福建泉州市2025-2026学年上学期期末高二参考试题数学（A卷）

2025一2026学年度上学期期末高二参考试题 2026.02 数学(A卷)参考答案 一、选泽题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.B. 【解析】直线（与马的斜率都为号，经检验，两直线不重合，所以两直线平行.故选B. 2.C. 【解折】由已知，a=2,c=5,所以b=e-a2=1,所以双曲线标准方程为华-=1， 所以渐近线为y=士 3.D. 【解析】设数列{an}公比为g(g>0),则S3=2+2q+2g2=26,化简得(9+4)(9-3)=0，有 9=3,a4=a1q3=2×33=54. 4.C 【解析】以D为坐标原点，DA,DC,DD为x,y,z轴正方向，建立 D 空间直角坐标系，不妨设正方体棱长为2，A(2,0,2),M(1,0,0) ,B1(2,2,2),DB=(2,2,2),IA1=(1,0,2)cos DB1,MA= DB·MA1 DBMA =2+0+4=店，所以A1M与DB,所成角的 W12×√5 5 余弦值为√5 5 5.A 【解析】如图，元=0+O心=-2(OA+O+}(O店+0C) -号0A-60心+号0c,放远A, 6.D. 【解析】设数列{an}公差为d,则有 18,=4a+6d=20,则有C2 S3=3a1+3d=12 ld=2 52=12a+11X12d=12×2+11×12=156 2 7.B 【解析】解法一：不妨设BC=√2，AB=2,取AB的中点E,连接OE,侧面OAB是正三角 形，所以OE⊥AB,又二面角O-AB-C是直二面角即平面OAB⊥平面ABCD,所以 OE⊥平面ABCD,取CD的中点F,连接OE,EF,则EF上AB,以E为原点，分别以 E元，EF,O为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则 0(0,0,3),C(1,√2,0)，D(-1,√2,0)，OC=(1,√2，-√)，DC=(2,0,0),设平面 第1页 0CD的法向量为元=，，，则十2y52=0,取元=0，列，平面04B x=0 杭元 的法向量为元=(0,1,0)，设平面OAB与平面OCD的夹角为0，则cos0 品 5=5 √5 5 B 解法二：由解法一知，OE⊥平面ABCD,所以OE⊥AB,设平面OAB与平面OCD的 交线为I,因为AB∥CD且CDC平面OCD,所以AB∥平面OCD,又ABC平面OAB 且平面OAB与平面OCD的交线为1，所以AB∥L,则OE⊥1，易知CD上平面OEF, 所以CD⊥OF,又AB∥CD,所以CD∥I,则OF⊥I,所以∠EOF是平面OAB与平 面OCD所成角的平面角，不妨设BC=√2，AB=2,在Rt△OEF中，EF=√2，OE=√3 ,OF=VOE2+EF=V5,所以cos∠E0F=OE=5=5 OF√5 5 8.D 【解析】抛物线y2=4x焦点F(1,0),准线c=-1,设M(x,),N(ac2,2),|FM+FN|= x1+1+c2+1,若M在以ON为直径的圆上，则有OM⊥MN,且OM,MN斜率均存在. 则有kow·k=丝·二独=头·1一边三 c1x1-x2业 1 16 =-1,=-h-16;FEM+PW=f+ 1（1+2) 4 4+2-生+(++2-号+0-0≥ 4 2 2√32+10=10+8√2.当=8√2时等号成立，取得最 小值。 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.ACD 【解析】因为事件A,B相互独立，所以P(AB)=P(A)P(B),解出P(B)=号，故A正确；则 3 P(AB)=P(A)-P(AB)=号，故B错误； P(AB)=P(B)-P(AB)=青，故C正确： P(AUB)-P(A)+P(B)-P(A)P(B)- ,故D正确。 第2页 10.AC. 【解折】A选项依题意可列出方程-专，化简行十了一4，放A正确B错 √x2+(y-4 误 C选项，法一：设x=2cos6，y=2sin6，则x+y=2cos6+2sinB=2W2sinm(0+于)e [-2√2,2W2],故C正确， 法二：设x+y=z,直线x+y-z=0与圆x+=4有交点，此时- L≤2，可得z∈ [-2√2,2W2],故C正确， D迹项，设十号-太，直线x一y十张-2=0与因2+=4有交点，此时3k-2 x+3 W2+1 ≤2，可行&e[0,号]，故D错误 11.ACD 【解析】 C B D D A选项：当CF⊥BF时，因为四边形ABCD为正方形且EF∥AB,所以EF⊥BF,又 CF∩EF=F,所以BF⊥平面CEF,又BFC平面ABFD,所以平面CEF⊥平面 ABFD,A选项正确； B选项：解法一：由A选项知BF⊥平面CEF,AD∥BF,所以AD⊥平面CEF,则 AD⊥CE在Rt△CDE中，CE=√CD2-DE=√22-12=√5，在△CEF中，由余弦定理 得cos∠CFB=CF+P-CE=1+4-3-1 2CF.EF 2×1×2 解法二：由A选项知平面CEF⊥平面ABFD,平面CEF∩平面ABFD=EF,过点C作 CK⊥EF,垂足为K,则CK⊥平面ABFD,CK⊥DF,过点C作CH⊥DF,垂足为 H,又CK∩CH=C,所以DF⊥平面CKH,则KH⊥DF,在翻折前的平面ABCD中， 由CH⊥DF,所以C、H、K三点共线，△CFK~△DCF,所以-C,所以 CF DC PK=分，O/CFE=-密=方，B益项错误 CF C选项：解法一：假设存在C某个位置使得直线CE与DF垂直，设此时点C在底面的投影 点为O,易知DF⊥平面COE,则OE⊥DF,所以平面ABCD中OE∥CK,而由B选 项解法二分析可知，点C在底面的投影点应该在直线CK上，即CK与OE相交，矛盾，所 以假设不成立，C选项正确； 第3页 解法二：C=CD+D呢，则C应.D户=C元·D+D·D疗，由翻折性质，∠CDF为定值， 且C元DF=|C元·D(-cosLCDF)=-4,又D应.DF=1,所以CE.D=-3≠0， 即CE与DF不垂直； D选项：设翻折过程中点C在底面的投影点为H,球心到平面CEF的距离为d,则截面面 积最小当且仅当d最大，四面体D-CEF的体积V=名·SaCH=言·Saad, San=1,Scm=do-m(点C到直线EF的距离)，所以d=CH CH do-那√CH+d-证 CH CH2+di-EF 1V1+ 所以当dH-m=0,即H在EF上时，d取最大值1，此时截 CH 面圆半径r=√22-12=√3，面积S=πr2=3π，所以D选项正确，选ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.2e 【解析1f'(c)=e+xe,f'(1)=el+el=2e 13.18. 【解析】因为数列{an}是等比数列，所以a2·a3=a,2,a2=2a,所以a=2或a,=0(舍)，b =2,又}是等差数列，所以5，=9x+=9X26=18. 2 2 14.6 3 【解析】如图，作∠FPF的角平分线PM,交x轴于M,则有 PM⊥U,作FA⊥L,作A⊥l,FB⊥l,ON⊥l,垂 足分别为A,B,2V,则有1ON=a,设入射角为，所以 NP B A=Pcos0,|B=|Pcos0在梯形ABFF中，中位线 1oN=9a=号A1+BRD=专×2a×cos0所以9=晋 OM F, 则有∠RPR=,因为1PA=2b,P=2a-2b由勾股定理 有：PFP+|P=|EF,即有(2b)2+(2a-2b)2=(2c)2化简得：3b=2a, 所以e=V侣-V1是=9 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(1)f(x)=e-alnx, f@)=e-受 2分 又a=2ef)=e-29,f1)=e-2e=-e,f1)=e, 3分 ∴.l方程为y-e=(-e)(x-1),即ex+y-2e=0 -5分 (2)f)=e-号f1)=e-a,f1)=e, ∴.l方程为y-e=(e-a)(x-1), 7分 第4页 当x=0时，y=a>0； 8分 当y=0时，x=a>0； 9分 a-e 记1与坐标轴围成的三角形面积为S, Sa0-=1.-o-=1a2-e+eDa-e士2e。+28 a-e 2 a-e 2 ----11分 a-e a-et e2 +2e≥4e,当且仅当a=2e时等号成立， 12分 a-e .S最小值为2e,-------- 13分 16.解法一：(1)设事件：M=“首轮比赛甲答对”，N=“首轮比赛乙答对” 则PaM-,Pa-号 ---1分 所以至少有一人答对的概率为P(MUN)=P(M)+P(N)-P(M∩N) 3分 因为从、N湘互独立所以P(aMn)=-PM训-P=子×号-号 ----5分 所以PaUN)一是+号号一冬，即首轮金少有一人答对的概率 ----6分 4 8 (2)设事件：A,=“甲在前两轮比赛答对的次数为i”,B,=“乙在前两轮比赛答对的 次数为i”,i=0,1,2,C=“甲答对的次数多于乙” --7分 根据独立性的假定得 P氏A-圣x生+×星-号，PrA-星-品 Pa=号=子，PB)=方×号+号×号= 11分 又C=A1 BoU A2Bo U A2B,且AB,AB,AB两两互斥， A1与B0,A2与B0,A2与B1分别相互独立，-- 12分 所以 P(C)=P(AiBo)+P(A2Bo)+P(A2B) =P(A1)P(B)+P(A2)P(B)+P(A2)P(B) 号×片+最×片+最×号-得 所以在前两轮比赛中甲答对的次数多于乙的概率是· 15分 64 解法二：(1)设事件：M="首轮比赛甲答对"，N="首轮比赛乙答对" 则PaM0=,PN= -----1分 所以至少有一人答对的概率为P(MUN)=1-P(MN 3分 因为M,N相互独立，所以M,N也相互独立，则 P)=P)~PN)=1-PM0)-(1-Pw)=1-)×1-)=日 --5分 所以PUM)=1一号-子，即首轮至少有一人答对的概率子 6分 （2)同解法一. 17.解法一： 第5页 (1)连结AM,因为AB是圆O的直径，所以AM⊥BM 1分 由AD为圆柱的母线，则AD⊥平面ABM 又因为BMC平面ABM,所以AD⊥BM 2分 又AM,ADC平面ADM,AM∩AD=A 所以BM⊥平面ADM -3分 又因为AHC平面ADM,所以BM⊥AH 4分 (2)过M作MN⊥AB,垂足为N,由MNC平面ABM得AD⊥MN 又AD,ABC平面ABCD,AD∩AB=A,所以MN⊥平面ABCD 所以数c-u=V-aD=专SamN=含×分×4X4aN=9,得N=2 3 所以M为AB的中点，由对称性不妨设M在如图所示的一侧 - 6分 以O为原点，OM,OB,OO'所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系 则A(0,-2,0),B(0,2,0),C(0,2,4),D(0,-2,4),M(2,0,0) -7分 设M匠=M而=（-2A,-2A,4) 因为AH⊥DM,所以Ai·D☑=0 又Ai=Ai+Mi=(2-21,2-2A,4n),D7=(2,2,-4) 则22-2别+22-2别)-44=0，可得1=号 10分 所以=成+应=（告，-，-） -11分 由(1)可知BM⊥AH,又因为AH⊥DM,BM,DMC平面BDM 所以AH⊥平面BDM 则A丽=（号，专，号）即为平面BDM的法向量 13分 设CH与平面BDM所成的角为0 Ci·A 所以sind= 9-婴-婴 √3 G·A立 V+(-+(-}xV(告+(+（传 3 所以cos9=√1-sin6=V6 所以CH与平面BDM所成的角的余弦值为Y6 15分 3 第6页 解法二： (1)同解法一 (2)过M作MN⊥AB,垂足为N,由MNC平面ABM得AD⊥MN 又AD,ABC平面ABCD,AD∩AB=A,所以MN⊥平面ABCD 所以我Cw=V性r-aD=专SaoN=号×号×4×4N=,得N=2 3 所以M为AB的中点，由对称性不妨设M在如图所示的一侧 6分 以O为原点，OM,OB,OO'所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系 则A(0,-2,0),B(0,2,0),C(0,2,4),D(0,-2,4),M(2,0,0) --7分 设MH=MD=（-2入，-2A,4) 因为AH⊥DM,所以AH·DM=0 又A7=A+Mi=(2-2入，2-21,4n),Di=(2,2,-4) 则2(2-2)+22-2列-41=0，可得=君言 10分 所以丽=C成+丽=（告，含） 11分 设平面BDM的法向量为元=(x,y,z),B7=(2,-2,0),B元=(0，-4,4) 元Bi=0,元BD=0 取元=(1,1,1) 13分 设CH与平面BDM所成的角为0， C. 所以sind= 情-是- c V(传)+(-+(-y× 3 所以cos0=V1-sin8-6 所以CH与平面BDM所成的角的余弦值为Y⑤ 15分 3 第7页 解法三： (1)同解法一 (2)过M作MN⊥AB,垂足为N, 由MNC平面ABM得AD⊥MN 又AD,ABC平面ABCD,AD∩AB=A, 所以MN⊥平面ABCD 所以V数c-aaw=Vw-D吉SaDN=号×号×4X4AN- 3 2,得MN=2 所以M为AB的中点，由对称性不妨设M在如图所示的一侧 6分 过C作CK⊥平面BDM,垂足为K 连结HK,则∠CHK即为CH与平面BDM所成的角： -7分 由DKC平面BDM得CK⊥DK 布直角厂角形CnK中，sim/C切K-紧，英中CK即求点C到平面M的距离8分 由(1)可知BM⊥平面ADM,则BM⊥AM,即三角形BDM为直角三角形 在三角形BDM中，BM=2W2,DM=V4+(2W2y=2√6 则Saav=号×2W2x2W6=4Ws -2 10分 2 所以0-ay一吉CK--=CK= ----11分 3 ,可得C= 3 3 在直角三角形ADM中，AH=25X4=5,DH=VP-A=4W6 2w6 3 连结CM,易得CM=DM=2√6 在三角形CDH和三角形CDM中 cos∠CDM= (y-cu 2×4×w6 尘+(262-26解得CH=4-13分 2×4×2√6 3 所以sin/CHK=CK= CH 3 所以cos0=V1-sin6=Y6 3 所以CH与平面BDM所成的角的余弦值为Y 15分 3 第8页 181当m=1时，2a,=4a-1得a=号， 当n=2时，2S2=4a2-1,2a1+2a2=4a2-1,得a2=1 -2分 当n≥2时，2Sm=4am-1,2Sm-1=4an-1-1, 相减得2an=4an-4an-1化简得an=2an-1 -4分 又a≠0，所以数列{a,}是以号为首项，以2为公比的等比数列， -5分 所以a=号×21，即a=2-2 -6分 (2)(①)依题意得R2是首项为a2=1,公差为2a2-1=1的等差数列， 所以R2前10项和为S=1×10+10x9×1=55 - -8分 2 (i2)R0=an+(2an-1)(n-1)=(2m-1)an-(n-1)=(2n-1)2m-2-(n-1)---9分 设B-2k-12,R=k-),则Z=R-R P=1×21+3×20+5×2++(2n-1)×2m-2 2P=1×20+3×2+…+(2n-3)×2m2+(2m-1)×2m-1 -P=号+2×(2+2++2m-2)-(2m-1)×21=号+2=号-(2m-1)×21 2 1-2 ---n2 所以R-号+号)2 12分 龙-2-)-n 2 所以红=号+n-号2 n(n-1) 13分 当n为偶数时：原不等式等价为<号-(。-多2--n?,恒成立， 2 记fm=号+n是j2-n-n01 2 f(n+2)-f(n) -号+2多m-a列+2+[号+m号)mn] 第9页 =(3m+2)2-(2n+3)=(n+2)2+(2m+3)2-1)>0 所以fm)单调递增，则1<f2)=号 15分 当n为奇数时：原不等式等价为-<多+n-号)2z+n- (n-1) 恒成立， 2 记gm)=号+n-号2+n0 2 g(n+2)-g(n) ++2-号2+n+2》-a20D-号-n号pn = n(n-1)7 16分 =(3m+号)21-(2n-1)=(n+号)2i+(2n-12-1)>0 所以gm单调递增，则-<g1)=号，则A>号 2 综上所述取值范幽是(-号》 17分 19.(1)由已知，可得 2 25二1 -2分 9 .a2 4b2 [a=2 解得 3分 b=√5 所以的方程是交一 -=1 45 -4分 (2)(1)解法一：由(1可得，A(-2,0),A2(2,0), 设直线l的方程为x=ty十3，P(x1,h),Q(x2,), 联立方程 花寸化简整理，得6球30十5三05粉 45 x=ty+3 -30t h+2= 由韦达定理，得 5t2-4 25 ,则十h=。纵h…(), 5 -6分 yy= 5t2-4 直线AP的方程为：x=西+2 -2, 同理可得，直线A,Q的方程为：x=2 2+2, 7分 x1+2 y-2 x+2=+2 y 联立方程，得 22 ,即 1 T= 欢y+2 x-2=22’ -y 2 两式相除，得+2=+2)2=(+5)边_+5必 x-2 8分 (2-2)1(t以+1)h t丛边+出 第10页保密★启用前 2025-2026学年度上学期期末高二参考试题 2026.02 数学(A卷) 本试卷共19题，满分150分，共4页。考试用时120分钟。 ★祝马到成功★ 注意率项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本 试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1.已知直线：2x-4y+3=0,2:x-2y+6=0,则1与2的位置关系为 A.重合 B.平行 C.垂直 D.相交但不垂直 日双雄导 2. -=1(a>0,6>0)的-个顶点坐标为(-2,0)，焦距为2W5,则双曲线的渐近 线方程为 A少=t B.y=±V2x C.y=+Ix D.y=±2x 3.已知等比数列{a,}的各项均为正数，若4=2，且{an}的前3项和为26，则a4= A.-128 B.18 C.32 D.54 4.在正方体ABCD-A,B,CD,中，M为AD的中点，则AM与DB所成的角的余弦值为 B. V10 c.5 5 D 5.在正四面体OABC中，D为△OBC的重心，E为AB的中点，记OA=a,OB=b,OC=c,则ED= 42 6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S=12,S4=20,则S2= A.84 B.96 C.144 D.156 高二数学试题第1页（共4页） 7.在四棱锥O-ABCD中，.侧面OAB是正三角形，底面ABCD是矩形，二面角O-AB-C为直 二面角.若AB=√2BC,则平面OAB与平面OCD的夹角的余弦值为 A.0 B.5 C.v6 D.0 5 5 4 4 8.已知抛物线T:y2=4x的焦点为F,M,N为T上两点，O为坐标原点.若M在以ON为直径 的圆上，则IFM|+|FN|的最小值为 A.8+4W5 B.10+4W2 C.10+4wW5 D.10+8W2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知随机事作A与8相互猫立，若P团-？，且P)一子则 APE)-号 BP画-号 c.Pi-音 D.P(AUB)=13 5 10.已知点40，)B(0,4利，动点M(,)与点4的距离是它与点B的距离的2则 A.M的轨迹方程为x2+y2=4 B.M的轨迹方程为x2+(y+2)2=18 C.x+y的取值范围为[-22,2V2] D.牛号的取值范国为，导 11.正方形ABCD的边长为2，E,F分别为AD,BC的中点，以DF为折痕将△DFC折起，则在 翻折过程中，下列说法正确的是 A.当CF上BF时，平面CEF⊥平面ABFD B.当CF LBF时，cos∠CFE=S C.直线CE与DF始终不垂直 D.以D为球心，DC为半径的球被平面CEF截得的截面面积的最小值为3π 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数f(x)=xe,则f'(1)= 13.已知数列{an}为等比数列，数列亿n}为等差数列，{bn}的前n项和为Sn.若424g=24,b=4a,, 则Sg=一· 14.从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆反射后，反射光线会经过另一个焦点，且椭圆在反射 点处的切线与法线垂直，入射光线与反射光线关于法线对称.现有一光线从椭圆 C:.y 行+云=1(>6>0)的右焦点B发出，经椭圆上的点P反射至左焦点5，若坐标原点0 到精圆在P处的切线！给距离为三。，且I卡2山，则C的离心率为 高二数学试题第2页（共4页) 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分) 己知函数fx)=c-alhx,曲线y=f在点(/0)处的切线为1. (1)若a.=2c,求1的方程； (2)若a>e,求1与坐标轴围成的三角形面积的最小值， 16.(15分) 2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲，航天员在梦天实验舱中演示了球 形火焰等实验.某中学组织“天宫课堂·科学问答”挑战赛，每轮比赛由甲和乙各回答一个与“天 宫课堂“相关的问题甲每轮答对的概率为}，乙每轮答对的概率为分，两人答对与香互不影响， 各轮结果也互不影响 (1)求首轮比赛中至少有一人答对的概率； (②)求前两轮比赛中，甲答对的次数多于乙的概率 17.(15分)， 如图，圆柱OO的轴截面为正方形ABCD,M为底面圆O上一点，AH⊥DM,垂足为H. (1)证明：AH⊥BM; (2)若B=4,且三棱维C-BDM的体积为9，求CH与平面BDM所成的角的余弦值 高二数学试题第3页（共4页) 18.(17分) 已知数列{an}的前n项和为Sn,2Sn=4a。-1. (1)求a,a,和{a}的通项公式： (2)对给定的kEN,设数列{R)为等差数列，其中首项R为a,公差为24-1. (i)求数列{R2}的前10项和： (i)记T=R+R2+…+R,若对任意的neN,In+(-1)*(n+)>0,求实数的取 值范围. 19.(17分) 已知双曲线r亭茶-a>Q6>0的离心率为子，且过点B号 (1)求Γ的方程： (2)设Γ的左、右顶点分别为A,A,过点(3,0)的直线1与r的右支交于P,2两点， ()证明：直线AP与42的交点在定直线上； (i)已知直线4：x-2y+4=0,记直线4P,42与（围成的三角形面积为S,直线AP,A2 与()中的定直线图成的三角形面积为，苦受-号，求直线！的方程 高二数学试题第4页（共4页）