精品解析：重庆市第二十九中学校2025-2026学年九年级第一学期数学1月阶段性作业训练

2025-2026学年度九年级第一学期数学1月阶段性作业训练 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑） 1. 如图图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项符合题意； B．是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 2. 若是关于的方程的解，则的值是（ ） A. 2020 B. 2022 C. 2021 D. 2024 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，注意整体思想的运用． 将 代入方程，求出 的值，再整体代入所求表达式计算． 【详解】解：是方程的解， ， ． ． 故选： B． 3. 已知点都在双曲线上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的增减性是解题的关键． 先根据反比例函数性质得出此函数在每一象限内的增减性，再由各点横坐标的值进行判断即可解答． 【详解】解：∵双曲线y中，， ∴双曲线在第一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小， ∵， 、在第一象限，在第三象限， ∴，． ∴． 故选：B． 4. 如图，、为的两条弦，的半径为r，，，连接、，与交于点H，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆心为O，连接、、、、，证明是等边三角形，则，得到，证明是直角三角形，，得到，根据三角形内角和定理得到的度数． 【详解】解：设圆心为O，连接、、、、， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， 故选：B 【点睛】此题考查了圆周角定理、勾股定理的逆定理、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 5. 已知不透明的袋中只装有黑、白两种球共30个，这些球除颜色外都相同，其中黑球有n个，若随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过100次重复试验，共有61次摸出黑球，则n的值最可能是（ ） A. 5 B. 10 C. 16 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据频率估计概率，根据概率求数量． 根据频率估计概率，摸出黑球的频率为，即概率约为，结合概率公式计算即可． 【详解】解：∵摸出黑球的频率为， ∴摸出黑球的概率约为， ∴． 故选：D． 6. 如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）． A. ①和② B. ②和③ C. ①和③ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，勾股定理，掌握好相似三角形的判定定理是关键． 结合网格图与勾股定理，计算出每个三角形的三边长，利用三边对应成比例的判定定理判断相似三角形． 【详解】解：由网格图和勾股定理可得， ①中三角形的三边长为，，； ②中三角形的三边长为，，； ③中三角形的三边长为，，； ④中三角形的三边长为，，； ∵， ∴①和③中的三角形相似． 故选：C． 7. 如图，在中，，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，若点恰好落在边上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．先根据三角形内角和定理计算出，再根据旋转的性质得到，接着利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，然后计算即可． 【详解】解：在中， ，， ， 绕点A按逆时针方向旋转得到，若点恰好落在边上， ， ， ， ． 故选：C． 8. 若抛物线（m是常数）的图象只经过第一、二、四象限，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质； 将抛物线解析式化成顶点式，可得抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，然后根据题意得出关于m的不等式组，求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∵抛物线（m是常数）的图象只经过第一、二、四象限， ∴， ∴， 故选：C． 9. 如图所示，正方形中，，、分别是、上的点，且，、分别是、的中点，连接，则以下结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】先利用正方形性质和判定证明，结合中点性质推出，再通过计算、、、的长度，用勾股定理算出并判断其不等于，最后通过对应边比例不相等证明和不相似，从而得出只有结论②和④正确． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 又， ∴，故②正确； 在中， ， ∵ ∴，， ∵、分别是、的中点， ∴，， ∴，故④正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴，故③错误； ∵，， ∴， ∴和不相似，故①错误； 综上，正确的有②，④． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形判定与性质、相似三角形判定与性质、勾股定理，利用全等三角形的性质得到对应边相等、对应角相等，结合勾股定理与相似三角形判定条件分析线段与角度关系是解题的关键． 10. 关于x的一元二次方程（a，b，c为常数，且，）下列说法： ①若一元二次方程无实数根，则一元二次方程也无实数根； ②若一元二次方程满足，，则一元二次方程有两个相同的实数根； ③若一元二次方程的一个根是，则是一元二次方程的根． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式与方程根的定义，对于说法①，利用一元二次方程根的判别式判断方程是否有实根；对于说法②，通过已知条件推导、与的关系，再代入目标方程计算判别式；对于说法③，将已知根代入原方程，再验证目标值是否满足新方程． 【详解】解：对于①，无实数根， ； 方程的判别式， 也无实数根，故①正确； 对于②，， ，代入得，化简得； 将、代入，得； ，两边除以得， 其判别式， 有两个相同的实数根，故②正确； 对于③，是的根， ； 将代入，得， 是的根，故③正确； 综上，①②③均正确，正确的个数是3． 故选：D． 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分，请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上） 11. 已知，则解为_____________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解比例；根据比例的性质进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 12. 如图，反比例函数的图像经过的顶点轴，点在轴上，若点的坐标为，则实数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，熟练运用反比例函数的性质解题的关键． 设点，根据题意可得的值，即可求点坐标，代入解析式可求解． 【详解】解：∵轴，点的坐标为， 设点， ∵， 解得：， ∴， ． 故答案为： ． 13. 一个群里有若干个好友，每个好友都分别给群里其他好友发了一条消息，这样共有条消息，求这个群里有多少个好友，设这个群有个好友，则可列方程_________． 【答案】 【解析】 【分析】每个好友都有一次发给群其他好友消息的机会，即每两个好友之间要互发一次消息；设有个好友，每人发条消息，则发消息共有条． 【详解】解：设有个好友，依题意，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 14. 如图，的对角线、交于点平分交于点，且，，连结．下列结论正确的是_____．（填序号） ①；②；③；④． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，根据角平分线得到为等边三角形，根据等腰三角形的性质结合外角得到，则，故，根据平行四边形对角线互相平分可得是中位线，设，则，由，得，由勾股定理得：，则，在中，由勾股定理得：，故，由，得到，设，则，故，则． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故①正确， ∵， ∴， ∴， 故②正确， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴是中位线， 设，则， 而， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， 故③正确， ∵是中位线， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∴， ∴, 故④错误， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的性质，直角三角形的性质，三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键． 15. 如图，已知的半径长为2，为直径，点P是一动点，，连接，以为斜边，在上方构造直角三角形且满足，． （1）若是的切线，求_____． （2）求的最大值为_____． 【答案】 ①. 或 ②. ## 【解析】 【分析】（1）分情况讨论，分别画出图形，解直角三角形，即可求解； （2）以为斜边构造直角三角形且满足，，证明，得出进而得出，进而根据点到圆上的距离最值问题，即可求解． 【详解】解：（1）如图所示， ∵的半径长为，为直径，， ∴ 又∵是的切线， ∴，， ∴， ∵，． ∴，， ∵ ∴ ∴ 在中，； 如图所示，过点作于点， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ 在中，． 故答案为：或； （2）如图所示，以为斜边构造直角三角形且满足，，则 ∵， ∴， ∴，即 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动， ∴的最大值为 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 16. 二次函数的图象如图．点位于坐标原点，点，，，…，在y轴的正半轴上，点，，，…，在二次函数位于第一象限的图象上，点，，，…，在二次函数位于第二象限的图象上，四边形，四边形，四边形，…，四边形．都是菱形，，则的边长为______，菱形的周长为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】过点作垂直轴于点，过点作垂直轴于点，过点作垂直轴于点，过点于点，过点于点，根据四边形，四边形，四边形，…，四边形．都是菱形，，得到是等边三角形，设点坐标为，则：，在中，，求出点的坐标，进而求出的边长，菱形的周长，同法求出菱形的周长，菱形的周长，进而推出菱形的周长． 【详解】过点作垂直轴于点，过点作垂直轴于点，过点作垂直轴于点，过点于点，过点于点， ∵四边形，四边形，四边形，…，四边形．都是菱形，， ∴是等边三角形； 设点坐标为，则：， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， ∴， ∴的边长为， ∴菱形的周长； 设点坐标为，在中， ， 且， ∴， 解得，或 (舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的周长； 同法可得：菱形的周长； ∴菱形的周长为：； 故答案为：，． 【点睛】本题考查二次函数与特殊四边形的综合应用，解直角三角形．熟练掌握菱形的性质，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键． 三、解答题（本大题9个小题，第17，18小题各8分，其余每小题8分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程、配方法解一元二次方程；熟练掌握解一元二次方程的几种方法是解题的关键． （1）根据因式分解法解一元二次方程进行求解即可； （2）先将方程化简，再根据配方法解一元二次方程进行求解即可． 【小问1详解】 解： 即或， 解得：或， ∴，． 【小问2详解】 解： ， 解得：，． 18. 笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长（单位：）与电磁波的频率（单位：）之间为反比例函数的关系，已知当波长时，频率． （1）求电磁波的频率关于电磁波的波长的函数表达式； （2）当时，求此电磁波的波长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键． （1）设解析式为，用待定系数法求解即可； （2）把代入（1）所求得的解析式中，即可求得此电磁波的波长． 【小问1详解】 解：设频率关于电磁波的波长的函数解析式为， 把点代入得：， 解得：， ； 【小问2详解】 解：当时，， 解得． 答：当时，此电磁波的波长为． 19. 【模型认知】“阿氏圆”，是阿波罗尼斯圆的简称，已知在平面内两点A、B，则所有满足的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．如图①，在中， ，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，求最小值． 第一步：如图②，连结圆心C与动点P； 第二步：以半径为公共边，构造“母子”型相似． 第三步：计算的长度，由可得，即． 第四步：，如图③，当A、P、M三点共线时最小，此时 ______． 【模型探究】如图④，在中， ，D为上一点，小明同学认为当时，的长是长的一半，于是给出如下证明： ∵， ∴ 证明过程缺失 ∴ ∴ 请补全缺失的证明过程． 【模型应用】如图⑤，在扇形中， ，点P为扇形上一动点，则的最小值为______． 【答案】【模型认知】； 【模型探究】证明：∵， ∴ ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 【模型应用】13 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的有关性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，两点之间，线段最短，本题是阅读型题目，熟练掌握题干中的方法并熟练应用是解题的关键． 模型认知：连结圆心C与动点P，以半径为公共边，构造“母子”型相似，利用相似三角形的判定与性质求得，则当A、P、M三点共线时最小，利用勾股定理解答即可； 模型探究：利用相似三角形的判定与性质解答即可； 模型应用：延长至点E使，连接，利用相似三角形的判定与性质得到，则，当点E，P，B在一条直线上时，为线段，利用勾股定理解答即可得出结论． 【详解】解：模型认知：连结圆心C与动点P，以半径为公共边，构造“母子”型相似，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． ∴， ∴当A、P、M三点共线时最小，如图， ∵， 此时． 故答案为：； 模型探究：略 模型应用：解：延长至点E使，连接，如图， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴当点E，P，B在一条直线上时，最短为线段， ∴的最小值． ∴的最小值为13． 故答案为：13． 20. 9月23日，第19届亚运会在杭州开幕，小明和小亮相约一起去亚运会比赛现场为中国队加油，比赛现场的观赛区分为A、B、C、D四个区域，购票以后系统随机分配观赛区域． （1）小明购买门票在A区观赛的概率为： ； （2）求小明和小亮在同一区域观看比赛的概率．（请用画树状图或列表说明理由） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式可得答案． （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及小明和小亮在同一区域观看比赛的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中小明购买门票在A区观赛的结果有1种， ∴小明购买门票在A区观赛的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中小明和小亮在同一区域观看比赛的结果有4种， ∴小明和小亮在同一区域观看比赛的概率为． 21. 端午节是我国的传统节日．粽子是端午节的美食之一，粽子寓意着丰收和平安．某商店在端午节来临之前，去当地的批发市场订购赤豆粽和肉丁粽两种进行试销．已知肉丁粽的单价是赤豆粽单价的2倍，用1600元购进肉丁粽的数量比用700元购进赤豆粽的数量多50个． （1）赤豆粽和肉丁粽的单价分别是多少？ （2）若该商店把肉丁粽以6元/个销售时，那么半个月可以售出200个．根据销售经验，把肉丁粽的单价每提高2元，销量会相应减少40个．将售价定为多少元时，才能既让利于顾客，又使半个月销售肉丁粽获得的利润为540元？ 【答案】（1）赤豆粽的单价是2元，肉丁粽的单价是4元 （2）7元 【解析】 【分析】（1）设赤豆粽的单价是x元，则肉丁粽的单价是元，根据用1600元购进肉丁粽的数量比用700元购进赤豆粽的数量多50个，列出分式方程，解方程即可； （2）设肉丁粽的售价为m元，则销量为个，根据使半个月销售肉丁粽获得的利润为540元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 本题考查了一元二次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 【小问1详解】 解：设赤豆粽的单价是x元，则肉丁粽的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的根，且符合题意， ， 答：赤豆粽的单价是2元，肉丁粽的单价是4元； 【小问2详解】 解：设肉丁粽的售价为m元，则半个月的销量为个， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：将售价定为7元时，才能既让利于顾客，又使半个月销售肉丁粽获得的利润为540元． 22. 如图，在长方形中，，，是的中点，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿的方向向终点A运动，设点Q运动的时间为x秒． （1）点Q在运动的路线上和点C之间的距离为4时， 秒． （2）若的面积为S，用含x的代数式表示． （3）若点Q从A出发3秒后，点M以每秒6个单位长度的速度沿的方向运动，M点运动到达D点后立即沿着原路原速返回到A点，当M与Q在运动的路线上相距不超过4时，请直接写出相应x的取值范围． 【答案】（1）4或8 （2） （3）或或 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，求函数表达式，一元一次不等式组的应用．解题的关键是理清题意，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解． （1）分点在和上两种情况进行讨论求解； （2）分点在上，在上和上，三种情况讨论求解即可； （3）分到达之前，到达之后返回未到达和返回到达，三种情况进行讨论求解． 【小问1详解】 解：∵长方形， ∴； ①当点在上与点相距时， 即：， 解得：； ②当点在上与点相距4时， 即：， 解得； 综上：或； 故答案为：4或8； 【小问2详解】 解：∵是的中点，且， ∴； 当时，如图1， 由，得 ， 整理得，； 当时，如图2， 由，得 ， 整理得，； 当时，如图3， 由，得 ， 整理得，， 综上所述，． 【小问3详解】 解：由题意，可知：当点到达点时，所需时间为：秒； 如图4，点到达前： 由题意，得：， 解得：； 当点到达点时， ， 解得：， 如图5，点返回，但未到达点， 由题意，得：， 解得：； 当点回到点，则 ， 解得：； ∵，此时点未到达点， 如图6，由题意，得：， 解得：． 综上：或或． 23. 小明玩一种游戏，每次挪动珠子的颗数与对应所得分数如下表： 挪动珠子的颗数 2 3 4 5 6 … 对应所得分数/分 2 6 12 20 30 … （1）当挪动的珠子为7颗、8颗时，对应所得分数分别为多少？ （2）设挪动n颗珠子时所得分数为P，请用含n的代数式表示P． 【答案】（1）分，分 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，有理数的运算，用代数式表示规律，能根据所给表格发现挪动的珠子颗数与所得分数之间的关系是解题的关键． （1）根据所给表格，发现挪动的珠子颗数与所得分数之间的关系即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． 【小问1详解】 解：由所给表格可知， 当挪动的珠子颗数为2时，所得分数为：； 当挪动的珠子颗数为3时，所得分数为：； 当挪动的珠子颗数为4时，所得分数为：； ， ∴当挪动的珠子颗数为时，所得分数为分． 当时， （分）， 当时， （分）， ∴当挪动的珠子为7颗、8颗时，对应所得分数分别为分和分． 【小问2详解】 解：由（1）知， ． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作轴，交于点D．点M是y轴上的一动点，连接．当线段长度取得最大值时，求周长的最小值； （3）将该抛物线进行平移，使得平移后的抛物线经过（2）中周长取得最小值时的点M，且与x轴交于两点（E在F的左侧），连接．点N为平移后的抛物线上的一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或． 【解析】 【分析】（1）由抛物线对称轴，得到，再根据抛物线上点的坐标特征，求出的值，即可求解； （2）先求出抛物线与坐标轴的交点，进而利用待定系数法求出直线的解析式为，设点，则，得出，即当时，线段长度取得最大值，过点作关于轴的对称点，则，连接，根据轴对称的性质可知，当点、、三点共线时，有最小值，最小值为，求出的长，即可得到答案； （3）利用待定系数法，求出直线的解析式为，进而得出，再利用待定系数法，求出平移后的抛物线解析式为，由勾股定理得，连接，过点作于点，证明是等腰直角三角形，得到，，再利用等面积法和勾股定理，求出，，从而得到，设，分两种情况讨论：①若点在轴上方；②若点在轴下方，得到，分别过点作轴的垂线，利用正切值列方程，求出的值，即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴是直线， ， ， ， 抛物线经过点， ， 解得：， ， 抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：抛物线的表达式为， 令，则，即， 令，则， 解得：，， ，， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 设点，则， ， ， 当时，线段长度取得最大值， ， 过点作关于轴的对称点，则，连接， ， ， 即当点、、三点共线时，有最小值，最小值为， ，， ， 周长的最小值为； 【小问3详解】 解：由（2）可知，， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 令，则， ， 设平移后的抛物线解析式为， 平移后的抛物线过点，且与x轴的左交点为， ，解得：， 平移后的抛物线解析式为， 令，则， 解得：或， ， ，， ， 如图，连接，过点作于点， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， 设， ①若点在轴上方，此时， ， ， 过点作轴于点， ， ，， ， 整理得：， ， 解得：（舍）或， 当时，， 点N的坐标为． ②若点在轴下方，此时或， ， ， 过点作轴于点， ， ，， ， 整理得：， ， 解得：（舍）或， 当时，， 点N的坐标为， 综上可知，符合条件的点N的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，求函数解析式，二次函数与坐标轴的交点问题，轴对称求最短路径问题，二次函数的平移，解直角三角形的应用，因式分解法解一元二次方程等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． 25. 如图1，已知点E为正方形内的一点，连接．将线段绕点B顺时针方向旋转得到，连接，． （1）【问题发现】 如图1，线段与的数量关系是 ，线段与位置关系是 ； （2）【问题探究】 如图2，点E为正方形外的一点，将绕点B顺时针方向旋转得到，连接，，探究线段与的数量及位置关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】 如图3，在中，，，点D为外一点，且，点O为的中点，连接，，，若，，求的长． 【答案】（1）； （2） ，，理由如下， 线段绕点顺时针方向旋转得到， ，， 四边形为正方形， ，， ，即， 在和中， ， ， ，， 如图，设直线交于点，交于点， ，， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据证明，得出，，延长交于点，交于点，然后根据三角形外角的性质可得出，即可得出结论； （2）根据证明，得出，，设直线交于点，交于点，然后根据三角形外角的性质可得出，即可得出结论； （3）过作交的延长线于点，连接，过作，根据三角形中位线定理得出，证明是等腰直角三角形，得出，，证明，得出，则可求，在中，根据勾股定理可求出，即可求解． 【小问1详解】 解：线段绕点顺时针方向旋转得到， ，， ， 四边形为正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， 如图，延长交于点，交于点， ，， ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过作交的延长线于点，连接，则， ， ， ， 根据勾股定理可得， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 过作，则， 是中点， ， 是中点， 是的中位线， ， 设，则， ， ， ， 在中，， ， 解得或（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度九年级第一学期数学1月阶段性作业训练 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑） 1. 如图图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是关于的方程的解，则的值是（ ） A. 2020 B. 2022 C. 2021 D. 2024 3. 已知点都在双曲线上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，、为的两条弦，的半径为r，，，连接、，与交于点H，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知不透明的袋中只装有黑、白两种球共30个，这些球除颜色外都相同，其中黑球有n个，若随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过100次重复试验，共有61次摸出黑球，则n的值最可能是（ ） A. 5 B. 10 C. 16 D. 18 6. 如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）． A. ①和② B. ②和③ C. ①和③ D. ①②③ 7. 如图，在中，，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，若点恰好落在边上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 若抛物线（m是常数）的图象只经过第一、二、四象限，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，正方形中，，、分别是、上的点，且，、分别是、的中点，连接，则以下结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 10. 关于x的一元二次方程（a，b，c为常数，且，）下列说法： ①若一元二次方程无实数根，则一元二次方程也无实数根； ②若一元二次方程满足，，则一元二次方程有两个相同的实数根； ③若一元二次方程的一个根是，则是一元二次方程的根． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分，请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上） 11. 已知，则解为_____________ 12. 如图，反比例函数的图像经过的顶点轴，点在轴上，若点的坐标为，则实数的值为______． 13. 一个群里有若干个好友，每个好友都分别给群里其他好友发了一条消息，这样共有条消息，求这个群里有多少个好友，设这个群有个好友，则可列方程_________． 14. 如图，的对角线、交于点平分交于点，且，，连结．下列结论正确的是_____．（填序号） ①；②；③；④． 15. 如图，已知的半径长为2，为直径，点P是一动点，，连接，以为斜边，在上方构造直角三角形且满足，． （1）若是的切线，求_____． （2）求的最大值为_____． 16. 二次函数的图象如图．点位于坐标原点，点，，，…，在y轴的正半轴上，点，，，…，在二次函数位于第一象限的图象上，点，，，…，在二次函数位于第二象限的图象上，四边形，四边形，四边形，…，四边形．都是菱形，，则的边长为______，菱形的周长为______． 三、解答题（本大题9个小题，第17，18小题各8分，其余每小题8分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长（单位：）与电磁波的频率（单位：）之间为反比例函数的关系，已知当波长时，频率． （1）求电磁波的频率关于电磁波的波长的函数表达式； （2）当时，求此电磁波的波长． 19. 【模型认知】“阿氏圆”，是阿波罗尼斯圆的简称，已知在平面内两点A、B，则所有满足的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．如图①，在中， ，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，求最小值． 第一步：如图②，连结圆心C与动点P； 第二步：以半径为公共边，构造“母子”型相似． 第三步：计算的长度，由可得，即． 第四步：，如图③，当A、P、M三点共线时最小，此时 ______． 【模型探究】如图④，在中， ，D为上一点，小明同学认为当时，的长是长的一半，于是给出如下证明： ∵， ∴ 证明过程缺失 ∴ ∴ 请补全缺失的证明过程． 【模型应用】如图⑤，在扇形中， ，点P为扇形上一动点，则的最小值为______． 20. 9月23日，第19届亚运会在杭州开幕，小明和小亮相约一起去亚运会比赛现场为中国队加油，比赛现场的观赛区分为A、B、C、D四个区域，购票以后系统随机分配观赛区域． （1）小明购买门票在A区观赛的概率为： ； （2）求小明和小亮在同一区域观看比赛的概率．（请用画树状图或列表说明理由） 21. 端午节是我国的传统节日．粽子是端午节的美食之一，粽子寓意着丰收和平安．某商店在端午节来临之前，去当地的批发市场订购赤豆粽和肉丁粽两种进行试销．已知肉丁粽的单价是赤豆粽单价的2倍，用1600元购进肉丁粽的数量比用700元购进赤豆粽的数量多50个． （1）赤豆粽和肉丁粽的单价分别是多少？ （2）若该商店把肉丁粽以6元/个销售时，那么半个月可以售出200个．根据销售经验，把肉丁粽的单价每提高2元，销量会相应减少40个．将售价定为多少元时，才能既让利于顾客，又使半个月销售肉丁粽获得的利润为540元？ 22. 如图，在长方形中，，，是的中点，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿的方向向终点A运动，设点Q运动的时间为x秒． （1）点Q在运动的路线上和点C之间的距离为4时， 秒． （2）若的面积为S，用含x的代数式表示． （3）若点Q从A出发3秒后，点M以每秒6个单位长度的速度沿的方向运动，M点运动到达D点后立即沿着原路原速返回到A点，当M与Q在运动的路线上相距不超过4时，请直接写出相应x的取值范围． 23. 小明玩一种游戏，每次挪动珠子的颗数与对应所得分数如下表： 挪动珠子的颗数 2 3 4 5 6 … 对应所得分数/分 2 6 12 20 30 … （1）当挪动的珠子为7颗、8颗时，对应所得分数分别为多少？ （2）设挪动n颗珠子时所得分数为P，请用含n的代数式表示P． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作轴，交于点D．点M是y轴上的一动点，连接．当线段长度取得最大值时，求周长的最小值； （3）将该抛物线进行平移，使得平移后的抛物线经过（2）中周长取得最小值时的点M，且与x轴交于两点（E在F的左侧），连接．点N为平移后的抛物线上的一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 25. 如图1，已知点E为正方形内的一点，连接．将线段绕点B顺时针方向旋转得到，连接，． （1）【问题发现】 如图1，线段与的数量关系是 ，线段与位置关系是 ； （2）【问题探究】 如图2，点E为正方形外的一点，将绕点B顺时针方向旋转得到，连接，，探究线段与的数量及位置关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】 如图3，在中，，，点D为外一点，且，点O为的中点，连接，，，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $