精品解析：江西省南昌市第二中学2025-2026学年高三上学期期末考试数学试卷

南昌二中2025-2026学年度上学期高三期末考试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题意得到，，再求并集即可. 【详解】，， 所以. 故选：A 2. 若复数满足（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的除法运算及共轭复数概念，再由模长公式即可求解. 【详解】， ， 所以， 所以， 所以， 故选：C 3. 若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得，再结合离心率公式求解即可. 【详解】由题知，双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为， 因为直线的斜率为，且与渐近线垂直， 所以，，即， 所以双曲线的离心率. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式及二倍角余弦公式即可求解. 【详解】∵，∴，， 又，则，所以， 故选：A 5. 已知随机变量，且，则的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正态分布的性质建立方程求得的值，然后代入二项式，并写出其展开式的通项，令通项中的指数与条件提到的项的指数相同，求得，代入中，求得该项的系数. 【详解】由题意可知，∴， ∴ ， 展开式的通项为， 当时，，即. 所以的展开式中的系数为. 故选：B. 6. 中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊.现有6支救援队前往A，B，C三个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，则不同的安排方法种数是（ ） A. 270 B. 360 C. 540 D. 630 【答案】C 【解析】 【分析】对参加三个受灾点执行救援任务的人数分三种情况讨论，先分组、再分配求出各组情况的方案数，最后相加. 【详解】若参加三个受灾点执行救援任务的人数分别为1，1，4时，共有种参赛方案； 若参加三个受灾点执行救援任务的人数分别为1，2，3时，共有种参赛方案； 若参加三个受灾点执行救援任务的人数分别为2，2，2时，共有种参赛方案； 综上，不同的安排方法种数是. 故选：C 7. 如图，在正方体中，当点在线段上运动时，下列结论正确的是（ ）. A. 与可能平行 B. 与始终异面 C. 与平面可能垂直 D. 与始终垂直 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，然后结合空间向量的坐标运算，代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】 构建如图示的空间直角坐标系，若正方体棱长为1， 则，，，，， 令且，故， 而，，， 所以，即，故D正确； 显然在由相交线和所成的平面上， 且与该平面有交点， 故在上移动过程中可能与相交，B错误； 若且，则，不存在这样的值，A错误； 若面，则，显然不存在这样的值，故C错误. 故选：D 8. 已知函数，若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性以及复合函数的单调性可确定为偶函数，且在上单调递增，构造函数，求导得函数单调性，即可利用单调性求解. 【详解】由题意知的定义域为R， ，故为偶函数， 当时，， 由于在上单调递增，对勾函数在上单调递增， 故函数在上单调递增，因此在上单调递增， 构造，，当时，，故在上单调递减， 又，∴，即， 即，∴，即， 故选：A 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 样本甲中有件样品，其方差为，样本乙中有件样品，其方差为，则由甲，乙组成的总体样本的方差为 B. 一组数据，，，，的经验回归方程为，则当时，残差为 C. 一组数据，，，的均值为，标准差为s，则数据，，…，的均值为 D. 按从小到大排序的两组数据：甲组数据为；乙组数据为,.则甲组数据的第30百分位数和乙组数据的第40百分位数之和为75 【答案】BC 【解析】 【分析】由总体样本方差计算公式可判断A，由残差概念可判断B，由均值、标准差概念可判断C，由百分位数概念可判断D. 【详解】对于A，记样本甲，乙的平均数分别为，由甲乙组成的总体样本的平均数为， 则甲乙组成的总体样本的方差为，故A不正确； 对于B，由题意，得，， 则，所以. 令，则，所以残差为，故B正确. 对于C， ， 所以数据，，…，的均值为，故C正确. 对于D，因为，所以甲组数据的第30百分位数为31， 乙组数据的第40百分位数是，故D错误. 10. 设随机变量的分布列如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 则下列说法中正确的是（ ） A. 当为等差数列时， B. 当数列满足时， C. 数列的通项公式可能为 D. 当数列满足时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可得，结合等差数列的性质判断A；利用等比数列的前项的和，求出的值，从而求出的值，再求出的值，即可判断B；通过验证当时，是否满足，从而判断C；令，2，3，，，从而可得，，2，3，，，利用累乘法求得，2，3，，，再代入，求出的值即可判断D. 【详解】由已知可得， 对于A，当为等差数列时，则，故，故A正确； 对于B，由，2，，时， 则， 所以， 则，故B错误； 对于C，显然， 又， 所以，故C正确； 对于D：令，2，3，，， 则， 所以 即，，2，3，，， 于是有，2，3，，， 又， 即, 所以， 解得，所以，故D正确. 11. 已知，圆，则（ ） A. 存在两个不同的实数，使圆过原点 B. 存在正实数，使圆在轴上和在轴上截得的线段相等 C. 存在三个不同的实数，使圆与轴或轴相切 D. 存在唯一的实数，使圆的周长被直线平分 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A方程的解的个数等价于函数的图象与曲线的交点个数，利用数形结合即可判断，对于B由题意有，即，方程的解的个数函数和的零点的个数和相等，利用导数研究的单调性进而判断零点即可判断，对于C等价于或，解出即可判断，对于D圆的周长被直线平分等价于，过圆心，即，令，利用导数研究单调性进而求零点即可判断. 【详解】圆的圆心为，半径为2， 对于A：由圆过原点，所以，方程的解的个数等价于函数的图象与曲线的交点个数， 作函数与圆的图象可得： 所以函数的图象与曲线的交点个数为2， 所以存在两个不同的，使得圆经过坐标原点，故A正确； 对于B：圆C在轴和轴上截得的线段长相等等价于， 所以，即， 方程的解的个数函数和的零点的个数和相等， 因为，所以在上单调递增，又， 所以函数在区间上存在一个零点，即函数存在一个零点， 又因为，由， 所以在单调递增，在单调递减，又， 所以没有零点， 即存在一个，使得圆C在轴和轴上截得的线段长相等，故B错误； 对于C：圆C与轴或轴相切等价于或，解得或， 所以存在三个不同的实数，使圆与轴或轴相切，故C正确； 对于D：圆的周长被直线平分等价于，过圆心， 所以，即，令， 所以，由， 所以在单调递增，在单调递减，又，所以只有一个零点， 所以存在唯一的实数，使圆的周长被直线平分，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 边长为2的等边中，为的中点，在边上且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】过作于，证得，得到，所以，结合，即可得求解. 【详解】如图所示，过作于，则在上的投影向量为， 因为，可得点为的三等分点， 又因为，所以为的三等分点，则， 因为为边长为2的等边三角形，可得，所以， 所以. 故答案为：. 13. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上一点满足，以的短轴为直径作圆，截直线的弦长为，则椭圆的方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】先利用三角形的中位线求出，由椭圆定义求出，最后利用勾股定理列出方程再求解. 【详解】圆的方程为， 设圆与直线交于，，线段中点为， 如图，连接，    因为为弦中点，所以，即， 因为，所以，所以//， 因为为的中点，所以是的中点，， ，且垂直平分弦， 因为，，所以， 所以， 由椭圆定义可知，，, 所以，解得，， 所以椭圆方程为. 14. 已知，集合，若存在，使得集合恰有五个元素，则的范围取值为________． 【答案】 【解析】 【分析】整理可得，分析可知同为最大值点或最小值点，结合集合的元素特征可知在内有个最值点，再根据正弦函数的最值分析求解. 【详解】因为， 若，等价于或， 即同为最大值点或最小值点， 若，则点；若，则点； 据此可知：若集合恰有五个元素，等价于在内有个最值点， 不妨设，可知最值性相同，与不同， 此时集合B的元素为，符合题意， 因为，且，则， 可得，解得， 所以的范围取值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知△ABC的内角的对边为，，，且. （1）求； （2）若的面积为，，求的周长. 【答案】（1） （2）25 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，由角化边，再根据余弦定理，解三角形即可. （2）根据正弦定理面积公式，求出两边之积，再根据余弦定理，求出两边之和，进而求出三角形周长. 【小问1详解】 由正弦定理得，即， 由余弦定理得， 又因为，所以； 【小问2详解】 由的面积，解得， 由，可得，即， 故解得，所以的周长为. 16. 为研究高中生自主刷题与数学成绩提升的关联性，某教研机构随机抽取200名高三学生开展调查，统计数据如下表（单位：人）： 成绩显著提升 成绩未显著提升 合计 坚持自主刷题 90 30 120 未坚持自主刷题 20 60 80 合计 110 90 200 根据上述数据，解答下列问题： （1）依据小概率值的独立性检验，判断能否认为高中生坚持自主刷题与数学成绩显著提升有关？ （2）已知在坚持自主刷题的学生中，数学成绩达到优秀的概率为0.6；在未坚持自主刷题的学生中，数学成绩达到优秀的概率为0.3.现从这200名学生中随机抽取1人，发现其数学成绩为优秀，求该学生坚持自主刷题的概率. 附：，其中. 【答案】（1）有关 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，根据独立性检验知识即可得结论； （2）定义事件：设“该学生坚持自主刷题”，则“该学生未坚持自主刷题”，“该学生数学成绩优秀”，根据题意求出的值，结合，求出的值，再由条件概率公式，求解即可. 【小问1详解】 假设 ：高中生坚持自主刷题与数学成绩显著提升无关联； 经计算因为， 故依据小概率值的独立性检验，我们推断假设不成立， 即认为高中生坚持自主刷题与数学成绩显著提升有关联，该推断犯错误概率不超过0.001； 【小问2详解】 定义事件：设“该学生坚持自主刷题”， 则“该学生未坚持自主刷题”，“该学生数学成绩优秀”， 则， 所以， 所以 故该学生坚持自主刷题的概率为. 17. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）若过原点可以作两条直线与曲线相切，求的取值范围. 【答案】（1） 时，在上单调递减； 时，在上单调递减，在上单调递增； （2）. 【解析】 【分析】（1）对函数进行求导，利用导数讨论函数的单调性； （2）由曲线的切线确定方程的根个数，讨论求出参数的取值范围. 【小问1详解】 由已知得， 时，因为，所以，，，在上单调递减； 时，若，则， ，，单调递减， ，，单调递增； 【小问2详解】 ， 设切线与切于， 则，即 所以，， 因为过原点可作两条直线与相切，所以方程在上有两个不等实根， 设，则， 时，，在单调递减，至多有一个零点，不合题意； 时，若，则 ，，单调递减， ，，单调递增， 所以， 因为，所以， 解得， 此时，，， 所以在上有一个零点； 因为，所以，所以，，即，， 令，则， 所以在上单调递增，， 即，又， 所以在上有一个零点， 所以在上有两个零点， 所以的取值范围是. 18. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球O的半径为R，A、B、C为球面上三点，设，表示以O为圆心，且过B、C的圆，劣弧BC的弧长记为a，同理，圆，的劣弧AC、AB的弧长分别记为b、c，曲面ABC（阴影部分）叫做球面三角形.若设二面角，，分别为、、，则球面三角形的面积为.已知； （1）若，，求球面三角形ABC的面积（直接写结果无需证明）； （2）在球O的内接三棱锥D-ABC中，平面，，直线DC与平面ABC所成的角为. （ⅰ）若，N分别为直线，上的动点，求线段MN长度的最小值； （ⅱ）如图（2），若分别为线段AC，BC的中点，G为线段BD上一点（与点B不重合），当平面OBC与平面GPQ夹角的余弦值为时，求线段BG的长. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）直接套用球面三角形面积公式，代入角度计算即可； （2）（i）先建系求出各点坐标，最小值为异面直线，的距离，求出该距离即可；（ii）先设，再求出平面和平面的一个法向量为，根据题意列方程求解即可. 【小问1详解】 由题意，，，，所以，则有， 所以球面三角形ABC面积为. 【小问2详解】 因为平面，平面，所以. 设，则，所以. 由勾股定理的逆定理可得，又，平面， 所以平面，又平面，所以， 因为直线与平面所成的角为，所以. 易知在和中，斜边的中点到点的距离相等， 即为球的直径，所以. 以点为坐标原点，直线分别为轴，过点且与平行的直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系. （i）由题可知， 则. 设与都垂直的向量为， 则，令，则， 所以线段长度的最小值为. （ii）设，由题可知， 则. 设平面的一个法向量为， 则，取，可得. 设平面的一个法向量为， 则，取，可得. 设平面与平面的夹角为. 因为=， 化简得则， 故. 19. 已知抛物线:的焦点，直线过且交C于两点，已知当时，中点纵坐标的值为. （1）求的标准方程. （2）令，P为C上的一点，直线，分别交C于另两点A，B.求证：为定值，并求出此定值. （3）过分别作的切线，与相交于，同时与相交于，求四边形面积取值范围. 【答案】（1） （2） 设点的坐标为，则，直线的方程为， 联立，化简可得②， 方程②的判别式，所以，， 设的坐标为，则，所以， 所以， 直线的方程为， 联立，化简可得③， 方程③的判别式 设的坐标为，则，所以， 所以， 所以，定值； （3）. 【解析】 【分析】（1）设直线的方程为，，利用设而不求法可得，由条件可得，，由此可求，可得抛物线方程； （2）设，联立与抛物线方程可求的坐标，由此可得，联立与抛物线方程可求的坐标，由此可得，进一步证明结论； （3）由条件求出方程，再求的坐标，讨论，表示四边形面积，结合导数求其范围. 【小问1详解】 抛物线的焦点的坐标为， 若直线的斜率为0，则与抛物线只有一个交点，与条件矛盾， 可设直线的方程为，联立，化简得①， 方程①的判别式， 设， 所以， 若，则，所以， 又中点纵坐标的值为，所以， 解得， 所以抛物线方程为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设过点的切线方程为， 联立，化简可得④， 方程④的判别式，解得， 所以， 所以，即的方程为， 同理可得的方程为：， 的方程为：， 联立，又，， 解得，，又，即点的坐标为， 联立，又， 解得，， 又，即点的坐标为， 因为，，所以， 所以点的坐标为， 因为，，所以，所以点的坐标为， 所以直线的方程为， 记直线与直线的交点为点，则点的坐标为， 根据抛物线的对称性，不妨设，则或， 当时，则，， 所以，， 所以四边形的面积， 所以， 设，由已知，则， 所以， 函数在上单调递减， 所以， 当时，则，， 所以，， 所以四边形的面积， 所以， 设，由已知，则， 所以， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以， 所以四边形面积取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌二中2025-2026学年度上学期高三期末考试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3. 若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为（ ） A. B. C. 5 D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知随机变量，且，则的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 6. 中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊.现有6支救援队前往A，B，C三个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，则不同的安排方法种数是（ ） A. 270 B. 360 C. 540 D. 630 7. 如图，在正方体中，当点在线段上运动时，下列结论正确的是（ ）. A. 与可能平行 B. 与始终异面 C. 与平面可能垂直 D. 与始终垂直 8. 已知函数，若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 样本甲中有件样品，其方差为，样本乙中有件样品，其方差为，则由甲，乙组成的总体样本的方差为 B. 一组数据，，，，的经验回归方程为，则当时，残差为 C. 一组数据，，，的均值为，标准差为s，则数据，，…，的均值为 D. 按从小到大排序的两组数据：甲组数据为；乙组数据为,.则甲组数据的第30百分位数和乙组数据的第40百分位数之和为75 10. 设随机变量的分布列如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 则下列说法中正确的是（ ） A. 当为等差数列时， B. 当数列满足时， C. 数列的通项公式可能为 D. 当数列满足时， 11. 已知，圆，则（ ） A. 存在两个不同的实数，使圆过原点 B. 存在正实数，使圆在轴上和在轴上截得的线段相等 C. 存在三个不同的实数，使圆与轴或轴相切 D. 存在唯一的实数，使圆的周长被直线平分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 边长为2的等边中，为的中点，在边上且，则______. 13. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上一点满足，以的短轴为直径作圆，截直线的弦长为，则椭圆的方程为______. 14. 已知，集合，若存在，使得集合恰有五个元素，则的范围取值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知△ABC的内角的对边为，，，且. （1）求； （2）若的面积为，，求的周长. 16. 为研究高中生自主刷题与数学成绩提升的关联性，某教研机构随机抽取200名高三学生开展调查，统计数据如下表（单位：人）： 成绩显著提升 成绩未显著提升 合计 坚持自主刷题 90 30 120 未坚持自主刷题 20 60 80 合计 110 90 200 根据上述数据，解答下列问题： （1）依据小概率值的独立性检验，判断能否认为高中生坚持自主刷题与数学成绩显著提升有关？ （2）已知在坚持自主刷题的学生中，数学成绩达到优秀的概率为0.6；在未坚持自主刷题的学生中，数学成绩达到优秀的概率为0.3.现从这200名学生中随机抽取1人，发现其数学成绩为优秀，求该学生坚持自主刷题的概率. 附：，其中. 17. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）若过原点可以作两条直线与曲线相切，求的取值范围. 18. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球O的半径为R，A、B、C为球面上三点，设，表示以O为圆心，且过B、C的圆，劣弧BC的弧长记为a，同理，圆，的劣弧AC、AB的弧长分别记为b、c，曲面ABC（阴影部分）叫做球面三角形.若设二面角，，分别为、、，则球面三角形的面积为.已知； （1）若，，求球面三角形ABC的面积（直接写结果无需证明）； （2）在球O的内接三棱锥D-ABC中，平面，，直线DC与平面ABC所成的角为. （ⅰ）若，N分别为直线，上的动点，求线段MN长度的最小值； （ⅱ）如图（2），若分别为线段AC，BC的中点，G为线段BD上一点（与点B不重合），当平面OBC与平面GPQ夹角的余弦值为时，求线段BG的长. 19. 已知抛物线:的焦点，直线过且交C于两点，已知当时，中点纵坐标的值为. （1）求的标准方程. （2）令，P为C上的一点，直线，分别交C于另两点A，B.求证：为定值，并求出此定值. （3）过分别作的切线，与相交于，同时与相交于，求四边形面积取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $