5.3分式方程（二）讲义 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

本讲义聚焦分式方程解实际问题这一核心知识点，衔接分式方程解法，系统梳理行程、工程、销售等典型问题的等量关系分析，通过课前预习巩固步骤与公式，课堂分类型例题构建“实际问题—模型建立—求解检验”的学习支架。 特色在于以六大类型例题引导学生用数学眼光抽象实际问题中的数量关系，强化检验的双重意义培养数学思维的严谨性，结合生活情境提升模型意识与应用意识。课中助力教师分层教学，课后通过检测与作业帮助学生巩固方法，弥补解题盲点。

2025-2026学年北师大版八年级数学下 《第五章分式与分式方程第三节分式方程（二）》讲义 ( 一． 学习 目标 1.能准确识别实际问题中的等量关系，熟练列出分式方程解决行程、工程、增长率等典型实际问题； 2.掌握分式方程应用题的解题步骤，包括审题、设元、列方程、解方程、检验、作答，尤其重视检验环节的双重意义（既要检验是否为方程的解，也要检验是否符合实际情境）； 3.经历 “ 实际问题 — 建立分式方程模型 — 求解 — 检验 ” 的过程，提升数学建模能力和运用数学知识解决实际问题的能力； 4.感受分式方程在实际生活中的应用价值，培养分析问题解决问题的逻辑思维严谨态度。 ) ( 二．重点难点 1.重点 根据实际问题中的等量关系列出分式方程，掌握分式方程应用题的完整解题流程。 2.难点 （1）准确挖掘实际问题中的隐含等量关系，突破 “ 找等量关系 ” 这一解题关键； （2）理解检验环节的双重要求，避免因忽略实际意义导致解题错误； （3）区分分式方程应用题与整式方程应用题的差异，灵活应对不同类型的实际场景（如行程问题中的相遇、追及，工程问题中的合作、单独完成等）。 ) 三．课前预习 1.列方程解应用题的基本步骤为：审题、、列方程、、检验、作答； 2.分式方程的检验需满足两个条件：一是所求未知数的值使______不为0，二是符合______； 3.行程问题的核心公式为：路程=速度×时间，若已知路程和时间，速度可表示为______； 4.工程问题中，工作总量通常设为______（当题目未明确给出工作总量时），工作效率=工作总量÷______； 5.某商品原价为a元，若平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后的价格为______元，第二次降价后的价格为______元。 四．课堂探秘 类型一 行程问题 例1.八年级（1）班组织同学乘大巴车前往“韶山红色教育基地”开展爱国教育活动，基地离学校有120千米，队伍8:00从学校出发，刘老师因有事情，推迟了半个小时从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前10分钟到达基地.问： （1） 大巴与小车的平均速度各是多少？ （2） 刘老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？ 行程问题 例2.某日，某大学的青年志愿者协会举办了以“低碳生活，绿色出行”为主题的志愿活动.为响应“低碳生活，绿色出行”的号召，赵琦每天骑自行车或步行上学，已知赵琦家距离学校，赵琦骑自行车的速度是步行速度的2.5倍（骑自行车和步行均是匀速），骑自行车上学比步行上学早到.求赵琦步行上学的速度. 类型二 工程问题 例3. 某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成，甲工程队单独施工完成的天数是乙工程队单独施工完成天数的2倍. （1） 求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？ （2） 甲工程队独做天后，再由甲、乙两工程队合作 天（用含的代数式表示）可完成此项工程. （3） 如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？ 例4.为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天． （1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？ （2）若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长1200米，改造总费用不超过145万元，至少安排甲队工作多少天？ 类型三 销售问题 例5. 《非机动车管理办法》规定：电动自行车驾驶人和乘坐人员应该戴安全头盔.某商店用1 600元购进一批电动车头盔，销售发现供不应求，于是，又用5 400元再购进一批头盔，第二批头盔的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵10元.第一批头盔进货单价是多少元? 例6.昭通苹果和天麻美味可口，小明在昆明某超市购买1斤昭通苹果和2斤小草坝天麻需要支付105元，购买3斤昭通苹果和5斤小草坝天麻需要支付265元. （1） 1斤昭通苹果和1斤小草坝天麻的价格分别是多少元？ （2） 昆明到昭通的距离大约，以前超市老板都会亲自去往昭通选果，但今年由于疫情原因，只能选择专车托运，以前花240元购进的苹果现在要花300元，进货单价比原来贵了1元，原来1斤苹果进货价格为多少？ 类型四 和差倍分问题 例7.某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多.用建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的. （1） 求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米； （2） 该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍.求最多建多少个A类摊位. 例8. 学校要举行跳绳比赛，同学们都积极练习.甲同学跳120个所用的时间，乙同学可以跳180个；又已知甲每分钟比乙少跳20个，求每人每分钟各跳多少个. 类型五 航行问题 例9. 一艘轮船在静水中的最大航速为，它以最大航速沿江顺流航行所用时间是以最大航速逆流航行所用时间的1.2倍，则江水的流速为多少千米/时？ 例10. 一小船由A港顺流而下到B港需，由B港逆流而上到A港需.某天早晨6点，该船由A港出发驶向B港，到达B港时，发现船上一救生圈在途中掉入水中，于是立刻返回，后遇到救生圈. （1） 该船按水流速度由A港漂流到B港需要多少小时？ （2） 救生圈是何时掉入水中的？ 类型六 方案问题 例11. 永州市万达广场筹建之初的一项挖土工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，每施工一天，需付甲工程队工程款2.4万元，付乙工程队工程款1.8万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案： （方案一）甲队单独完成这项工程，刚好按规定工期完成； （方案二）乙队单独完成这项工程要比规定工期多用6天； （方案三）若由甲、乙两队合作5天，剩下的工程由乙队单独做，也正好按规定工期完工. （1） 请你求出完成这项工程的规定时间； （2） 如果你是工程领导小组的组长，为了节省工程款，同时又能如期完工，你将选择哪一种方案?说明理由. 例12.某开发公司生产的1 920件新产品需要精加工后才能投放市场，现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知乙厂单独加工完这批产品比甲厂单独加工完这批产品多用20天，而乙厂每天加工的数量是甲厂每天加工数量的，公司需付甲厂加工费用每天120元，需付乙厂加工费用每天80元. （1） 甲、乙两个工厂每天各能加工多少个新产品？ （2） 公司制定产品加工方案如下：可以由每个厂家单独完成，也可以由两个厂家合作完成，在加工过程中，公司派一名工程师到厂进行技术指导，并负担每天20元的午餐补助费.请你帮助公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由. 列分式方程解应用题的关键步骤： 1.审题：理清题目中的数量关系，明确已知量和未知量； 2.设元：选择合适的未知量设为未知数（直接设元或间接设元）； 3.找等量关系：这是列方程的核心，需结合实际问题的类型（行程、工程、增长率等）挖掘隐含关系； 4.列方程：根据等量关系，用含未知数的代数式表示相关量，列出分式方程； 5.解方程：按照分式方程的解法，去分母转化为整式方程求解； 6.检验：既要检验所求值是否使分式方程的最简公分母不为0（排除增根），也要检验是否符合实际情境； 7.作答：根据检验结果，写出规范的答案。 五．课堂检测 （一）．选择题 1.九年级学生去距学校10 km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度.设骑车学生的速度为x km/h，则所列方程正确的是(    ) A． B． C． D． 2．“十一”黄金周，几名同学乘坐一辆客车前去“方特欢乐世界”游玩，客车的车费为180元，出发时，又增加了两名同学，结果每个同学比原来少分摊了3元车费，若设实际参加游览的学生共有人，则所列方程为（    ） A． B． C． D． 3.甲、乙两地相距500km，提速前动车的速度为vkm/h，提速后动车的速度是提速前的1.5倍，提速后行车时间比提速前减少10min，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 4.，两地相距48千米，一艘轮船从地顺流航行至地，又立即从地逆流返回地，共用去9小时，已知水流速度为4千米时，若设该轮船在静水中的速度为千米时，则可列方程　　 A． B． C． D． 5．随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（　　） A．＝ B．+80＝ C．＝﹣80 D．＝ 6．甲、乙两人加工同一种玩具，甲加工90个玩具所用的时间与乙加工120个玩具所用的时间相等，已知甲、乙两人每天共加工35个玩具，则甲每天加工的玩具数为（　　） A．15 B．20 C．18 D．17 7.父子两人沿周长为a的圆周骑自行车匀速行驶.同向行驶时父亲不时超过儿子，而反向行驶时相遇的频率增大为11倍.已知儿子的速度为v，则父亲的速度为(　　) A.1.1v B.1.2v C.1.3v D.1.4v 8.某商品的进货成本为每件200元，促销期间，这种商品按原售价的8折出售，此时每卖出一件这种商品，只能获得10%的利润，设这种商品的原来售价是x元，所列方程正确的是（　　） A.×100%＝10% B.×100%＝10% C.×100%＝10% D.×100%＝10% 9．随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，现已知小林家距学校8千米，乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，若设乘公交车平均每小时走x千米，根据题意可列方程为（  ） A． B． C． D． 10.某市政公司修理一段6000米长的河岸，修了30天后，从有关部门获知汛期将提前，公司决定增派施工人员以加快速度，工作效率比原来提高了20%，工程恰好比原计划提前5天完成．求该公司完成这项工作实际的天数．设原来每天修x米，运用“计划天数﹣实际天数＝5”构建分式方程，下列说法不正确的是（　　） A.原计划完工天数为天 B.30天后剩下河岸还需天修完 C.实际天数为（﹣4）天 D.实际天数为（＋30）天 （二）．填空题 11.在临桂新区建设中，需要修一段全长的道路，为了尽量减少施工对县城交通工具所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了，结果提前8天完成任务，求原计划每天修路的长度．若设原计划每天修路，则根据题意可得方程　　． 12．某班在植树节时需完成一批植树任务，若由全班学生一起完成每人需植树8棵；若由女生单独完成每人需植树12棵，则由男生单独完成每人需植树　 　棵． 13．某单位盖一座楼房，如果由建筑一队施工，那么180天可盖成；如果由建筑一队、二队同时施工，那么30天能完成工程总量的，现若由二队单独施工，则需要x天完成．根据题意列的方程是　 　． 14.小李家离某书店6千米，他从家中出发步行到该书店，返回时由于步行速度比去时每小时慢了1千米，结果返回时多用了半小时．如果设小李去书店时的速度为每小时x千米，那么列出的方程是　            　． 15.小明上周三在超市花10元钱买了几袋牛奶，周日再去买时，恰遇超市搞优惠酬宾活动，同样的牛奶，每袋比周三便宜0.5元，结果小明只比上次多花了2元钱，却比上次多买了2袋牛奶．若设他上周三买了x袋牛奶，则根据题意列得方程为　　       ． 16.如图，点A，B在数轴上，它们所表示的数分别是﹣4，，且点A到原点的距离是点B到原点的距离的2倍，则x＝　　． 17．为响应市政府“绿色出行”的号召，小张上班由自驾车改为骑公共自行车．已知小张家距上班地点10千米．他用骑公共自行车的方式平均每小时行驶的路程比他用自驾车的方式平均每小时行驶的路程少45千米，他从家出发到上班地点，骑公共自行车方式所用的时间是自驾车方式所用的时间的4倍．设小张用骑公共自行车方式上班平均每小时行驶x千米，根据题意，可列方程为　 　． 18．某超市第一次用3000元购进某种干果销售，第二次又调拨9000元购进该种干果，但第二次的进价比第一次进价提高了20%，购进干果数量比第一次的2倍还多300千克，如果超市先按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，最后的600千克按原售价的7折售完．超市两次销售这种干果共盈利　 　元． （三）．解答题 19．阅读：对于两个不等的非零实数a、b，若分式的值为零，则x＝a或x＝b．又因为＝＝x+﹣（a+b），所以关于x的方程x+＝a+b有两个解，分别为x1＝a，x2＝b． 应用上面的结论解答下列问题： （1）方程x+＝q的两个解分别为x1＝﹣1、x2＝4，则P＝　 　，q＝　 　； （2）方程x+＝4的两个解中较大的一个为　 　； （3）关于x的方程2x+＝2n的两个解分别为x1、x2（x1＜x2），求的值． 20．某服装店用4500元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用2100元购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10元． （1）这两次各购进这种衬衫多少件？ （2）若第一批衬衫的售价是200元/件，老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于2100元，则第二批衬衫每件至少要售多少元？ 21．截至2025年，高速公路已经贯通云南16个州市，云南省正全力推进县域高速公路“能通全通”“互联互通”工程建设．已知甲、乙两地之间的国道全长为220km，经过改修高速公路后，长度减少了20km，高速公路通后，一辆长途汽车的高速行驶速度比国道行驶速度提高了45km/h，从甲地到乙地的行驶时间减少了一半． （1）求该长途汽车在国道上行驶的速度； （2）若该高速公路规定长途汽车限速80km/h，那么该长途汽车从甲地到乙地是否超速？ 22.某水果商城为了了解A、B两种水果市场的销售情况，购进了一批数量相等的A、B两种水果供客户对比品尝，其中购买A水果用了420元，购买B水果用了756元，已知每千克B水果的进价比每千克A水果的进价贵8元． (1)求每千克A水果和B水果的进价各是多少元； (2)若该水果商城决定再次购买同样的两种水果共40千克，再次购买的费用不超过600元，且每种水果进价保持不变．若A水果的销售单价为14元，B水果的销售单价为24元，则该水果商城应如何进货，可以使第二批的两种水果售完后获得利润最大？最大利润是多少？ 23．某市计划对道路进行维护．已知甲工程队每天维护道路的长度比乙工程队每天维护道路的长度多50%，甲工程队单独维护30千米道路的时间比乙工程队单独维护24千米道路的时间少用1天． (1)求甲、乙两工程队每天维护道路的长度各是多少千米； (2)若某市计划对200千米的道路进行维护，每天需付给甲工程队的费用为25万元，每天需付给乙工程队的费用为15万元，考虑到要不超过26天完成整个工程，因工程的需要，两队均需参与，该市安排乙工程队先单独完成一部分，剩下的部分两个工程队再合作完成．问乙工程队先单独做多少天，该市需付的整个工程费用最低？整个工程费用最低是多少万元？ 24．甲、乙两商场自行定价销售某一商品． （1）甲商场将该商品提价后的售价为1.15元，则该商品在甲商场的原价为　1　元； （2）乙商场将该商品提价后，用6元钱购买该商品的件数比没提价前少买1件，求该商品在乙商场的原价是多少？ （3）甲、乙两商场把该商品均按原价进行了两次价格调整． 甲商场：第一次提价的百分率是，第二次提价的百分率是； 乙商场：两次提价的百分率都是，，． 请问甲、乙两商场，哪个商场的提价较多？请说明理由． 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.列分式方程解应用题的基本步骤：审题、设未知数、找______、列分式方程、解分式方程、______、写出答案。 2.列分式方程解应用题的关键是找出题目中的______，它是列方程的依据。 3.解分式方程后，必须进行______，既要检验解是否使原分式方程的分母不为零，也要检验解是否符合______。 4.工程问题中，工作总量通常看作______，工作效率=工作总量÷______，各部分工作效率之和等于______。 5.行程问题中，路程=速度×时间，由此可变形为速度=，时间=；相遇问题的等量关系是：甲走的路程+乙走的路程=；追及问题的等量关系是：快者走的路程-慢者走的路程=。 6.浓度问题中，溶质质量=溶液质量×______，溶液质量=溶质质量+______质量。 7.增长率问题中，若原量为a，增长率为x，经过n次增长后的量为b，则列方程为a(1+x)^n = b；若为下降率，则方程为______。 8.航行问题中，顺流速度=静水速度+，逆流速度=静水速度-。 9.甲、乙两人做同一项工作，甲单独完成需m天，乙单独完成需n天，则甲的工作效率为_____，乙的工作效率为______，两人合作的工作效率为_____，合作完成这项工作需____天。 10.一辆汽车从A地到B地的路程为s千米，若速度提高v千米/时，则比原计划提前______小时到达（用含s、原速度v0、v的代数式表示）。 11.某商品原价为p元，按原价的8折销售仍可获利20\%，若该商品的进价为q元，则列方程为______。 12.甲、乙两地相距120千米，一辆客车从甲地开往乙地，速度为60千米/时，同时一辆货车从乙地开往甲地，速度为40千米/时，两车相遇时，客车行驶了______小时（用分式方程求解的关键等量关系是相遇时两车行驶时间______）。 （二）强化训练 一．选择题 1．九年级（1）班学生周末从学校出发到某实践基地研学旅行，实践基地距学校150千米，一部分学生乘慢车先行，出发30分钟后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达实践基地，已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，如果设慢车的速度为x千米/时，根据题意列方程得（　　） A．﹣30＝ B．+30＝ C．﹣＝ D．+＝ 2．某校用500元钱到商场去购买“84“消毒液，经过还价，每瓶便宜1.5元，结果比用原价多买了10瓶，求原价每瓶多少元？设原价每瓶x元，则可列出方程为（　　） A．﹣＝10 B．﹣＝10 C．﹣＝1.5 D．﹣＝1.5 3．，两地相距，新修的高速公路开通后，在，两地间行驶的长途客车平均车速提高了，而从地到地的时间缩短了．若设原来的平均车速为，则根据题意可列方程为　　 A． B． C． D． 4.甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两城驶向C城．已知A、C两城的距离为450千米，B、C两城的距离为400千米，甲车比乙车的速度快10千米/小时，结果两辆车同时到达C城．若设甲车的速度为x千米/小时，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 5.新的津蓟铁路市郊列车取代了传统的绿皮车，实现列车升级，并且升级后列车从天津到蓟县的行驶路程比原路程缩短25公里，实现升级后列车的行驶速度是原来速度的倍，从天津到蓟县的行驶时间缩短了1小时．若列车升级前绿皮车从天津到蓟县的行驶路程为175公里，则列车升级后的速度为（　　） A.45公里/小时 B.60公里/小时 C.90公里/小时 D.100公里/小时 6.某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨．小丽家去年12月份的水费是15元，而今年5月的水费则是30元．已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5cm3．求该市今年居民用水的价格．设去年居民用水价格为x元/cm3，根据题意列方程，正确的是（　　） A. B. C. D. 7.某服装专卖店销售的A款品牌西服去年销售总额为50000元，今年该款西服每件售价比去年便宜400元，若售出的件数相同，则该款西服销售总额将比去年降低20%，求今年该款西服的每件售价．若设今年该款西服的每件售价为x元，那么可列方程为（　　） A. B. C. D. 8.植树节的起源可以追溯到中国古代“孟春之月，盛德在木”的传统观念，这体现了古人对树木的深深敬仰．某校在“植树节”期间带领学生开展植树活动，甲、乙两班同时开始植树，甲班比乙班每小时多植3棵树，植树活动结束时，甲、乙两班同时停止植树，甲班共植70棵树，乙班共植50棵树．设甲班每小时植x棵树，依题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 9．某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木．该活动开始后，实际每天比原计划多植树60棵，实际植树500棵所需时间与原计划植树400棵所需时间相同．设实际每天植树x棵，则下列方程正确的是（　　）． A． B． C． D． 10.为了维修某高速公路需开凿一条长为1300米的隧道，为了提高工作效率，高速公路建设指挥部决定由甲、乙两个工程队从两端同时开工．已知甲工程队比乙工程队每天能多开凿10米，且甲工程队开凿300米所用的天数与乙工程队开凿200米所用的天数相同，则甲、乙两个工程队每天各能开凿多少米（　　） A.甲20、乙30 B.甲30、乙20 C.甲40、乙30 D.甲20、乙50 二．填空题 11．某商场销售一种商品，第一个月将此商品的进价提高作为销售价，共获利1200元，第二个月商场搞促销活动，将商品的进价提高作为销售价，第二个月的销售量比第一个月增加80件，并且商场第二个月比第一个月多获利300元．设此商品的进价是元，则可列方程　　． 12.A、B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程为                     . 13.某公司生产了A型、B型两种计算机，它们的台数相同，但总价值和单价不同．已知A型计算机总价值为102万元；B型计算机总价值为81.6万元，且单价比A型机便宜了2 400元．问A型、B型两种计算机的单价各是多少万元．若设A型计算机的单价是x万元，请你根据题意列出方程　　       ． 14.某市为治理污水，需要铺设一段全长为300m的污水排放管道.铺设120m后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来比原计划增加20%，结果共用30天完成这一任务.求原计划每天铺设管道的长度.如果设原计划每天铺设x m管道，那么根据题意，可得方程　       　　. 15.某市为治理无水，需要铺设一段全长为600m的污水排放管道，铺设120m后，为加快施工进度，后来每天比原计划增加20m，结果共用11天完成这一任务，求原计划每天铺设管道的长度．如果设原计划每天铺设x m管道，那么根据题意，可列方程　          　． 16.定义一种新的运算：a*b＝，例如：3*5＝，若关于x的方程m*x＝﹣3的解为非负数，则m的取值范围为 　　． 17.定义一种新的运算：a*b＝，例如：3*5＝，若关于x的方程m*x＝﹣3的解为非负数，则m的取值范围为 　　． 18．某次列车平均提速vkm/h．用相同的时间，列车提速前行驶skm．提速后比提速前多行驶50km．设提速前列车的平均速度是xkm/h．根据题意分别列出下列四个方程：①；②；③；④．则其中正确的方程有　 　． 三．解答题 19.甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，先由甲队筑路60公里，再由乙队完成剩下的筑路工程，已知乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的倍，甲队比乙队多筑路20天． （1）求乙队筑路的总公里数； （2）若甲、乙两队平均每天筑路公里数之比为5：8，求乙队平均每天筑路多少公里． 20.一项工程由A、B两工程队合作，120天可以完成；如果A，B两工程队单独完成此项工程，B工程队所用时间是A工程队的1.5倍． （1）求A，B两工程队单独完成此项工程各需多少天？ （2）在施工过程中，该总公司派一名技术人员在现场对施工质量进行全程监督，每天总公司补助技术人员100元，若由A工程队单独施工，平均每天A工程队的费用为0.5万元，现总公司选择了B工程队单独施工，要求总费用不能超过选择A工程队时的总费用，则平均每天B工程队的费用最多为多少？ 21.为了提高服务质量，某宾馆决定对甲、乙两种套房进行星级提升，已知甲种套房提升费用比乙种套房提升费用少3万元，如果提升相同数量的套房，甲种套房费用为625万元，乙种套房费用为700万元． （1）甲、乙两种套房每套提升费用各多少万元？ （2）如果需要甲、乙两种套房共80套，市政府筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于甲、乙种套房星级提升，市政府对两种套房的提升有几种方案？哪一种方案的提升费用最少？ 22.为响应“足球进校园”的号召，某校到商场购买甲、乙两种足球，购买甲种足球共花费1600元，乙种足球共花费1200元．已知甲种足球的单价是乙种足球单价的2倍，且购买甲种足球的数量比乙种足球少10个． （1）设乙种足球的单价为x元，用含x的代数式表示下表中相关的量 （2）列方程求乙种足球的单价． 23．骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场，顺风车行经营的型车去年6月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后型车每辆销售价比去年增加400元，若今年6月份与去年6月份卖出的型车数量相同，则今年6月份型车销售总额将比去年6月份销售总额增加． ，两种型号车的进货和销售价格表： 型车 型车 进货价格（元辆） 1100 1400 销售价格（元辆） 今年的销售价格 2400 （1）求今年6月份型车每辆销售价多少元； （2）该车行计划7月份新进一批型车和型车共50辆，且型车的进货数量不超过型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？ 24．为了更安全地开展冰上运动某校决定购进一批护肘及护膝．已知用900元购进护膝的数量比用400元购进护肘的数量多10副，且每副护膝价格是每副护肘价格的1.5倍． (1)每副护肘和护膝的价格分别是多少元； (2)若学校决定用不超过8000元购进两种护具共300副，且护肘数量不多于102副，求有哪几种购买方案； (3)在（2）的条件下，若已知商家每副护肘的进价为15元，每副护膝的进价为20元，为支持学校的冰上运动，该商家准备正好用去方案中的最大利润的10%再次购进两种护具赠送给学校，请直接写出最多可赠送护膝多少副？ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年北师大版八年级数学下 《第五章分式与分式方程第三节分式方程（二）》讲义 ( 一． 学习 目标 1.能准确识别实际问题中的等量关系，熟练列出分式方程解决行程、工程、增长率等典型实际问题； 2.掌握分式方程应用题的解题步骤，包括审题、设元、列方程、解方程、检验、作答，尤其重视检验环节的双重意义（既要检验是否为方程的解，也要检验是否符合实际情境）； 3.经历 “ 实际问题 — 建立分式方程模型 — 求解 — 检验 ” 的过程，提升数学建模能力和运用数学知识解决实际问题的能力； 4.感受分式方程在实际生活中的应用价值，培养分析问题解决问题的逻辑思维严谨态度。 ) ( 二．重点难点 1.重点 根据实际问题中的等量关系列出分式方程，掌握分式方程应用题的完整解题流程。 2.难点 （1）准确挖掘实际问题中的隐含等量关系，突破 “ 找等量关系 ” 这一解题关键； （2）理解检验环节的双重要求，避免因忽略实际意义导致解题错误； （3）区分分式方程应用题与整式方程应用题的差异，灵活应对不同类型的实际场景（如行程问题中的相遇、追及，工程问题中的合作、单独完成等）。 ) 三．课前预习 1.列方程解应用题的基本步骤为：审题、、列方程、、检验、作答； 2.分式方程的检验需满足两个条件：一是所求未知数的值使______不为0，二是符合______； 3.行程问题的核心公式为：路程=速度×时间，若已知路程和时间，速度可表示为______； 4.工程问题中，工作总量通常设为______（当题目未明确给出工作总量时），工作效率=工作总量÷______； 5.某商品原价为a元，若平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后的价格为______元，第二次降价后的价格为______元。 【答案】1.设元；解方程 2.最简公分母；实际情境 3.速度=路程÷时间 4. 1；工作时间 5. a(1−x)；a(1−x)² 四．课堂探秘 类型一 行程问题 例1.八年级（1）班组织同学乘大巴车前往“韶山红色教育基地”开展爱国教育活动，基地离学校有120千米，队伍8:00从学校出发，刘老师因有事情，推迟了半个小时从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前10分钟到达基地.问： （1） 大巴与小车的平均速度各是多少？ （2） 刘老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？ 行程问题 解：（1）设大巴的平均速度为 千米/时，则小车的平均速度为 千米/时，根据题意，得，解得，经检验 是原方程的解，（千米/时）. 答：大巴的平均速度为60千米/时，小车的平均速度为90千米/时. （2） 设刘老师赶上大巴的地点到基地的路程有 千米， 根据题意得，解得. 答：刘老师追上大巴的地点到基地的路程有30千米. 例2.某日，某大学的青年志愿者协会举办了以“低碳生活，绿色出行”为主题的志愿活动.为响应“低碳生活，绿色出行”的号召，赵琦每天骑自行车或步行上学，已知赵琦家距离学校，赵琦骑自行车的速度是步行速度的2.5倍（骑自行车和步行均是匀速），骑自行车上学比步行上学早到.求赵琦步行上学的速度. 解：设赵琦步行上学的速度为，根据题意，得，解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意. 答：赵琦步行上学的速度为. 类型二 工程问题 例3. 某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成，甲工程队单独施工完成的天数是乙工程队单独施工完成天数的2倍. （1） 求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？ （2） 甲工程队独做天后，再由甲、乙两工程队合作 天（用含的代数式表示）可完成此项工程. （3） 如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？ 解：（1）设乙单独完成此项工程需要 天，则甲单独完成需要 天，由题意得， 解得，经检验 是原方程的解.. 答：甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60天，30天. （2） （3） 设甲工程队单独施工了 天，，解得. 答：甲工程队至少要单独施工36天. 例4.为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天． （1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？ （2）若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长1200米，改造总费用不超过145万元，至少安排甲队工作多少天？ 解：（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为米，则甲工程队每天能改造道路的长度为米，根据题意得：，解得：，经检验，是原分式方程的解，且符合题意，． 答：乙工程队每天能改造道路的长度为40米，甲工程队每天能改造道路的长度为60米． （2）设安排甲队工作天，则安排乙队工作天，根据题意得：，解得：． 答：至少安排甲队工作10天． 类型三 销售问题 例5. 《非机动车管理办法》规定：电动自行车驾驶人和乘坐人员应该戴安全头盔.某商店用1 600元购进一批电动车头盔，销售发现供不应求，于是，又用5 400元再购进一批头盔，第二批头盔的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵10元.第一批头盔进货单价是多少元? 解：设第一批头盔进货单价为 元，则第二批进价为 元. 根据题意可得，解得. 经检验，是分式方程的解. 答：第一批头盔进货单价是80元. 例6.昭通苹果和天麻美味可口，小明在昆明某超市购买1斤昭通苹果和2斤小草坝天麻需要支付105元，购买3斤昭通苹果和5斤小草坝天麻需要支付265元. （1） 1斤昭通苹果和1斤小草坝天麻的价格分别是多少元？ （2） 昆明到昭通的距离大约，以前超市老板都会亲自去往昭通选果，但今年由于疫情原因，只能选择专车托运，以前花240元购进的苹果现在要花300元，进货单价比原来贵了1元，原来1斤苹果进货价格为多少？ 解：（1） 设1斤昭通苹果和1斤小草坝天麻的价格分别是 元和 元. 列方程组得 解方程组得 斤昭通苹果和1斤小草坝天麻的价格分别是5元和50元. （2） 设原来1斤苹果进货价格为 元，则现在的进货价格为 元，由题可得，解得，经检验，是原方程的解，且符合题意. 原来1斤苹果进货价格为4元. 类型四 和差倍分问题 例7.某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多.用建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的. （1） 求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米； （2） 该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍.求最多建多少个A类摊位. 解：（1） 设每个A 类摊位占地面积为，则每个B 类摊位占地面积为， 依题意，得，解得，经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 则.答：每个A类摊位占地面积为，每个B 类摊位占地面积为. （2） 设A类摊位的数量为 个，则B 类摊位的数量为 个， 依题意，得，解得.因为 取整数，所以 的最大值为22. 答：最多建22个A 类摊位. 例8. 学校要举行跳绳比赛，同学们都积极练习.甲同学跳120个所用的时间，乙同学可以跳180个；又已知甲每分钟比乙少跳20个，求每人每分钟各跳多少个. 解：设甲每分钟跳 个，则乙每分钟跳 个.由题意可得，解得，经检验，是分式方程的解.（个）. 答：甲每分钟跳40个，乙每分钟跳60个. 类型五 航行问题 例9. 一艘轮船在静水中的最大航速为，它以最大航速沿江顺流航行所用时间是以最大航速逆流航行所用时间的1.2倍，则江水的流速为多少千米/时？ 解：设江水的流速为，根据题意得，解得.经检验，是原方程的解.答：江水的流速为. 例10. 一小船由A港顺流而下到B港需，由B港逆流而上到A港需.某天早晨6点，该船由A港出发驶向B港，到达B港时，发现船上一救生圈在途中掉入水中，于是立刻返回，后遇到救生圈. （1） 该船按水流速度由A港漂流到B港需要多少小时？ （2） 救生圈是何时掉入水中的？ 解：（1）设小船按水流速度由A 港漂流到B 港需要，根据题意得，解得， 经检验 符合题意， 答：小船按水流速度由A 港漂流到B 港需要. （2） 设救生圈是在y点掉入水中的，由（1）小题结果，救生圈每小时顺水漂流的距离等于全程的，，解得.答：救生圈是在上午11点掉入水中的. 类型六 方案问题 例11. 永州市万达广场筹建之初的一项挖土工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，每施工一天，需付甲工程队工程款2.4万元，付乙工程队工程款1.8万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案： （方案一）甲队单独完成这项工程，刚好按规定工期完成； （方案二）乙队单独完成这项工程要比规定工期多用6天； （方案三）若由甲、乙两队合作5天，剩下的工程由乙队单独做，也正好按规定工期完工. （1） 请你求出完成这项工程的规定时间； （2） 如果你是工程领导小组的组长，为了节省工程款，同时又能如期完工，你将选择哪一种方案?说明理由. 解：（1） 设完成这项工程的规定时间为 天,则甲队单独完成这项工程为 天,乙队单独完成这项工程为 天.由题意得，解得， 经检验，是原分式方程的解.答:完成这项工程的规定时间为30天. （2） 如期完工，只有方案一和方案三符合条件.方案一工程款:（万元）， 方案三工程款：（万元），， 选择方案三.答:选择方案三,理由为既节省了工程款且又能如期完工. 例12.某开发公司生产的1 920件新产品需要精加工后才能投放市场，现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知乙厂单独加工完这批产品比甲厂单独加工完这批产品多用20天，而乙厂每天加工的数量是甲厂每天加工数量的，公司需付甲厂加工费用每天120元，需付乙厂加工费用每天80元. （1） 甲、乙两个工厂每天各能加工多少个新产品？ （2） 公司制定产品加工方案如下：可以由每个厂家单独完成，也可以由两个厂家合作完成，在加工过程中，公司派一名工程师到厂进行技术指导，并负担每天20元的午餐补助费.请你帮助公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由. 解：（1）设甲工厂每天加工新产品 件，则乙工厂每天加工新产品 件. 根据题意，解得.经检验，是原分式方程的解， 则.答：甲、乙两个工厂每天各能加工48个，32个新产品. （2） 甲工厂单独加工完成需要（天），费用为（元）；乙工厂单独加工完成需要（天），费用为（元）； 甲、乙工厂合作完成需要（天），费用为（元）.所以既省时又省钱的加工方案是甲、乙工厂合作完成. 列分式方程解应用题的关键步骤： 1.审题：理清题目中的数量关系，明确已知量和未知量； 2.设元：选择合适的未知量设为未知数（直接设元或间接设元）； 3.找等量关系：这是列方程的核心，需结合实际问题的类型（行程、工程、增长率等）挖掘隐含关系； 4.列方程：根据等量关系，用含未知数的代数式表示相关量，列出分式方程； 5.解方程：按照分式方程的解法，去分母转化为整式方程求解； 6.检验：既要检验所求值是否使分式方程的最简公分母不为0（排除增根），也要检验是否符合实际情境； 7.作答：根据检验结果，写出规范的答案。 五．课堂检测 （一）．选择题 1.九年级学生去距学校10 km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度.设骑车学生的速度为x km/h，则所列方程正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设骑车学生的速度为xkm/h，则汽车的速度为2xkm/h，由题意得，． 2．“十一”黄金周，几名同学乘坐一辆客车前去“方特欢乐世界”游玩，客车的车费为180元，出发时，又增加了两名同学，结果每个同学比原来少分摊了3元车费，若设实际参加游览的学生共有人，则所列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设原来参加游览的同学共人，根据题意可得：，故选：D． 3.甲、乙两地相距500km，提速前动车的速度为vkm/h，提速后动车的速度是提速前的1.5倍，提速后行车时间比提速前减少10min，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为提速前动车的速度为vkm/h，提速后动车的速度是提速前的1.5倍，所以提速后动车的速度为1.5vkm/h，根据题意可得．故选：A． 4.，两地相距48千米，一艘轮船从地顺流航行至地，又立即从地逆流返回地，共用去9小时，已知水流速度为4千米时，若设该轮船在静水中的速度为千米时，则可列方程　　 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】顺流时间为：；逆流时间为：．所列方程为：． 故选：A． 5．随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（　　） A．＝ B．+80＝ C．＝﹣80 D．＝ 【答案】D 【解析】设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件， 依题意，得：＝．故选：D． 6．甲、乙两人加工同一种玩具，甲加工90个玩具所用的时间与乙加工120个玩具所用的时间相等，已知甲、乙两人每天共加工35个玩具，则甲每天加工的玩具数为（　　） A．15 B．20 C．18 D．17 【答案】A 【解析】设甲每天加工x个玩具，则乙每天加工（35﹣x）个玩具由题意得，＝，解得：x＝15，经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意，则35﹣x＝20，即甲每天加工15个玩具，乙每天加工20个玩具．故选：A． 7.父子两人沿周长为a的圆周骑自行车匀速行驶.同向行驶时父亲不时超过儿子，而反向行驶时相遇的频率增大为11倍.已知儿子的速度为v，则父亲的速度为(　　) A.1.1v B.1.2v C.1.3v D.1.4v 【答案】B 【解析】设父亲的速度为x，则两人同向时，相遇所用的时间为，反向时，相遇所用的时间为，由题可知同向行驶的相遇时间是反向行驶相遇时间的11倍，可得方程＝11×，解得x＝1.2v，经检验x＝1.2v是所列分式方程的解，所以父亲的速度为1.2v. 故选：B. 8.某商品的进货成本为每件200元，促销期间，这种商品按原售价的8折出售，此时每卖出一件这种商品，只能获得10%的利润，设这种商品的原来售价是x元，所列方程正确的是（　　） A.×100%＝10% B.×100%＝10% C.×100%＝10% D.×100%＝10% 【答案】A 【解析】设这种商品的原来售价是x元，可得：×100%＝10%. 故选：A． 9．随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，现已知小林家距学校8千米，乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，若设乘公交车平均每小时走x千米，根据题意可列方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设乘公交车平均每小时走x千米，根据题意可列方程为：．故选D． 10.某市政公司修理一段6000米长的河岸，修了30天后，从有关部门获知汛期将提前，公司决定增派施工人员以加快速度，工作效率比原来提高了20%，工程恰好比原计划提前5天完成．求该公司完成这项工作实际的天数．设原来每天修x米，运用“计划天数﹣实际天数＝5”构建分式方程，下列说法不正确的是（　　） A.原计划完工天数为天 B.30天后剩下河岸还需天修完 C.实际天数为（﹣4）天 D.实际天数为（＋30）天 【答案】C 【解析】设原来每天修x米，则原计划完工天数为天，故A正确；∵30天后每天修（1＋20%）x＝1.2x米，∴30天后剩下河岸还需天修完，故B正确；∵工程恰好比原计划提前5天完成，∴实际天数为﹣5天，故C错误；或实际天数为（＋30）天，故D正确.故选：C． （二）．填空题 11.在临桂新区建设中，需要修一段全长的道路，为了尽量减少施工对县城交通工具所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了，结果提前8天完成任务，求原计划每天修路的长度．若设原计划每天修路，则根据题意可得方程　　． 【答案】 【解析】原计划用的时间为：，实际用的时间为：．所列方程为：，故答案为：． 12．某班在植树节时需完成一批植树任务，若由全班学生一起完成每人需植树8棵；若由女生单独完成每人需植树12棵，则由男生单独完成每人需植树　 　棵． 【答案】24 【解析】设单独由男生完成，每人应植树x棵．那么根据题意可得出方程：+＝， 解得：x＝24．检验得x＝24是方程的解．因此单独由男生完成，每人应植树24棵．故答案为：24． 13．某单位盖一座楼房，如果由建筑一队施工，那么180天可盖成；如果由建筑一队、二队同时施工，那么30天能完成工程总量的，现若由二队单独施工，则需要x天完成．根据题意列的方程是　 　． 【答案】30（+）＝ 【解析】设二队单独施工，需要x天盖成．由题意得：30（+）＝， 14.小李家离某书店6千米，他从家中出发步行到该书店，返回时由于步行速度比去时每小时慢了1千米，结果返回时多用了半小时．如果设小李去书店时的速度为每小时x千米，那么列出的方程是　            　． 【答案】 【解析】设小李去书店时的速度为每小时x千米，根据题意得：. 15.小明上周三在超市花10元钱买了几袋牛奶，周日再去买时，恰遇超市搞优惠酬宾活动，同样的牛奶，每袋比周三便宜0.5元，结果小明只比上次多花了2元钱，却比上次多买了2袋牛奶．若设他上周三买了x袋牛奶，则根据题意列得方程为　　       ． 【答案】－＝ 【解析】周三买的牛奶的单价为：，周日买的牛奶的单价为：． 所列方程为：－＝． 16.如图，点A，B在数轴上，它们所表示的数分别是﹣4，，且点A到原点的距离是点B到原点的距离的2倍，则x＝　　． 【答案】﹣1 【解析】根据题意得：＝2，去分母得：4x﹣4＝10x＋2，移项合并得：6x＝﹣6，解得：x＝﹣1，经检验x＝﹣1是分式方程的解. 17．为响应市政府“绿色出行”的号召，小张上班由自驾车改为骑公共自行车．已知小张家距上班地点10千米．他用骑公共自行车的方式平均每小时行驶的路程比他用自驾车的方式平均每小时行驶的路程少45千米，他从家出发到上班地点，骑公共自行车方式所用的时间是自驾车方式所用的时间的4倍．设小张用骑公共自行车方式上班平均每小时行驶x千米，根据题意，可列方程为　 　． 【答案】＝4×． 【解析】设小张用骑公共自行车方式上班平均每小时行驶x千米，根据题意列方程得： ＝4×，故答案是：＝4×． 18．某超市第一次用3000元购进某种干果销售，第二次又调拨9000元购进该种干果，但第二次的进价比第一次进价提高了20%，购进干果数量比第一次的2倍还多300千克，如果超市先按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，最后的600千克按原售价的7折售完．超市两次销售这种干果共盈利　 　元． 【答案】5280 【解析】设第一次购进干果的单价为x元/千克，则第二次购进干果的单价为1.2x元/千克，根据题意得：2×+300＝，解得：x＝5，经检验，x＝5是原方程的解， ∴＝＝600，＝＝1500．1500×9+600×9×0.7﹣3000﹣9000＝5280（元）． （三）．解答题 19．阅读：对于两个不等的非零实数a、b，若分式的值为零，则x＝a或x＝b．又因为＝＝x+﹣（a+b），所以关于x的方程x+＝a+b有两个解，分别为x1＝a，x2＝b． 应用上面的结论解答下列问题： （1）方程x+＝q的两个解分别为x1＝﹣1、x2＝4，则P＝　 　，q＝　 　； （2）方程x+＝4的两个解中较大的一个为　 　； （3）关于x的方程2x+＝2n的两个解分别为x1、x2（x1＜x2），求的值． 解：（1）∵方程x+＝q的两个解分别为x1＝﹣1、x2＝4，∴p＝﹣1×4＝﹣4，q＝﹣1+4＝3，故答案为：﹣4，3； （2）设方程x+＝4的两个解为a，b，则ab＝3，a+b＝4，∴a＝1，b＝3或a＝3，b＝1， ∴两个解中较大的一个为3；故答案为：3； （3）∵2x+＝2n，∴2x+1+＝2n+1，2x+1+＝（n+2）+（n﹣1），∴2x+1＝n+2或2x+1＝n﹣1，x＝或，∵x1＜x2，∴x1＝，x2＝， ∴＝＝＝1． 20．某服装店用4500元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用2100元购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10元． （1）这两次各购进这种衬衫多少件？ （2）若第一批衬衫的售价是200元/件，老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于2100元，则第二批衬衫每件至少要售多少元？ 解：（1）设第二次购进衬衫x件，则第一次购进衬衫2x件，依题意，得：﹣＝10，经检验，x＝15，经检验，x＝15是所列分式方程的解，且符合题意，∴2x＝30．答：第一次购进衬衫30件，第二次购进衬衫15件． （2）由（1）可知，第一次购进衬衫的单价为150元/件，第二次购进衬衫的单价为140元/件，设第二批衬衫的售价为y元/件，依题意，得：（200﹣150）×30+（y﹣140）×15≥2100， 解得：y≥180．答：第二批衬衫每件至少要售180元． 21．截至2025年，高速公路已经贯通云南16个州市，云南省正全力推进县域高速公路“能通全通”“互联互通”工程建设．已知甲、乙两地之间的国道全长为220km，经过改修高速公路后，长度减少了20km，高速公路通后，一辆长途汽车的高速行驶速度比国道行驶速度提高了45km/h，从甲地到乙地的行驶时间减少了一半． （1）求该长途汽车在国道上行驶的速度； （2）若该高速公路规定长途汽车限速80km/h，那么该长途汽车从甲地到乙地是否超速？ 解：（1）设该长途汽车在国道上行驶的速度为xkm/h，根据题意得：×＝， 解得：x＝55，经检验：x＝55是原分式方程的解，答：该长途汽车在国道上行驶的速度为55km/h． （2）∵55+45＝100＞80，∴该长途汽车从甲地到乙地超速． 22.某水果商城为了了解A、B两种水果市场的销售情况，购进了一批数量相等的A、B两种水果供客户对比品尝，其中购买A水果用了420元，购买B水果用了756元，已知每千克B水果的进价比每千克A水果的进价贵8元． (1)求每千克A水果和B水果的进价各是多少元； (2)若该水果商城决定再次购买同样的两种水果共40千克，再次购买的费用不超过600元，且每种水果进价保持不变．若A水果的销售单价为14元，B水果的销售单价为24元，则该水果商城应如何进货，可以使第二批的两种水果售完后获得利润最大？最大利润是多少？ 解：(1)设每千克A水果的进价是x元，则每千克B水果的进价是(x＋8)元．根据题意，得＝，解得x＝10，经检验，x＝10是原方程的解，∴x＋8＝10＋8＝18，∴每千克A水果的进价是10元，每千克B水果的进价是18元． (2)设再购买a千克A水果，则购买(40－a)千克B水果．根据题意，得10a＋18(40－a)≤600，解得a≥15，∴15≤a≤40.设总利润为w元，根据题意，得w＝(14－10)a＋(24－18)(40－a)＝－2a＋240.∵－2<0，∴w随a的增大而减小，∴当a＝15时，w有最大值，w最大＝－2×15＋240＝210，∴40－a＝25，∴该水果商城应再购买15千克A水果，25千克B水果，可以使第二批的两种水果售完后获得利润最大，最大利润是210元． 23．某市计划对道路进行维护．已知甲工程队每天维护道路的长度比乙工程队每天维护道路的长度多50%，甲工程队单独维护30千米道路的时间比乙工程队单独维护24千米道路的时间少用1天． (1)求甲、乙两工程队每天维护道路的长度各是多少千米； (2)若某市计划对200千米的道路进行维护，每天需付给甲工程队的费用为25万元，每天需付给乙工程队的费用为15万元，考虑到要不超过26天完成整个工程，因工程的需要，两队均需参与，该市安排乙工程队先单独完成一部分，剩下的部分两个工程队再合作完成．问乙工程队先单独做多少天，该市需付的整个工程费用最低？整个工程费用最低是多少万元？ 解：(1)设乙工程队每天维护道路的长度是x千米，则甲工程队每天维护道路的长度是(1＋50%)x千米，依题意，得－＝1，解得x＝4，经检验，x＝4是原方程的解，且符合题意，∴(1＋50%)x＝6. 答：甲工程队每天维护道路的长度是6千米，乙工程队每天维护道路的长度是4千米． (2)设乙工程队先单独做m天，依题意，得m＋≤26，解得m≤10.设整个工程费用为w万元，则w＝15m＋(25＋15)×＝－m＋800.∵－1＜0，∴w随m的增大而减小， ∴当m＝10时，w取最小值，w最小＝－1×10＋800＝790.答：乙工程队先单独做10天，该市需付的整个工程费用最低，整个工程费用最低是790万元． 24．甲、乙两商场自行定价销售某一商品． （1）甲商场将该商品提价后的售价为1.15元，则该商品在甲商场的原价为　1　元； （2）乙商场将该商品提价后，用6元钱购买该商品的件数比没提价前少买1件，求该商品在乙商场的原价是多少？ （3）甲、乙两商场把该商品均按原价进行了两次价格调整． 甲商场：第一次提价的百分率是，第二次提价的百分率是； 乙商场：两次提价的百分率都是，，． 请问甲、乙两商场，哪个商场的提价较多？请说明理由． 解：（1）（元； （2）设该商品在乙商场的原价为元，则 ，解得．经检验：满足方程，符合实际．答：该商品在乙商场的原价为1元． （3）由于原价均为1元，则甲商场两次提价后的价格为：． 乙商场两次提价后的价格为：．． 乙商场两次提价后价格较多． 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.列分式方程解应用题的基本步骤：审题、设未知数、找______、列分式方程、解分式方程、______、写出答案。 2.列分式方程解应用题的关键是找出题目中的______，它是列方程的依据。 3.解分式方程后，必须进行______，既要检验解是否使原分式方程的分母不为零，也要检验解是否符合______。 4.工程问题中，工作总量通常看作______，工作效率=工作总量÷______，各部分工作效率之和等于______。 5.行程问题中，路程=速度×时间，由此可变形为速度=，时间=；相遇问题的等量关系是：甲走的路程+乙走的路程=；追及问题的等量关系是：快者走的路程-慢者走的路程=。 6.浓度问题中，溶质质量=溶液质量×______，溶液质量=溶质质量+______质量。 7.增长率问题中，若原量为a，增长率为x，经过n次增长后的量为b，则列方程为a(1+x)^n = b；若为下降率，则方程为______。 8.航行问题中，顺流速度=静水速度+，逆流速度=静水速度-。 9.甲、乙两人做同一项工作，甲单独完成需m天，乙单独完成需n天，则甲的工作效率为_____，乙的工作效率为______，两人合作的工作效率为_____，合作完成这项工作需____天。 10.一辆汽车从A地到B地的路程为s千米，若速度提高v千米/时，则比原计划提前______小时到达（用含s、原速度v0、v的代数式表示）。 11.某商品原价为p元，按原价的8折销售仍可获利20\%，若该商品的进价为q元，则列方程为______。 12.甲、乙两地相距120千米，一辆客车从甲地开往乙地，速度为60千米/时，同时一辆货车从乙地开往甲地，速度为40千米/时，两车相遇时，客车行驶了______小时（用分式方程求解的关键等量关系是相遇时两车行驶时间______）。 【答案】1.等量关系；检验 2.等量关系 3.检验；实际意义 4.单位“1”；工作时间；合作工作效率 5.路程÷时间；路程÷速度；总路程；初始距离 6.浓度；溶剂 7.a(1 - x)n = b 8.水流速度；水流速度 9.；； + ； 10. 11. 0.8p - q = 20%q（或0.8p = (1 + 20%)q） 12. 1.2；相等 （二）强化训练 一．选择题 1．九年级（1）班学生周末从学校出发到某实践基地研学旅行，实践基地距学校150千米，一部分学生乘慢车先行，出发30分钟后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达实践基地，已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，如果设慢车的速度为x千米/时，根据题意列方程得（　　） A．﹣30＝ B．+30＝ C．﹣＝ D．+＝ 【答案】C 【解析】设慢车的速度为x千米/小时，则快车的速度为1.2x千米/小时，根据题意可得 ：﹣＝．故选：C． 2．某校用500元钱到商场去购买“84“消毒液，经过还价，每瓶便宜1.5元，结果比用原价多买了10瓶，求原价每瓶多少元？设原价每瓶x元，则可列出方程为（　　） A．﹣＝10 B．﹣＝10 C．﹣＝1.5 D．﹣＝1.5 【答案】B 【解析】设原价每瓶x元，根据题意，得﹣＝10．故选：B． 3．，两地相距，新修的高速公路开通后，在，两地间行驶的长途客车平均车速提高了，而从地到地的时间缩短了．若设原来的平均车速为，则根据题意可列方程为　　 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设原来的平均车速为，则根据题意可列方程为： ．故选：． 4.甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两城驶向C城．已知A、C两城的距离为450千米，B、C两城的距离为400千米，甲车比乙车的速度快10千米/小时，结果两辆车同时到达C城．若设甲车的速度为x千米/小时，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设甲车的速度为x千米/小时，则乙车的速度为（x﹣10）千米/小时，根据题意得：.故选：D． 5.新的津蓟铁路市郊列车取代了传统的绿皮车，实现列车升级，并且升级后列车从天津到蓟县的行驶路程比原路程缩短25公里，实现升级后列车的行驶速度是原来速度的倍，从天津到蓟县的行驶时间缩短了1小时．若列车升级前绿皮车从天津到蓟县的行驶路程为175公里，则列车升级后的速度为（　　） A.45公里/小时 B.60公里/小时 C.90公里/小时 D.100公里/小时 【答案】D 【解析】设列车原来的行驶速度是x公里/小时，则升级后的速度为x公里/小时，根据题意得，，解得：x＝70．经检验，x＝70是原方程的解．则x＝×70＝100，即列车升级后的速度为100公里/小时．故选：D． 6.某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨．小丽家去年12月份的水费是15元，而今年5月的水费则是30元．已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5cm3．求该市今年居民用水的价格．设去年居民用水价格为x元/cm3，根据题意列方程，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设去年居民用水价格为x元/cm3，根据题意列方程：. 故选：A． 7.某服装专卖店销售的A款品牌西服去年销售总额为50000元，今年该款西服每件售价比去年便宜400元，若售出的件数相同，则该款西服销售总额将比去年降低20%，求今年该款西服的每件售价．若设今年该款西服的每件售价为x元，那么可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设今年该款西服的每件售价为x元，那么可列方程为：. 故选：A． 8.植树节的起源可以追溯到中国古代“孟春之月，盛德在木”的传统观念，这体现了古人对树木的深深敬仰．某校在“植树节”期间带领学生开展植树活动，甲、乙两班同时开始植树，甲班比乙班每小时多植3棵树，植树活动结束时，甲、乙两班同时停止植树，甲班共植70棵树，乙班共植50棵树．设甲班每小时植x棵树，依题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设甲班每小时植x棵树，则乙班每小时植（x﹣3）棵树， 根据题意，可如甲、乙两班植树时间相同，可列方程. 故选：A． 9．某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木．该活动开始后，实际每天比原计划多植树60棵，实际植树500棵所需时间与原计划植树400棵所需时间相同．设实际每天植树x棵，则下列方程正确的是（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设实际每天植树x棵，则原计划每天植树棵，根据题意，可列方程：．故选：B． 10.为了维修某高速公路需开凿一条长为1300米的隧道，为了提高工作效率，高速公路建设指挥部决定由甲、乙两个工程队从两端同时开工．已知甲工程队比乙工程队每天能多开凿10米，且甲工程队开凿300米所用的天数与乙工程队开凿200米所用的天数相同，则甲、乙两个工程队每天各能开凿多少米（　　） A.甲20、乙30 B.甲30、乙20 C.甲40、乙30 D.甲20、乙50 【答案】B 【解析】设乙工程队每天能开凿x米，那么甲工程队每天能开凿（x＋10）米，依题意得解得：x＝20，所以乙工程队每天能开凿20米，甲工程队每天能开凿30米． 故选：B． 二．填空题 11．某商场销售一种商品，第一个月将此商品的进价提高作为销售价，共获利1200元，第二个月商场搞促销活动，将商品的进价提高作为销售价，第二个月的销售量比第一个月增加80件，并且商场第二个月比第一个月多获利300元．设此商品的进价是元，则可列方程　　． 【答案】 【解答】方程为：，故答案为：． 12.A、B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程为                     . 【答案】 【解析】由题意可得，. 13.某公司生产了A型、B型两种计算机，它们的台数相同，但总价值和单价不同．已知A型计算机总价值为102万元；B型计算机总价值为81.6万元，且单价比A型机便宜了2 400元．问A型、B型两种计算机的单价各是多少万元．若设A型计算机的单价是x万元，请你根据题意列出方程　　       ． 【答案】 【解析】设A型计算机的单价是x万元/台，则B型计算机的单价是（x﹣0.24）万元/台， 根据题意得：． 14.某市为治理污水，需要铺设一段全长为300m的污水排放管道.铺设120m后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来比原计划增加20%，结果共用30天完成这一任务.求原计划每天铺设管道的长度.如果设原计划每天铺设x m管道，那么根据题意，可得方程　       　　. 【答案】（或） 【解析】根据题意可得题中的相等关系为前后两次铺设共用的时间等于30天， 铺设120m后每天的工效为1.2x m，铺设120m所用时间为天， 后来所用时间为天，因此可列方程. 15.某市为治理无水，需要铺设一段全长为600m的污水排放管道，铺设120m后，为加快施工进度，后来每天比原计划增加20m，结果共用11天完成这一任务，求原计划每天铺设管道的长度．如果设原计划每天铺设x m管道，那么根据题意，可列方程　          　． 【答案】＋＝11 【解析】设原计划每天铺设x m管道，由题意得：＋＝11. 16.定义一种新的运算：a*b＝，例如：3*5＝，若关于x的方程m*x＝﹣3的解为非负数，则m的取值范围为 　　． 【答案】m≤3且m≠0 【解析】由题意得：，∴m＝﹣6x＋3，∴，∵关于x的方程m*x＝﹣3的解为非负数，∴，2x﹣1≠0，解得：m≤3，m≠0，∴m的取值范围为：m≤3且m≠0. 17.定义一种新的运算：a*b＝，例如：3*5＝，若关于x的方程m*x＝﹣3的解为非负数，则m的取值范围为 　　． 【答案】m≤3且m≠0 【解析】由题意得：，∴m＝﹣6x＋3，∴，∵关于x的方程m*x＝﹣3的解为非负数，∴，2x﹣1≠0，解得：m≤3，m≠0，∴m的取值范围为：m≤3且m≠0. 18．某次列车平均提速vkm/h．用相同的时间，列车提速前行驶skm．提速后比提速前多行驶50km．设提速前列车的平均速度是xkm/h．根据题意分别列出下列四个方程：①；②；③；④．则其中正确的方程有　 　． 【答案】①③ 【解析】设提速前列车平均速度是xkm/h，则提速后列车平均速度是（x+v）km/h， 依题意得：①；③；④＝．故其中正确的方程有①③． 故答案为：①③． 三．解答题 19.甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，先由甲队筑路60公里，再由乙队完成剩下的筑路工程，已知乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的倍，甲队比乙队多筑路20天． （1）求乙队筑路的总公里数； （2）若甲、乙两队平均每天筑路公里数之比为5：8，求乙队平均每天筑路多少公里． 解：（1）60×＝80（公里）．答：乙队筑路的总公里数为80公里． （2）设乙队平均每天筑路8x公里，则甲队平均每天筑路5x公里，根据题意得：，解得：x＝0.1，经检验，x＝0.1是原方程的解，∴8x＝0.8．答：乙队平均每天筑路0.8公里． 20.一项工程由A、B两工程队合作，120天可以完成；如果A，B两工程队单独完成此项工程，B工程队所用时间是A工程队的1.5倍． （1）求A，B两工程队单独完成此项工程各需多少天？ （2）在施工过程中，该总公司派一名技术人员在现场对施工质量进行全程监督，每天总公司补助技术人员100元，若由A工程队单独施工，平均每天A工程队的费用为0.5万元，现总公司选择了B工程队单独施工，要求总费用不能超过选择A工程队时的总费用，则平均每天B工程队的费用最多为多少？ 解：（1）设A单独完成需要x天，则B单独完成需要1.5x天，由题意得：，解得：x＝200，经检验，x＝200是原方程的解．则B单独完成需要天数：200×1.5＝300（天）． 答：A单独完成需要200天，则B单独完成需要300天． （2）A工程队需要费用为：0.5×200＋0.01×200＝102（万元）；设B工程队每天的施工费用为y万元，则：300y＋300×0.01≤102，解得：y≤0.33，所以B工程队每天的施工费用为0.33万元． 21.为了提高服务质量，某宾馆决定对甲、乙两种套房进行星级提升，已知甲种套房提升费用比乙种套房提升费用少3万元，如果提升相同数量的套房，甲种套房费用为625万元，乙种套房费用为700万元． （1）甲、乙两种套房每套提升费用各多少万元？ （2）如果需要甲、乙两种套房共80套，市政府筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于甲、乙种套房星级提升，市政府对两种套房的提升有几种方案？哪一种方案的提升费用最少？ 解：（1）设乙种套房提升费用为x万元，则甲种套房提升费用为（x﹣3）万元，则，解得x＝28．答：甲、乙两种套房每套提升费用为25、28万元. （2）设甲种套房提升a套，则乙种套房提升（80﹣a）套，则2090≤25a＋28（80﹣a）≤2096，解得48≤a≤50．∴共3种方案，分别为： 方案一：甲种套房提升48套，乙种套房提升32套． 方案二：甲种套房提升49套，乙种套房提升31套， 方案三：甲种套房提升50套，乙种套房提升30套． 设提升两种套房所需要的费用为y万元，则y＝25a＋28（80﹣a）＝﹣3a＋2240， ∵k＝﹣3，∴当a取最大值50时，即方案三：甲种套房提升50套，乙种套房提升30套时，y最小值为2090万元． 22.为响应“足球进校园”的号召，某校到商场购买甲、乙两种足球，购买甲种足球共花费1600元，乙种足球共花费1200元．已知甲种足球的单价是乙种足球单价的2倍，且购买甲种足球的数量比乙种足球少10个． （1）设乙种足球的单价为x元，用含x的代数式表示下表中相关的量 （2）列方程求乙种足球的单价． 解：（1）设乙种足球的单价为x元，用含x的代数式表示下表中相关的量. （2）由（1）可得：＝＋10，解得：x＝40，经检验得：x＝40是原方程的根， 答：乙种足球的单价为40元． 23．骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场，顺风车行经营的型车去年6月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后型车每辆销售价比去年增加400元，若今年6月份与去年6月份卖出的型车数量相同，则今年6月份型车销售总额将比去年6月份销售总额增加． ，两种型号车的进货和销售价格表： 型车 型车 进货价格（元辆） 1100 1400 销售价格（元辆） 今年的销售价格 2400 （1）求今年6月份型车每辆销售价多少元； （2）该车行计划7月份新进一批型车和型车共50辆，且型车的进货数量不超过型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？ 解：（1）设去年6月份型车每辆销售价元，那么今年6月份型车每辆销售元， 根据题意得，解得：，经检验，是方程的解． 时，．答：今年6月份型车每辆销售价2000元． （2）设今年7月份进型车辆，则型车辆，获得的总利润为元， 根据题意得，解得：，， 随的增大而减小，当时，可以获得最大利润． 答：进货方案是型车17辆，型车33辆． 24．为了更安全地开展冰上运动某校决定购进一批护肘及护膝．已知用900元购进护膝的数量比用400元购进护肘的数量多10副，且每副护膝价格是每副护肘价格的1.5倍． (1)每副护肘和护膝的价格分别是多少元； (2)若学校决定用不超过8000元购进两种护具共300副，且护肘数量不多于102副，求有哪几种购买方案； (3)在（2）的条件下，若已知商家每副护肘的进价为15元，每副护膝的进价为20元，为支持学校的冰上运动，该商家准备正好用去方案中的最大利润的10%再次购进两种护具赠送给学校，请直接写出最多可赠送护膝多少副？ 解：（1）设每副护肘的价格是x元，则每副护膝的价格的价格是1.5x元，依题意得：，解得：x＝20，经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意，∴1.5x＝1.5×20＝30．答：每副护肘的价格是20元，每副护膝的价格的价格是30元． （2）设购进护肘m副，则购进护膝（300﹣m）副，依题意得：， 解得：100≤m≤102．又∵m为正整数，∴m可以取100，101，102，∴共有3种购买方案， 方案1：购进护肘100副，护膝200副； 方案2：购进护肘101副，护膝199副； 方案3：购进护肘102副，护膝198副． （3）方案1获得的利润为（20﹣15）×100+（30﹣20）×200＝2500（元）； 方案2获得的利润为（20﹣15）×101+（30﹣20）×199＝2495（元）； 方案3获得的利润为（20﹣15）×102+（30﹣20）×198＝2490（元）． ∵2500＞2495＞2490，∴选择方案1获得的利润最大，最大利润为2500元． 设可赠送护膝a副，护肘b副，依题意得：20a+15b＝2500×10%，化简得：a＝． 又∵a，b均为正整数，∴或或或，∴最多可赠送护膝11副． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $