专题 1.3 二次根式的运算（知识梳理 + 题型精析 +中考真题）- 2025-2026学年浙教版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 1.3 二次根式的运算（知识梳理+题型精析+中考真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】二次根式的乘除运算法则 1 ★【题型 1】二次根式的乘除运算法则辨析 2 ★【题型 2】二次根式的乘除运算 3 ★★【题型 3】二次根式的乘除运算 6 【知识点二】同类二次根式 8 ★【题型 4】同类二次根式 8 【知识点三】二次根式的加减 10 ★【题型 5】二次根式的加减 10 ★★【题型 6】二次根式的加减 12 ★★【题型 7】二次根式的加减乘法混合运算 14 ★★【题型 8】二次根式的化简求值 17 ★★【题型 9】二次根式的加减乘法混合运算的应用 20 二.中考真题 22 （一）单选题（6题） 22 （二）填空题（6题） 24 （三）解答题（4题） 27 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示基础题，带★★★表示基础题 【知识点一】二次根式的乘除运算法则 特别提醒：二次根式运算的结果，如果能够化简，那么应把它化简为最简二次根式. ★【题型 1】二次根式的乘除运算法则辨析 【例题1】（25-26八年级上·广东茂名·期中）下列各式运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的化简与运算，解题的关键是掌握二次根式的化简和运算法则． 根据二次根式的性质逐一判断，注意算术平方根的非负性和分母有理化． 解：∵ 对于选项A：， ∴ 正确，符合题意； 对于选项B：， ∴ 错误，不符合题意； 对于选项C：， ∴ 错误，不符合题意； 对于选项D：， ∴ 错误，不符合题意； 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·河南焦作·月考）下列各式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的性质以及乘除运算，根据二次根式的性质以及乘除法运算法则逐项计算，进而可得答案． 解：A、，正确，不符合题意； B、，正确，不符合题意； C、，原计算错误，符合题意； D、，正确，不符合题意． 故选：C． 【变式2】（23-24八年级下·福建莆田·期中）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别根据二次根式的乘法法则可判断A，二次根式的除法法则可判断B，二次根式的乘方的运算法则可判断C、D． 解：A、，故选项A计算错误； B、，故选项B计算正确； C、，故选项C计算错误； D、，故选项D计算错误． 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式的乘除与乘方，熟知二次根式的乘除法法则以及乘方运算法则是解答此题的关键． 【变式3】（24-25九年级上·广西百色·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，根据二次根式乘除法的运算法则进行计算即可，掌握运算法则是解题的关键． 解： ， 故答案为：． ★【题型 2】二次根式的乘除运算 【例题2】（25-26八年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先运算乘法，然后化简二次根式即可； （2）先运算二次根式的乘除法，然后化为最简二次根式即可． （1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1】（23-24八年级下·广西柳州·期中）计算结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘除法则计算即可． 解： ， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，二次根式的运算，根据算术平方根，立方根，二次根式的运算逐一进行判断即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 解：、，该选项计算错误，不符合题意； 、由，则 ，该选项计算错误，不符合题意； 、，该选项计算正确，符合题意； 、，该选项计算错误，不符合题意； 故选：． 【变式3】（24-25九年级下·江苏泰州·月考）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次根式的乘法，二次根式的除法，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）-（3）按照二次根式的乘法运算法则计算即可； （4）按照二次根式的乘除混合运算法则计算即可． （1）解： （2）解： （3）解： （4）解： ★★【题型 3】二次根式的乘除运算 【例题3】（2026八年级下·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将系数部分相乘，再将被开方数部分相乘，合并后化简二次根式得到结果； （2）先计算系数的乘除，再将被开方数部分进行乘除运算，化简后得到结果． （1）解：原式 ． （2）解：由题意得：， 原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，掌握二次根式乘除时，系数与系数运算、被开方数与被开方数运算，再化简结果是解题的关键． 【变式1】（25-26八年级上·全国·周测）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算以及分母有理化． 根据二次根式运算法则，分别计算各个选项即可得出答案． 解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，故D正确． 故选：D 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1） ． （2） ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，解题的关键是准确化简． （1）（2）根据二次根式的乘除法则化简计算即可． 解：（1）原式 （2）原式 故答案为：①，②． 【变式3】（25-26八年级上·上海·月考）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘除法、二次根式的化简、二次根式有意义的条件，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先化简二次根式，再计算二次根式的除法，然后计算二次根式的乘法即可得； （2）先根据二次根式有意义的条件可得，再计算二次根式的乘法，然后化简二次根式即可得． （1）解：原式 ． （2）解：由题意可知，， 则， 则原式 ． 【知识点二】同类二次根式 1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式. 2.合并同类二次根式：把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似) ★【题型 4】同类二次根式 【例题4】（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）已知最简二次根式与是同类二次根式． (1)求的值； (2)若，化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查最简二次根式、同类二次根式，二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）由最简二次根式、同类二次根式的定义可得，解方程即可； （2）先判断出，，再化简绝对值和二次根式即可． （1）解：由题意，得， 解得． （2）解：由，得， ，． 原式 ． 【变式1】（2025八年级上·上海·专题练习）若，下列各式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的性质，同类二次根式．同类二次根式需化简后根号内表达式相同，逐项判断即可． 解：A．，与不是同类二次根式，不合题意； B．与不是同类二次根式，不合题意； C．与不是同类二次根式，不合题意； D．，与是同类二次根式，符合题意； 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）若与最简二次根式可以合并，则a的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，先把化为最简二次根式，再根据与最简二次根式可以合并可知的被开方数与化为最简二次根式后被开方数相同，据此求解即可． 解：∵与最简二次根式可以合并， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·甘肃定西·月考）已知与是可以合并的最简二次根式，求的值． 【答案】 【分析】本题考查合并同类二次根式，解一元二次方程，根据题意得到两个二次根式是同类二次根式，列出一元二次方程，进行求解即可． 解：依题意，得：， 解得：， 当时，不是最简二次根式， 故舍去， ． 【知识点三】二次根式的加减 （1）二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. （2）二次根式加减运算的步骤： 　　（1）将每个二次根式都化简成为最简二次根式； 　　（2）判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； 　　（3）合并同类二次根式. ★【题型 5】二次根式的加减 【例题5】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的加减， 对于（1），先将二次根式化成最简二次根式，再计算即可； 对于（2），先将二次根式化成最简二次根式，再去括号，然后计算即可； （1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1】（2025·上海·模拟预测）记，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，二次根式的加法运算，根据新定义运算分别求出和，再相加即可求解，理解新定义是解题的关键． 解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的加减运算，掌握二次根式的加减运算法则是解本题的关键． 根据二次根式的加减运算法则逐一验证各选项的正确性即可． 解：选项A：，故错误． 选项B：3与不是同类二次根式，无法合并，，故错误． 选项C：，故正确． 选项D：，故错误． 故选：C． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算，解题的关键是正确化简二次根式． （1）先化简二次根式，再去括号进行加减运算； （2）先化简二次根式，再去括号进行加减运算． （1）解： （2）解： ★★【题型 6】二次根式的加减 【例题6】（22-23八年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式的加减运算法则，是解题的关键： （1）（2）先化简，再合并即可； （1）解：原式； （2）原式． 【变式1】（24-25九年级上·黑龙江绥化·月考）已知实数a、b，定义“△”运算如下：，计算的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，解题关键是理解新定义的含义，列出正确的算式． 根据已知条件中的新定义，列出算式，进行二次根式的加减法即可； 解：∵， ∴ 故选：A 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）若两根绳子的长分别为和，则这两根绳子一共长 m． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加法法则，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 先根据将二次根式化简成最简二次根式再进行加减即可． 解：， ． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的加减，在解题时把二次根式化成最简二次根式是解题的关键． （1）根据二次根式的性质，化简计算，即可得到答案； （2）根据二次根式的性质，化简计算，即可得到答案． （1）解： ． （2）解： ． ★★【题型 7】二次根式的加减乘法混合运算 【例题7】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了零次幂，立方根，求一个数的绝对值，二次根式的混合运算，分母有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算零次幂，立方根，求一个数的绝对值，再运算加减法，即可作答． （2）先把除法化为乘法，再运算乘法，最后运算加减法，即可作答． （1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了负整数指数幂、绝对值、二次根式的除法运算，解题关键是熟练掌握各运算的法则，按顺序逐步计算并准确合并同类二次根式． 先分别计算负整数指数幂、绝对值、二次根式的除法，再合并同类项，最后对比选项得出结果． 解：先逐步计算各部分： 负整数指数幂：； 绝对值： = ； 二次根式除法： = = = ； 合并计算：原式 ． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）解方程的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，二次根式的混合运算，分母有理化，正确计算是解题的关键． 通过去括号、移项、合并同类项将方程化为，再系数化为1并有理化分母求解． 解： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得： 有理化分母：分子分母同乘， 计算分子： 计算分母： 所以 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·山东枣庄·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、负整数幂、绝对值的化简、完全平方公式和平方差公式等，掌握相应的运算法则、性质、公式及运算顺序是解题的关键． （1）根据化简绝对值，二次根式的性质化简，负整数幂，以及有理数的乘方进行计算即可求解； （2）利用完全平方公式、平方差公式将原式展开，再进行加减运算． （1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． ★★【题型 8】二次根式的化简求值 【例题8】（25-26八年级上·江苏南通·月考）先化简再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查因式分解，分式的混合运算，二次根式的化简，对分式的分子、分母进行因式分解是解题关键． 先对原式的分母因式分解、括号内式子通分化简，将除法转化为乘法后，逐步约分得到最简分式，再代入并进行分母有理化，最终求出结果为​​． 解： ， 当时， ． 【变式1】（25-26九年级上·海南海口·月考）当时，代数式的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的运算，完全平方公式，代数式求值，熟练掌握完全平方公式，二次根式的运算法则是解题的关键．先把化成，再把代入计算即可． 解：， 当时，原式． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级下·全国·周测）已知，，则代数式的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，二次根式的计算，掌握配方法构造完全平方是解题的关键． 将代数式中的二次三项式分别配成完全平方形式，然后代入数值计算． 解：由完全平方公式，得 ，． 代入 ，，得 ，． 所以 ，． 因此原式 ． 故答案为：4． 【变式3】（25-26八年级上·山西晋中·期末）综合与探究我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了1，原式可以化简为，所以有． 请仿照上面的方法，解决下列各题： (1)化简：_____________，_____________； (2)若求的值； (3)根据以上规律计算下列式子的值： ． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题围绕二次根式的分母有理化展开，综合考查平方差公式的应用、代数式求值、裂项相消求和等核心知识点，重点考查对“有理化因式”的理解及“裂项相消”这种简化求和的技巧． （1）对于，观察分母是“”，其有理化因式为“”，分子分母同乘该因式，利用平方差公式计算分母，即可得出结果，同理； （2）先对、分别分母有理化，得到，．再计算和，最后代入代数式即可； （3）将原式每一项按此规律展开，得到：，观察到中间项(如与、与等)相互抵消，最终只剩下首项的和末项的，从而得到结果． （1）解：对于，分子分母同乘，得 ； 对于，分子分母同乘，得 ． 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴， ， ∴； （3）解： ． ★★【题型 9】二次根式的加减乘法混合运算的应用 【例题9】（25-26八年级上·江苏南京·月考）已知：，求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查比较二次根式的大小关系，通过比较与的大小，即可得出结论． 证明：∵， ∴，，， ∵，， 又∵， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·湖南永州·期中）已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，将各数变形为，，，再结合即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：，，， ∵， ∴， 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·甘肃武威·期末）已知长方形的长为，面积为，要在这个长方形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积为 ． 【答案】60 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 由长方形的长为，面积为，得长方形的另一边长为，再比较长和宽的大小，确定正方形的最大边长，进而计算面积． 解：∵长方形的长为，面积为， ∴长方形的宽为， ∵，，， ∴， ∴正方形的最大边长为长方形的宽， ∴正方形的最大面积为． 故答案为：60． 【变式3】（25-26八年级上·江苏苏州·期末）已知一个长方形的长，宽． (1)求这个长方形的周长； (2)若另一个正方形的面积与该长方形的面积相等，试求这个正方形的边长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式应用，正确运用二次根式的运算法则进行化简计算是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式即可求出周长； （2）根据长方形的面积公式即可求出面积，从而求出正方形的边长． （1）解：这个长方形的周长； （2）解：这个长方形的面积， 根据面积相等，则正方形的边长． 二.中考真题 （一）单选题（6题） 1．（2025·甘肃兰州·中考真题）计算：（    ） A．6 B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式的乘法运算法则计算即可． 解：， 故选：B． 2．（2024·湖南长沙·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查同底数幂的除法、二次根式的加减、幂的乘方、完全平方公式的运算，解题的关键是熟知运算法则． 解：A、 ，计算正确； B、不能合并，原计算错误； C、，原计算错误； D、，原计算错误； 故选A． 3．（2024·内蒙古通辽·中考真题）下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是合并同类项，积的乘方运算，算术平方根的含义，二次根式的加减运算，根据以上运算的运算法则逐一计算即可 解：，故A不符合题意； ，故B符合题意； ，故C不符合题意； ，故D不符合题意； 故选B 4．（2024·湖南·中考真题）计算的结果是（    ） A． B． C．14 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的乘法，正确计算是解题关键． 直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案． 解：， 故选：D 5．（2023·青海西宁·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的运算法则运算判断． 解：A、 ，不能合并，原计算错误，本选项不合题意； B、 ，原计算错误，本选项不合题意； C、 ，计算正确，本选项符合题意； D、，注意运算顺序，原计算错误，本选项不合题意； 故选：C 【点睛】本题考查二次根式的运算，乘法公式；注意掌握运算法则是解题的关键． 6．（2023·湖北荆州·中考真题）已知，则与最接近的整数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据二次根式的混合运算进行计算，进而估算无理数的大小即可求解． 解： ∵， ∴, ∴与最接近的整数为， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （二）填空题（6题） 7．（2025·广西·中考真题） ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，根据二次根式的乘法运算法则计算即可，掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键． 解：， 故答案为：． 8．（2024·天津·中考真题）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】利用平方差公式计算后再加减即可． 解：原式． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则及平方差公式是解题的关键． 9．（2024·贵州·中考真题）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】利用二次根式的乘法运算法则进行计算． 解：原式==， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的乘法运算，掌握二次根式乘法的运算法则（a≥0，b＞0）是解题关键． 10．（2023·山东聊城·中考真题）计算： ． 【答案】3 【分析】先利用二次根式的性质化简，再计算括号内的减法，然后计算二次根式的除法即可． 解： 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 11．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】利用二次根式的混合运算法则及分母有理数的方法即可求解． 解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算及分母有理数，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 12．（2023·江苏·中考真题）如图，在中，，D是延长线上的一点，．M是边上的一点（点M与点B、C不重合），以为邻边作．连接并取的中点P，连接，则的取值范围是 ．    【答案】 【分析】过点B作交的延长线于点，连接，过点P作的平行线交于点，交于点，连接，过点作，分析可知为的最大值，为的最小值，据此即可求解． 解：过点B作交的延长线于点，连接，过点P作的平行线交于点，交于点，连接，过点作，如图所示：    由题意得：点在线段上运动（不与点重合），点在线段上运动（不与点重合）， ∴为的最大值，当时，取得最小值，最小值等于的长， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵且， ∴， ∵P为的中点， ∴， ∵P为的中点， ∴为的中点， ∴， ∵， ∴， 故， ∵点M与点B、C不重合， ∴的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题综合考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理、动点轨迹问题，平行四边形的判定和性质，垂线段最短等知识的综合．根据题意确定动点轨迹是解题关键． （三）解答题（4题） 13．（2023·湖南益阳·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】先化简绝对值，计算二次根式的乘方运算，有理数的乘法运算，再合并即可． 解： ． 【点睛】本题考查的是化简绝对值，二次根式的乘方运算，实数的混合运算，掌握实数的混合运算的运算法则是解本题的关键． 14． （2025·河南·中考真题） （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）0；（2）1 【分析】（1）首先计算立方根，零指数幂和二次根式的乘法，然后计算加减； （2）首先计算完全平方公式，单项式乘以多项式，然后计算加减． 解：（1） ； （2） ． 【点睛】此题考查了立方根，零指数幂和二次根式的乘法，完全平方公式，单项式乘以多项式，解题的关键是掌握以上运算法则． 15．（2025·福建·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的混合运算、分母有理化等知识．先把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简，再把代入即可即可． 解： ． 当时， 原式． 16．（2023·内蒙古·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，45 【分析】先按照完全平方公式、平方差公式、多项式乘以多项式计算整式的乘法，再合并同类项即可． 原式 ． 当，时 原式． 【点睛】本题考查的是整式的化简求值，同时考查了二次根式的混合运算，掌握完全平方公式与平方差公式进行简便运算是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.3 二次根式的运算（知识梳理+题型精析+中考真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】二次根式的乘除运算法则 1 ★【题型 1】二次根式的乘除运算法则辨析 2 ★【题型 2】二次根式的乘除运算 2 ★★【题型 3】二次根式的乘除运算 2 【知识点二】同类二次根式 3 ★【题型 4】同类二次根式 3 【知识点三】二次根式的加减 4 ★【题型 5】二次根式的加减 4 ★★【题型 6】二次根式的加减 4 ★★【题型 7】二次根式的加减乘法混合运算 5 ★★【题型 8】二次根式的化简求值 5 ★★【题型 9】二次根式的加减乘法混合运算的应用 6 二.中考真题 6 （一）单选题（6题） 6 （二）填空题（6题） 7 （三）解答题（4题） 7 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示基础题，带★★★表示基础题 【知识点一】二次根式的乘除运算法则 特别提醒：二次根式运算的结果，如果能够化简，那么应把它化简为最简二次根式. ★【题型 1】二次根式的乘除运算法则辨析 【例题1】（25-26八年级上·广东茂名·期中）下列各式运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·河南焦作·月考）下列各式错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·福建莆田·期中）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·广西百色·期中）计算： ． ★【题型 2】二次根式的乘除运算 【例题2】（25-26八年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 【变式1】（23-24八年级下·广西柳州·期中）计算结果为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级下·江苏泰州·月考）计算： (1) (2) (3) (4) ★★【题型 3】二次根式的乘除运算 【例题3】（2026八年级下·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． 【变式1】（25-26八年级上·全国·周测）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1） ． （2） ． 【变式3】（25-26八年级上·上海·月考）计算 (1) (2) 【知识点二】同类二次根式 1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式. 2.合并同类二次根式：把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似) ★【题型 4】同类二次根式 【例题4】（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）已知最简二次根式与是同类二次根式． (1)求的值； (2)若，化简：． 【变式1】（2025八年级上·上海·专题练习）若，下列各式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）若与最简二次根式可以合并，则a的值是 ． 【变式3】（25-26九年级上·甘肃定西·月考）已知与是可以合并的最简二次根式，求的值． 【知识点三】二次根式的加减 （1）二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. （2）二次根式加减运算的步骤： 　　（1）将每个二次根式都化简成为最简二次根式； 　　（2）判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； 　　（3）合并同类二次根式. ★【题型 5】二次根式的加减 【例题5】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)． 【变式1】（2025·上海·模拟预测）记，则 ． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)． ★★【题型 6】二次根式的加减 【例题6】（22-23八年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)． 【变式1】（24-25九年级上·黑龙江绥化·月考）已知实数a、b，定义“△”运算如下：，计算的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）若两根绳子的长分别为和，则这两根绳子一共长 m． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． ★★【题型 7】二次根式的加减乘法混合运算 【例题7】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）计算 (1) (2) 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）解方程的结果为 ． 【变式3】（25-26八年级上·山东枣庄·月考）计算： (1)； (2)． ★★【题型 8】二次根式的化简求值 【例题8】（25-26八年级上·江苏南通·月考）先化简再求值：，其中． 【变式1】（25-26九年级上·海南海口·月考）当时，代数式的值为（   ） A．2 B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·周测）已知，，则代数式的值为 ． 【变式3】（25-26八年级上·山西晋中·期末）综合与探究我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了1，原式可以化简为，所以有． 请仿照上面的方法，解决下列各题： (1)化简：_____________，_____________； (2)若求的值； (3)根据以上规律计算下列式子的值： ． ★★【题型 9】二次根式的加减乘法混合运算的应用 【例题9】（25-26八年级上·江苏南京·月考）已知：，求证： 【变式1】（25-26八年级上·湖南永州·期中）已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·甘肃武威·期末）已知长方形的长为，面积为，要在这个长方形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积为 ． 【变式3】（25-26八年级上·江苏苏州·期末）已知一个长方形的长，宽． (1)求这个长方形的周长； (2)若另一个正方形的面积与该长方形的面积相等，试求这个正方形的边长． 二.中考真题 （一）单选题（6题） 1．（2025·甘肃兰州·中考真题）计算：（    ） A．6 B． C． D．1 2．（2024·湖南长沙·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·内蒙古通辽·中考真题）下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·湖南·中考真题）计算的结果是（    ） A． B． C．14 D． 5．（2023·青海西宁·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2023·湖北荆州·中考真题）已知，则与最接近的整数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 （二）填空题（6题） 7．（2025·广西·中考真题） ． 8．（2024·天津·中考真题）计算的结果为 ． 9．（2024·贵州·中考真题）计算的结果是 ． 10．（2023·山东聊城·中考真题）计算： ． 11．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）计算的结果是 ． 12．（2023·江苏·中考真题）如图，在中，，D是延长线上的一点，．M是边上的一点（点M与点B、C不重合），以为邻边作．连接并取的中点P，连接，则的取值范围是 ．    （三）解答题（4题） 13．（2023·湖南益阳·中考真题）计算：． 14． （2025·河南·中考真题） （1）计算：； （2）化简：． 15．（2025·福建·中考真题）先化简，再求值：，其中． 16．（2023·内蒙古·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $