专题 1.4 二次根式的意义与性质（专项练习）- 2025-2026学年浙教版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 1.4 二次根式的意义与性质（专项练习） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）下列各式中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的识别，二次根式有意义的条件，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据二次根式的定义，需满足被开方数非负且根指数为2．选项A被开方数为负，选项B根指数不为2，选项D在给定条件下被开方数为负，只有选项C的被开方数恒为正，符合定义． 解：二次根式定义为()，且根指数为2． ，被开方数，故A不符合； ，根指数为3，故B不符合； ， ∵， ∴，且根指数为2，故C符合； 且，则，被开方数小于0，故D不符合． 故选：C． 2．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·月考）若式子有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 根据被开方数是非负数列式求解即可． 解：∵有意义， ∴， ∴， ∴． 因此，x的取值范围是． 故选：D． 3．（24-25八年级下·四川泸州·期中）下列是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了最简二次根式的识别，解题的关键是掌握最简二次根式的定义． 最简二次根式需满足：被开方数为整数或整式，且不含能开得尽方的因数或因式，也不含分母． 解：A. ，该选项不是最简二次根式； B. ，该选项不是最简二次根式； C. ，该选项不是最简二次根式； D. 该选项被开方数为整式，且无开得尽方的因式，也无分母，该选项是最简二次根式； 故选：D． 4．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先观察数轴得，则，再化简，即可作答． 解：观察数轴得， 则， ∴ ， 故选：A． 5．（25-26八年级上·上海松江·期中）若是整数，且有意义，则的值是（    ） A．1或3 B．0或1 C．2或 D．0或 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，确定整数x的取值范围，并分别计算即可． 解：∵ 和有意义， ∴ 且 ， 即 ． 又∵ 是整数， ∴ 可取1，2，3． 当时，； 当时，； 当时，． ∴ 的值为或2， 故选：C． 6．（23-24八年级下·河南新乡·月考）若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 【答案】C 【分析】本题考查解二次根式方程，涉及二次根式乘法运算、二次根式定义及解一元一次方程等知识，熟练掌握二次根式定义是解决问题的关键． 先由二次根式乘法运算化简，再由二次根式定义得到方程，解一元一次方程即可得到答案． 解：， ， ，即，解得， 故选：C． 7．（23-24八年级下·宁夏吴忠·月考）观察分析下列各数：，，，，，，，根据其中的规律，则第10个数是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题是数字规律探究题，观察题目找出规律被开方数依次增加3是解题的关键． 解：∵，，，，，，， ∴第个数为， ∴第10个数是， 故选C． 8．（25-26八年级下·全国·周测）已知，，为的三条边的长，则化简的结果是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了三角形三边关系、二次根式以及绝对值的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 先根据化简二次根式，然后利用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断绝对值内的正负，从而化简表达式． 解：∵ 是 的三边， ∴ ，即 ， ∴ . 又 ∵，即， ∴. ∴ 原式   . 故选：D． 9．（25-26七年级上·北京海淀·期末）化简后等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的性质：时，；时，；时，，二次根式有意义的条件．由题意得，得到，得到，再根据二次根式的性质化简即可． 解：∵被开方数非负， ∴， ∵， ∴，即， ∴且， ∴， 故选：C． 10．（25-26八年级上·山西运城·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，点A到直线的距离是（　　） A．1 B．2 C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理与勾股定理逆定理，由勾股定理结合勾股定理逆定理得出为直角三角形，设点A到直线的距离是为h，再由等面积法计算即可得出答案，正确判断出为直角三角形是解此题的关键． 解：由勾股定理得：， ， 为直角三角形，， 设点A到直线的距离是为h， ， ， ， ∴点A到直线的距离是2， 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级上·全国·期末）化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．根据二次根式的性质，化简即可． 解：． 故答案为：． 12．（25-26九年级上·福建泉州·期中）已知最简二次根式与可以合并，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了同类二次根式的定义． 根据同类二次根式的定义，两个最简二次根式可以合并的条件是被开方数相同． 解：由题意，与可以合并， 因此它们是同类二次根式， 故被开方数相等， 即， 解方程：， 移项得， 解得． 故答案为：4． 13．（2026·四川遂宁·一模）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的定义，根据二次根式的被开方数大于等于0，确定的值，然后代入求，最后计算． 解：由二次根式的定义可得：， 解得：， 将代入可得：， ． 故答案为：． 14．（23-24九年级下·贵州铜仁·月考）若实数a，b，c分别表示的三条边，且a，b满足，则的第三条边c的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，二次根式的非负性，三角形的三边关系． 根据非负数的性质求出a和b的值，再根据三角形的三边关系确定c的取值范围即可． 解：∵，，， ∴，， ∴，， ∵实数a，b，c分别表示的三条边， ∴， 即． 故答案为：． 15．（25-26九年级上·黑龙江大兴安岭·月考）函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键． 根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案． 解：由题意得：且且， 解得：且且， 即且． 故答案为：且． 16．（2024·湖南·二模）《九章算术》中的“方田章”论述了三角形面积的求法：“圭田术曰，半广以乘正广”，就是说：“”，我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中也提出了“三斜求积术”，即可以利用三角形的三条边长来求三角形面积，用式子可表示为：（其中为三角形的三条边长，S为三角形的面积）．在中，，则的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查代数式求值，利用三角形面积公式求解即可． 解：∵， ∴, ∴， 故答案为：． 17．（25-26八年级上·福建福州·期末）已知顶角为，且底边与腰的比为黄金分割比的等腰三角形叫做黄金三角形．如图，是黄金三角形，D为上一点，且，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了新定义下的三角形，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，二次根式的化简，解题的关键是掌握以上性质，并理解新定义． 根据新定义求出,根据等腰三角形以及三角形内角和定理求出相关角的度数，证明，然后根据线段的和差即可求解． 解：∵是黄金三角形， ∴， ∴, ∵为等腰三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 18．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，点是以点为圆心，为半径画弧与数轴的交点，点是以点为圆心，为半径画弧与数轴的交点，数轴上点，表示的数分别为，．化简为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，实数与数轴，二次根式性质的化简与求值，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题．根据勾股定理求得，，求得，，代入式子后根据二次根式的性质进行化简即可． 解：由图可知，根据勾股定理： ， ， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级下·上海·期中）已知关于的方程有一个实数根是，试求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据方程的解的定义把代入原方程得到，再由二次根式有意义的条件和二次根式的非负性可得，解之即可得到答案． 解：∵关于的方程有一个实数根是， ∴， ∴， ∵， ∴． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·江苏无锡·月考）计算： (1)； (2)； 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查实数的混合运算及二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）原式分别化简，再进行加减运算即可； （2）原式分别化简绝对值和二次根式，然后再合并即可． （1）解： ； （2）解： ． 21．（本小题满分10分）（2023八年级上·江苏泰州·竞赛）已知实数a、b满足：，且，求的值． 【答案】2024 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，有理数混合运算，绝对值意义，先根据二次根式的性质和绝对值意义，乘方运算法则，求出a、b的值，再利用裂项法求和计算即可． 解：∵有意义， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则 ． 22．（本小题满分10分）（24-25八年级上·四川广元·月考）如图，平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，且满足． (1)求A、B两点的坐标； (2)若点C是第二象限内一点，且，过点A作于F，求证：． 【答案】(1)A、B两点的坐标分别为 (2)证明见解答 【分析】（1）由非负数的性质得，所以，则A、B两点的坐标分别为； （2）先由“同角的余角相等”证明，再根据全等三角形的判定定理“”证明，得． （1）解：∵，， ， ， ， ∴ A ， B两点的坐标分别为． （2）证明：∵于点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】此题重点考查非负数的性质、图形与坐标、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识与方法，求得、及证明是解题的关键． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·全国·课后作业）自习课上，张玉看见同桌刘敏在练习本上写的题目是“求式子中实数的取值范围”，她告诉刘敏：“你把题目抄错了，不是‘’，而是‘’，”刘敏说：“哎呀，真抄错了，好在不影响结果，反正和都在根号内．”刘敏说得对吗？也就是说，按照解题和按照解题的结果一样吗？ 【答案】刘敏说得不对，结果不一样． 【分析】将两个式子分别计算比较最后结果是否相同即可； 本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的计算方法是解题的关键． 解：按照解题， 则，且， 即，或，， 解得或． 按照解题， 则，， 解得． 故刘敏说得不对，结果不一样． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）【阅读材料】著名数学教育家波利亚曾说：“对于一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”新湘教版八年级《数学》上册84页第10题描述了一个有趣的数学现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：，等． 【猜想】（1）______； 【推理证明】（2）分析上述式子，你能猜出其中的规律吗？用字母n表示这一规律，并验证你的猜想是否正确． 【创新应用】（3）按此规律，若（a，b为正整数），求的值． 【答案】（1）；（2）（，且n为正整数），见解析；（3）14或34或71 【分析】本题考查二次根式的化简与求值，分式的混合运算，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键， （1）根据题中“穿墙”的定义，写出符合定义的数即可； （2）根据“穿墙”的定义，用表示即可； （3）根据“穿墙”的定义得到，整理得到，分情况求出，的值，代入即可得到答案． 解：（1），证明如下， ， 故答案为：； （2），证明如下， ； （3）∵ ∴根据（2）规律可得： ∴ ∴ ∵a，b为正整数 ∴或或 ∴或或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.4 二次根式的意义与性质（专项练习） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）下列各式中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·月考）若式子有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·四川泸州·期中）下列是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·上海松江·期中）若是整数，且有意义，则的值是（    ） A．1或3 B．0或1 C．2或 D．0或 6．（23-24八年级下·河南新乡·月考）若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 7．（23-24八年级下·宁夏吴忠·月考）观察分析下列各数：，，，，，，，根据其中的规律，则第10个数是（  ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·全国·周测）已知，，为的三条边的长，则化简的结果是（    ） A． B．0 C． D． 9．（25-26七年级上·北京海淀·期末）化简后等于（   ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·山西运城·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，点A到直线的距离是（　　） A．1 B．2 C． D．5 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级上·全国·期末）化简 ． 12．（25-26九年级上·福建泉州·期中）已知最简二次根式与可以合并，则的值是 ． 13．（2026·四川遂宁·一模）已知，则的值为 ． 14．（23-24九年级下·贵州铜仁·月考）若实数a，b，c分别表示的三条边，且a，b满足，则的第三条边c的取值范围是 ． 15．（25-26九年级上·黑龙江大兴安岭·月考）函数中，自变量x的取值范围是 ． 16．（2024·湖南·二模）《九章算术》中的“方田章”论述了三角形面积的求法：“圭田术曰，半广以乘正广”，就是说：“”，我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中也提出了“三斜求积术”，即可以利用三角形的三条边长来求三角形面积，用式子可表示为：（其中为三角形的三条边长，S为三角形的面积）．在中，，则的面积为 ． 17．（25-26八年级上·福建福州·期末）已知顶角为，且底边与腰的比为黄金分割比的等腰三角形叫做黄金三角形．如图，是黄金三角形，D为上一点，且，，则的长为 ． 18．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，点是以点为圆心，为半径画弧与数轴的交点，点是以点为圆心，为半径画弧与数轴的交点，数轴上点，表示的数分别为，．化简为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级下·上海·期中）已知关于的方程有一个实数根是，试求的值． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·江苏无锡·月考）计算： (1)； (2)； 21．（本小题满分10分）（2023八年级上·江苏泰州·竞赛）已知实数a、b满足：，且，求的值． 22．（本小题满分10分）（24-25八年级上·四川广元·月考）如图，平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，且满足． (1)求A、B两点的坐标； (2)若点C是第二象限内一点，且，过点A作于F，求证：． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·全国·课后作业）自习课上，张玉看见同桌刘敏在练习本上写的题目是“求式子中实数的取值范围”，她告诉刘敏：“你把题目抄错了，不是‘’，而是‘’，”刘敏说：“哎呀，真抄错了，好在不影响结果，反正和都在根号内．”刘敏说得对吗？也就是说，按照解题和按照解题的结果一样吗？ 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）【阅读材料】著名数学教育家波利亚曾说：“对于一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”新湘教版八年级《数学》上册84页第10题描述了一个有趣的数学现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：，等． 【猜想】（1）______； 【推理证明】（2）分析上述式子，你能猜出其中的规律吗？用字母n表示这一规律，并验证你的猜想是否正确． 【创新应用】（3）按此规律，若（a，b为正整数），求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $