精品解析：河北武强中学2025-2026学年上学期期末综合质量监测高二数学试题

武强中学2025—2026学年度上学期期末综合素质监测 高二数学试题 出题人:刘宽新 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成和来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理. 【详解】方法一：利用等差数列的基本量 由，根据等差数列的求和公式，， 又. 故选：D 方法二：利用等差数列的性质 根据等差数列性质，，由，根据等差数列的求和公式， ，故. 故选：D 方法三：特殊值法 不妨取等差数列公差，则，则. 故选：D 2. 已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由焦点坐标可得焦距，结合双曲线定义计算可得，即可得离心率. 【详解】由题意，设、、， 则，，， 则，则. 故选：C. 3. 已知直线，若，则（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件结合直线平行结论列方程求，并对所得结果进行检验. 【详解】因为，， 所以，所以，解得或， 当时，，，直线重合，不满足要求， 当时，，，直线平行，满足要求， 故选：B. 4. 当时，函数取得最大值，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出． 【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有． 故选：B. 5. 已知等比数列的前3项和为168，，则（ ） A. 14 B. 12 C. 6 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解. 【详解】解：设等比数列的公比为， 若，则，与题意矛盾， 所以， 则，解得， 所以. 故选：D. 6. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对等式两边求导，求导的时候注意是个常数，求导之后令即可得出答案. 【详解】因为，所以，令，则，． 故选：C 7. 已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线的方程，利用点到直线的距离，结合圆的性质求出点到直线距离的最小值即可求得最小值. 【详解】两点，，则，直线方程为， 圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 因此点到直线距离的最小值为， 所以面积的最小值是. 故选：D 8. 双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】可利用三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设，由面积公式求出，由勾股定理得出，结合第一定义再求出. 【详解】如下图：由题可知，点必落第四象限，，设， ，由，求得， 因为，所以，求得，即， ，由正弦定理可得：， 则由得， 由得， 则， 由双曲线第一定义可得：，， 所以双曲线的方程为. 故选：A 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上的任意一点，则（ ） A. C的离心率为 B. C. 的最大值为 D. 使为直角的点P有4个 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程求出，由离心率定义判断A，由椭圆定义判断B，由椭圆的几何性质判断C，根据以线段为直径的圆与椭圆交点个数判断D. 【详解】由原方程可得椭圆标准方程为， ，，故A错误； 由椭圆定义可知，故B正确； 由椭圆的性质知，故C正确； 易知以线段为直径的圆（因为）与C有4个交点，故满足为直角的点有4个，故D正确. 故选：BCD 10. 函数，则（ ） A. B. 的单调递增区间为 C. 最大值为 D. 有两个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对函数求导，根据导函数的符号确定原函数的单调性，继而得到函数的极值，即可逐一判断A,B,C,再结合函数的趋势，利用零点存在定理，作出其图象即可判断D. 【详解】对于A，因的定义域为，则，故A正确； 对于B，由可得，即的单调递增区间为，故B正确； 对于C，由上分析，当时，；当时，. 即函数在上单调递减，在上单调递增，则时，取得最小值，故C错误； 对于D，由上分析，函数在上单调递减，在上单调递增，且， 而当时，；当时，， 由零点存在定理，可知函数在区间和各有一个零点，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知数列满足，的前n项和为，则（ ） A. B. 数列是等比数列 C. ，，构成等差数列 D. 数列前100项和为 【答案】AD 【解析】 【分析】令，计算可判断A，当，可得，两式相减可得，进而逐项计算可判断BCD. 【详解】对于A，当时，可得，故A正确； 对于B， 当时，， 两式相减可得，所以， 当，适合上式，所以； 由不是常数，所以数列不是等比数列，故B错误； 对于C，由可知，， 所以是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以，， ， 又，所以， 所以，，不构成等差数列，故C错误； 对于D，， 所以 ，故D正确. 故选：AD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线是曲线的一条切线，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】法一：利用导数的几何性质与导数的四则运算求得切点，进而代入曲线方程即可得解；法二：利用导数的几何性质与导数的四则运算得到关于切点与的方程组，解之即可得解. 【详解】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 故答案为：. 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为， 则，解得. 故答案为：. 13. 已知数列满足，且，则数列的通项公式为______． 【答案】 【解析】 【详解】在等式两边取到数，推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式. 【分析】因数列满足，且，则， ，， 以此类推可知，对任意的，， 在等式两边取倒数可得，则， 所以数列是首项为，公差为的等差数列. 所以，，所以，. 故答案：. 14. 若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】设直线的方程为，则点，利用直线与圆相切求出的值，求出，利用勾股定理可求得. 【详解】设直线的方程为，则点， 由于直线与圆相切，且圆心，半径为， 则，解得或，所以， 因为，故. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知等比数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项； （2）利用分组求和法即可求. 【小问1详解】 因为,故， 所以即故等比数列的公比为， 故，故，故. 【小问2详解】 由等比数列求和公式得， 所以数列的前n项和 . 16. 已知函数在处取得极值． （1）求实数的值； （2）求函数在区间上的最小值． 【答案】（1）3 （2）⋅ 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据函数在处取得极值，求出的值；再根据函数导数验证函数的极值； （2）利用导数判断函数的在上的单调性，求出最值. 【小问1详解】 由题意得的定义域，且 因为函数在处取值得极值，所以 解得 此时，， 令得或，令得， 故函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取极大值，在处取极小值，符合题意 所以． 【小问2详解】 由（1）得，， 令，得，所以函数在单调递增， 令，得，所以函数在单调递减， 所以函数在处取极小值， 所以当时，的最小值为 17. 已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且． （1）证明：； （2）求集合中元素个数． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）设数列的公差为，根据题意列出方程组即可证出； （2）根据题意化简可得，即可解出． 【小问1详解】 设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证． 【小问2详解】 由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为． 18. 已知抛物线的焦点为． （1）求的方程； （2）若过点的直线与抛物线交于，两点．是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】（1）； （2）为定值. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线焦点写出抛物线方程即可； （2）设直线的方程为，，，联立抛物线，应用韦达定理及两点距离公式化简目标式，即可证结论. 【小问1详解】 抛物线的焦点为，依题意，解得， 所以抛物线． 【小问2详解】 由题意，直线斜率不为0，设直线的方程为，，， 联立抛物线有，消去得，则， ∴，，又，， ∴ ，为定值. 19. 已知函数. （1）设，求曲线的斜率为2的切线方程； （2）若是的极小值点，求b的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由切线斜率为2，结合导数知识可得切线过点，然后可得切线方程； （2）由是的极小值点，可得，然后据此讨论的单调性，分析得在时的极值情况，从而得解. 【小问1详解】 当时，，其中， 则，令， 化简得，解得（负值舍去）， 又此时，则切线方程过点，结合切线方程斜率为2， 则切线方程为，即. 【小问2详解】 由题可得定义域为，， 因是的极小值点，则， 则， 若，令，令， 则在上单调递增，在上单调递减， 得是的极大值点，不满足题意； 若，令，令， 则在上单调递增，在上单调递减， 得是的极大值点，不满足题意； 若，则，在上单调递减，无极值，不满足题意； 若，令，令， 则在上单调递增，在上单调递减， 得是的极小值点，满足题意； 综上，是的极小值点时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武强中学2025—2026学年度上学期期末综合素质监测 高二数学试题 出题人:刘宽新 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A B. C. 1 D. 2. 已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 3 已知直线，若，则（ ） A. 或 B. C. 或 D. 4. 当时，函数取得最大值，则（ ） A. B. C. D. 1 5. 已知等比数列前3项和为168，，则（ ） A. 14 B. 12 C. 6 D. 3 6. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 8. 双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上的任意一点，则（ ） A. C的离心率为 B. C. 最大值为 D. 使为直角的点P有4个 10. 函数，则（ ） A. B. 的单调递增区间为 C. 最大值为 D. 有两个零点 11. 已知数列满足，的前n项和为，则（ ） A. B. 数列是等比数列 C. ，，构成等差数列 D. 数列前100项和为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线是曲线的一条切线，则_________. 13. 已知数列满足，且，则数列的通项公式为______． 14. 若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知等比数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和. 16. 已知函数在处取得极值． （1）求实数的值； （2）求函数在区间上的最小值． 17. 已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且． （1）证明：； （2）求集合中元素个数． 18. 已知抛物线的焦点为． （1）求的方程； （2）若过点的直线与抛物线交于，两点．是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由． 19 已知函数. （1）设，求曲线的斜率为2的切线方程； （2）若是的极小值点，求b的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $