专题7.3 同底数幂的除法（高效培优讲义）数学新教材苏科版七年级下册

专题7.3 同底数幂的除法 教学目标 1. 理解同底数幂除法的运算性质，能准确用文字语言和符号语言表述法则，明确法则的适用条件（底数不为0，指数为正整数，且被除数指数大于除数指数）。 2. 掌握同底数幂除法法则的推导过程，理解法则的合理性。 3. 能熟练运用同底数幂除法法则进行计算，解决含数字、字母、负号底数的同底数幂除法运算，做到步骤规范、结果准确。 4. 能区分同底数幂除法与同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方的法则差异，避免运算混淆，能解决简单的混合运算问题。 5. 掌握负整数指数幂的相关概念；了解零指数幂的意义，能运用零指数幂的性质进行简单运算，拓展法则的应用范围。 教学重难点 1.重点 （1）掌握同底数幂的除法及其逆用； （2）掌握负整数指数幂； （3）掌握零指数幂。 2.难点 （1）灵活运用同底数幂的除法运算解决问题； （2）幂的运算为1的分类讨论情况。 知识点01 同底数幂的除法 同底数幂的除法法则： 一般地，我们有（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减． 【拓展】 （1）同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质， 例如：（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n+p）． （2）同底数幂的除法法则的逆用：（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 【即学即练】 1．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）计算： (1)； (2)． 2．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点02 零指数幂 a0=1 (a≠0) 【即学即练】 3．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）若，则应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）若式子有意义，则实数的取值范围是 ． 知识点03 负整数幂 当n 是正整数时，（，n是正整数） 【即学即练】 5．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）计算： ． 6．（24-25七年级下·江苏南京·期中）计算：． 知识点04 科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中 n 是正整数，1a 10 ，这叫科学记数法． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d 的指数 n=m+1． 【即学即练】 7．某种微生物的平均质量为克，数据用科学记数法表示为 ． 8．（25-26七年级下·江苏盐城·月考）水珠不断滴在一块石头上，经过40年，石头上形成了一个深为m的小洞，平均每月小洞的深度增加 m．（结果用科学记数法表示） 题型01 同底数幂的除法运算 【典例1】（25-26七年级下·江苏淮安·期中）计算的结果是 ． 【变式1】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）计算的结果是 ． 【变式2】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）计算： ． 【变式3】（25-26七年级下·江苏苏州·月考）如果，且，，那么 ． 【变式4】计算： (1)． (2)． (3)． 题型02 同底数幂除法的逆用 【典例1】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）已知，，则的值为（   ） A．5 B． C． D．2 【变式2】（25-26七年级下·江苏盐城·月考）已知，则 ． 【变式3】（25-26七年级下·江苏苏州·期末）若 ，则 ． 【变式4】（25-26七年级下·江苏南京·期中）若，，求值： (1)； (2)． 题型03 幂的混合运算 【典例1】（25-26七年级下·江苏镇江·期中）计算： 【变式1】（25-26七年级下·江苏南京·月考）计算： (1) (2) 【变式2】计算：． 【变式3】（24-25七年级下·江苏泰州·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式4】（23-24七年级下·江苏无锡·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型04 零指数幂 【典例1】（25-26八年级上·福建福州·期末）若，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·江苏无锡·周测）若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·江苏连云港·月考）当 时，． 【变式3】（25-26七年级下·江苏徐州·月考）计算： (1)； (2)． 【变式4】（25-26八年级上·江苏淮安·期末）计算：； 题型05 负整数指数幂 【典例1】（25-26八年级上·全国·期末）已知，则的大小关系为（  ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·江苏南通·月考）计算，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·江苏·期末） ． 【变式3】（25-26七年级下·江苏苏州·期末）计算： ． 【变式4】（25-26七年级下·江苏南京·期末）计算：． 题型06 科学记数法表示小于1的数 【典例1】（25-26七年级下·江苏南京·期末）下列各式正确的是（    ） A．用科学记数法表示 B． C．用小数表示 D． 【变式1】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）计算： （用科学记数法表示）． 【变式2】经测算，当水滴不断地滴在一块石头上时，经过年，石头上可形成一个深为的小洞，那么平均每个月小洞的深度约增加 m（结果用科学记数法表示，保留三位有效数字）． 【变式3】小病毒粒（），是最小且最简单的病毒．小病毒粒是直径约为米的二十面体．数据“”用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26七年级下·江苏南京·期末）古人形容一件物品轻薄，常常用轻如蚕纱，薄如蝉翼来形容．据了解，一片蝉翼的厚度约为0.00028米，数字0.00028用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 题型07 指数幂等于1的分类讨论问题 【典例1】（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）满足的整数n有几个（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1】（25-26七年级下·江苏·月考）若，则的取值有（    ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（25-26七年级下·江苏淮安·期末）若，则 ． 【变式3】（25-26七年级下·江苏南京·期末）若等式成立，则的值为 ． 【变式4】（24-25七年级下·江苏扬州·月考）在复习了整式的运算后，数学老师让同学们总结：（为整数）成立时，a，n要满足的条件．请解答下列问题： (1)经过讨论，小明同学总结了三种使（为整数）成立情形，请帮小郑同学补充完整：①；②，n为偶数；③________． (2)若，求的值． (3)延伸迁移：若，请直接写出a的值． 题型08 同底数幂除法的新定义运算 【典例1】（23-24七年级下·江苏南通·月考）如果，那么称b为n的“拉格数”，记为，由定义可知：．如，则，给出下列关于“拉格数”的结论：①，②，③，④，⑤．其中，正确的结论有（    ） A．①③④ B．②③④ C．②③⑤ D．②④⑤ 【变式1】（24-25七年级下·江苏盐城·月考）对于a，b两数定义@的一种运算：（其中等式右边中的·和+是通常意义下的乘法与加法），若，则x的值为 ． 【变式2】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）对于a，b两数定义“&”的一种运算：（其中等式右边的和是通常意义下的加法与减法），若，则x的值为 ． 【变式3】（24-25七年级下·安徽池州·期末）定义：两正数，之间的一种运算，记作；若，则．例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空：＝ ； （2）小明在研究这种运算时发现一个现象：． 小明给出了如下的证明：设，则根据定义，得，即所以，即，所以． 请你尝试运用这种方法解决问题：已知a、m、n均为正数，填空： 【变式4】（25-26七年级下·山东青岛·期中）阅读材料： 定义：如果，那么称a为n的劳格数，记为， 例如：，那么称2是100的劳格数，记为． 填空：根据劳格数的定义，在算式中，______相当于定义中的n，所以______； 直接写出______； 探究：某数学研究小组探究劳格数有哪些运算性质，以下是他们的探究过程 若a、b、m、n均为正数，且，， 根据劳格数的定义：，______， ∵ ∴，这个算式中，______相当于定义中的a，______相当于定义中的n， ∴______，即， 请你把数学研究小组探究过程补全 拓展：根据上面的推理，你认为：______． 1．（24-25九年级上·江苏南通·自主招生）已知，．则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）已知，，为自然数，且满足，则可取的值有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（24-25七年级下·江苏常州·月考）若，，，．则（    ） A． B． C． D． 4．（22-23七年级下·江苏扬州·月考）若，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）已知，那么的大小关系为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·浙江杭州·月考）实数ab，c满足，，，则代数式的值为（   ） A．2023 B．2024 C．4048 D．4049 7．（24-25八年级上·云南昭通·期末）芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一．据了解，一粒芝麻的质量约为．将数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）已知，则x的值为 ． 9．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）已知实数满足，则的值为 ． 10．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）若，，，，则a，b，c，d的关系是 ．（用“＜”连接） 11．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）若，，则的值为 ． 12．（24-25七年级下·四川达州·期中）若三个实数，，满足，则 ． 13．（24-25七年级下·全国·月考）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将，，，2，3，4，6，7填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则的值为 ． 14．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）计算： (1) (2) (3) (4) 15．（25-26八年级上·四川巴中·期中）计算下面各题： (1)已知，，求的值； (2)已知，，求的值． 16．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知，．求： (1)的值； (2)的值． 17．（25-26七年级上·江苏盐城·月考）（1）已知：，求：①的值；②的值； （2）已知，求x的值． 18．（2025七年级上·全国·专题练习）已知，，（）． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 19．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)写出，，之间的数量关系，并说明理由． 20．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）规定两数之间的一种运算，记作；如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ①若，则______； ②______； ③若，则______． (2)若探究之间的数量关系并说明理由． (3)下列结论一定正确的有 （填序号）． ①；②；③；④；⑤若，则；⑥若，则 21．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）对于整数、定义运算：（其中、为常数），如． (1)填空：当时，______； (2)若，求的值． 22．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，计算：______，______； (2)记，，．探究、、三者之间的等量关系，并给出理由； (3)若，则______． 23．（24-25七年级下·江苏南京·期中）我们规定：个相同的非零有理数的商可以表示为，读作“的圈次方”．，读作“的圈4次方”． (1)直接写出计算结果：_______，________； (2)若为任意正整数，下列结论：①任何非零整数的圈次方小于或等于本身；②负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数；③互为相反数的两个数的圈次方互为相反数；④互为倒数的两个数的圈次方互为倒数；⑤圈次方等于它本身的数是1或．其中所有正确结论的序号是______． (3)试说明（，为正整数且）． 24．（24-25七年级下·江苏南京·期中）在数学领域，幂运算和整式乘法构建起了代数运算的重要基石，灵活运用幂的运算性质，能成为破题的关键所在． 类型一：简便计算 （1）______； 类型二：代数式求值 （2）若，，则______； 类型三：解方程 （3）解关于x的方程：． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.3 同底数幂的除法 教学目标 1. 理解同底数幂除法的运算性质，能准确用文字语言和符号语言表述法则，明确法则的适用条件（底数不为0，指数为正整数，且被除数指数大于除数指数）。 2. 掌握同底数幂除法法则的推导过程，理解法则的合理性。 3. 能熟练运用同底数幂除法法则进行计算，解决含数字、字母、负号底数的同底数幂除法运算，做到步骤规范、结果准确。 4. 能区分同底数幂除法与同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方的法则差异，避免运算混淆，能解决简单的混合运算问题。 5. 掌握负整数指数幂的相关概念；了解零指数幂的意义，能运用零指数幂的性质进行简单运算，拓展法则的应用范围。 教学重难点 1.重点 （1）掌握同底数幂的除法及其逆用； （2）掌握负整数指数幂； （3）掌握零指数幂。 2.难点 （1）灵活运用同底数幂的除法运算解决问题； （2）幂的运算为1的分类讨论情况。 知识点01 同底数幂的除法 同底数幂的除法法则： 一般地，我们有（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减． 【拓展】 （1）同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质， 例如：（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n+p）． （2）同底数幂的除法法则的逆用：（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 【即学即练】 1．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查同底数幂的除法运算、幂的乘方运算等知识，熟记相关运算法则是解决问题的关键． （1）先计算幂的乘方运算，再由由同底数幂的除法运算法则求解即可得到答案； （2）先由偶次方的性质恒等变形，再由同底数幂的除法运算求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算、同底数幂的除法运算等知识，熟记相关运算法则是解决问题的关键． （1）由同底数幂的乘法运算、同底数幂的除法运算法则求解即可得到答案； （2）由同底数幂的除法运算、同底数幂的乘法运算法则求解即可得到答案； （3）由同底数幂的除法运算法则求解即可得到答案； （4）先由同底数幂的除法运算化简，再由乘方运算法则求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 知识点02 零指数幂 a0=1 (a≠0) 【即学即练】 3．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）若，则应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了零指数幂．根据零指数幂的定义，任何非零实数的零次方都等于1，因此底数必须不为零． 【详解】解：由题意，成立的条件是底数（否则无意义）． 解不等式，得． 因此，应满足的条件是， 故选：D． 4．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）若式子有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂有意义的条件，解题关键是明确零指数幂中底数不能为． 根据零指数幂有意义的条件，底数不能为． 【详解】根据题意得：， 解得：． 故答案为 ． 知识点03 负整数幂 当n 是正整数时，（，n是正整数） 【即学即练】 5．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）计算： ． 【答案】 【分析】应用负整数指数幂和零指数幂的运算法则分别计算各部分后相加即可；本题主要考查了负整数指数幂和零指数幂的运算，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ； 故答案为：． 6．（24-25七年级下·江苏南京·期中）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了幂的混合运算，熟练掌握相关幂的运算法则是解题的关键． 先计算幂的运算、负整数指数幂、零指数幂及绝对值，再进行加减计算即可． 【详解】解： ． 知识点04 科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中 n 是正整数，1a 10 ，这叫科学记数法． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d 的指数 n=m+1． 【即学即练】 7．某种微生物的平均质量为克，数据用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法的表示，掌握运用科学记数法表示绝对值小于1的数的方法，正确确定的值是解题的关键． 运用科学记数法表示绝对值小于1的数的方法，表示形式为，n的取值方法：当原数的绝对值小于1时，把原数变为a，小数点向右移动位数的相反数就是n的值，由此即可求解． 【详解】解： 故答案为： ． 8．（25-26七年级下·江苏盐城·月考）水珠不断滴在一块石头上，经过40年，石头上形成了一个深为m的小洞，平均每月小洞的深度增加 m．（结果用科学记数法表示） 【答案】 【分析】此题考查同底数幂除法运算，根据题意列除法算式计算可得答案，熟练掌握运算法则是解题的关键 【详解】解：：水珠不断滴在一块石头上，经过40年，石头上形成了一个深为的小洞， 所以每月可以形成 米． 故答案为． 题型01 同底数幂的除法运算 【典例1】（25-26七年级下·江苏淮安·期中）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】先根据幂的乘方法则计算，再根据同底数幂的除法法则计算最终结果． 【详解】解：①幂的乘方运算 ． ②同底数幂的除法运算 ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了幂的乘方和同底数幂的除法运算，解题关键是牢记幂的运算法则，并按运算顺序逐步计算． 【变式1】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的乘法计算，掌握同底数的指数运算法则是解题的关键． 根据指数运算法则，同底数幂相除时指数相减，同底数幂相乘时指数相加，运算顺序从左到右，即可得出答案． 【详解】解： 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方、幂的乘方、同底数幂除法等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 先计算幂的乘方，再根据同底数幂的除法法则进行运算即可． 【详解】解： = = = = = ． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·江苏苏州·月考）如果，且，，那么 ． 【答案】2 【分析】本题考查同底数幂的除法和幂的乘方运算，熟练掌握幂运算的法则是关键． 利用幂的乘方法则化简 ，再根据同底数幂的除法法则得到指数，由指数相等得到关于k的方程，求解即可． 【详解】解：， ∴ ， 解得 ． 故答案为：2． 【变式4】计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂的除法运算法则是解题的关键； （1）（2）可直接运用同底数幂的除法法则进行运算； （3）先将底数化为相同，然后运用同底数幂的除法法则进行运算. 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 题型02 同底数幂除法的逆用 【典例1】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂除法的逆运算，幂的乘方的逆运算，代数式求值，由可得，进而得到，代入已知计算即可求解，掌握同底数幂除法和幂的乘方的逆运算是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ ， ， ， ， ． 故选：A． 【变式1】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）已知，，则的值为（   ） A．5 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的除法运算性质，解题的关键是将转化为进行计算． 利用同底数幂的除法法则，将变形为，再代入已知条件计算． 【详解】解： ∵，， ∴． 故选：D 【变式2】（25-26七年级下·江苏盐城·月考）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂除法及幂的乘方的逆用，准确的计算是解决本题的关键． 逆用同底数幂除法的运算法则，将表示为，再代入已知值计算即可． 【详解】解：由题意得， ， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·江苏苏州·期末）若 ，则 ． 【答案】100 【分析】本题考查幂的运算，逆用同底数幂的乘除法则进行计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为：100． 【变式4】（25-26七年级下·江苏南京·期中）若，，求值： (1)； (2)． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题主要考查了幂的相关计算． （1）根据同底数幂乘法的逆用计算即可． （2）根据同底数幂除法的逆用以及幂的乘方的逆用计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ （2）解：∵，， ∴ 题型03 幂的混合运算 【典例1】（25-26七年级下·江苏镇江·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握整式运算法则是解题的关键．先运算积和幂的乘方运算法则，再运用同底数幂相乘运算法则计算，最后合并同类项即可． 【详解】解： ． 【变式1】（25-26七年级下·江苏南京·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的乘法运算，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）分别进行幂的乘方运算，同底数幂的乘法运算，再合并同类项即可； （2）先计算积的乘方，再利用单项式乘以单项式运算法则计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】计算：． 【答案】 【分析】本题考查幂的混合运算，单项式乘以单项式，根据相关运算法则，先乘方，再乘除，最后合并同类项即可． 【详解】解： ， ． 【变式3】（24-25七年级下·江苏泰州·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、积的乘方、幂的乘方、同底数幂相乘、负指数幂等知识点，解题的关键是熟练准确运用各运算法则． （1）根据积的乘方和幂的乘方以及同底数幂的乘法法则即可解答本题； （2）根据同底数幂相乘法则即可解答本题； （3）根据零指数幂、负指数幂法则即可解答本题； （4）根据同底数幂相乘法则即可解答本题． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【变式4】（23-24七年级下·江苏无锡·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的运算，掌握幂的运算法则是解题的关键． （1）先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法； （2）先算幂的乘方，再合并同类项； （3）先算积的乘方和同底数幂的乘法，再合并同类项； （4）先算幂的乘方，再乘同底数幂的乘法，最后合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型04 零指数幂 【典例1】（25-26八年级上·福建福州·期末）若，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的大小比较，零次幂，负整数指数幂，解题的关键是先计算出和的值．先根据零次幂和负整数指数幂的计算法则，计算出和的值，然后比较大小即可． 【详解】解：，，， ． 故选： B． 【变式1】（25-26七年级下·江苏无锡·周测）若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是零指数幂，熟知非零数的零次幂等于1是解题的关键．根据零指数幂的运算法则进行计算即可． 【详解】解：， ， 解得． 故选：B． 【变式2】（25-26七年级下·江苏连云港·月考）当 时，． 【答案】 【分析】本题考查零指数幂的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．任何非零数的零次幂都等于1，零的零次幂无意义． 【详解】解：若 ， 则底数 ， 解得 ． 故答案为： ． 【变式3】（25-26七年级下·江苏徐州·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查单项式乘以多项式、同底数幂的乘法、合并同类项，幂的乘方和单项式乘以单项式，零指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）先计算幂的乘方，再计算单项式乘以单项式和零指数幂，最后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式4】（25-26八年级上·江苏淮安·期末）计算：； 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂，含乘方的有理数混合运算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 先计算零指数幂与乘方，再计算加减． 【详解】解：原式 ． 题型05 负整数指数幂 【典例1】（25-26八年级上·全国·期末）已知，则的大小关系为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题考查了负整数指数幂、零指数幂、乘方，分别计算a、b、c的值，然后比较大小． 【详解】解：， ∵， ∴． 故选：C． 【变式1】（25-26七年级下·江苏南通·月考）计算，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了负整数指数幂．利用负指数幂的定义，将原式转化为其倒数的正指数幂形式，求其倒数即可得到答案． 【详解】解：， 故选：D． 【变式2】（25-26七年级下·江苏·期末） ． 【答案】 【分析】根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则进行计算．任何非零数的零次幂等于1；负整数指数幂等于该数正整数次幂的倒数． 【详解】解：原式 故答案为： 【变式3】（25-26七年级下·江苏苏州·期末）计算： ． 【答案】a 【分析】本题考查同底数幂的除法，负整数指数幂，根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，进行求解即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 【变式4】（25-26七年级下·江苏南京·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查乘方运算、零次幂、负整数指数幂：先计算乘方、零次幂、负整数指数幂，再合并即可． 【详解】解：原式． 题型06 科学记数法表示小于1的数 【典例1】（25-26七年级下·江苏南京·期末）下列各式正确的是（    ） A．用科学记数法表示 B． C．用小数表示 D． 【答案】B 【分析】分别计算后即可得到答案． 【详解】用科学记数法表示，故A选项错误； 由零指数幂得，故B选项正确； 用小数表示，故C选项错误； ，故D选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查了科学记数法、零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握上述知识是解题的关键． 【变式1】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）计算： （用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则和科学记数法，先计算系数的乘积，再计算同底数幂的乘法，最后将结果化为标准科学记数法形式． 【详解】解： 由于科学记数法要求系数 满足 ，   . 故答案为： ． 【变式2】经测算，当水滴不断地滴在一块石头上时，经过年，石头上可形成一个深为的小洞，那么平均每个月小洞的深度约增加 m（结果用科学记数法表示，保留三位有效数字）． 【答案】 【分析】本题考查了负整数次幂和科学记数法，首先转化单位，进而利用负整数次幂运算法则进行计算，再利用科学记数法表示即可. 【详解】解：年个月， （米） 故答案为： ． 【变式3】小病毒粒（），是最小且最简单的病毒．小病毒粒是直径约为米的二十面体．数据“”用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为正整数，确定a与n的值是解题的关键．根据科学记数法的方法进行解题即可． 【详解】解：数据“”用科学记数法可表示为． 故选：B 【变式4】（25-26七年级下·江苏南京·期末）古人形容一件物品轻薄，常常用轻如蚕纱，薄如蝉翼来形容．据了解，一片蝉翼的厚度约为0.00028米，数字0.00028用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．确定a与n的值是解题的关键． 用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为整数． 【详解】解：． 故选：B． 题型07 指数幂等于1的分类讨论问题 【典例1】（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）满足的整数n有几个（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查零指数幂与有理数的乘方运算，解题的关键是分情况讨论使等式成立的条件（底数为1，底数为且指数为偶数、指数为0且底数不为0）． 通过分指数为0且底数不为，底数为，底数为且指数为偶数，三种情况，求解满足的整数，即可解题． 【详解】解：∵， ∴需分三种情况讨论： 当指数时，即，此时底数，成立； 当底数时，即，解得或，此时指数分别为和，但底数为，故成立； 当底数时，即，解得或．此时指数分别为（偶数）和（奇数），故仅时成立； 综上，满足条件的整数有，共个． 故选：A． 【变式1】（25-26七年级下·江苏·月考）若，则的取值有（    ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了含参数的零指数幂的知识点，掌握其知识点时解题关键； 根据指数为零或底数为，分类讨论即可求解. 【详解】解：当时，即，原式； 当 时，即，原式； 当时，即，原式； 的取值有3个； 故选：C. 【变式2】（25-26七年级下·江苏淮安·期末）若，则 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了乘方运算，零指数幂，当时，需考虑底数为1、底数为且指数为偶数、指数为0，且底数不为0这三种情况，据此讨论求解即可． 【详解】解：当时，则，则， 此时，满足题意； 当时，则，则， 此时，满足题意； 当时，则，则， 此时，符合题意； 综上所述，x的值为或或， 故答案为：或或． 【变式3】（25-26七年级下·江苏南京·期末）若等式成立，则的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了零指数幂的性质和有理数的乘方． 需分类讨论等式成立的三种情况：指数为0且底数不为0、底数为1、底数为且指数为偶数． 【详解】解：当指数时，解得，此时底数，符合； 当底数时，解得，此时指数，，符合； 当底数时，解得，此时指数，为偶数，，符合； 故x的值为或或． 故答案为：或或． 【变式4】（24-25七年级下·江苏扬州·月考）在复习了整式的运算后，数学老师让同学们总结：（为整数）成立时，a，n要满足的条件．请解答下列问题： (1)经过讨论，小明同学总结了三种使（为整数）成立情形，请帮小郑同学补充完整：①；②，n为偶数；③________． (2)若，求的值． (3)延伸迁移：若，请直接写出a的值． 【答案】(1)1 (2)1或2025 (3)或或 【分析】此题主要考查有理数的乘方及零指数幂的意义，解题的关键是熟知有理数乘方的运算法则及零指数幂的意义． （1）根据1的任何次幂都等于1解答即可； （2）根据（1）三种情况讨论解答即可； （3）根据0的非零次幂等于0，1的任何次幂等于1，的奇数次幂等于解答即可． 【详解】（1）当时，（n为整数）； 故答案为：1； （2）由， 当时，， 解得； 此时底数为，成立 当时， 解得； 指数，是奇数， 结果为，不成立； 当时， 解得． 此时指数为， 此时结果为 所以x的值是1或2025； （3）由，可知 当时，， 解得； 当时， 解得； 当时，是奇数， 解得． 所以a的值是或或． 题型08 同底数幂除法的新定义运算 【典例1】（23-24七年级下·江苏南通·月考）如果，那么称b为n的“拉格数”，记为，由定义可知：．如，则，给出下列关于“拉格数”的结论：①，②，③，④，⑤．其中，正确的结论有（    ） A．①③④ B．②③④ C．②③⑤ D．②④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘除法的实际应用，掌握同底数幂的乘除法法则是解题的关键． 结合定义，利用同底数幂的乘除法的逆运算进行计算即可． 【详解】解：由题意，∵ ，故①错误； ∵ ∴，故②正确； ∵，， ∴，故③正确； 设， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴，故④正确； ∴， ∵ ∴ ∴， 那么正确的有②③④． 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·江苏盐城·月考）对于a，b两数定义@的一种运算：（其中等式右边中的·和+是通常意义下的乘法与加法），若，则x的值为 ． 【答案】1或/或1 【分析】本题考查了新定义运算，幂的乘方，零指数幂，根据新定义列出算式是解题的关键． 根据新定义运算可得，分类讨论并列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 当底数，解得，此时指数为，满足 当底数且指数为偶数， 解得，此时指数为0，， 当指数且底数， 解得，此时底数为， 故答案为：1或． 【变式2】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）对于a，b两数定义“&”的一种运算：（其中等式右边的和是通常意义下的加法与减法），若，则x的值为 ． 【答案】0或1 【分析】本题考查了新定义运算，幂的乘方，负整数指数幂，零指数幂，根据新定义列出算式是解题的关键． 根据新定义运算可得，分类讨论并列出方程，解方程即可． 【详解】根据定义， ． 化简得． 因为，分以下三种情况讨论： 情况一：底数为时 当，即时，指数 ， 根据的任何次幂都为， ，满足等式． 情况二：底数为时 当，即时，指数 ， ，不满足等式，舍去． 情况三：指数为时 当，即时，底数 ，根据非零数的次幂为， ，满足等式． 综上，x的值为0或1． 【变式3】（24-25七年级下·安徽池州·期末）定义：两正数，之间的一种运算，记作；若，则．例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空：＝ ； （2）小明在研究这种运算时发现一个现象：． 小明给出了如下的证明：设，则根据定义，得，即所以，即，所以． 请你尝试运用这种方法解决问题：已知a、m、n均为正数，填空： 【答案】 / 【分析】（1）根据零指数幂即可求解； （2）设，，根据新定义可得，即可求解． 【详解】（1）∵， ∴， 故答案为：． （2）设， ∴ ∴ ∴ 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义运算，零指数幂，同底数幂的乘法，幂的乘方的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式4】（25-26七年级下·山东青岛·期中）阅读材料： 定义：如果，那么称a为n的劳格数，记为， 例如：，那么称2是100的劳格数，记为． 填空：根据劳格数的定义，在算式中，______相当于定义中的n，所以______； 直接写出______； 探究：某数学研究小组探究劳格数有哪些运算性质，以下是他们的探究过程 若a、b、m、n均为正数，且，， 根据劳格数的定义：，______， ∵ ∴，这个算式中，______相当于定义中的a，______相当于定义中的n， ∴______，即， 请你把数学研究小组探究过程补全 拓展：根据上面的推理，你认为：______． 【答案】1000，3；﹣8；b，a＋b，，a＋b；－． 【分析】根据新定义法则进行运算即可． 【详解】解：∵如果，那么称a为n的劳格数，记为， ∴，那么称3是1000的劳格数，记为． ∴在算式中，1000相当于定义中的n，所以3；﹣8； ∵， ∴， ∵，， ∴＝pq， ∴这个算式中，pq相当于定义中的a， 相当于定义中的n， ∴＝＋， 即， 设，， ∴，， ∵， ∴＝a－b＝－， 即－． 故答案为：1000，3；﹣8；b，a＋b，，a＋b；－． 【点睛】此题考查了新定义问题，用到了幂的相关运算，解题的关键是理解新定义及其运算法则． 1．（24-25九年级上·江苏南通·自主招生）已知，．则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方，掌握相关知识点是解题的关键． 根据，可得，即可求解． 【详解】解：， ． 故选：A． 2．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）已知，，为自然数，且满足，则可取的值有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方的混合运算，熟练掌握幂的乘法的混合运算是解题的关键．先根据幂的乘法的混合运算，将化为，得到，，再根据a，b，c都是自然数，求出a，b，c的可能值即可． 【详解】解：， ， ， ， ①，②， ，b，c都是自然数， 由②可知，或或， 当时，代入①得， ； 当时，代入①得， ； 当时，代入①得， ； 综上所述，可取的值有3个． 故选：B． 3．（24-25七年级下·江苏常州·月考）若，，，．则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查乘方，负整数指数次幂和零指数次幂，有理数的比较大小，先根据乘方，负整数指数次幂和零指数次幂的运算法则计算，然后比较大小解答即可． 【详解】解：，，，， ∴， 故选：C． 4．（22-23七年级下·江苏扬州·月考）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了零指数幂的定义，任何非零实数的0次方都等于1，因此底数不能为0． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 故选：C． 5．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）已知，那么的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方，解题关键是熟悉上述知识，并能运用求解． 先化简各式，再比较大小． 【详解】解：， ∵， ∴， 故选： C． 6．（24-25九年级上·浙江杭州·月考）实数ab，c满足，，，则代数式的值为（   ） A．2023 B．2024 C．4048 D．4049 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的除法运算，代数式求值．正确掌握运算法则是解题关键． 根据，得，，得，代入计算即得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， 则， ∴ ． 故选：D． 7．（24-25八年级上·云南昭通·期末）芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一．据了解，一粒芝麻的质量约为．将数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用科学记数法表示较小的数，熟练掌握科学记数法的表示形式是解题的关键； 本题是绝对值小于的数，然后可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，然后即可求解． 【详解】解：， 故选：D； 8．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）已知，则x的值为 ． 【答案】2，0， 【分析】本题考查了零指数幂的运算法则和1的任何次幂都等于1以及的偶次方为；根据零指数幂的运算法则和，1的任何次幂都等于1，以及的偶次方为，再计算即可． 【详解】解：∵ ∴或且或且为偶数， ∴或或． 故答案为：2，0， 9．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）已知实数满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，得，得到，代入化简解答即可． 本题考查同底数幂的除法运算，代数式求值，正确掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：4051． 10．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）若，，，，则a，b，c，d的关系是 ．（用“＜”连接） 【答案】 【分析】本题考查负整数指数幂和零指数幂，根据负整数指数幂和零指数幂分别计算后再比较大小即可． 【详解】解：，，，， ∵， ∴， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）若，，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了逆用同底数幂的除法公式，幂的乘方，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据即可算出答案． 【详解】解：，， 故答案为：3． 12．（24-25七年级下·四川达州·期中）若三个实数，，满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用，负整数指数幂，根据题意得出，根据同底数幂的乘法以及幂的乘方运算将原式化简，代入，即可求解． 【详解】 故答案为：． 13．（24-25七年级下·全国·月考）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将，，，2，3，4，6，7填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了有理数运算和等式的性质，负整数指数幂；先求出所有数总和，根据每个三角形的三个顶点上的数字之和=中间正方形四个顶点上的数字之和，求出代数式的值，解题关键是根据题目信息列出等式，求出相关代数式的值． 【详解】解：设每个三角形的三个顶点上的数字之和为， ∵四个三角形的三个顶点上的数字之和减去中间正方形四个顶点上的数字之和等于8个数的和． 即， ∴， ， ， ∴， ∴． 故答案为：． 14．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握以上知识点，掌握其运算规则是解题的关键． （1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可求得答案； （2）先化成，然后根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可求得答案； （3）先计算乘方，然后再进行减法运算即可； （4）先计算零指数幂，负指数幂，有理数的乘方，然后从左到右进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 15．（25-26八年级上·四川巴中·期中）计算下面各题： (1)已知，，求的值； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查同底数幂的除法； （1）根据同底数幂的除法法则计算即可； （2）根据同底数幂的除法法则计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：，， ∴，， ， ， ∴， ∴， ∴． 16．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知，．求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，逆用法则是解题的关键． （1）逆用同底数幂的乘法法则即可求解； （2）先逆用同底数幂的除法法则，再逆用幂的乘方法则求解即可 【详解】（1）解：； （2）解：． 17．（25-26七年级上·江苏盐城·月考）（1）已知：，求：①的值；②的值； （2）已知，求x的值． 【答案】 （1）①72；② （2）8 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法、除法运算，幂的乘方运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据幂的乘方，同底数幂的乘法法则和除法法则求解即可； （2）把各个数字化为以3为底数的形式，按照同底数幂的乘法法则，求解即可． 【详解】解：（1）①∵，， ∴； ②∵，， ∴； （2）∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 18．（2025七年级上·全国·专题练习）已知，，（）． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)4 (2)1 (3)0 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法及幂的乘方逆运算，零指数幂等知识点，能灵活运用知识点进行变形是解此题的关键． （1）先根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方逆运算法则进行变形，再代入求出即可； （2）先根据同底数幂的除法，幂的乘方逆运算法则进行变形，再代入求出即可； （3）由（2）知，根据任何数（除外）的零次幂等于，即可求解． 【详解】（1）解：，，， ∴ ； （2）解：，，， ∴ ； （3）解：由（2）知， ∵， ∴． 19．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了幂的乘方逆运算，同底数幂的乘法的逆运算，同底数幂的除法的逆运算，熟练掌握幂的运算性质是解题的关键． （1）根据，代入计算即可； （2）根据，结合代入计算即可； （3）根据，结合变形即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵， ∴． （3）解：∵， 又， ∴， ∴． 20．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）规定两数之间的一种运算，记作；如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ①若，则______； ②______； ③若，则______． (2)若探究之间的数量关系并说明理由． (3)下列结论一定正确的有 （填序号）． ①；②；③；④；⑤若，则；⑥若，则 【答案】(1)①；②2；③ (2)，理由见解析 (3)①②③④⑥ 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法运算，零指数幂，积的乘方，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，结合有理数的乘方运算逐一进行计算即可； （2）根据新定义，得到，根据，得到，根据幂的运算法则，得到，即可得出结论； （3）根据新定义，结合有理数的乘方，幂的乘法，零指数幂的法则，逐一进行判断即可． 【详解】（1）解：①； ②，故； ③，则：，故； （2），理由如下： 由题意，得：， ∵， ∴，即：， ∴， ∴； （3）∵， ∴，故①正确； ，故，②正确； 令，则：，即：，故③正确； ，故：；④正确； ，则：， ∴，即： ∴，故⑤错误； ，则：， ∴， ∴；故⑥正确； 故答案为：①②③④⑥ 21．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）对于整数、定义运算：（其中、为常数），如． (1)填空：当时，______； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义的有理数运算、幂得乘方、同底数幂的乘除法运算． （1）先得到新定义运算的式子，再计算即可； （2）先根据幂的乘方得到，，再逆用幂的乘、除法计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵ ∴，， ∴， ∴ ∴． 22．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，计算：______，______； (2)记，，．探究、、三者之间的等量关系，并给出理由； (3)若，则______． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查乘方，负整数指数幂，同底数幂的乘法，掌握其运算法则是关键． （1）根据乘方，负整数指数幂的计算求解即可； （2）根据幂的乘方运算的逆运算法则计算即可； （3）根据题意，设，得到若，则，根据同底数幂的乘法运算代入计算即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下， 记，，， ， ， ， ， ； （3）解：如果，那么我们规定， 设， ， 若，则， ， ，即， 故答案为：． 23．（24-25七年级下·江苏南京·期中）我们规定：个相同的非零有理数的商可以表示为，读作“的圈次方”．，读作“的圈4次方”． (1)直接写出计算结果：_______，________； (2)若为任意正整数，下列结论：①任何非零整数的圈次方小于或等于本身；②负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数；③互为相反数的两个数的圈次方互为相反数；④互为倒数的两个数的圈次方互为倒数；⑤圈次方等于它本身的数是1或．其中所有正确结论的序号是______． (3)试说明（，为正整数且）． 【答案】(1)， (2)②④ (3)证明见解析 【分析】本题考查有理数的乘方运算，同底数幂的除法； （1）根据“的圈次方”的定义计算即可； （2）根据“的圈次方”的定义判断即可； （1）根据“的圈次方”的定义证明即可． 【详解】（1）解：，； 故答案为：，； （2）解：， ①令，，，此时，故①说法错误； ②根据可得负数的圈奇数次方即是奇数，此时结果是负数，负数的圈偶数次方即是偶数，此时结果是正数，说法正确； ③，当为偶数时，，则互为相反数的两个数的圈次方互为相反数说法错误； ④，则互为倒数的两个数的圈次方互为倒数说法正确； ⑤当，n为偶数时，不满足圈次方等于它本身，说法错误． 所有正确结论的序号是②④， 故答案为：②④． （3）解：． 24．（24-25七年级下·江苏南京·期中）在数学领域，幂运算和整式乘法构建起了代数运算的重要基石，灵活运用幂的运算性质，能成为破题的关键所在． 类型一：简便计算 （1）______； 类型二：代数式求值 （2）若，，则______； 类型三：解方程 （3）解关于x的方程：． 【答案】（1）；（2）14；（3） 【分析】本题考查了幂的运算性质，包括同底数幂的乘法、积的乘方等，解题的关键是熟练运用这些性质对式子进行变形和计算． （1）利用积的乘方逆运算进行简便计算； （2）先根据同底数幂加法法则对等式左边进行合并，再根据指数相等求出a、b的值； （3），将方程中各项化为同底数幂，然后根据同底数幂的乘除运算法则化简方程，最后求解x． 【详解】（1）解：原式． 故答案为：． （2）解：∵，， ∴，， ∴． 故答案为：14． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $