河南许昌市2025-2026学年第一学期期末质量检测高二数学试题

2025一2026学年第一学期期末质量检测 高二数学 注意事项： 1.答卷前、考生务必将自已的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求。 1.直线x-√3y-1=0的倾斜角为 A君 号 c号 D.5 6 2.已知点B是点A(2,3,4)在坐标平面0内的射影，则|01= A.13 B.4 C.√20 D.5 3已知到-j2026)r之2+，则r代2026)= A.1 B.-1 C.2026 D.-2026 4.已知等比数列{a,}的前n项和为S.,满足a1=2,公比g=3,若Sn=an+26,则n的值为 A.3 B.4 C.5 D.6 5.已知直线l与圆(x-2)2+(y-3)2=1和圆(x+1)2+(y+1)2=36均相切，则1的方程为 A.x+2y-23=0 B.x+2y+23=0 C.3x+4y-23=0 D.3x+4y+23=0 6。法国数学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何创始人”，他发现：与椭圆相切的两条互相 垂直的切线交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，称为椭圆的“蒙日圆”.若椭圆 c号片1(m0,且a≠9)的离心率为5 ，则C的“蒙日圆”的方程为 A.x2+y2=9或x2+y2=12 B.x2+y2=9或x2+y2=36 C.x2+y2=12或x2+y2=36 D.x2+y2=36或x2+y2=48 高二数学第1页（共4页） 1 7.已知直线x-2y+1=0与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点，|MB=4√5，点M是C 上一点，若存在点T(L,0),使得M心·M7=-4,则1的最小值为 A.6 B.7 C.8 D.9 8已知函数八)c-hr(a-l)+(1-lha):在区间日，e]上单调递增，则实数a的 最大值为 A日 B.e c站 D.2e 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求。全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。 9.已知等差数列{a,}的前n项和为S。,公差为d,若a1>0,S,=S1,则 A.d<0 B.a8=0 C.Sn的最小值为S D.S,>0成立的最大正整数n的值为15 10.如图，在直三棱柱A,B,C,-ABC中，AB⊥AC,AB=AC=1,AM1=2,D为BC的中点.若P,Q 为线段CB,上两点(CP<CQ),且PQ=?,则 A.A,B平面AC,D B.异面直线A,B与C,D所成角的余弦值为 10 C.三棱锥B-APO的体积为定值 D.点A到平面AC,D的距离为2 3 11.已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,准线为l,1与y轴交于点G,过F的一条直线交C于 A,B两点，点M为线段AB的中点，点P是C上异于原点O的一点，则下列结论正确的 是 A.若等边△OPN的三个顶点都在C上，则△0PN的周长为24万 B.若LGPF的角平分线与y轴交于点E,则GEs2 LEFL C.若点Q是y轴正半轴上一点，且QM⊥AB,则|AB>2|QF D.若|PG=PF|,当t取得最大值时，△GPF的面积为2 高二数学第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5.分，共15分。 12.已知函数f(x)=x3-12x+4,则f(x)的极小值点为 13.某型号运载火箭的推进剂加注过程中，第1次加注的剂量为3吨，从第2次开始，每次 加注的剂量比前一次多(2-1)吨(n为加注次数)，则第n次加注的剂量为吨。 x2y2 14.已知点A为双曲线C:。示1(a>0,b>0)的右顶点，点Q的坐标为(5a,0),若C上存 在一点P(不与点A重合)，使得AP⊥PQ,则C的离心率的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(12分) 已知圆M过点A(0,0),B(6,0),C(6,8). (1)求M的标准方程； (2)若过点D(0,10)的直线1与M交于P,Q两点，且|PQ|=8,求1的方程. 16.(14分) .2 2a 已知数列{a}中，4a1=3,a11ta (1)证明：数列仁-}是等比数列； （1-a,严，求数列b.}的前n项和. (2)记b.=a 高三数学第3页（共4页） 17.(15分) 巴炮嘴周c号长-1o>0的青么率为号且经过点M1,身。 (1)求C的方程： (2)若0为坐标原点，过点D(4,0)且斜率不为0的直线1与C交于A,B两点，求 △OAB面积的最大值. 18.(17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，BC⊥平面PAB,平面PAC⊥平面ABCD,PA=AB=BC=1, CD=√2，AD=2. (1)证明：PA⊥平面ABCD: (2)已知点E为线段PD上一点(E与P,D不重合) (i)若二面角P-AC-E的余弦值为6，求PE 3,求P的值； ()若B,C,P,E四点均在球O的球面上，求球O表面积的最小值. 19.(17分) 已知函数)=nx二+2(aeR). ()当a=子时，求)的图象在点(11)处的切线方程： (2)若f代x)在(0，+∞)上有唯一零点，求a的取值范围； (3)当a=1时，若(x)>k(x-1)在(1，+)上恒成立，求实数k的最大整数值. 五、卷面分(2分) 要求：书写规范：卷面整洁：布局合理。 高二数学第4页（共4页） 高二参考答案： 一、选择题：1A2.D3.D4.B5.C6.C7.C8.B 二、选择题：9.AD10.ACD11.ABD 三、填空题：12、2 13、n2+2 4、(L 四、解答题 15.解：(1)解法一：设圆M的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0 F=0, 将点4(0,0，B(60),C(6,8)代入圆M的方程，可得 36+6D+F=0,2分 36+64+6D+8E+F=0. D=6 解得{E=-8 3分 F=0 故圆M的一般方程为x2+y2-6x-8y=0, 4分 即圆M的标准方程为(x-3子+y-4=25 5分 解法二：由已知可得4=6，BC=8,4C=10,满足4时+BC=4C,， 所以△ABC是以B为直角的直角三角形，取AC中点为M 则4=W=MC.所以圆心M(3,4,半径r=HC-5, 2 故圆M的标准方程为(x-3+(y-4)=25 (2)由PC=8可知圆心M到直线1的距离d=2-平=3， …6分 当直线/的斜率存在时，设直线1的方程为y=:+10,即-y+10=0,,7分 所以圆心MB,4)到直线/的距离d=k-4+10-3. R+1 解相一是 9分 3 所以直线1的方程为)=一子x+10,即3x+4y-40=0 10分 当直线/的斜率不存在时，其方程为x=0, 此时圆心M(3,4)到直线x=0的距离d=3,也满足题意 综上，直线1的方程为x=0或3x+4y-40=0.12分 16解1)由a4=29,可得人==5上+5 1+a d 2a.2a2 之投小 …2分 ………3分 所适列日-小是以首宁·会比为特比乳 ……4分 …6分 2)由()可得，6=0-4业-2 ………7分 427 123 因此工=6+6+6++6=京+子++… n-1 n 2时+2 -8分 123n-1,n ………-10分 2”24 两式相减箱宁宁行“宁2产 1111n ………11分 1111 n - 化简得T= 22 n+2 2 所以7=2-”+2 20 …14分 17解：()由格脑号+ +尔=1的离心库为 y 1.3 可得 a -3分 d2=b2+c2 解得a=2b=L,c=5, -4分 6 所以椭圆C的标准方程为于+产一】 6分 (2)设直线1的方程为x=my+4,点A(3,）小，B(与22)，7分 x=m+4 联立方程 +y2=1 消去x整理得：(m2+4)y2+8m+12=0, 4 由△=16(m2-12)>0,解得m<-25,或m>25 8m 12 由达定理得：方+奶一所中4头m+4 m-10分 64m2484m2-12 所以-为与V+为)-4为= Vm2+4m2+4 m2+4 所以△04B面积5=bDk-为小上xx4F亚卫8-卫 12分 2 m2+4m2+4 818 eVm3-2>0则m=+12,S=户+166红 当且仅当1=4，即m2=28时，△OAB而积的最大值为1. -15分 18I)证明：因为BC⊥平面PAB,PAc平面PAB 所以BC⊥AB,BC⊥PA. ……1分 又因为CD=5,AC=√AB2+BC=万 所以AC2+CD2=AD2,AC⊥CD ……2分 因为平面P4C⊥平面ABCD,平面PACO平面ABCD=AC,CDC平面ABCD, 所以CD⊥平面PAC, ……4分 又PAc平面PAC,所以CD⊥PA, 因为BCOCD=C,BC,CDC平面ABCD,所以PA⊥平面ABCD.5分 (注意线在平面内书写符号二，而不是三) (2)(i)由(1)可知，PA⊥平面ABCD,且AB,ADC平面ABCD, 7 所以PA⊥ABPA⊥AD ∠B4C+∠CAD=45°+45°=90°，AB⊥AD ……7分 所以AB,AD,AP两两垂直，以A为坐标原点，以AB,AD,AP所在直线分别为x轴，y轴， :轴建立如图所示的空间直角坐标系， ………8分 则A(0,0,0),B(1,0,0).C(1,1,0),D(02,0),P(0,0,1) 所以4C=(110),P=(0,0,1),P币=(0,2，-1)CD=(←1,1,0) 器-0c2<小.则正=而4历=@2边小 设平面ACE的法向量为m=(o。)）, 由C0t0 "14正m=02%+(1-)。=0 取%=1-1，可得6=-1，=-22 则m=(2-1,1-乙-22)是平面4CE的一个法向量 ,.11分 由()得CD⊥平面P4C,所以CD=(-1L0)是平面P4C的一个法向量， 记n=C而=(-ll,0) ………12分 由题意知kos(@,》- m-n 2-2 ,整理得312+22-1=0， 5622-42+23 解得及=写该=1（给故焉- PD3 ……….13分 (i)由(i)知A正=(0,2元，1-)，即E(0,2,1-2) 设球0的球心坐标为O(x,),半径为R, 则OB=OC=OP=OE=R, x-12+y2+:2=R2 (x-1)2+(-1+:2=2 x2+y2+e-12=2 …14分 x2+(0y-22+-1+2=R 所以兰时兰曾15以 2 2 4 因为0<元<1， -到号 ……16分 所以当元=时，R2取得最小值三，所以球0表面积的最小值为317分 4 9解，)当a=写时，f=a +2,)=+ 3x x 3x2 1分 :k=了0=1+与万 14 2分 刊=n1-片2-所酸践的盒 3 3分 数新球膜方程为y-号-小.即4-3y10 4分 (2):函数f(x)在(0，)上有唯一零点， ·f(x)=0在(0，+四)上有唯一实数根 .nx-g+2=0,即a=xhx+2x m-n6分 令g(x)=xlnx+2,则g(x)=lnx+3. 令g'(x)=0,解得x=eJ 7分 当x∈(0，e）时，g(x)<0,g(x)单调递减， 当x∈(e3,+∞)时，g(x)>0,g(x)单调递增 且ge）=e3lne3+2e3=e3 -n8分 ∴实数a的取值范围为{ala20或a=e} 10分 同a=1时.f=hx2,则ax-2小- >lx-1>0k<hx-1+2x x-1 m11分 令h)=nx+2-,则h()=-nx+-2 x-1 -m12分 (x-12 令m)=-lhx+x-2,则m)=-上+1= x>1-l>0,即m()>0, ∴m(x)在(1，+∞）上单调递增 13分 m(3)=-ln3+1<0,m(4)=-lh4+2>0 二m(x)在(L,+)上存在唯一零点即五∈(34)，使得m(名)=04 当xe(Lx)时，m(x)<0,h(x)<0,h(x)单调递减， 当x∈(x,0)时，m(x)>0,(x)>0,h(x)单调递增. h=hk)=五n+2- 15分 ?m(o)=-lnx。+x。-2=0,n=x。-2 h付=)=5-2到+2-l+1e（45到 -16分 -1 k<h(x)m,且keZ. “k的最大整数值为4. 17分 五、根据卷面情况分别给2分、1分、0分三个等级。 10