 故答案为：． 【举一反三4】如图，在中，直径，与弦相交于点E，连接，若，求的值． 【答案】解：连结，如图， 是直径， ， 在中，，， ， ， 【题型16】锐角三角函数的定义 【典型例题】在中，为最大角，下列说法正确的是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：依题意，，如图所示， ，故A选项错误， ，故B选项正确， ，故C选项错误， ，故D选项错误， 故选：B． 【举一反三1】如图，点A（x，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，cosα＝， 则tanα的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：过A作AB⊥x轴于B，则∠ABO＝90°， ∵cosα＝， 设OB＝3x，则OA＝5x， ∵A（x，4）， ∴AB＝4， 由勾股定理得：， 所以， 解得：x＝1，x= -1（负数舍去）， 即OB＝3， ∴tanα＝＝， 故选：A． 【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3BC，则sinB＝________，cosB＝________. 【答案】　 【解析】设BC为x，则AB＝3x，由勾股定理得，AC＝＝2x，sinB＝＝，cosB＝＝. 【举一反三3】如图，在中，，，． 求的长、和的值．    【答案】解：在中，，，， 由勾股定理得， 则， 【举一反三4】在直角三角形ABC中，已知∠C＝90°，AB＝15，AC＝9，分别求出sinA和tan B的值． 【答案】解　如图，∵∠C＝90°，AB＝15，AC＝9， ∴BC＝＝12， ∴sinA＝＝，tanB＝＝. 【题型17】已知三角函数值求另一个三角函数值 【典型例题】△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA的值是（　　） A.2 B. C.2 D. 【答案】A 【解析】解：∵△ABC中，∠C=90°，sinA=， ∴cosA===， 则tanA==， 故选A． 【举一反三1】已知为锐角，且，那么的正切值为（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：∵，为锐角， ∴， ∴． 故选：A． 【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝则cosA等于（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：如图，画出， ∵， 设，， 根据勾股定理，， ∴． 故选：D． 【举一反三3】已知sinA＝，则cosA的值是(　　) A.2 B. C. D. 【答案】D 【解析】∵sinA＝，∴∠A＝30°，∴cosA＝.故选D. 【举一反三4】已知sinA＝，∠A为锐角，则cos2A等于(　　) A. B. C. D.1 【答案】A 【解析】∵sinA＝，∠A为锐角，∴∠A＝30°，∴cos2A＝cos 60°＝.故选A. 【举一反三5】在Rt△ABC中，∠ACB=90，sinB=，则cosB= ；若， 则=             ． 【答案】；15°． 【解析】解：根据sin2B+cos2B=1，sinB=， 所以cosB=； 因为， 所以 根据特殊角三角函数值可得，所以=15°． 【举一反三6】已知是锐角，，则    ° 【答案】 【解析】解：如图： 由，设， 则， 故 【举一反三7】已知，是锐角，则        . 【答案】 【解析】解：，是锐角， ， ． 故答案为：． 【题型18】先求三角函数值再求角的度数 【典型例题】某个水库大坝的横断面为梯形，迎水坡的坡度是1∶，背水坡为1∶1，那么两个坡的坡角和为(　　)． A.90° B.75° C.60° D.105° 【答案】B 【解析】解：由题意知： tanα==   ∴α=30°； tanβ==1， ∴β=45°． ∴∠α+∠β=75°． 故选B． 【举一反三1】如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝，下列判断正确的是(　　) A.∠A＝30° B.∠A＝45° C.cosA＝ D.tanA＝ 【答案】D 【解析】∵在直角△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝，∴tanA＝＝＝.故选D. 【举一反三2】在Rt△ABC中，已知∠B＝90°，AC＝10，AB＝5，则∠A等于(　　) A.45° B.30° C.60° D.50° 【答案】A 【解析】在Rt△ABC中，∵∠B＝90°，AC＝10，AB＝5，∴BC＝＝5，∴tanA＝＝1，∴∠A＝45°.故选A. 【举一反三3】如图，过点O、A(1，0)、B(0，)作⊙M，D为⊙M上不同于点O、A的点，则∠ODA的度数为（　　） A.60° B.60°或120° C.30° D.30°或150° 【答案】D 【解析】解：如图，连接， ，，， 在中，，， 由题意，分以下两种情况： （1）如图，当点在轴上方的圆弧上时， 由圆周角定理得：； （2）如图，当点在轴下方的圆弧上时， 由圆内接四边形的性质得：； 综上，的度数为或， 故选：D． 【举一反三4】中，，，，则      ． 【答案】/60度 【解析】解：如图，，，， ∴，， ∴，∴； 故答案为： 【举一反三5】在Rt△ABC中，∠C＝90°，2a＝c，则∠B＝________. 【答案】30° 【解析】在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，2a＝c，则cosB＝＝，∴∠B＝30°. 【举一反三6】如图⊙O是△ABC的外接圆，AD是的直径，连接CD，若半径为2，AC=，则∠B=           【答案】45° 【解析】解：∵AD是⊙O的直径，半径为2， ∴∠ACD=90°．AD=4 Rt△ACD中，AC=2 ，    sinD= 又∵∠B=∠D， 故答案为：45 ． 【题型19】平面直角坐标系中求正弦值 【典型例题】如图，在平面直角坐标系中，已知⊙A经过点E、B、O、C且点O为坐标原点，点C在y轴上，点E在x轴上，A（﹣6，4），则sin∠OBC的值为（     ）            A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：如图，连接EC，过A点作于点M，于点N．           ∵∠COE=90∘， ∴EC是⊙A的直径，∴EC过A点， ∵A点的坐标为(-6,4)，，， ，， 由垂径定理得：M点为OC的中点，N点为OE的中点， ，， 由勾股定理得：， ， ∵∠OBC=∠OEC， ， 故选C． 【举一反三1】如图，点D(0，3)，O(0，0)，C(4，0)在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD的值是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】如图所示，连接CD，∵D(0，3)，C(4，0)，∴OD＝3，OC＝4，∵∠COD＝90°，∴CD＝＝5，∵同弧所对的圆周角相等∴∠OBD＝∠OCD，∴sin∠OBD＝sin∠OCD＝＝.故选D. 【举一反三2】如图，已知∠α的一边在x轴上，另一边经过点A(2，4)，顶点为(－1，0)，则sinα的值是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】作AC⊥x轴于点C，由题意得，BC＝3，AC＝4，由勾股定理得AB＝5，则sinα＝＝，故选D. 【举一反三3】如图所示，直径为的经过点和点、是轴右侧优弧上一点，则 ．    【答案】 【解析】解：连接并延长到圆上一点D，             ∵为直径， ∴，即x轴交于点D， ∵点，点， ∴， ∴． 故答案为：． 【举一反三4】如图，四边形的边与y轴的正半轴重合，垂直于x轴，反比例函数的图象经过四边形的对角线，的交点．            （1）若，则 ； （2）若的面积为2，则k的值为           ． 【答案】 / 【解析】解：（1）作于点E，如图所示：               ∵， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴，． ∵的面积为2， ∴， ∴， ∴， ∵，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【举一反三5】如图，点C是线段上一点，直线，垂足为点C．                     (1)在直线l上作一点P，使（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，若，求的值． 【答案】解：（1）如图所示，点P即为所求．                   （2）解法一：设，， 由（1）可知，， ，， ， ， ，即， 整理得，， 解得，， ， 解法二：设，， 由（1）可知，， ，即， 整理得，， 解得，， ． 【题型20】在正方形网格中求正弦值 【典型例题】如图，每个小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上，则的值是（　　）                   A.1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 解：由图可知，且， ∴， ∴． 故选：D． 【举一反三1】如图，在单位长度为1的网格中，的三个顶点均在格点上，则的值等于（　　）                     A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 解：由图可得，          ， ∴， ∴， 故选：A． 【举一反三2】在正方形网格中，的位置如图所示，则sin∠BAC的值为           ．                        【答案】 /0.6 【解析】 解：连接格点DC、BD．           在Rt△ABD中， ∵CD=3，AD=4， ∴AC==5． ∴sin∠BAC=． 故答案为：． 【举一反三3】如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为          ．                      【答案】 /0.8 【解析】 解：如图，过点A作AH⊥BC于H．           在Rt△ACH中，∵AH=4，CH=3， ∴AC==5， ∴sin∠ACH=， 故答案为：． 【举一反三4】多边形面积的求解有多种方法，通过不同方法的应用，可以求解某些边和角． [基础掌握]在中，，，．求的面积； [灵活运用]在中，，，．求的面积； [迁移提升]如图，的顶点都在边长为的小正方形的顶点上，请直接写出的值．                    【答案】 解：（1）如图所示，                 过点作于点， ∵，， ∴, ∵． ∴的面积为； （2）如图所示，过点作于点，               ∴， ∴，， ∴, ∴的面积为； （3）∵， , , 又∵, ∴． 【举一反三5】图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的三个顶点均在格点上．            只用无刻度的直尺，在图①、图②中分别画一个△PBC，使点P在格点上， 且∠BPC=∠BAC，所画的两个三角形不全等，不要求写出画法． (2) sin∠BPC=______． 【答案】 解：（1）解：以点A为圆心，AB的长为半径画⊙A，⊙A经过格点P1、P2、P3、P4、P5、P6，取其中一个点P与点B、C相连； 图①△BP1C即为所求、图②△BP5C即为所求； ； （2）取BC的中点D，连接AD， ∵AB=AC， ∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=∠BAC， ∴∠BPC=∠BAD， AB=， ∴sin∠BPC= sin∠BAD =． 【题型21】已知锐角三角函数值用计算器求角的度数 【典型例题】已知，求a，若用计算器计算且结果为“30”，最后按键(   ) A.AC10N B.SHIET C.MODE D.SHIFT 【答案】D 【解析】解：“SHIFT”表示使用该键上方的对应的功能． 故选D． 【举一反三1】已知sinA=0.1782，则锐角A的度数大约为（　　） A.8° B.9° C.10° D.11° 【答案】C 【解析】解：使用2nd键，然后按sin-1 0.1782即可求出∠A的度数． ∴sinA=0.1782，∴∠A≈10°． 故选C． 【举一反三2】已知，则锐角的度数大约为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：用计算器计算可得，． 故选：B． 【举一反三3】（1）若sinα=0.5138，则锐角α=         ； （2）若2cosβ=0.7568，则锐角β=         ； （3）若tan A=37.50，则∠A=         （结果精确到1〞）. 【答案】 30.92° 67.77° 88°28′21″ 【解析】解：(1)若sinα=0.5138，则锐角 (2)若2cosβ=0.7568，则锐角 (3)若tanA=37.50，则 故答案为 【举一反三4】已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角： (1)sinA＝0.7325，sinB＝0.0547； (2)cosA＝0.6054，cosB＝0.1659； (3)tanA＝4.8425，tanB＝0.8816. 【答案】解　(1)∵sinA＝0.732 5，∴∠A≈47.1°，∵sinB＝0.054 7，∴∠B≈3.1°； (2)∵cosA＝0.605 4，∴∠A≈52.7°，∵cosB＝0.1659，∴∠B≈80.5°； (3)∵tanA＝4.842 5，∴∠A≈78.3°，∵tanB＝0.8816，∴∠B≈41.4°. 【举一反三5】利用计算器求下列各锐角的度数．（精确到） （1），求； （2），求； （3），求； （4），求． 【答案】解：（1），∴； （2）∵，∴； （3）∵，∴； （4）∵，∴． 【题型22】直接由定义求正弦值 【典型例题】已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sinA的值是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】sinA＝＝，故选A. 【举一反三1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则sinB的值是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴sinB＝，故选C. 【举一反三2】在直角三角形ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，AC＝4，则sinB＝________. 【答案】 【解析】∵∠C＝90°，∴sinB＝，∵AB＝5，AC＝4，∴sinB＝＝. 【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，BC＝1，AC＝. (1)求sinA的值． (2)你能通过sinA的值求sin∠CBD的值吗？若能，请求出sin∠CBD的值，若不能，请说明理由． 【答案】解　(1)在Rt△ABC中，sinA＝＝＝； (2)能．∵BD⊥AC， ∴∠BDC＝90°， ∵∠CBD＋∠C＝90°，∠A＋∠C＝90°， ∴∠A＝∠CBD， ∴sin∠CBD＝sinA＝. 【题型23】特殊角的三角函数值的运算 【典型例题】的值等于（    ） A.1 B. C. D.2 【答案】B 【解析】解： ． 故选：B． 【举一反三1】sin45°－cos60°等于(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．原式＝－＝，故选C. 【举一反三2】计算：          ． 【答案】 【解析】解：， 故答案为： 【举一反三3】      ． 【答案】1 【解析】解：， 故答案为：． 【举一反三4】计算：4cos30°-tan45°tan60°+2sin45°. 【答案】解　原式＝4×-+2×＝+. 【题型24】平面直角坐标系中求正切值 【典型例题】如图，P是∠α的边OA上一点，点P的坐标为(12,5)，则tanα等于(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】过P作PE⊥x轴于点E，∵P(12,5)，∴PE＝5，OE＝12，∴tanα＝＝，故选C. 【举一反三1】在直角坐标系xOy中，点P(4，y)在第四象限内，且OP与x轴正半轴的夹角的正切值是2，则y的值是(　　) A.2 B.8 C.－2 D.－8 【答案】D 【解析】如图，∵点P(4，y)在第四象限内，∴OA＝4，PA＝－y又OP与x轴正半轴的夹角的正切值是2，∴tan∠AOP＝2，∴＝2，∴－y＝2×4，∴y＝－8.故选D. 【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，与y轴相交于B点，直线与圆相切，，若，则的值是          ．             【答案】 【解析】 解：设直线与相切于点D，交y轴于点E，连接，则，如图所示：   ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【举一反三3】如图是直线的图像，求锐角的三个三角函数值．            【答案】 解：如图，     直线的图象与x轴的交点A为（，0），即OA=； 与y轴的交点B为（0，5），即OB=5； 则AB==； ===， ， ． 【题型25】在正方形网格中求正切值 【典型例题】如图，在的正方形网格中，A，B，C是正方形网格的格点，连接，则的值是（     ）           A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 解：如图，取格点E，连接交于点D，则， 设小正方形边长为1，则， ∵正方形的对角线相等且相互平分， ； 由勾股定理得，， ， 故选：C． 【举一反三1】如图，的三个顶点均在正方形网格的格点上，则tanA的值是（    ）                       A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 解：如图，过B作BD垂直于AC的延长线，垂足为D，         , 则在RT△ABD中，AD=5，BD=6， ∴， 故选A． 【举一反三2】如图，已知A、B、C三点均在格点上，则tanA的值为____________． 【答案】 【解析】连接BC，设每个小正方形边长为1，则BC＝＝，AC＝＝2，AB＝＝5，∵BC2＋AC2＝AB2，∴∠BCA＝90°，∴tanA＝＝＝，故答案为. 【举一反三3】如图，由边长为1的正方形构成的9×5网格，小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上        (1) _______； (2)仅用无刻度的直尺在上找一点E，使平分； （画图过程中起辅助作用的用虚线表示，画图结果用实线表示） (3)求的值． 【答案】 解：（1）由勾股定理可得， 故答案为：5 （2）如图所示，即为所求，            ∵ ∴ ∴四边形是菱形， ∴平分， 即即为所求； （3）∵平分， ∴， 在中，， ∴， 即的值为． 【举一反三4】如图，正方形网格中的每一个小正方形的边长都是1，四边形的四个顶点都 在格点上，O为边的中点，若把四边形绕着点O顺时针旋转180°， 试解决下列问题：              (1)画出四边形旋转后的图形四边形； (2)设点B旋转后的对应点为，求的值． 【答案】 解：（1）四边形如图所示；         （2）连接，则，，，则，， ∴，则为直角三角形， ∴， ∴． 【题型26】同角三角函数的关系 【典型例题】在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则cosA的值为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】如图，∵tanA＝＝，∴设BC＝x，则AC＝3x，∴AB＝＝x，∴cos A＝＝＝.故选D. 【举一反三1】 已知A，B是两个锐角，且满足，，则实数t所有可能值的和为（　　） A. B. C.1 D. 【答案】C 【解析】解： A，B是两个锐角，且满足，， ， 即， ， ， 解得， 故选：C． 【举一反三2】如果∠A是锐角，则下列结论正确个数为(　　)个． ①＝sinA－1；②sinA＋cosA＞1；③tanA＞sin A；④cosA＝sin(90°－∠A) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】∵在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，如图，sinA＝，cosA＝，tan A＝，∴＝1－sin A，sinA＋cos A＝＋＝＞1，tanA＞sinA，∵cos A＝，sin (90°－∠A)＝sin B＝，∴cos A＝sin(90°－∠A)，即正确的有②③④，共3个，故选C. 【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，是第一象限内的点，且，则    ． 【答案】 【解析】解：如图： 作于C点， ∵， ∴，， ∵， ∴， 由勾股定理，得， ∴， 故答案为：． 【举一反三4】已知tan α＝，那么sinα＝__________.(其中α为锐角) 【答案】 【解析】∵∠C＝90°，∠A＝α，∵tanα＝＝，设BC＝4x，AC＝3x，由勾股定理，得AB＝＝5x，∴sinα＝sin∠A＝＝＝. 【举一反三5】化简求值：，其中tanα＝2. 【答案】解　∵tanα＝＝2， ∴sinα＝2cosα， ∴＝＝＝. 【题型27】根据正弦值确定角的大小 【典型例题】α为锐角，且sinα＝0.6，则(　　) A.0°＜α＜30° B.30°＜α＜45° C.45°＜α＜60° D.60°＜α＜90° 【答案】B 【解析】∵sin30°＝0.5，sin45°＝≈0.71，又sinα＝0.6，∴30°＜α＜45°.故选B. 【举一反三1】已知是锐角，且，那么等于（         ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：∵∠A是锐角，且sinA=，∴∠A=45°． 故选B． 【举一反三2】如果∠A是锐角，且sinA＝，那么∠A的范围是(　　) A.0°＜∠A＜30° B.30°＜∠A＜45° C.45°＜∠A＜60° D.60°＜∠A＜90° 【答案】C 【解析】∵sin30°＝，sin45°＝，sin60°＝，又∵＜＜，∴45°＜∠A＜60°，故选C. 【举一反三3】若∠A是锐角，且sinA＝，则（    ） A.0°＜∠A＜30° B.30°＜∠A＜45° C.45°＜∠A＜60° D.60°＜∠A＜90° 【答案】A 【解析】解：∵∠A是锐角，且sinA＝＜＝sin30°， ∴0°＜∠A＜30°， 故选：A． 【举一反三4】已知为锐角，，则        ． 【答案】 【解析】解：∵a为锐角，且， ∴， 解得：． 故答案为：． 【举一反三5】已知为锐角，，则=          度． 【答案】75 , 【解析】解：∵α为锐角，， ∴α-15°=60°， 则α=75°； 故答案为 75°． 【举一反三6】若，则锐角     ． 【答案】 【解析】解：∵， ∴， ∴，即． 故答案为：． 【举一反三7】若，则锐角           °． 【答案】70 【解析】解：， ， 解得：， 故答案为：70． 【题型28】互余两角的三角函数关系 【典型例题】在中，，若，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：∵在中，，∴，∴； 故选：A 【举一反三1】在中，，若，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：∵cosB=cos（90°-A）=sinA=， 故选C． 【举一反三2】在中，∠C=90°，如果，那么的值是(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：∵Rt△ABC中,   ∴ ∴ ∴ 故选A. 【举一反三3】在中， C=90°，tan A =3，tanB=         【答案】 【解析】解：在中， C=90°， ∴， ∴. 故答案为. 【举一反三4】在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，求cosB. 【答案】解　∵tan A＝，∴∠A＝60°，∵∠A＋∠B＝90°，∴∠B＝90°－60°＝30°，∴cos B＝. 【题型29】由特殊角的三角函数值求角的度数 【典型例题】若sin(α－10°)＝，则∠α为(　　) A.30° B.40° C.60° D.70° 【答案】D 【解析】sin(α－10°)＝，得α－10°＝60°，α＝70°，故选D. 【举一反三1】已知sinα＝，则锐角α的度数是(　　) A.30° B.37° C.45° D.60° 【答案】D 【解析】∵sin α＝，∴锐角α＝60°.故选D. 【举一反三2】已知tan A＝1，则锐角A的度数是(　　) A.30° B.45° C.60° D.75° 【答案】B 【解析】∵tanA＝1，A为锐角，tan45°＝1，∴∠A＝45°.故选B. 【举一反三3】如果（为锐角），则    ，    ． 【答案】 45° 30° 【解析】解：∵， ∴，， ∴，， ∵α、β为锐角， ∴α=45°，β=30°． 故答案为：45°，30°． 【举一反三4】已知a为锐角，且则           ． 【答案】60°/60度 【解析】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【举一反三5】已知，求锐角． 【答案】解：∵， ∴， 即， ∴， 又∵是锐角， ∴． 【举一反三6】 在中， 已知 求的值． 【答案】解：   ∴，， ∴ 【题型30】利用勾股定理求正切值 【典型例题】矩形中，，，以为直径在矩形内作半圆．切于点（如图），则的值为（　　）                   A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 解：四边形为矩形， ，，， 为直径， 、与半圆相切， 而切于点，如下图：   ，， 设，则， ， 在中，， ，解得， ． 故选：B． 【举一反三1】如图，内接于，为的直径，若，，则的值为（    ）                  A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 解：连接，     为的直径，， ，， ， ， 故选：A． 【举一反三2】在中，是边上的高，是边上的中线，．若，，则的值为（    ） A.2或 B.2或 C.3或 D.3或 【答案】D 【解析】 如图1，当H在上时，作，垂足为E， ∵，，， ∴，． ∵是边上的中线， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴． ∴，， 故； 如图2，当H在的延长线上时，同理可得可得 ，， 故． 故选D． 【举一反三3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若c＝4a，则tan A＝__________. 【答案】 【解析】设a＝x，则c＝4x，由勾股定理得b＝x，tanA＝＝，故答案为. 【举一反三4】若中，，，则 ．                【答案】 / 【解析】 解：∵，， ∴，∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【举一反三5】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，求tan A和tan B. 【答案】解　∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，∴BC＝＝＝12，∴tanA＝＝，tanB＝＝. 【举一反三6】如图，在矩形中，，E是边上的一点，将沿着 折叠，点A恰好落在边上的点F 处，连接．          (1)求证：； (2)求的值． 【答案】 解：（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠可知： ， ∴， ∴， ∴． （2） 由折叠可知：， 在中，， ， ∴， , 由折叠可知: ∵， ∴， ∴， ∴. 【题型31】由特殊角的三角函数值求三角形内角的度数 【典型例题】如果，那么＝（     ）． A.30° B.45° C.60° D.90° 【答案】A 【解析】解：原方程可化为：， 解得：或， ∵， ∴，则， 故选：A． 【举一反三1】把一块直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∵直尺的两边平行， ∴， ∴； 故选B． 【举一反三2】在△ABC中，若|sinA－|＋（cosB-）2＝0，则∠C的度数是(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 【答案】D 【解析】由题意得sinA＝，cos B＝，则∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝180°－30°－60°＝90°.故选D. 【举一反三3】若，则锐角的度数为（  ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：，为锐角， ， 故选：A． 【举一反三4】如果，那么＝（     ）． A.30° B.45° C.60° D.90° 【答案】A 【解析】解：原方程可化为：， 解得：或， ∵， ∴，则， 故选：A． 【举一反三5】的两个锐角和满足， 则的度数是      ． 【答案】/度 【解析】解：∵， ∴且，， ∴且， ∴且， ∵， ∴． 故答案为：． 【举一反三6】在△ABC中，已知sinA＝，cosB＝，则∠C＝________度． 【答案】120 【解析】∵sinA＝，cosB＝，∴∠A＝30°，∠B＝30°，∴∠C＝180°－30°－30°＝120°. 【举一反三7】已知中，均为锐角，且满足，则        ． 【答案】 【解析】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $