精品解析：江苏省无锡市2026届高三上学期期末考试数学试题

高三年级试题 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，且，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的定义直接求解即可. 【详解】因为集合，，且， 所以有，解得. 故选：C. 2. 数据，，，，的方差为，则数据，，，，的方差为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据方差性质公式计算即可. 【详解】由方差性质可得新数据方差为：. 故选：B 3. 等差数列的前 项和为，若，（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据下标和性质及等差数列求和公式计算可得. 【详解】由题意得，， 再根据下标和性质可得. 故选：A. 4. 下列椭圆的方程中，形状最接近于圆的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】需要分别计算各项中椭圆的离心率，再比较大小. 【详解】对于椭圆，其离心率，椭圆的扁平程度由离心率决定，离心率越接近0，椭圆越接近圆, 选项A，化为标准方程为，， 选项B,化为标准方程为,因此其离心率, 选项C,, 选项D,,又， 所以，因此选项D中椭圆的离心率最小，形状最接近于圆. 故选:D 5. 的展开式中，的系数是（ ） A. －2 B. 2 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】从个因式中，个因式选择，个因式选择常数相乘即可得到含的项，即可得解. 【详解】在中， 个因式选择，个因式选择常数即可得到含的项， 故的系数. 故选：B 6. 若奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性转化不等式，利用函数单调性列不等式求的取值范围． 【详解】已知是奇函数，且， ，不等式等价于， 在上单调递减， ，解得，即，故C正确． 故选：C． 7. 已知双曲线的左焦点为，点在双曲线右支上且在轴的上方．若直线的斜率为，线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用双曲线的性质结合已知条件构造方程，联立方程求出，再利用双曲线的渐近线方程求解． 【详解】 由双曲线的左焦点为可知 ，则， 设点，则的中点， 已知线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆 上， ，化简得①， 由直线的斜率为可得：，即②， 联立①②可得，解得或（舍去，在右支）， ，故， 把代入双曲线方程，则，解得， ，， 双曲线渐近线方程为，故D正确． 故选：D． 8. 定义：设是空间的一个基底，若向量，则称实数组为在基底下的坐标.正月十五赏花灯是元宵节重要的习俗之一，某花灯的主体为正六棱柱，其中，.若在基底下的坐标为，则的模为（ ） A. B. 130 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量法来求向量的模长即可. 【详解】 由在基底下的坐标为，则， 如图建立空间直角坐标系，由正六棱柱，其中，, 可得：， 则， 所以， 即 ， 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，是共轭复数，则下列运算结果一定是实数的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用复数及共轭复数的定义和性质，运用复数的加减、乘除法运算规则计算求解． 【详解】设，则其共轭复数， ，当 时为纯虚数，不一定是实数，故A错误； ，是实数，故B正确； ，当时，虚部，不一定是实数，故C错误； ，是实数，故D正确． 故选：BD． 10. 设 ， ，是同一概率空间中的随机事件，满足，，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用条件概率公式计算判断选项A，D；利用全概率公式计算判断选项B；利用加法公式计算判断选项C． 【详解】已知，，，，， 选项A：由条件概率公式， 得，故A正确； 选项B：由全概率公式， 得，故B正确； 选项C：由加法公式， 得，故C正确； 选项D：由条件概率公式， 得，故D错误． 故选：ABC． 11. 函数在R上的图象是一条连续不断的曲线，，，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 零点个数大于1 【答案】ACD 【解析】 【分析】分别令 以及，即可得出；令，代入结合已知即可判断B项；令 ，代入已知化简即可判断C项；令 ，可得.依次令，求出的值.然后令，，求出的值.然后根据零点存在定理即可判断D项. 【详解】对于A项，令 ，由已知可得，，解得. 令，由已知可得，， 解得.故A正确； 对于B项，令，代入已知条件可得， . 又，所以有.故B错误； 对于C项，令 ，代入已知条件可得， . 因为， 所以有， 所以，是奇函数.故C正确； 对于D项，令 ，代入已知有. . 令，由可得， . 令，，由可得， . 因为函数在上的图象是一条连续不断的曲线，且，根据零点存在定理，可知在，使得. 根据函数为奇函数，可知. 所以，函数至少存在三个零点.故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量服从正态分布，若，则________. 【答案】 ## 【解析】 【分析】由随机变量服从正态分布，得，利用得，则，计算即可. 【详解】 随机变量服从正态分布， ， ， ， ， ，即， ， 即 故答案为： 13. 已知等比数列的各项均为正数，且，，则数列的公比________；设，则________. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式求出，进而得到，然后对进行化简，利用裂项相消法求出结果即可. 【详解】设等比数列的首项为，公比为， 由  得 ，即 . 因  ，故 ，所以 ，解得 . 将  代入  得 ，解得 . 故 . 所以， 所以 . 故答案为：①；②. 14. 已知圆台的母线长为，母线与底面所成角为，且.其内切球的体积为，则该圆台体积的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】求出内切球半径，得到圆台的高，根据圆台与内切圆之间的关系，求出上下底面半径与的关系，代入圆台的体积公式化简，结合的范围即可求出圆台体积的范围. 【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为，内切球半径为. 由内切球的体积为可得，，解得， 所以圆台的高. 因为母线与底面所成角为，所以，， 所以，. 因为圆台有内切球，所以满足（切线长定理）， 联立解得， . 圆台的体积为 . 因为，所以，，， ，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角 ， ，的对边分别为，，，且. （1）求 ； （2）若， ，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）正弦定理边化角，结合辅助角公式即可求解； （2）由（1）知，结合，求出，利用三角形面积公式及正弦定理即可求解. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得，,故，即，解得， 又 ，所以； 【小问2详解】 由（1）知，所以，， 即，， 所以，所以或， 又， 所以，，或， 所以的面积. 16. 年总台春晚无锡分会场《无锡景·家国情》节目的惊艳亮相，让无锡非遗大放异彩，火爆出圈．惠山泥人是无锡国家级非遗项目，“阿福”“阿喜”是它的代表作品．某文创工作室在春节后推出“惠山泥人非遗盲盒”系列，每个盲盒装有“阿福”“阿喜”“普通泥人”三种款式之一．随机抽取了 名购买者，调查其性别与抽中“阿福”的情况，得到如下列联表： 抽中“阿福” 未抽中“阿福” 合计 男游客 女游客 合计 （1）依据小概率值的独立性检验，判断“抽中‘阿福’”与“游客性别”是否有关； （2）若盲盒中是“阿福”“阿喜”“普通泥人”的比例为 ，某游客决定采用以下规则购买：若第一次抽中“阿福”或“阿喜”，则立即停止购买；若第一次抽中“普通泥人”，则继续购买第二个盲盒；此时：若第二次抽中“阿喜”，则停止购买，若第二次仍未抽中“阿喜”，则继续购买第三个盲盒，且无论结果如何都停止．记最终抽中“阿福”的个数为随机变量，求的分布列及数学期望． 附：， 【答案】（1）无充分证据认为抽中‘阿福’”与“游客性别”有关 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）采用小概率值的独立性检验，提取已知数据代入卡方公式计算，再将计算结果与临界值比较得出相关性； （2）先确定单次抽中概率，分析购买规则与取值并计算相关概率，列出分布列并求期望． 【小问1详解】 由代入已知数据得： ， 临界值，故没有充分证据认为抽中‘阿福’”与“游客性别”有关． 【小问2详解】 盲盒中是“阿福”“阿喜”“普通泥人”的比例为 ， 则“阿福”的概率，“阿喜”的概率，“普通泥人”的概率， 由购买规则可知，抽中“阿福”的可能取值为， 当 时情况为： 第一次抽中“阿喜”、 第一次抽中“普通泥人”且第二次抽中“阿喜”、 第一次抽中“普通泥人”且第二次抽中“普通泥人”且第三次非“阿福”， 则； 当 时情况为：第一次抽中“阿福”、 第一次抽中“普通泥人”且第二次抽中“阿福”且第三次未抽中“阿福”、 第一次抽中“普通泥人”且第二次抽中“普通泥人”且第三次“阿福”， 则； 当 时情况为： 第一次抽中“普通泥人”且第二次抽中“阿福”且第三次抽中“阿福”， 则； 分布列为： 0 1 2 数学期望为： ． 17. 如图，在平行六面体中，四边形是边长为的正方形，，分别为平面和平面的中心，且在平面上的射影是. （1）求证：平面； （2）已知，直线与平面所成角的正弦值为. （i）求平面与平面的距离； （ii）在线段上是否存在点，使得平面 与平面夹角的余弦值为.若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）连接， 则为的交点，为的交点，连接， 因为平行六面体的底面为正方形， 分别为面和面的中心，且在底面的射影是， 得且， 所以四边形为平行四边形，则． 又因为面面，所以面． （2）（i）；（ii）存在，为线段的中点. 【解析】 【分析】（1）要证明线面平行，则需要通过证明线线平行得到线面平行，即证明； （2）（i）建立以为坐标原点的空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据线面角的空间向量求法即可得到方程，解出即可； （ii）求出平面 的法向量，再根据面面角的空间向量求法即可得到方程，解出即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）因为 平面，得，又因为 ， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则， 所以， 设平面法向量，则，取， 设与平面所成的角为， 则， 解得或． 又因为，所以，所以， 所以平面与平面的距离为． （ii）由（i）得，，所以，平面的法向量 设，则， , 设平面 的法向量为，， 解得，设平面与平面 夹角为， 则，解得， 所以当为线段的中点，平面 与平面夹角的余弦值为． 【点睛】 18. 直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，动点的轨迹为. （1）求的方程； （2）点为轴上除坐标原点外任意一点，过点分别作的两条切线，切点分别为 ， . （i）求证：直线过定点； （ii）若直线与分别交于，两点，设四边形的面积为 ，求的最小值. 【答案】（1） （2） (i)证明见解析 (ii) 【解析】 【分析】（1）通过设动点坐标，将“到轴的距离等于点到点的距离”这一几何条件转化为代数等式，化简得到轨迹方程。 （2）（i）设点求出和 的方程，化简得到，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理结合即可证得. （ii）先证，直线和抛物线联立即可求出的长，接着将方程中的 换成，写出的长，再表示出，借助导数就可以求出其最值 【小问1详解】 设点的坐标为，因为点到轴的距离等于点到点的距离， 所以，整理得.故的方程为. 【小问2详解】 （i）由题意设 ， 由 ，所以 ， 直线的方程为①， 直线 的方程为②， 由①②得 ，代入①或②得， ，所以 ， 设 所在的直线方程为 ，联立 ， 消去 得， ， 可得 ，所以 ， 所以直线 过定点 ． （ii）因为 ， 所以 ， 因为 ，所以 ，即 ， 因为直线 的斜率为 ，所以直线 的斜率为 , 联立 ，消去 得， ，可得 ， 用 代替 得， ， 所以四边形的面积 ， ，则，， 设 ，则 ， 令 ，令 ， 当 时， ，当 时， 在 上单调递减， 在 上单调递增， 当 时， 取得最小值 ， 即 时， 取得最小值 ． 19. 已知函数 ，， . （1）当 时，若的图像与轴相切，求的值； （2）当时，若在有一个零点，求的取值范围； （3）设数列满足，.证明： . 【答案】（1） （2） （3）由于 ，则 ， 由（1） ，即，则， 所以， 所以 ， 则，所以 ， 则 ， 设 ，则 ，令 ，得， 则时， ，则函数单调递增， 时， ，则函数单调递减， 所以当时，函数取得最大值为 ， 则 ，所以 ， 则， 所以 ， 所以 . 【解析】 【分析】（1）设 的图像与轴相切于点，根据导数的几何意义得，可得，和 ，设 ，可得方程 只有一解，即 得解； （2）求出导数，当时，所以函数 在 单调递增，且 ，所以 在 上无零点；当时，令 ，则 ，根据单调性可得解； （3）根据，则，所以，从而，所以 ，再根据 ，所以，利用对数运算性质可证. 【小问1详解】 当 时，函数 ， 则 设 的图像与轴相切于点， 则， 即，可得，从而 ， 设 ，则 ，令 ，得， 则时， ，则函数单调递减， 时， ，则函数单调递增， 所以当时，函数取得最小值为 ， 所以方程 只有一解，即 ， 所以 ； 【小问2详解】 当时， ， 则 ， 当时， ，所以函数 在 单调递增，此时 ； 所以 在 上无零点； 当时，令 ，则 ， 当 时， ，则函数 在 单调递减， 时， ，则函数 在 单调递增， 由于 ，所以 ， 且当趋于 时， 趋于 ， 所以 在 有一个零点，符合题意， 综上所述， ； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级试题 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，且，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 数据，，，，的方差为，则数据，，，，的方差为（ ） A. B. C. D. 3. 等差数列的前项和为，若，（ ） A. B. C. 2 D. 4. 下列椭圆的方程中，形状最接近于圆的是（ ） A. B. C. D. 5. 的展开式中，的系数是（ ） A. －2 B. 2 C. 12 D. 16 6. 若奇函数在上单调递减，且，则满足的 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左焦点为，点在双曲线右支上且在 轴的上方．若直线的斜率为，线段的中点在以原点 为圆心，为半径的圆上，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 定义：设是空间的一个基底，若向量，则称实数组为在基底下的坐标.正月十五赏花灯是元宵节重要的习俗之一，某花灯的主体为正六棱柱，其中，.若在基底下的坐标为，则的模为（ ） A. B. 130 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，是共轭复数，则下列运算结果一定是实数的有（ ） A. B. C. D. 10. 设，，是同一概率空间中的随机事件，满足，，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 函数在R上的图象是一条连续不断的曲线，，，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 零点个数大于1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量服从正态分布，若，则________. 13. 已知等比数列的各项均为正数，且，，则数列的公比________；设，则________. 14. 已知圆台的母线长为，母线与底面所成角为，且.其内切球的体积为，则该圆台体积的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）若， ，求的面积. 16. 年总台春晚无锡分会场《无锡景·家国情》节目的惊艳亮相，让无锡非遗大放异彩，火爆出圈．惠山泥人是无锡国家级非遗项目，“阿福”“阿喜”是它的代表作品．某文创工作室在春节后推出“惠山泥人非遗盲盒”系列，每个盲盒装有“阿福”“阿喜”“普通泥人”三种款式之一．随机抽取了 名购买者，调查其性别与抽中“阿福”的情况，得到如下列联表： 抽中“阿福” 未抽中“阿福” 合计 男游客 女游客 合计 （1）依据小概率值的独立性检验，判断“抽中‘阿福’”与“游客性别”是否有关； （2）若盲盒中是“阿福”“阿喜”“普通泥人”的比例为 ，某游客决定采用以下规则购买：若第一次抽中“阿福”或“阿喜”，则立即停止购买；若第一次抽中“普通泥人”，则继续购买第二个盲盒；此时：若第二次抽中“阿喜”，则停止购买，若第二次仍未抽中“阿喜”，则继续购买第三个盲盒，且无论结果如何都停止．记最终抽中“阿福”的个数为随机变量，求的分布列及数学期望． 附：， 17. 如图，在平行六面体中，四边形是边长为的正方形， ，分别为平面和平面的中心，且在平面上的射影是 . （1）求证：平面； （2）已知，直线与平面所成角的正弦值为. （i）求平面与平面的距离； （ii）在线段上是否存在点 ，使得平面 与平面夹角的余弦值为.若存在，求出点 的位置；若不存在，请说明理由. 18. 直角坐标系中，点到 轴的距离等于点到点的距离，动点的轨迹为. （1）求的方程； （2）点为 轴上除坐标原点 外任意一点，过点分别作的两条切线，切点分别为，. （i）求证：直线过定点； （ii）若直线 与分别交于，两点，设四边形的面积为 ，求的最小值. 19. 已知函数 ，， . （1）当 时，若的图像与 轴相切，求的值； （2）当时，若在有一个零点，求的取值范围； （3）设数列满足，.证明： . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $