精品解析：广东省河源市龙川县第一中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题

龙川一中2025-2026学年度第一学期高二期末考试 数学试卷 一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．不选、多选、错选均不得分．） 1. 已知为空间向量且，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 2. 设是等差数列，且，，则（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“”是“直线：与直线：平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，且，则线段的中点到轴的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 直线：被圆：截得的弦为，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 6. 已知入射光线经过点被x轴反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 设，，若9是与的等比中项，则的最小值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 8. 已知双曲线：（，）的左右焦点分别为、、A为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于、两点，且，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 数列为等差数列，为其前项和.已知，，则下列结论正确的有（ ） A. B. 公差 C. D. 当或时，最小 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，椭圆的上顶点为，且，双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率为，为曲线与的一个公共点．若，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在直三棱柱中，，，是棱的中点，在底面内（包括边界），则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 当时，点的轨迹长度为 C. 存在唯一，使 D. 若，则三棱锥外接球的半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线与直线之间的距离为_______. 13. 如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，N是棱AD的中点，M是棱CC1上的点，且CC1=3CM，则直线BM与B1N之间的距离为____. 14. 已知在数列中，，，设数列的前项和为，若不等式对恒成立，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤． 15. 直线经过两直线和的交点. （1）若直线与直线垂直，求直线的方程； （2）若直线与圆相切，求直线的方程. 16. 如图，四棱锥中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，，E为PC中点． （1）求证：DE⊥平面PCB； （2）求二面角的余弦值． 17. 已知数列为等差数列，的前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 18. 如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，点在母线上，且． （1）求证：平面平面； （2）在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由． 19. 定义：对椭圆及任意一点，称直线为关于点的“极线”. 结论1：若点在椭圆上，则关于点的极线就是在点处的切线. 结论2（椭圆的光学性质）：从椭圆一个焦点发出的光线照射到椭圆上，其反射光线会经过另一个焦点. 试根据上面的定义和结论解决下列问题： 已知是椭圆的两个焦点，关于点的极线与相交于两点. （1）求； （2）设在点处的切线为，在点处的切线为，过在上且在外一点作的两条切线，切点分别为,证明：直线相交于一点； （3）若是上除顶点以外的任意一点，直线和分别与直线相交于点，证明：为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙川一中2025-2026学年度第一学期高二期末考试 数学试卷 一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．不选、多选、错选均不得分．） 1. 已知为空间向量且，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由投影向量定义结合数量积和模长的坐标运算直接计算即可得解. 【详解】由题在方向上的投影向量为. 故选：B 2. 设是等差数列，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列性质可知，，成等差数列，由此可构造方程求得结果. 【详解】是等差数列，，，成等差数列， ，. 故选：D. 3. 设，则“”是“直线：与直线：平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线的位置关系并验证求得或，结合充分条件、必要条件的定义即可下结论. 【详解】由题意知，若，则， 即，解得或或， 当时，轴，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，与重合，不符合题意, 综上，或. 所以“”是“”的充分不必要条件, 故选：A 4. 已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，且，则线段的中点到轴的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】设，中点，由抛物线的定义表示出，再由，即可得出答案. 【详解】设，中点， 则， 解得，所以. 故选：B． 5. 直线：被圆：截得的弦为，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆心和半径，求出圆心到直线的距离，利用代入数值求解. 【详解】转化为， 圆心，半径为， 设圆心到直线：距离为， 则， 则有. 故选：D. 6. 已知入射光线经过点被x轴反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出关于x轴的对称点，由两点式方程可求. 【详解】可得关于x轴的对称点为，则在反射光线上， 又反射光线经过点，所以反射光线所在直线的方程为，即. 故选：D. 7. 设，，若9是与的等比中项，则的最小值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，再利用基本不等式即可求出答案. 【详解】因为是与的等比中项， 所以，即，所以， ， 因为，，所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以的最小值为. 故选：D. 8. 已知双曲线：（，）的左右焦点分别为、、A为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于、两点，且，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由题意，得到以为直径的圆的方程为，不妨设双曲线的渐近线为，设，则，求出点P，Q的坐标，得出，，根据，再利用余弦定理求出，之间的关系，即可得出双曲线的离心率． 【详解】由题意，以为直径的圆的方程为，不妨设双曲线的渐近线为． 设，则， 由，解得或， ∴，． 又为双曲线的左顶点，则， ∴，，， 在中，，由余弦定理得， 即， 即， 则，所以，则， 即，所以 ∴． 故选：C. 【点睛】方法点睛：离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出；②构造的齐次式，求出；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 数列为等差数列，为其前项和.已知，，则下列结论正确的有（ ） A. B. 公差 C. D. 当或时，最小 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用等差中项的性质求出判断A，利用等差数列公差的性质求解判断B，法一先利用等差数列的前项和公式求出，再求出判断C，结合二次函数的性质判断D，法二先利用等差数列的通项公式求出，再单独求出判断C，最后分析的正负情况判断D即可. 【详解】因为，，所以，解得，故A正确. 设等差数列的公差为d，则，故B正确. 对于选项C，D，法一：因为， 所以， 而；由于二次函数的图象开向上， 且对称轴为直线，所以当或时，最小，故C错误，D正确. 法二：因为， 所以，故， 则； 因为，所以当时，，且， 当时，，所以当或时，最小，故C错误，D正确. 故选：ABD. 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，椭圆的上顶点为，且，双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率为，为曲线与的一个公共点．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】结合椭圆和双曲线的定义即可求解. 【详解】设焦距为，椭圆的长轴长为，短轴长为， 双曲线的长轴长为，短轴长为， 则在中，， 根据对称性，设椭圆与双曲线的交点在第二象限， 由双曲线的定义知：， 由椭圆的定义知：， 则， 又，， 则，则，又，解得， 则，A错误；，B正确；， C正确；，D错误. 故选：BC 11. 如图，在直三棱柱中，，，是棱的中点，在底面内（包括边界），则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 当时，点的轨迹长度为 C. 存在唯一，使 D. 若，则三棱锥外接球的半径为 【答案】BCD 【解析】 【分析】作关于平面的对称点，则，根据长度及勾股定理，即可判断A的正误；过点作于，则为在平面上的射影，根据条件可证，即可得为的中点，分析求解，即可判断B的正误；如图建系，求得各点坐标，进而可得，坐标，根据，求得P点坐标，可判断C的正误；因为，，所以三棱锥外接球的直径为，求出长度，即可判断D的正误. 【详解】选项A：作关于平面的对称点， 则， 所以的最小值为，故A项错误； 选项B：过点作于，则为在平面上的射影， 若要，只要即可， 因为四边形为正方形，是棱的中点，且， 所以， 所以，又， 所以， 所以，即为的中点，又， 所以点的轨迹的中位线，长度为，故B项正确； 选项C：以为原点，以，，所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，设， 则， 所以， 所以，即为的中点，故C项正确； 选项D：因为，，所以三棱锥外接球的直径为， 又，所以外接球的半径为，故D项正确． 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线与直线之间的距离为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线间的距离公式计算可得结果. 【详解】将直线转化为，可知， 由平行线间的距离公式，可得与之间的距离为. 故答案为：. 13. 如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，N是棱AD的中点，M是棱CC1上的点，且CC1=3CM，则直线BM与B1N之间的距离为____. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，进而求出直线BM与B1N的公垂线方向上的向量，进而通过空间向量求出在方向上的投影，进而得到答案. 【详解】正方体的棱长为1，如图，以D为坐标原点，所在方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系， 则B(1，1，0)，B1(1，1，1)，，，∴=(0，0，1)，，. 设直线BM与B1N的公垂线方向上的向量，由，， 得，令x=2，则z=6，y=-7，∴， 设直线BM与B1N之间的距离为d，则d===. 故答案为：. 14. 已知在数列中，，，设数列的前项和为，若不等式对恒成立，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由递推公式可得数列是常数列，即可得到的通项公式，结合裂项相消法即可得到，然后结合基本不等式，即可得到结果. 【详解】由题意知，则数列是首项为的常数列， ， ，，， 当且仅当，即时取等号， ，则的最小值为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤． 15. 直线经过两直线和的交点. （1）若直线与直线垂直，求直线的方程； （2）若直线与圆相切，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求出直线、的交点坐标，求出直线的斜率，可得出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程； （2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，可求出的值，综合可得出直线的方程. 【小问1详解】 联立两直线和的方程，解得，，即交点坐标为， 直线的斜率为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 根据题意得：圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为，即. 综上，直线的方程为或. 16. 如图，四棱锥中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，，E为PC中点． （1）求证：DE⊥平面PCB； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1） PD⊥平面ABCD， ∴PD⊥BC， 又∵正方形ABCD中，CDBC，PDCD＝D， ∴BC⊥平面PCD， 又∵DE平面PCD， ∴BC⊥DE， ∵PD＝CD，E是PC的中点，DEPC，PCBC＝C， 且面，面 ∴DE⊥平面PCB （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件先证BC⊥平面PCD，得到BC⊥DE，再由DEPC，即可证明DE⊥平面PCB. （2）以点D为坐标原点，分别以直线DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面BDE，平面PDB的法向量，即可求得二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以点D为坐标原点，分别以直线DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意知： 则， 设平面BDE的法向量为， 则， 令，得到， 又，则，且AC⊥平面PDB， ∴平面PDB的一个法向量为， 设二面角的平面角为， 则， 所以二面角的余弦值为． 17. 已知数列为等差数列，的前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由等差数列的通项公式以及求和公式代入计算，即可得到，从而得到结果； （2）由裂项相消法代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 设数列的公差为，由题得， 解得，所以. 【小问2详解】 ， 则 . 18. 如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，点在母线上，且． （1）求证：平面平面； （2）在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）存在，点为的中点 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，由线面垂直得到⊥，求出各边长，得到⊥，由面面垂直的性质得到⊥平面，又平面，所以平面⊥平面； （2）建立空间直角坐标系，设，求出两平面的法向量，由面面角的余弦值得到方程，求出，故线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为. 【小问1详解】 如图，设，连接，由圆锥的性质可知⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为为底面圆的内接正三角形，由，可得， ，， 又，所以，即，⊥， 故， 在中，， 所以，故⊥， 因为⊥平面，平面，所以平面⊥平面， 又平面，平面平面，⊥，故⊥平面， 又平面，所以平面⊥平面； 【小问2详解】 易知，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设，可得， 设平面与平面的法向量为， 则， 令，则，，故， 则， 令，则，，故， 设平面与平面夹角为， 则， 整理得，解得，则，， 故线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，且. 19. 定义：对椭圆及任意一点，称直线为关于点的“极线”. 结论1：若点在椭圆上，则关于点的极线就是在点处的切线. 结论2（椭圆的光学性质）：从椭圆一个焦点发出的光线照射到椭圆上，其反射光线会经过另一个焦点. 试根据上面的定义和结论解决下列问题： 已知是椭圆的两个焦点，关于点的极线与相交于两点. （1）求； （2）设在点处的切线为，在点处的切线为，过在上且在外一点作的两条切线，切点分别为,证明：直线相交于一点； （3）若是上除顶点以外的任意一点，直线和分别与直线相交于点，证明：为定值. 【答案】（1）3 （2）证明：根据所给结论可知分别是关于点的极线， 如图（1），取，则. 由解得所以和交于点， 要证明直线相交于一点，只需证明直线过点即可. 设. 根据所给结论，可知直线，直线. 因为直线和都经过点，所以， 所以直线的方程为，将代入，得，方程也成立， 所以直线过点，故直线相交于一点. （3）证明：由题意，在点处的切线方程为，则与平行，且经过坐标原点. 如图（2）所示，由椭圆的光学性质，可知. 又因为，所以，所以，所以. 过作，与交于点，则，所以. 另一方面，因为，所以， 从而，所以. 因此，故为定值. 【解析】 【分析】（1）先求的方程为，联立可得； （2）先求得和交于点，再求得直线的方程为，也过，即可证； （3）在点处的切线方程为，则与平行，由椭圆的光学性质可得，即为定值. 【小问1详解】 根据定义，可得的方程为，即， 将其代入的方程得，解得， 不妨取，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题第二问证明三点共线，先求两条直线的交点，再证交点在第三条直线上即可.第三问先考虑在点处的切线方程为与平行，进而根据椭圆的光学性质和平面几何相关知识可得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $