1.5 等腰三角形 寒假巩固2025-2026学年苏科版数学八年级上册

苏科版（2024）八年级上册 1.5 等腰三角形 寒假巩固 【题型1】等边对等角与三角形内角和 【典型例题】如图，在△ABC中，AB=AC，△ADE的顶点D，E分别在BC，AC上，且∠DAE=90°，AD=AE，若∠C+∠BAC=145°，则∠EDC的度数为(　　) A.17.5° B.12.5° C.12° D.10° 【举一反三1】等腰三角形的一个角是40°，则它的顶角是（　　） A.40° B.70° C.100° D.40°或100° 【举一反三2】已知等腰三角形的一个底角为70°，则其顶角为（　　） A.70° B.55° C.40° D.110° 【举一反三3】等腰三角形中一个角为95°，则这个等腰三角形的顶角的度数为　　　.  【举一反三4】如图，在△ABC中，D是AB上一点，且DA=DB=DC. 求证：△ABC是直角三角形. 【题型2】等边对等角与三角形的外角 【典型例题】如图，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠EDF等于（　　） A.90° B.75° C.60° D.45° 【举一反三1】如图，在△ABC中，点D是BC上一点，∠BAD＝80°，AB＝AD＝DC，则∠C为（　　） A.20° B.25° C.30° D.35° 【举一反三2】如图，△ABC中，AB＝AC，AD＝DE，∠BAD＝18°，∠EDC＝12°，则∠DAE的度数为（　　） A.58° B.56° C.62° D.60° 【举一反三3】如果等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则该等腰三角形顶角的度数是（　　） A.60° B.120° C.60°或120° D.90° 【举一反三4】等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是　  　度． 【举一反三5】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，CE平分△ABC的外角∠ACD，则∠1＝　   　． 【举一反三6】等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是　  　度． 【举一反三7】如图，若∠BAC＝37°，且AC＝BC＝AD＝DE，则∠BAE＝　   　度． 【题型3】等边对等角与平行线的性质 【典型例题】如图，小明用一副三角板拼成一幅“帆船图”，∠E＝45°，∠B＝30°，AC∥EF，CA＝CF，连结AF，则∠BAF的度数是（　　） A.127.5° B.135° C.120° D.105° 如图，将△ABC绕点B旋转到△DBE的位置，点A在DE边上，DE∥BC，∠C＝40°，则∠ABC的度数为(　　) A.40°   B.50° C.60°   D.70° 如图，AB∥CD，∠C＝33°，OC＝OE.则∠A＝　　　　　°. 【举一反三3】如图，AE∥BD，C是BD上的点，且AB=BC，∠ACD=110°，则∠EAB=　　　　.  【举一反三4】如图，AB∥CD，EF＝EG，EG平分∠HEB，∠G＝20°，求∠HFD的度数． 【题型4】等边对等角与线段的垂直平分线 【典型例题】如图，AB=AC，∠BAC=110°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC=（　　） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 【举一反三1】如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=8，AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，连接AD，则CD的长为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 【举一反三2】如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于(　　) A.60° B.50° C.40° D.30° 如图，在△ABC中，∠BAC＝110°，AB＝AC，AD⊥BC于点D，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连接AF，则∠FAD的度数为　　　　　. 补全过程或依据：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC边的中点，E为AD上一点，连接CE，使得CE＝AE.若∠B＝55°，求∠ECD的度数. 解：∵在△ABC中，AB＝AC， ∴∠①＝∠B＝55°(等腰三角形两底角相等)， ∵点D为BC边的中点， ∴AD⊥BC(②)， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝90°－∠ACB＝③°， ∵AE＝CE， ∴∠ACE＝∠CAD＝35°(④)， ∴∠ECD＝∠ACB－∠ACE＝⑤°. 【举一反三5】如图，△ABC中，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．求∠ECD的度数. 【题型5】三线合一 【典型例题】如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，AD⊥BC于D，则∠B等于（　　） A. 70° B. 50° C. 20° D. 40° 【举一反三1】等腰但不等边的三角形的角平分线、高线、中线的总条数是（　　） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 【举一反三2】如图，△ABC中，若AB=AC，AD是∠BAC的平分线，则∠ADB=（　　） A. 80° B. 90° C. 100° D. 110° 【举一反三3】如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，D是BC边的中点，连接AD，则∠BAD=            ． 【举一反三4】等腰三角形的对称轴是            ． 【举一反三5】如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，AB＝AC. (1)若△ABC的面积是20，且BC＝4，求AD的长； (2)若∠CAD＝20°，求∠ACE的度数． 【题型6】三线合一与等边对等角 【典型例题】如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（　　） A. 35° B. 45° C. 55° D. 60° 【举一反三1】如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，∠B＝30°，则∠DAC等于（　　） A.30° B.40° C.50° D.60° 【举一反三2】如图，AD是等腰△ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD＝　 　． 【举一反三3】在△ABC中，AB＝AC，过点A作AD⊥BC于D，若BC＝14，则BD＝　 　． 如图，在△ABC中，∠A＝60°，请用尺规作图法，在边AB上求作一点P，在边BC上求作一点Q，使得∠APQ＝75°.(保留作图痕迹，不写作法) (1)已知两个三角形全等，其中一个三角形的三边长分别为6，8，10，另一个三角形的三边长分别为6，2m－2，n＋1，求m，n的值； (2)已知等腰三角形的周长为16，其中一边为5，求腰和底边的长. 【题型7】等腰三角形及其性质的综合应用 【典型例题】如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，则下列四个结论中，正确的个数是（　　） （1）AD上任意一点到C、B的距离相等； （2）AD上任意一点到AB、AC的距离相等； （3）BD=CD，AD⊥BC； （4）∠BDE=∠CDF． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【举一反三1】玉树地震后，青海省某乡镇中学的同学用下面的方法检测教室的房梁是否水平：如下图，在等腰直角三角尺斜边中点栓一条细绳，细绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，结果绳子经过三角尺的直角顶点，于是同学们确信放量是水平的，其理由是（　　） A. 等腰三角形两腰等分 B. 等腰三角形两底角相等 C. 三角形具有稳定性 D. 等腰三角形的底边中线和底边上的高重合 【举一反三2】△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，以下结论：（1）AD⊥BC；（2）∠B=∠C；（3）AD平分∠BAC，其中正确的有（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【举一反三3】如图，△ABC中，D点在BC上，现有下列四个命题： ①若AB=AC，则∠B=∠C； ②若AB=AC，∠1=∠2，则AD⊥BC，BD=DC； ③若AB=AC，BD=CD，则AD⊥BC，∠1=∠2； ④若AB=AC，AD⊥BC，则BD=BC，∠1=∠2． 其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【举一反三4】△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，以下结论：（1）AD⊥BC；（2）∠B=∠C；（3）AD平分∠BAC，其中正确的有（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【举一反三5】如图，已知∠MCN，点B是射线CM上一点，求作等腰三角形ABC，使得BC为等腰三角形的底边，点A在∠MCN内部，且点A到∠MCN两边的距离相等.(尺规作图) 点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE. (1)如图1，求证：BD＝CE； (2)如图2，当AD＝CD时，过点C作CM⊥AD于点M，如果DM＝2，求CD－BD的值. 【题型8】用等角对等边判定等腰三角形 【典型例题】如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝3，则AC的长为（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 【举一反三1】在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是（　　） A. ∠A=40°，∠B=50° B. ∠A=40°，∠B=60° C. ∠A=20°，∠B=80° D. ∠A=40°，∠B=80° 【举一反三2】如图，∠BAC=100°，∠B=40°，∠D=20°，AB=3，则CD=_________. 【举一反三3】在△ABC中，∠A＝80°，当∠B＝　           　时，△ABC是等腰三角形． 【举一反三4】如图，已知∠B＝∠C，AB∥DE，DE交BC于点E．求证：△DEC是等腰三角形． 【举一反三5】如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC=∠ADC.求证：AC平分∠BAD. 【题型9】等角对等边与三角形内角和定理 【典型例题】在△ABC中，∠A、∠B、∠C对应的边分别为a、b、c，给出以下条件，不能判定其是等腰三角形的是（　　） A. ∠A：∠B：∠C=1：1：3 B. a：b：c=2：2：1 C. ∠B=50°，∠C=80° D. 2∠A=∠B+∠C 【举一反三1】在△ABC中，∠ABC=30°，∠BAC=70°．过△ABC的定点画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　） A. 7条 B. 8条 C. 9条 D. 10条 【举一反三2】在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是（　　） A. ∠A=40°，∠B=50° B. ∠A=40°，∠B=60° C. ∠A=20°，∠B=80° D. ∠A=40°，∠B=80° 【举一反三3】如图，∠A=36°，∠ADB=108°，则图中共有等腰三角形（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝9 cm，点D在AC上，CD＝4 cm，将线段CD沿CB方向平移5 cm得到线段EF，点E，F分别落在AB，BC上，则△EBF的周长为　　　　　cm. 【举一反三5】如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠B=50°，D为BC的中点，点E在AB上，∠AED=70°，若点P是等腰三角形ABC的腰上的一点，则当△DEP是以∠EDP为顶角的等腰三角形时，∠EDP的度数是　　　　　　.  如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝9 cm，点D在AC上，CD＝4 cm，将线段CD沿CB方向平移5 cm得到线段EF，点E，F分别落在AB，BC上，则△EBF的周长为　　　　　cm. 【举一反三7】如果一个三角形有两个角分别为80°，50°，则这个三角形是___________三角形． 【题型10】等角对等边与三角形的外角 【典型例题】在△ABC中，∠A的相邻外角是70°，要使△ABC为等腰三角形，则∠B为（　　） A. 70° B. 35° C. 110°或35° D. 110° 【举一反三1】如图，∠ADE=∠AED=2∠B=2∠C，则图中共有等腰三角形个数为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【举一反三2】如图所示，共有等腰三角形（　　） A. 4个 B. 5个 C. 3个 D. 2个 【举一反三3】如图，在△ABC中，∠BAC：∠B：∠C=3：1：1，AD，AE将∠BAC三等分，则图中等腰三角形的个数是　            　． 【举一反三4】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于E，CD平分∠ACB交BE于D，图中有 　　个等腰三角形． 【举一反三5】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的角平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形． 【举一反三6】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC交AD于点F，交AC于点E．求证：△AEF为等腰三角形． 【题型11】角平分线+平行线等腰必呈现 【典型例题】如图，∠A＝36°，∠C＝72°，BE为∠ABC的平分线，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数有（　　） A.6个 B.5个 C.4个 D.3个 【举一反三1】在△ABC中，∠ABC=∠C=2∠A，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数是（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【举一反三2】如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N，若AB+AC=7 cm，则△AMN的周长为　　　　　cm.  【举一反三3】如图，直线AB∥CD，∠ACD的平分线CE交AB于点F，∠AFE的平分线交CA的延长线于点G． （1）求证：△ACF是等腰三角形； （2）若∠FCD＝30°，求∠G的大小． 【举一反三4】如图，已知AB∥CD，CE平分∠ACD．求证：△ACE是等腰三角形． 【题型12】等腰三角形的性质与判定 【典型例题】如图，AC，BD相交于点O，∠A=∠D，如果请你再补充一个条件，使得△BOC是等腰三角形，那么你补充的条件不能是（　　） A. OA=OD B. AB=CD C. ∠ABO=∠DCO D. ∠ABC=∠DCB 【举一反三1】如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF=CF．其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①②③④ C. ①② D. ① 【举一反三2】如图，已知等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，连接OP，OC，PC，OP=OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO=30°；②∠APO=∠DCO；③△OPC是等边三角形.其中所有正确结论的序号是　　　.  【举一反三3】如图，已知∠AOD=28°，点C是射线OD上的一个动点，在点C的运动过程中，△AOC恰好是等腰三角形，则此时∠A所有可能的度数为　　　.  【举一反三4】已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC．证明：△ABC是等腰三角形． 【题型13】等边三角形的三条边相等 【典型例题】已知等边△ABC的边长是6，则它的周长是（　　） A.6 B.12 C.18 D.3 【举一反三1】边长是整数，周长不大于12的等边三角形的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 如图，在正方形ABCD外侧作等边△ADE，则∠CBE为(　　) A.55°   B.60° C.75°   D.80° 【举一反三3】已知等边△ABC的边长是6，则它的周长是（　　） A.6 B.12 C.18 D.3 【举一反三4】边长是整数，周长不大于12的等边三角形的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【举一反三5】如图，等边三角形ABC的边长如图所示，那么y＝　 　． 【举一反三6】在△ABC中，AB=AC=1 cm，当BC=　　　cm时，△ABC是等边三角形.  【举一反三7】等边三角形边长为1cm，则它周长为　            　cm． 【题型14】等边三角形的三个角都等于60° 如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE＝21°，则∠ACD的度数是(　　) A.45°   B.39°   C.29°   D.21° 【举一反三1】如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD的度数为(　　) A.60° B.50° C.40° D.30° 【举一反三2】如图，△ABC为等边三角形，∠2＝∠3，则∠BEC的度数是 　    　． 【举一反三3】如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D在同一条直线上，CD=CE，求∠CED的度数. 【举一反三4】如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，F在同一条直线上，CD＝CE，DF＝DG，求∠F的度数． 【题型15】等边三角形中的三线合一 【典型例题】如图，在正△ABC中，D为BC中点，则∠BAD的度数为（　　） A. 30° B. 60° C. 50° D. 45° 【举一反三1】等边三角形ABC的两条角平分线BD和CE相交所夹锐角的度数为（　　） A. 75° B. 60° C. 45° D. 30° 【举一反三2】如图，等边△ABC的边长为2，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E=30°，则CE的长为 (　　) A.3 B.2 C.1 D.0.5 【举一反三3】如图所示，在等边△ABC中，AD⊥BC，BD=3，则∠1的度数为　        　，AB=　       　． 【举一反三4】如图，△ABC是等边三角形，AC＝4，AD⊥BC于点D，则BD＝　 　． 【举一反三5】如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到点E，使得CE＝CD.求证：BD＝DE. 【举一反三6】 如图：△ABC和△ADE是等边三角形，AD是BC边上的中线．求证：BE=BD． 【题型16】等边三角形性质与平行线性质 【典型例题】已知：如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20°，则∠α的度数为（　　） A.60° B.45° C.40° D.30° 【举一反三1】如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3、…在射线ON上，点B1、B2、B3、…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A9B9A10的边长为（　　） A.32 B.64 C.128 D.256 【举一反三2】如图，△ABC为等边三角形，AP∥CQ．若∠BAP＝20°，则∠1＝（　　） A.80° B.40° C.60° D.70° 【举一反三3】如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α=40°，则∠β等于　            ． 【举一反三4】已知：如图等边三角形ABC中，D是AC中点，过C作CE∥AB，且AE⊥CE，求证：BD=AE． 【举一反三5】已知：如图，等边三角形ABC中，D为AC边的中点，过C作CE∥AB，且AE⊥CE，那么∠CAE=∠ABD吗？请说明理由． 【题型17】等边三角形性质与垂直 【典型例题】如图，等边△ABC中，BD=CE，AD与BE交于P，AQ⊥BE，垂足为Q，PD=2，PQ=6，则BE的长为（　　） A. 14 B. 13 C. 12 D. 无法求出 【举一反三1】如图所示，△ABC为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则四个结论正确的是（ ） ①点P在∠A的平分线上； ②AS=AR； ③QP∥AR； ④△BRP≌△QSP． A. 全部正确 B. 仅①和②正确 C. 仅②③正确 D. 仅①和③正确 【举一反三2】如图，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD．有下列四个结论：①∠PBC=15°；②AD∥BC；③直线PC与AB垂直；④四边形ABCD是轴对称图形．其中正确结论个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，作线段AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，DE＝1，则CD＝　　　　. 【举一反三4】如图，在等边△ABC中，点D为BC边上的点，DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F，则∠EDF的度数为__________． 【举一反三5】如图，在等边△ABC中，点D，E分別在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF丄DE，交BC的延长线于点F．求∠F的度数． 【题型18】等边三角形的性质综合 【典型例题】如图，在等边三角形ABC中，点P，Q分别是AC，BC上两点，且AP=CQ.连接AQ，BP，相交于点O.连接OC，若OC⊥BP，则AO∶BO的值是(　　) A.1∶3 B.2∶3 C.1∶2 D.2∶5 【举一反三1】如图，△ABC和△CDE均为等边三角形，∠EBD=62°，则∠AEB的度数为（　　） A. 112° B. 122° C. 132° D. 128° 【举一反三2】如图，已知等边△AEB和等边△BDC在线段AC同侧，则下面错误的是（　　） A. △ABD≌△EBC B. △NBC≌△MBD C. DM=DC D. ∠ABD=∠EBC 如图，△ABC是等边三角形，AB＝8，点E是AB边上的一点，且AE＝AB，点D是直线BC上一动点，连接DE，以DE为腰作等腰△EDF，且使∠DEF＝90°，连接AF，则AF的最小值为　　　　　　. 【举一反三4】下列图案是由同样的等边三角形按一定规律拼接而成，依此规律，第5个图案中的三角形与第1个图案中的三角形能够全等的共有　            　个． 【举一反三5】如图所示，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA、PB、PC，以BP为一边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ． （1）试观察并猜想AP与CQ的大小关系； （2）证明你在（1）中的猜想． 【举一反三6】如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，在△ABC外部分别作等边三角形ADB和等边三角形ACE．若∠DAE＝∠DBC，求△ABC三个内角的度数． 【题型19】用定义判定等边三角形 【典型例题】一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，则对这个三角形最准确的判断是（　　） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 【举一反三1】已知a，b，c是三角形的三边长，如果满足（a﹣b）2+b-8+|c2﹣64|=0，则三角形的形状是（　　） A. 底和腰不相等的等腰三角形 B. 等边三角形 C. 钝角三角形 D. 直角三角形 【举一反三2】如图，用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交直角两边于A，B两点，若再以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，则△AOC的形状为　    　． 【举一反三3】如图，AD∥BC，且DB平分∠ADC. 如果∠C：∠ADC=1：2，求证：△CDB是等边三角形． 【举一反三4】如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BD于点D，E是AD延长线上的一点，且BC=BE，请判断△BCE的形状，并证明你的结论． 【题型20】三个角都相等的三角形是等边三角形 【典型例题】在△ABC中，∠A+∠B=120°，∠C=∠A，则△ABC是（ ） A. 钝角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 【举一反三1】有一个外角是120°，另外两个外角相等的三角形（　　） A. 可以是顶角不为60°等腰三角形 B. 仅有等边三角形 C. 一角为60°的非等腰三角形 D. 不能确定 【举一反三2】将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式摆放，若∠1＝60°，则△ABC是（　　） A.不等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 【举一反三3】在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则△ABC是　  　三角形． 【举一反三4】如图，在△ABC中，D是AB上任意点，DE⊥AC点E，ED的延长线与CB的延长线交于点F，BD=BF，∠ABC=∠A，试判断△ABC的形状，并说明理由． 【题型21】有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 【典型例题】若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为60°，则这个三角形的形状是(　　) A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.上述三种情形都有可能 【举一反三1】如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 3个以上 【举一反三2】有一个内角为60°的等腰三角形，腰长为6cm，那么这个三角形的周长为_________cm． 【举一反三3】如图，在等边△ABC的边BC上任取一点D，作∠ADE=60°，DE交∠C的外角平分线于E，则△ADE是　       　三角形． 【举一反三4】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AD，AC于点F，E，求证：△AEF是等边三角形． 【题型22】等边三角形判定的综合应用 【典型例题】在△ABC中，①若AB=BC=CA，则△ABC为等边三角形；②若∠A=∠B=∠C，则△ABC为等边三角形；③有两个角都是60°的三角形是等边三角形；④一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【举一反三1】△ABC中，①若AB=BC=CA，则△ABC是等边三角形；②属于轴对称图形，且有一个角为60°的三角形是等边三角形；③有三条对称轴的三角形是等边三角形；④有两个角是60°的三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【举一反三2】下列三角形： ①有两个角等于60°； ②有一个角等于60°的等腰三角形； ③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形； ④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形． 其中是等边三角形的有（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③ D. ①②③④ 【举一反三3】在△ABC中，①若AB=BC=CA，则△ABC为等边三角形；②若∠A=∠B=∠C，则△ABC为等边三角形；③有两个角都是60°的三角形是等边三角形；④一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【举一反三4】下列推理错误的是（　　） A. 在△ABC中，∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC为等边三角形 B. 在△ABC中，∵AB=AC，且∠B=∠C，∴△ABC为等边三角形 C. 在△ABC中，∵∠A=60°，∠B=60°，∴△ABC为等边三角形 D. 在△ABC中，∵AB=AC，∠B=60°，∴△ABC为等边三角形 【举一反三5】下列三角形中： ①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形.其中是等边三角形的有　　　　　　.(填序号)  【举一反三6】下列三角形：（1）有两个角等于60°；（2）有一个角等于60°的等腰三角形；（3）三个外角都相等的三角形；（4）一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形，其中是等边三角形的有　            　． 【举一反三7】在△ABC中，AB=AC，要使△ABC是等边三角形需要添加一个条件，这个条件可以是　            　（只需写一个） 【举一反三8】下列三角形：（1）有两个角等于60°；（2）有一个角等于60°的等腰三角形；（3）三个外角都相等的三角形；（4）一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形，其中是等边三角形的有　            　． 【题型23】等边三角形的性质和判定 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，D为AB边的中点，连接CD，过点B作CD的平行线EF，则∠CBF的度数为(　　) A.60°   B.45°   C.30°   D.15° 【举一反三1】如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则△ADE的形状是（　　） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 不等边三角形 D. 不能确定形状 【举一反三2】如图，在四边形ABCD中，∠ABC=60°，AB=BC，AD=CD.连接AC，过点D作DE∥AB分别交BC，AC于点E，F.若BC=6，DE=4，则CF的长为　　　.  【举一反三3】如图，已知∠AOB=30°，点P在∠AOB的内部，点P1与点P关于OB对称，点P2与点P关于OA对称，连接PP1，PP2，P1P2，OP，OP1，OP2，若△OP1P2的周长是18，那么OP=　　　.  【举一反三4】在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，垂足点G，且AD=AB，∠EDF=60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F. (1)求证：△ABD是等边三角形； (2)求证：BE=AF. 【题型24】含30°角的直角三角形的性质 【典型例题】Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2，则AB的长度是（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【举一反三1】某市在旧城绿化改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮优化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要(　　) A. 300a元 B. 150a元 C. 450a元 D. 225a元 【举一反三2】如图是某商场一部手扶电梯的示意图，若∠ABC=150°，BC长为8米，则乘电梯从点B到点C上升的高度h=　　　米.  【举一反三3】在Rt△ABD中，∠ADB=90°,∠A=60°,作DC∥AB,且∠DBC=∠BDC,DC与BC交于点C，已知CD=4. （1）求∠CBD的度数； （2）求AB的长. 【举一反三4】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220km的B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每离台风中心20km，风力就会减弱一级，该台风中心现在正以15km/h 的速度沿北偏东30°方向往 C 移动，且台风中心风力不变，如图，若城市所受风力达到或超过4级，则称为受台风影响．该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由． 【题型25】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 【典型例题】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，过点C的直线与AB交于点D，且将△ABC的面积分成相等的两部分，则∠CDA等于(　　) A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 【举一反三1】如图，小明同学利用刻度直尺(单位： cm)测量三角形纸片的尺寸，点B，C分别对应刻度尺上的刻度2和8，D为BC的中点，若∠BAC=90°，则AD的长为(　　) A.2 cm B.3 cm C.4.5 cm D.5 cm 【举一反三2】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点．若DE＝4，则AB的长为__________． 【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，E是AB的中点，∠ACD=1.5∠BEC，则∠B=　　　　　°.  【举一反三4】如图，在△ABC中，AD是高，E，F分别是AB，AC的中点. (1)AB=10，AC=8，求四边形AEDF的周长； (2)EF与AD有怎样的位置关系，证明你的结论. 【举一反三5】已知：如图，在△ABC，AB＝AC，AD是BC边上的中线，E是AC的中点，BF⊥CA延长线于点F.求证：∠CBF＝∠ADE. 苏科版（2024）八年级上册 1.5 等腰三角形 寒假巩固（参考答案） 【题型1】等边对等角与三角形内角和 【典型例题】如图，在△ABC中，AB=AC，△ADE的顶点D，E分别在BC，AC上，且∠DAE=90°，AD=AE，若∠C+∠BAC=145°，则∠EDC的度数为(　　) A.17.5° B.12.5° C.12° D.10° 【答案】D 【解析】∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴∠B+∠C+∠BAC=2∠C+∠BAC=180°， 又∵∠C+∠BAC=145°， ∴∠C=35°， ∵∠DAE=90°，AD=AE， ∴∠AED=45°， ∴∠EDC=∠AED-∠C=10°. 【举一反三1】等腰三角形的一个角是40°，则它的顶角是（　　） A.40° B.70° C.100° D.40°或100° 【答案】D 【解析】当40°角为顶角时，则顶角为40°， 当40°角为底角时，则两个底角和为80°，求得顶角为180°﹣80°＝100°， 故选：D． 【举一反三2】已知等腰三角形的一个底角为70°，则其顶角为（　　） A.70° B.55° C.40° D.110° 【答案】C 【解析】一个底角为70°时，则另一个一个底角也为70°， ∴顶角＝180°﹣70°﹣70°＝40°． 故选：C． 【举一反三3】等腰三角形中一个角为95°，则这个等腰三角形的顶角的度数为　　　.  【答案】95° 【解析】∵95°>90°， ∴95°的角只能为等腰三角形的顶角， ∴这个等腰三角形的顶角的度数为95°. 【举一反三4】如图，在△ABC中，D是AB上一点，且DA=DB=DC. 求证：△ABC是直角三角形. 【答案】证明　∵DA=DC， ∴∠A=∠ACD. ∵DC=DB， ∴∠B=∠BCD. 又∠A+∠ACD+∠B+∠BCD=180°， ∴2(∠ACD+∠BCD)=180°， ∴∠ACD+∠BCD=∠ACB=90°. ∴△ABC是直角三角形. 【题型2】等边对等角与三角形的外角 【典型例题】如图，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠EDF等于（　　） A.90° B.75° C.60° D.45° 【答案】C 【解析】∵AB＝BC，∠A＝15°， ∴∠ACB＝∠A＝15°，∠CBD＝2∠A＝30°， ∵BC＝DC， ∴∠CBD＝∠CDB＝30°， ∴∠BCD＝120°， ∴∠ECD＝180°﹣∠ACB﹣∠BCD＝180°﹣15°﹣120°＝45°， ∵CD＝DE， ∴∠CED＝∠DCE＝45°， ∴∠EDF＝∠A+∠CED＝15°+45°＝60°， 故选：C． 【举一反三1】如图，在△ABC中，点D是BC上一点，∠BAD＝80°，AB＝AD＝DC，则∠C为（　　） A.20° B.25° C.30° D.35° 【答案】B 【解析】∵AB＝AD， ∴∠B＝∠ADB， 由∠BAD＝80°得∠B50°＝∠ADB， ∵AD＝DC， ∴∠C＝∠ACD， ∴∠C∠ADB＝25°． 故选：B． 【举一反三2】如图，△ABC中，AB＝AC，AD＝DE，∠BAD＝18°，∠EDC＝12°，则∠DAE的度数为（　　） A.58° B.56° C.62° D.60° 【答案】C 【解析】设∠ADE＝x°，且∠BAD＝18°，∠EDC＝12°， ∴∠B+18°＝x°+12°， ∴∠B＝x°﹣6°， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B＝x°﹣6°， ∴∠DEA＝∠C+∠EDC＝x°﹣6°+12°＝x°+6°， ∵AD＝DE， ∴∠DEA＝∠DAE＝x°+6°， 在△ADE中，由三角形内角和定理可得 x+x+6+x+6＝180， 解得x＝56，即∠ADE＝56°， ∴∠DAE＝62° 故选：C． 【举一反三3】如果等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则该等腰三角形顶角的度数是（　　） A.60° B.120° C.60°或120° D.90° 【答案】C 【解析】当高在内部时，顶角＝90°﹣30°＝60°； 当高在外部时，得到顶角的外角＝90°﹣30°＝60°， 则顶角＝120°． 故选：C． 【举一反三4】等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是　  　度． 【答案】40． 【解析】与80°角相邻的内角度数为100°； 当100°角是底角时，100°+100°＞180°，不符合三角形内角和定理，此种情况不成立； 当100°角是顶角时，底角的度数＝80°÷2＝40°； 故此等腰三角形的底角为40°． 故答案为：40． 【举一反三5】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，CE平分△ABC的外角∠ACD，则∠1＝　   　． 【答案】55°． 【解析】∵AB＝AC，∠A＝40°， ∴∠B＝∠ACB（180°﹣40°）＝70°， ∴∠ACD＝∠B+∠A＝110°， ∵CE平分△ABC的外角∠ACD， ∴∠1∠ACD＝55°， 故答案为：55°． 【举一反三6】等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是　  　度． 【答案】40． 【解析】与80°角相邻的内角度数为100°； 当100°角是底角时，100°+100°＞180°，不符合三角形内角和定理，此种情况不成立； 当100°角是顶角时，底角的度数＝80°÷2＝40°； 故此等腰三角形的底角为40°． 故答案为：40． 【举一反三7】如图，若∠BAC＝37°，且AC＝BC＝AD＝DE，则∠BAE＝　   　度． 【答案】106． 【解析】∵∠BAC＝37°，且AC＝BC＝AD＝DE， ∴∠BAC＝37°， ∴∠ACD＝37°+37°＝74°， ∴∠ADC＝74°， ∴∠CAD＝32°，∠EAD＝37°， ∴∠BAE＝∠BAC+∠CAD+∠EAD＝106°． 故答案为：106． 【题型3】等边对等角与平行线的性质 【典型例题】如图，小明用一副三角板拼成一幅“帆船图”，∠E＝45°，∠B＝30°，AC∥EF，CA＝CF，连结AF，则∠BAF的度数是（　　） A.127.5° B.135° C.120° D.105° 【答案】A 【解析】∵∠D＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠B＝30°， ∴∠DFE＝45°，∠BAC＝60°， ∵AC∥EF， ∴∠ACF＝∠DFE＝45°， ∵CA＝CF， ∴∠CAF＝∠CFA（180°﹣∠ACF）＝67.5°， ∴∠BAF＝∠BAC+∠CAF＝127.5°， 故选：A． 如图，将△ABC绕点B旋转到△DBE的位置，点A在DE边上，DE∥BC，∠C＝40°，则∠ABC的度数为(　　) A.40°   B.50° C.60°   D.70° 【答案】D 【解析】 由旋转得，BA＝BD，∠CAB＝∠D， ∴∠CAB＝∠D＝∠BAD， ∵DE∥BC， ∴∠EAC＝∠C＝40°， ∵∠BAD＋∠CAB＋∠EAC＝180°， ∴∠BAD＝＝70°， ∵DE∥BC， ∴∠ABC＝∠BAD＝70°. 如图，AB∥CD，∠C＝33°，OC＝OE.则∠A＝　　　　　°. 【答案】 66 【解析】 ∵OC＝OE，∠C＝33°， ∴∠E＝∠C＝33°， ∴∠DOE＝∠E＋∠C＝66°， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠DOE＝66°. 【举一反三3】如图，AE∥BD，C是BD上的点，且AB=BC，∠ACD=110°，则∠EAB=　　　　.  【答案】40° 【解析】∵AE∥BD，∠ACD=110°， ∴∠EAC=∠ACD=110°，∠BCA=180°-∠ACD=180°-110°=70°， ∵AB=BC， ∴∠BAC=∠BCA=70°， ∴∠EAB=∠EAC-∠BAC=110°-70°=40°. 【举一反三4】如图，AB∥CD，EF＝EG，EG平分∠HEB，∠G＝20°，求∠HFD的度数． 【答案】解：∵EF＝EG， ∴∠EFG＝∠G＝20°， ∴∠HEG＝∠G+∠EFG＝40°， ∵EG平分∠HEB， ∴∠HEB＝2∠HEG＝80°， ∵AB∥CD， ∴∠HFD＝∠HEB＝80°． 【题型4】等边对等角与线段的垂直平分线 【典型例题】如图，AB=AC，∠BAC=110°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC=（　　） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 【答案】C 【解析】根据题意，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=110°，∴∠B=35°，又AB的垂直平分线交BC于点D，∴∠BAD=∠B=35°，在△BAD中，∠ADC=∠B+∠BAD=70°，∴∠ADC=70°．故答案选C． 【举一反三1】如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=8，AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，连接AD，则CD的长为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】A 【解析】∵AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E， ∴AD=DB， 设CD=x，则AD=DB=BC-CD=8-x， ∵∠C=90°，AC=4， ∴=x2+42， ∴x=3，即CD=3. 【举一反三2】如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于(　　) A.60° B.50° C.40° D.30° 【答案】D 【解析】∵等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°， ∴∠ABC=∠C==70°， ∵线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E， ∴AE=BE， ∴∠ABE=∠A=40°， ∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°. 如图，在△ABC中，∠BAC＝110°，AB＝AC，AD⊥BC于点D，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连接AF，则∠FAD的度数为　　　　　. 【答案】 20° 【解析】 ∵∠BAC＝110°，AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝(180°－∠BAC)＝35°， ∵AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F， ∴AF＝BF， ∴∠BAF＝∠B＝35°， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠BAC＝55°， ∴∠FAD＝∠BAD－∠BAF＝55°－35°＝20°. 补全过程或依据：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC边的中点，E为AD上一点，连接CE，使得CE＝AE.若∠B＝55°，求∠ECD的度数. 解：∵在△ABC中，AB＝AC， ∴∠①＝∠B＝55°(等腰三角形两底角相等)， ∵点D为BC边的中点， ∴AD⊥BC(②)， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝90°－∠ACB＝③°， ∵AE＝CE， ∴∠ACE＝∠CAD＝35°(④)， ∴∠ECD＝∠ACB－∠ACE＝⑤°. 【答案】 解　∵在△ABC中，AB＝AC， ∴∠ACB＝∠B＝55°(等腰三角形两底角相等)， ∵点D为BC边的中点， ∴AD⊥BC(三线合一定理)， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝90°－∠ACB＝35°， ∵AE＝CE， ∴∠ACE＝∠CAD＝35°(等腰三角形两底角相等)， ∴∠ECD＝∠ACB－∠ACE＝20°. 【举一反三5】如图，△ABC中，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．求∠ECD的度数. 【答案】解 ∵DE垂直平分AC，∴CE=AE，∴∠ECD=∠A=36°. 【题型5】三线合一 【典型例题】如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，AD⊥BC于D，则∠B等于（　　） A. 70° B. 50° C. 20° D. 40° 【答案】B 【解析】∵在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∴AD是△ABC的角平分线和中线，∵∠BAC=80°，∴∠BAD=40°，∴∠B=90°﹣∠BAD=50°故选B. 【举一反三1】等腰但不等边的三角形的角平分线、高线、中线的总条数是（　　） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】C 【解析】等腰但不等边的三角形底边上的角平分线、中线、高线三线重合成一条；腰上的三条线不重合，因而共有7条线．故选C． 【举一反三2】如图，△ABC中，若AB=AC，AD是∠BAC的平分线，则∠ADB=（　　） A. 80° B. 90° C. 100° D. 110° 【答案】B 【解析】∵△ABC中，若AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，故选B． 【举一反三3】如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，D是BC边的中点，连接AD，则∠BAD=            ． 【答案】25° 【解析】∵AB=AC，D是BC边的中点，∴∠BAD= ∠BAC=25°．故答案为：25°. 【举一反三4】等腰三角形的对称轴是            ． 【答案】底边上的高（顶角平分线或底边的中线）所在直线 【解析】根据等腰三角形的性质，等腰三角形的对称轴是底边上的高（顶角平分线或底边的中线）所在直线．故填底边上的高（顶角平分线或底边的中线）所在直线． 【举一反三5】如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，AB＝AC. (1)若△ABC的面积是20，且BC＝4，求AD的长； (2)若∠CAD＝20°，求∠ACE的度数． 【答案】解 (1)∵AD是△ABC的中线，AB＝AC， ∴AD⊥BC， ∵△ABC的面积是20，且BC＝4， ∴BC·AD＝20， ∴×4×AD＝20， ∴AD＝10. (2)∵AD是△ABC的中线，AB＝AC，∠CAD＝20°， ∴∠CAB＝2∠CAD＝40°，∠B＝∠ACB＝(180°－∠CAB)＝70°. ∵CE是△ABC的角平分线， ∴∠ACE＝∠ACB＝35°. 【题型6】三线合一与等边对等角 【典型例题】如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（　　） A. 35° B. 45° C. 55° D. 60° 【答案】C 【解析】由等腰三角形的三线合一性质可知∠BAC=70°，再由三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可得出结论． 【举一反三1】如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，∠B＝30°，则∠DAC等于（　　） A.30° B.40° C.50° D.60° 【答案】D 【解析】∵在△ABC中，已知AB＝AC，D是BC边上的中点， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∵∠B＝∠C＝30°， ∴∠DAC＝60°， 故选：D． 【举一反三2】如图，AD是等腰△ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD＝　 　． 【答案】5． 【解析】∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线， ∴AD是等腰三角形ABC的底边BC上的中线， ∴CD＝BD， ∵BD＝5， ∴CD＝5， 故答案为：5． 【举一反三3】在△ABC中，AB＝AC，过点A作AD⊥BC于D，若BC＝14，则BD＝　 　． 【答案】7． 【解析】如图， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BDBC， ∵BC＝14， ∴BD＝7， 故答案为：7． 如图，在△ABC中，∠A＝60°，请用尺规作图法，在边AB上求作一点P，在边BC上求作一点Q，使得∠APQ＝75°.(保留作图痕迹，不写作法) 【答案】 解　如图，点P，Q即所求. 证明：由作图知，AQ是∠BAC的平分线， ∴∠BAQ＝∠BAC＝×60°＝30°， 又由作图知，AP＝AQ， ∴∠APQ＝∠AQP＝＝75°. (1)已知两个三角形全等，其中一个三角形的三边长分别为6，8，10，另一个三角形的三边长分别为6，2m－2，n＋1，求m，n的值； (2)已知等腰三角形的周长为16，其中一边为5，求腰和底边的长. 【答案】 解　(1)当2m－2与8，n＋1与10分别是对应边时，则2m－2＝8，n＋1＝10， ∴m＝5，n＝9； 当2m－2与10，n＋1与8分别是对应边时，则2m－2＝10，n＋1＝8， ∴m＝6，n＝7， 综上，m＝5，n＝9或m＝6，n＝7. (2)当腰长为5时，则另一腰长也为5，此时底边长为16－5－5＝6， 即腰长为5，底边长为6； 当底边长为5时，则腰长为×(16－5)＝5.5， 即腰长为5.5，底边长为5， 综上，腰长为5，底边长为6或腰长为5.5，底边长为5. 【题型7】等腰三角形及其性质的综合应用 【典型例题】如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，则下列四个结论中，正确的个数是（　　） （1）AD上任意一点到C、B的距离相等； （2）AD上任意一点到AB、AC的距离相等； （3）BD=CD，AD⊥BC； （4）∠BDE=∠CDF． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】∵AD平分∠BAC，AB=AC，AD三线合一，∴AD上任意一点到C、B的距离相等；（垂直平分线的上任意一点到线段两端的距离相等）因此（1）正确．∵AB=AC，且AD平分顶角∠BAC，∴AD是BC的垂直平分线；（等腰三角形三线合一）因此（2）（3）正确．∵AB=AC，∴∠B=∠C；∵∠BED=∠DFC=90°，∴∠BDE=∠CDF；因此（4）正确．故选D． 【举一反三1】玉树地震后，青海省某乡镇中学的同学用下面的方法检测教室的房梁是否水平：如下图，在等腰直角三角尺斜边中点栓一条细绳，细绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，结果绳子经过三角尺的直角顶点，于是同学们确信放量是水平的，其理由是（　　） A. 等腰三角形两腰等分 B. 等腰三角形两底角相等 C. 三角形具有稳定性 D. 等腰三角形的底边中线和底边上的高重合 【答案】D 【解析】∵△ABC是个等腰三角形，∴AC=BC，∵点O是AB的中点，∴AO=BO，∴OC⊥AB．等腰三角形的底边上的中线、底边上的高重合，故选D． 【举一反三2】△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，以下结论：（1）AD⊥BC；（2）∠B=∠C；（3）AD平分∠BAC，其中正确的有（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】∵D为BC的中点，∴DB=DC，∵AB=AC，DB=DC，∴AD⊥BC；∠B=∠C，AD平分∠BAC，∴（1）、（2）、（3）正确．故选D． 【举一反三3】如图，△ABC中，D点在BC上，现有下列四个命题： ①若AB=AC，则∠B=∠C； ②若AB=AC，∠1=∠2，则AD⊥BC，BD=DC； ③若AB=AC，BD=CD，则AD⊥BC，∠1=∠2； ④若AB=AC，AD⊥BC，则BD=BC，∠1=∠2． 其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】①若AB=AC，则∠B=∠C，所以①正确； ②若AB=AC，∠1=∠2，即AD为顶角的平分线，则AD⊥BC，BD=DC，所以②正确； ③若AB=AC，BD=DC，即AD为底边上的中线，则AD⊥BC，∠1=∠2，所以③正确； ④若AB=AC，AD⊥BC，即AD为底边上的高，则BD=DC，∠1=∠2，所以④正确． 故选D． 【举一反三4】△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，以下结论：（1）AD⊥BC；（2）∠B=∠C；（3）AD平分∠BAC，其中正确的有（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】∵D为BC的中点，∴DB=DC，∵AB=AC，DB=DC，∴AD⊥BC；∠B=∠C，AD平分∠BAC，∴（1）、（2）、（3）正确．故选D． 【举一反三5】如图，已知∠MCN，点B是射线CM上一点，求作等腰三角形ABC，使得BC为等腰三角形的底边，点A在∠MCN内部，且点A到∠MCN两边的距离相等.(尺规作图) 【答案】解　如图，△ABC即为所求作的等腰三角形. 点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE. (1)如图1，求证：BD＝CE； (2)如图2，当AD＝CD时，过点C作CM⊥AD于点M，如果DM＝2，求CD－BD的值. 【答案】 (1)证明　如图，过A作AH⊥BC于点H， ∵AB＝AC，AH⊥BC， ∴BH＝CH， ∵AD＝AE， ∴DH＝EH， ∴BD＝CE. (2)解　过A作AH⊥BC于点H， 在△AHD和△CMD中， ∴△AHD△CMD(AAS)， ∴DH＝DM， ∴CD－BD＝(CH＋DH)－(BH－DH)＝2DH＝2DM＝4. 【题型8】用等角对等边判定等腰三角形 【典型例题】如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝3，则AC的长为（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 【解析】在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝3， ∴AC＝AB＝3． 故选：B． 【举一反三1】在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是（　　） A. ∠A=40°，∠B=50° B. ∠A=40°，∠B=60° C. ∠A=20°，∠B=80° D. ∠A=40°，∠B=80° 【答案】C 【解析】当顶角为∠A=40°时，∠C=70°≠50°，当顶角为∠B=50°时，∠C=65°≠40°.所以A选项错误．当顶角为∠B=60°时，∠A=60°≠40°，当∠A=40°时，∠B=70°≠60°，所以B选项错误．当顶角为∠A=40°时，∠C=70°=∠B，所以C选项正确．当顶角为∠A=40°时，∠B=70°≠80°，当顶角为∠B=80°时，∠A=50°≠40°.所以D选项错误．故选C． 【举一反三2】如图，∠BAC=100°，∠B=40°，∠D=20°，AB=3，则CD=_________. 【答案】3 【解析】∠ACB=180°-∠BAC-∠B=40°，∠CAD=∠ACB-∠D=20°，所以∠ACB=∠B=40°，∠CAD=∠D=20°，所以CD=AC，AC=AB，故CD=AB=3. 【举一反三3】在△ABC中，∠A＝80°，当∠B＝　           　时，△ABC是等腰三角形． 【答案】80°、50°、20°． 【解析】∵∠A＝80°， ∴①当∠B＝80°时，△ABC是等腰三角形； ②当∠B＝（180°﹣80°）÷2＝50°时，△ABC是等腰三角形； ③当∠B＝180°﹣80°×2＝20°时，△ABC是等腰三角形； 故答案为：80°、50°、20°． 【举一反三4】如图，已知∠B＝∠C，AB∥DE，DE交BC于点E．求证：△DEC是等腰三角形． 【答案】证明：∵AB∥DE， ∴∠DEC＝∠B， ∵∠B＝∠C， ∴∠DEC＝∠C， ∴△DEC是等腰三角形． 【举一反三5】如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC=∠ADC.求证：AC平分∠BAD. 【答案】证明　连接BD，如图， ∵AB=AD， ∴∠ABD=∠ADB， 又∵∠ABC=∠ADC， ∴∠CBD=∠ABC-∠ABD，∠CDB=∠ADC-∠ADB， ∴∠CBD=∠CDB， ∴BC=DC， 在△ABC与△ADC中， ∴△ABC△ADC(SAS)， ∴∠BAC=∠DAC. ∴AC平分∠BAD. 【题型9】等角对等边与三角形内角和定理 【典型例题】在△ABC中，∠A、∠B、∠C对应的边分别为a、b、c，给出以下条件，不能判定其是等腰三角形的是（　　） A. ∠A：∠B：∠C=1：1：3 B. a：b：c=2：2：1 C. ∠B=50°，∠C=80° D. 2∠A=∠B+∠C 【答案】D 【解析】A.∠A：∠B：∠C=1：1：3，∴∠A=∠B，故A是等腰三角形； B.a：b：c=2：2：1，∴a=b，故B是等腰三角形； C.∠B=50°，∠C=80°，∴∠A=∠B=50°，故C是等腰三角形； D.2∠A=∠B+∠C，∠A=60°，∠B+∠C=120°，故D不是等腰三角形；故选：D． 【举一反三1】在△ABC中，∠ABC=30°，∠BAC=70°．过△ABC的定点画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　） A. 7条 B. 8条 C. 9条 D. 10条 【答案】A 【解析】如图： ∴最多画7条，故选：A． 【举一反三2】在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是（　　） A. ∠A=40°，∠B=50° B. ∠A=40°，∠B=60° C. ∠A=20°，∠B=80° D. ∠A=40°，∠B=80° 【答案】C 【解析】当顶角为∠A=40°时，∠C=70°≠50°，当顶角为∠B=50°时，∠C=65°≠40°.所以A选项错误．当顶角为∠B=60°时，∠A=60°≠40°，当∠A=40°时，∠B=70°≠60°，所以B选项错误．当顶角为∠A=40°时，∠C=70°=∠B，所以C选项正确．当顶角为∠A=40°时，∠B=70°≠80°，当顶角为∠B=80°时，∠A=50°≠40°.所以D选项错误．故选C． 【举一反三3】如图，∠A=36°，∠ADB=108°，则图中共有等腰三角形（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】∵∠A=36°，∠ADB=108°，∴∠ABD=36°，∴AD=BD，即△ABD是等腰三角形．而△ABC及△BDC无法证明是等腰三角形．故选A． 如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝9 cm，点D在AC上，CD＝4 cm，将线段CD沿CB方向平移5 cm得到线段EF，点E，F分别落在AB，BC上，则△EBF的周长为　　　　　cm. 【答案】 12 【解析】 ∵将CD沿CB的方向平移5 cm得到线段EF， ∴EF＝DC＝4 cm，FC＝5 cm，EF∥CD， ∴∠C＝∠BFE， ∵AB＝AC，BC＝9 cm， ∴∠B＝∠C，BF＝9－5＝4(cm)， ∴∠B＝∠BFE， ∴BE＝EF＝4 cm， ∴△EBF的周长为4＋4＋4＝12(cm). 【举一反三5】如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠B=50°，D为BC的中点，点E在AB上，∠AED=70°，若点P是等腰三角形ABC的腰上的一点，则当△DEP是以∠EDP为顶角的等腰三角形时，∠EDP的度数是　　　　　　.  【答案】40°或100°或140° 【解析】∵AB=AC，∠B=50°，∠AED=70°， ∴∠EDB=20°， ∵△DEP是以∠EDP为顶角的等腰三角形， ∴DP=DE， ①如图，当点P在AB上时，记为P1， ∵DE=DP1， ∴∠DP1E=∠AED=70°， ∴∠EDP1=180°-70°-70°=40°； ②当点P在AC上时，有两个点P2，P3符合条件， ∵AB=AC，D为BC的中点， ∴∠BAD=∠CAD， 过D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H， ∴DG=DH， 在Rt△DEG与Rt△DP2H中， ∴Rt△DEGRt△DP2H(HL)， ∴∠AP2D=∠AED=70°， ∵∠BAC=180°-50°-50°=80°， ∴∠EDP2=140°， 同理证得Rt△DEGRt△DP3H(HL)， ∴∠EDG=∠P3DH， ∴∠EDP3=∠GDH=100°. 如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝9 cm，点D在AC上，CD＝4 cm，将线段CD沿CB方向平移5 cm得到线段EF，点E，F分别落在AB，BC上，则△EBF的周长为　　　　　cm. 【答案】 12 【解析】 ∵将CD沿CB的方向平移5 cm得到线段EF， ∴EF＝DC＝4 cm，FC＝5 cm，EF∥CD， ∴∠C＝∠BFE， ∵AB＝AC，BC＝9 cm， ∴∠B＝∠C，BF＝9－5＝4(cm)， ∴∠B＝∠BFE， ∴BE＝EF＝4 cm， ∴△EBF的周长为4＋4＋4＝12(cm). 【举一反三7】如果一个三角形有两个角分别为80°，50°，则这个三角形是___________三角形． 【答案】等腰 【解析】三角形有两个角分别为80°，50°，那么第三个角为180°-80°-50°=50°，所以有两个角相等，这个三角形是等腰三角形. 【题型10】等角对等边与三角形的外角 【典型例题】在△ABC中，∠A的相邻外角是70°，要使△ABC为等腰三角形，则∠B为（　　） A. 70° B. 35° C. 110°或35° D. 110° 【答案】B 【解析】∵∠A的相邻外角是70°，∴∠A=180°﹣70°=110°，∴当∠B=12（180°﹣110°）=35°时，△ABC为等腰三角形．故选B． 【举一反三1】如图，∠ADE=∠AED=2∠B=2∠C，则图中共有等腰三角形个数为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】∵∠ADE=∠AED，∴AD=AE，∴△ADE是等腰三角形，∵∠ADE=2∠B，∴∠B=∠BAD，∴AD=BD，∴△ABD是等腰三角形，∵∠AED=2∠C，∴∠C=∠EAC，∴AE=EC，∴△AEC是等腰三角形，∵∠B=∠C，∴△ABC是等腰三角形．故选C． 【举一反三2】如图所示，共有等腰三角形（　　） A. 4个 B. 5个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】根据三角形的内角和定理，得：∠ABO=∠DCO=36°，根据三角形的外角的性质，得∠AOB=∠COD=72°．再根据等角对等边，得等腰三角形有△AOB，△COD，△ABC，△CBD和△BOC．故选B． 【举一反三3】如图，在△ABC中，∠BAC：∠B：∠C=3：1：1，AD，AE将∠BAC三等分，则图中等腰三角形的个数是　            　． 【答案】6 【解析】∵∠BAC：∠B：∠C=3：1：1，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴∠BAC=120°，∠B=30°，∠C=30°，∵AD，AE将∠BAC三等分，∴∠BAD=∠DAE=∠EAC=30°，∴∠ADE=∠AED=∠BAE=∠CAD=60°，∴AD=BD，AD=AE，AE=CE，AB=AC，AB=BE，AC=CD，∴△ABD，△ADE，△AEC，△ABC，△ABE，△ACD是等腰三角形，∴图中等腰三角形的个数是6，故答案为：6． 【举一反三4】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于E，CD平分∠ACB交BE于D，图中有 　　个等腰三角形． 【答案】5． 【解析】∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣∠A）（180°﹣36°）＝72°， ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB， ∴∠ABE＝∠CBE＝36°，∠BCD＝∠ECD＝36°， ∴∠CDE＝∠CBE+∠BCD＝72°，∠CED＝∠A+∠ABE＝72°， ①∵AB＝AC， ∴△ABC为等腰三角形； ②∵∠A＝∠ABE＝36°， ∴△ABE为等腰三角形； ③∵∠BCD＝∠CBE＝36°， ∴△BCD为等腰三角形； ④∵∠ACB＝∠CED＝72°， ∴△BCE为等腰三角形； ⑤∵∠CDE＝∠CED＝72°， ∴△CDE为等腰三角形， 综上所述：图中共有5个等腰三角形． 故答案为：5． 【举一反三5】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的角平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形． 【答案】证明 ∵在△ABC中，∠ACB=90°，∴∠B+∠BAC=90°，∵CD是AB边上的高，∴∠ACD+∠BAC=90°，∴∠B=∠ACD，∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE=∠EAC，∴∠B+∠BAE=∠ACD+∠EAC，即∠CEF=∠CFE，∴CE=CF，∴△CEF是等腰三角形． 【举一反三6】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC交AD于点F，交AC于点E．求证：△AEF为等腰三角形． 【答案】证明：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC， ∴∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠C＝90°， ∴∠BAD＝∠C， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBE， ∵∠AFE＝∠ABF+∠BAD，∠AEF＝∠CBE+∠C， ∴∠AFE＝∠AEF， ∴AF＝AE， 即△AEF为等腰三角形． 【题型11】角平分线+平行线等腰必呈现 【典型例题】如图，∠A＝36°，∠C＝72°，BE为∠ABC的平分线，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数有（　　） A.6个 B.5个 C.4个 D.3个 【答案】B 【解析】∵在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°， ∴∠ABC＝72°， ①∴∠ABC＝∠C， ∴AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形； ②∵AB＝AC，DE∥BC， ∴AD＝AE， ∴△ADE是等腰三角形； ③∵BE为∠ABC的平分线， ∴∠ABE∠ABC＝36°， ∴∠A＝∠ABE＝36°， ∴AE＝BE， ∴△ABE为等腰三角形； ④∵∠ABC＝72°，BE为∠ABC的平分线，DE∥BC， ∠EBC＝∠EBD＝∠DEB＝36°， ∴DB＝DE， ∴△DBE是等腰三角形； ⑤∵∠C＝72°，∠EBC＝36°， ∴∠CEB＝72°， ∴∠C＝∠CEB， ∴BC＝BE， ∴△BCE为等腰三角形． 综上所述，图中的等腰三角形有5个； 故选：B． 【举一反三1】在△ABC中，∠ABC=∠C=2∠A，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数是（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】∵∠ABC=∠C=2∠A，∴AB=AC，∴△ABC为等腰三角形，∵∠ABC+∠C+∠A=180°，∴2∠A+2∠A+∠A=180°，∴∠A=36°，∵DE∥BC，∴∠AED=∠ABC=∠ADE=∠C=72°，∠EDB=∠DBC，∴AE=AD，∴△AED为等腰三角形，∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBC，∴∠EBD=∠DBC=∠EDB=∠A=36°，∴ED=BE，AD=BD，∴△ADB、△EBD为等腰三角形，∴∠BDC=180°﹣∠C﹣∠DBC=72°=∠C，∴△BCD为等腰三角形，∴等腰三角形共有5个，故选A． 【举一反三2】如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N，若AB+AC=7 cm，则△AMN的周长为　　　　　cm.  【答案】7 【解析】∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点E， ∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB， ∵MN∥BC， ∴∠MEB=∠EBC，∠NEC=∠ECB， ∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠NCE， ∴MB=ME，NE=NC， ∴△AMN的周长=AM+ME+NE+AN=AM+MB+NC+AN=AB+AC=7(cm). 【举一反三3】如图，直线AB∥CD，∠ACD的平分线CE交AB于点F，∠AFE的平分线交CA的延长线于点G． （1）求证：△ACF是等腰三角形； （2）若∠FCD＝30°，求∠G的大小． 【答案】（1）证明：∵∠ACD的平分线CE交AB于点F， ∴∠ACF＝∠DCF， ∵AB∥CD， ∴∠AFC＝∠DCF， ∴∠ACF＝∠AFC， ∴AC＝AF， ∴△ACF是等腰三角形． （2）解：∵AB∥CD， ∴∠AFC＝∠FCD＝30°， ∴∠AFE＝180°﹣∠AFC＝150°， ∵FG平分∠AFE， ∴∠AFG∠AFE＝75°， ∴∠CFG＝∠AFC+∠AFG＝105°， ∵∠ACF＝∠DCF＝30°， ∴∠G＝180°﹣∠ACF﹣∠CFG＝45°． 【举一反三4】如图，已知AB∥CD，CE平分∠ACD．求证：△ACE是等腰三角形． 【答案】解 ∵AB∥CD，∴∠AEC=∠ECD，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠ECD，∴∠AEC=∠ECA，∴AC=AE，∴△ACE是等腰三角形. 【题型12】等腰三角形的性质与判定 【典型例题】如图，AC，BD相交于点O，∠A=∠D，如果请你再补充一个条件，使得△BOC是等腰三角形，那么你补充的条件不能是（　　） A. OA=OD B. AB=CD C. ∠ABO=∠DCO D. ∠ABC=∠DCB 【答案】C 【解析】A.补充AO=DO，可利用ASA证明△AOB≌△DOC，根据全等三角形的性质可得BO=CO，进而证明出△BOC是等腰三角形； B.补充AB=CD，可利用AAS证明△AOB≌△DOC，根据全等三角形的性质可得BO=CO，进而证明出△BOC是等腰三角形； C.补充∠ABO=∠DCO，不能证明△AOB≌△DOC，进而不能证明出△BOC是等腰三角形； D.补充∠ABC=∠DCB，可利用AAS证明△ABC≌△DCB，根据全等三角形的性质可得∠OCB=∠OBC，进而证明出△BOC是等腰三角形， 故选：C． 【举一反三1】如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF=CF．其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①②③④ C. ①② D. ① 【答案】A 【解析】因为BF平分∠ABC，CF平分∠ACB， DE∥BC，所以∠CBF=∠DBF=∠DFB, ∠BCF=∠FCE=∠EFC, 所以△BDF和△CEF都是等腰三角形，DE=DF+FE=BD+CE，△ADE的周长为AD+AE+DE= AD+AE+DF+EF= AD+AE+DB+EC=AB+AC；故①，②，③正确，选A. 【举一反三2】如图，已知等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，连接OP，OC，PC，OP=OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO=30°；②∠APO=∠DCO；③△OPC是等边三角形.其中所有正确结论的序号是　　　.  【答案】①③ 【解析】①如图1，连接OB， ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BD=CD，∠BAD=∠BAC=×120°=60°， ∴OB=OC，∠ABC=90°-∠BAD=30°， ∵OP=OC， ∴OB=OC=OP， ∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO， ∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°，故①正确； ②由①知，∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO， ∵点O是线段AD上一点， ∴∠ABO与∠DBO不一定相等，则∠APO与∠DCO不一定相等，故②不正确； ③∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°， ∴∠APC+∠DCP=150°， ∵∠APO+∠DCO=30°， ∴∠OPC+∠OCP=120°， ∴∠POC=180°-=60°， ∵OP=OC， ∴△OPC是等边三角形，故③正确. 【举一反三3】如图，已知∠AOD=28°，点C是射线OD上的一个动点，在点C的运动过程中，△AOC恰好是等腰三角形，则此时∠A所有可能的度数为　　　.  【答案】124°或28°或76° 【解析】当∠ACO=∠AOC=28°时，△AOC是等腰三角形， ∴∠A=180°-2×28°=124°； 当∠A=∠AOC=28°时，△AOC是等腰三角形， ∴∠A=28°； 当∠A=∠OCA时，△AOC是等腰三角形， ∴∠A=×(180°-28°)=76°， 综上所述，当△AOC是等腰三角形时，∠A为124°或28°或76°. 【举一反三4】已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC．证明：△ABC是等腰三角形． 【答案】证明 ∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB， ∵锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O， ∴∠BEC=∠BDC=90°， 又∵∠BOE=∠COD， ∴90°-∠BOE=90°-∠COD，即∠EBO=∠DCO， ∴∠EBO+∠OBC =∠DCO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB， ∴AB=AC， ∴△ABC是等腰三角形． 【题型13】等边三角形的三条边相等 【典型例题】已知等边△ABC的边长是6，则它的周长是（　　） A.6 B.12 C.18 D.3 【答案】C 【解析】∵等边△ABC的边长是6， ∴它的周长是6×3＝18． 故选：C． 【举一反三1】边长是整数，周长不大于12的等边三角形的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】设边长为x，周长为3x，则3x≤12，∴x≤4∵小于等于4的整数有1，2，3，4共四个∴选D． 如图，在正方形ABCD外侧作等边△ADE，则∠CBE为(　　) A.55°   B.60° C.75°   D.80° 【答案】C 【解析】 ∵在正方形ABCD外侧，作等边△ADE， ∴∠ABC＝∠BAD＝90°，∠DAE＝60°，AB＝AD＝AE， ∴∠BAE＝∠BAD＋∠DAE＝90°＋60°＝150°， ∴∠ABE＝∠AEB＝(180°－∠BAE)＝×(180°－150°)＝15°， ∴∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝90°－15°＝75°. 【举一反三3】已知等边△ABC的边长是6，则它的周长是（　　） A.6 B.12 C.18 D.3 【答案】C 【解析】∵等边△ABC的边长是6， ∴它的周长是6×3＝18． 故选：C． 【举一反三4】边长是整数，周长不大于12的等边三角形的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】设边长为x，周长为3x，则3x≤12，∴x≤4∵小于等于4的整数有1，2，3，4共四个∴选D． 【举一反三5】如图，等边三角形ABC的边长如图所示，那么y＝　 　． 【答案】3． 【解析】∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC， ∴， 解得． 那么y＝3， 故答案为：3． 【举一反三6】在△ABC中，AB=AC=1 cm，当BC=　　　cm时，△ABC是等边三角形.  【答案】1 【解析】当AB=AC=BC=1 cm时，△ABC为等边三角形. 【举一反三7】等边三角形边长为1cm，则它周长为　            　cm． 【答案】3 【解析】因为等边三角形的三边相等，所以周长为1×3=3．故答案为：3． 【题型14】等边三角形的三个角都等于60° 如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE＝21°，则∠ACD的度数是(　　) A.45°   B.39°   C.29°   D.21° 【答案】B 【解析】 ∵l∥m， ∴∠EBC＋∠DCB＝180°， 即∠EBA＋∠ABC＋∠ACB＋∠ACD＝180°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， 又∵∠ABE＝21°， ∴21°＋60°＋60°＋∠ACD＝180°， ∴∠ACD＝39°. 【举一反三1】如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD的度数为(　　) A.60° B.50° C.40° D.30° 【答案】D 【解析】∵三角形ABC为等边三角形， ∴∠BAC=60°， ∵AD⊥BC于点D， ∴∠BAD=∠BAC=30°. 【举一反三2】如图，△ABC为等边三角形，∠2＝∠3，则∠BEC的度数是 　    　． 【答案】120°． 【解析】∵△ABC为等边三角形， ∴∠BCA＝60°， 又∵∠2＝∠3， ∴∠BCE＝∠BCA﹣∠3＝60°﹣∠2， ∴∠2+∠BCE＝∠2+60°﹣∠2＝60°， ∴∠BEC＝180°﹣（∠2+∠BCE）＝180°﹣60°＝120°． 故答案为：120° 【举一反三3】如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D在同一条直线上，CD=CE，求∠CED的度数. 【答案】解　∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°， ∵CD=CE， ∴∠CED=∠D， ∵∠ACB=∠CED+∠D， ∴∠CED=30°. 【举一反三4】如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，F在同一条直线上，CD＝CE，DF＝DG，求∠F的度数． 【答案】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∵CD＝CE， ∴∠CDE＝∠CED， ∵∠ACB＝∠CDE+∠CED＝2∠CDE＝60°， ∴∠CDE＝30°， ∵DF＝DG， ∴∠DFG＝∠DGF， ∵∠CDE＝∠DFG+∠DGF＝2∠F＝30°， ∴∠F＝15°． 【题型15】等边三角形中的三线合一 【典型例题】如图，在正△ABC中，D为BC中点，则∠BAD的度数为（　　） A. 30° B. 60° C. 50° D. 45° 【答案】A 【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，∵D为BC的中点，∴AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=12∠BAC=12×60°=30°．故选A． 【举一反三1】等边三角形ABC的两条角平分线BD和CE相交所夹锐角的度数为（　　） A. 75° B. 60° C. 45° D. 30° 【答案】B 【解析】如图，∵等边三角形ABC中，AD，BE分别是∠BAC，∠ABC的角的平分线，交于点F，∴∠1=∠2=12∠ABC=30°，∴∠3=∠1+∠2=60°，故选B． 【举一反三2】如图，等边△ABC的边长为2，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E=30°，则CE的长为 (　　) A.3 B.2 C.1 D.0.5 【答案】C 【解析】∵等边△ABC的边长为2，BD平分∠ABC， ∴∠ACB=60°，DC=AD=1， ∵∠E=30°， ∴∠EDC=∠ACB-∠E=60°-30°=30°=∠E， ∴CE=CD=1. 【举一反三3】如图所示，在等边△ABC中，AD⊥BC，BD=3，则∠1的度数为　        　，AB=　       　． 【答案】30° 6 【解析】∵△ABC为等边三角形，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD=30°，∴BD=CD=3，∴AB=6．故答案为30°，6． 【举一反三4】如图，△ABC是等边三角形，AC＝4，AD⊥BC于点D，则BD＝　 　． 【答案】2． 【解析】∵△ABC是等边三角形， ∴BC＝AC＝4， ∵AD⊥BC于点D， ∴BDBC＝2． 故答案为：2． 【举一反三5】如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到点E，使得CE＝CD.求证：BD＝DE. 【答案】证明 ∵△ABC是等边三角形，BD是角平分线， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝30°. 又CE＝CD， ∴∠CDE＝∠CED. 又∠BCD＝∠CDE＋∠CED， ∴∠CDE＝∠CED＝30°. ∴∠DBC＝∠DEC. ∴BD＝DE(等角对等边)． 【举一反三6】 如图：△ABC和△ADE是等边三角形，AD是BC边上的中线．求证：BE=BD． 【答案】证明 ∵△ABC和△ADE是等边三角形，AD为BC边上的中线，∴AE=AD，AD为∠BAC的角平分线，即∠CAD=∠BAD=30°，∴∠BAE=∠BAD=30°，在△ABE和△ABD中，AE=AD，∠BAE=∠BAD，AB=AB∴△ABE≌△ABD（SAS），∴BE=BD． 【题型16】等边三角形性质与平行线性质 【典型例题】已知：如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20°，则∠α的度数为（　　） A.60° B.45° C.40° D.30° 【答案】C 【解析】过C作CE∥直线m，∵l∥m，∴l∥m∥CE，∴∠ACE=∠α，∠BCE=∠CBF=20°，∵等边△ABC，∴∠ACB=60°，∴∠α+∠CBF=∠ACB=60°，∴∠α=40°．故选C． 【举一反三1】如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3、…在射线ON上，点B1、B2、B3、…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A9B9A10的边长为（　　） A.32 B.64 C.128 D.256 【答案】D 【解析】∵△A1B1A2是等边三角形， ∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°， ∴∠2＝120°， ∵∠MON＝30°， ∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°， 又∵∠3＝60°， ∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°， ∵∠MON＝∠1＝30°， ∴OA1＝A1B1＝1， ∴A2B1＝1， ∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形， ∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°， ∵∠4＝∠12＝60°， ∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3， ∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°， ∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3， ∴A3B3＝4B1A2＝4， A4B4＝8B1A2＝8， A5B5＝16B1A2＝16， … ∴△AnBnAn+1的边长为 2n﹣1， ∴△A9B9A10的边长为29﹣1＝28＝256． 故选：D． 【举一反三2】如图，△ABC为等边三角形，AP∥CQ．若∠BAP＝20°，则∠1＝（　　） A.80° B.40° C.60° D.70° 【答案】B 【解析】过点B作BD∥AP，如图所示： ∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝60°， ∵BD∥AP，AP∥CQ， ∴AP∥BD∥CQ， ∴∠BAP＝∠ABD，∠DBC＝∠1， ∵∠BAP＝20° ∴∠ABD＝20°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝60°﹣20°＝40°， ∴∠1＝40°， 故选：B． 【举一反三3】如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α=40°，则∠β等于　            ． 【答案】20° 【解析】过点A作AD∥l1，如图，则∠BAD=∠β．∵l1∥l2，∴AD∥l2，∵∠DAC=∠α=40°．∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，∴∠β=∠BAD=∠BAC﹣∠DAC=60°﹣40°=20°．故答案为20°． 【举一反三4】已知：如图等边三角形ABC中，D是AC中点，过C作CE∥AB，且AE⊥CE，求证：BD=AE． 【答案】证明 ∵等边三角形ABC中，D是AC中点，∴AB=CA，BD是等边三角形ABC的高，∵AE⊥CE，∴∠ADB=∠B，∵CE∥AB，∴∠BAD=∠ACE，在△BAD与△ACE中，∵ ∠ADB=∠E，∠BAD=∠ACE，AB=CA∴△BAD≌△ACE（AAS），∴BD=AE． 【举一反三5】已知：如图，等边三角形ABC中，D为AC边的中点，过C作CE∥AB，且AE⊥CE，那么∠CAE=∠ABD吗？请说明理由． 【答案】解 ∠CAE=∠ABD， 理由如下：∵△ABC为等边三角形，D为AC边上的中点， ∴AC=BA，∠BAC=∠BCA=60°，BD⊥AC，∴∠BDA=90°， ∵AE⊥CE， ∴∠AEC=∠BDA=90°，又∵CE∥AB，∴∠ACE=∠BAD， ∴90°﹣∠ACE=90°﹣∠BAD，即∠CAE=∠ABD． 【题型17】等边三角形性质与垂直 【典型例题】如图，等边△ABC中，BD=CE，AD与BE交于P，AQ⊥BE，垂足为Q，PD=2，PQ=6，则BE的长为（　　） A. 14 B. 13 C. 12 D. 无法求出 【答案】A 【解析】∵AB=BC，∠ABD=∠C=60°，BD=CE，∴△ABD≌△BCE，∴BE=AD，∠APQ=∠ABP+∠PAB=∠ABP+∠CBE=∠ABC=60°，在Rt△APQ中，PQ=6，AP=2PQ=12，∴BE=AD=AP+PD=12+2=14．故选A． 【举一反三1】如图所示，△ABC为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则四个结论正确的是（ ） ①点P在∠A的平分线上； ②AS=AR； ③QP∥AR； ④△BRP≌△QSP． A. 全部正确 B. 仅①和②正确 C. 仅②③正确 D. 仅①和③正确 【答案】A 【解析】∵PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，∴∠ARP=∠ASP=90°，∵PR=PS，AP=AP，∴Rt△ARP≌Rt△ASP，∴AR=AS，故②正确，∠BAP=∠CAP，∴AP是等边三角形的顶角的平分线，故①正确；∴AP是BC边上的高和中线，即点P是BC的中点，∵AQ=PQ，∴点Q是AC的中点∴PQ是边AB对的中位线，∴PQ∥AB，故③正确；∵∠B=∠C=60°，∠BRP=∠CSP=90°，BP=CP∴△BRP≌△QSP，故④正确；∴全部正确．故选A． 【举一反三2】如图，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD．有下列四个结论：①∠PBC=15°；②AD∥BC；③直线PC与AB垂直；④四边形ABCD是轴对称图形．其中正确结论个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】∵△ABP≌△CDP，∴AB=CD，AP=DP，BP=CP．又∵△ABP与△CDP是两个等边三角形，∴∠PAB=∠PBA=∠APB=60°．①根据题意，∠BPC=360°﹣60°×2﹣90°=150°∵BP=PC，∴∠PBC=（180°﹣150°）÷2=15°，故本选项正确；②∵∠ABC=60°+15°=75°，∵AP=DP，∴∠DAP=45°，∵∠BAP=60°，∴∠BAD=∠BAP+∠DAP=60°+45°=105°，∴∠BAD+∠ABC=105°+75°=180°，∴AD∥BC；故本选项正确；③延长CP交于AB于点O．∠APO=180°﹣（∠APD+∠CPD）=180°﹣（90°+60°）=180°﹣150°=30°，∵∠PAB=60°，∴∠AOP=30°+60°=90°，故本选项正确；④根据题意可得四边形ABCD是轴对称图形，故本选项正确．综上所述，以上四个命题都正确．故选D． Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，作线段AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，DE＝1，则CD＝　　　　. 【答案】 1 【解析】 连接BD， ∵作线段AB的垂直平分线交AC于D， ∴BD＝AD. ∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠DBA＝∠A＝30°，∠ABC＝60°， ∴∠CBD＝30°. ∵DE＝1，DE⊥AB， ∴BD＝AD＝2DE＝2. ∵∠C＝90°， ∴CD＝BD＝1. 【举一反三4】如图，在等边△ABC中，点D为BC边上的点，DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F，则∠EDF的度数为__________． 【答案】60° 【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=60°．∵DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F，∴∠BDE=∠AFD=90°．∵∠AED是△BDE的外角，∴∠AED=∠B+∠BDE=60°+90°=150°，∴∠EDF=180°﹣∠A﹣∠AED﹣∠AFD=360°﹣60°﹣150°﹣90°=60°．故答案为：60°． 【举一反三5】如图，在等边△ABC中，点D，E分別在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF丄DE，交BC的延长线于点F．求∠F的度数． 【答案】解 ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=60°，∵DE∥AB， ∴∠EDC=∠B=60°，∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°， ∴∠F=90°﹣∠EDC=30°. 【题型18】等边三角形的性质综合 【典型例题】如图，在等边三角形ABC中，点P，Q分别是AC，BC上两点，且AP=CQ.连接AQ，BP，相交于点O.连接OC，若OC⊥BP，则AO∶BO的值是(　　) A.1∶3 B.2∶3 C.1∶2 D.2∶5 【答案】C 【解析】如图所示，过点B作BD⊥AQ， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC，∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°， 在△ABP和△CAQ中， ∴△ABP≌△CAQ(SAS)， ∴∠ABP=∠CAQ， 又∵∠BAQ+∠CAQ=∠ABP+∠PBC=60°， ∴∠BAQ=∠PBC， 在△ABD和△BCO中， ∴△ABD≌△BCO(AAS)， ∴AD=BO， ∵∠BAQ+∠CAQ=60°， ∴∠BAQ+∠CAQ=∠BAQ+∠ABP=∠BOQ=60°， 在Rt△BOD中，∠BOD=60°，∠ODB=90°， ∴∠OBD=30°， ∴BO=2OD， ∴AD=2OD， ∴AO=DO， ∴点O为AD的中点， ∴AO∶AD=1∶2， ∴AO∶BO=1∶2. 【举一反三1】如图，△ABC和△CDE均为等边三角形，∠EBD=62°，则∠AEB的度数为（　　） A. 112° B. 122° C. 132° D. 128° 【答案】B 【解析】∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，又∵∠ACB=∠ACE+∠BCE，∠ECD=∠BCE+∠BCD，∴∠BCD=∠ACE，△ACE≌△BCD，∴∠DBC=∠CAE，即62°﹣∠EBC=60°﹣∠BAE，即62°﹣（60°﹣∠ABE）=60°﹣∠BAE，∴∠ABE+∠BAE=60°+60°﹣62°=58°，∴∠AEB=180°﹣（∠ABE+∠BAE）=180°﹣58°=122°．故选B． 【举一反三2】如图，已知等边△AEB和等边△BDC在线段AC同侧，则下面错误的是（　　） A. △ABD≌△EBC B. △NBC≌△MBD C. DM=DC D. ∠ABD=∠EBC 【答案】C 【解析】A.可以利用SAS验证，正确； B.可以利用AAS验证，正确； C.可证∠MBN=60°，若DM=DC=DB，则△DMB为等边三角形，即∠BDM=60°，∵∠EAB=∠DBC，∴AE∥BD．∴∠BDM=∠EAD=60°．与已知不符，错误； D.可由∠ABE，∠DBC同加一个∠DBE得到，正确．所以错误的是第三个．故选C． 如图，△ABC是等边三角形，AB＝8，点E是AB边上的一点，且AE＝AB，点D是直线BC上一动点，连接DE，以DE为腰作等腰△EDF，且使∠DEF＝90°，连接AF，则AF的最小值为　　　　　　. 【答案】 1＋3 【解析】 如图，过点E作EG⊥BC于点G，过点A作AP⊥EG于点P，过点F作FH⊥EG于点H， 则∠DGE＝∠EHF＝90°， ∵∠DEF＝90°， ∴∠EDG＋∠DEG＝90°＝∠FEH＋∠DEG， ∴∠EDG＝∠FEH， 又∵EF＝DE， ∴△DEG△EFH(AAS)， ∴HF＝EG， ∵△ABC是等边三角形，AB＝8，AE＝AB， ∴AE＝2，BE＝6，∠AEP＝∠BEG＝30°， ∵在含有30°的直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半， ∴BG＝BE＝3，AP＝AE＝1， 在Rt△BEG中， EG＝＝3， ∴FH＝EG＝3， ∴当点D运动时，点F与直线GH的距离始终为3， ∴当AF⊥EG时，AF的最小值为AP＋HF＝1＋3. 【举一反三4】下列图案是由同样的等边三角形按一定规律拼接而成，依此规律，第5个图案中的三角形与第1个图案中的三角形能够全等的共有　            　个． 【答案】25 【解析】第2个中有4个全等的小等边三角形，即有22个全等的小等边三角形，第3个中有9个全等的小等边三角形，即有32个全等的小等边三角形，则第4个中应有42个全等的小等边三角形，第5个中应有52个全等的小等边三角形，所以第5个图案中的全等的小等边三角形的个数为25个．故答案为25． 【举一反三5】如图所示，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA、PB、PC，以BP为一边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ． （1）试观察并猜想AP与CQ的大小关系； （2）证明你在（1）中的猜想． 【答案】（1）解  猜想：AP=CQ. （2）证明  ∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°． ∴∠ABP=60°﹣∠PBC．又∵∠CBQ=∠PBQ﹣∠PBC=60°﹣∠PBC， ∴∠ABP=∠CBQ在△ABP和△CBQ中，BA=BC，∠ABP=∠CBQ，BP=BQ， ∴△ABP≌△CBQ（SAS）， ∴AP=CQ． 【举一反三6】如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，在△ABC外部分别作等边三角形ADB和等边三角形ACE．若∠DAE＝∠DBC，求△ABC三个内角的度数． 【答案】解：∵△ADB和△ACE都是等边三角形， ∴∠DAB＝∠CAE＝∠DBA＝60°， ∴∠DAE＝∠DAB+∠BAC+∠CAE ＝60°+∠BAC+60° ＝120°+∠BAC， ∠DBC＝∠DBA+∠ABC ＝60°+∠ABC， ∵∠DAE＝∠DBC， ∴120°+∠BAC＝60°+∠ABC， 即：∠ABC＝60°+∠BAC， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°+∠BAC， 设∠BAC＝x°， ∵∠BAC+2∠ABC＝180°， ∴x+2（x+60）＝180， 解得x＝20， ∴∠BAC＝20°， ∴∠ACB＝∠ABC＝60°+∠BAC＝60°+20°＝80°． ∴△ABC三个内角的度数分别为20°，80°，80°． 【题型19】用定义判定等边三角形 【典型例题】一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，则对这个三角形最准确的判断是（　　） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】∵一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，即三角形任意一边上的高与中线重合，∴这个三角形的三边都相等，∴这个三角形必为等边三角形．故选D． 【举一反三1】已知a，b，c是三角形的三边长，如果满足（a﹣b）2+b-8+|c2﹣64|=0，则三角形的形状是（　　） A. 底和腰不相等的等腰三角形 B. 等边三角形 C. 钝角三角形 D. 直角三角形 【答案】B 【解析】由（a﹣b）2+b-8+|c2﹣64|=0得：a﹣b=0，b﹣8=0，c2﹣64=0，又a，b，c是三角形的三边长，∴a=8，b=8，c=8，所以三角形的形状是等边三角形，故选：B． 【举一反三2】如图，用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交直角两边于A，B两点，若再以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，则△AOC的形状为　    　． 【答案】等边三角形 【解析】∵以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交直角两边于A，B两点， ∴OA＝OC， ∵以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C， ∴AC＝AO， ∴OC＝AC＝OA， ∴△AOC的形状是等边三角形， 故答案为：等边三角形． 【举一反三3】如图，AD∥BC，且DB平分∠ADC. 如果∠C：∠ADC=1：2，求证：△CDB是等边三角形． 【答案】证明：∵∠ADB=∠BDC， ∴∠BDC：∠ADC=1：2， ∵∠C：∠ADC=1：2， ∴∠BDC=∠C，∴BD=BC， 由（1）可知DC=BC，∴BD=BC=CD， ∴△CDB是等边三角形． 【举一反三4】如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BD于点D，E是AD延长线上的一点，且BC=BE，请判断△BCE的形状，并证明你的结论． 【答案】解 △BCE是等边三角形，理由如下：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC，∴AD为BC的垂直平分线，∴BE=EC，∵BC=BE，∴BC=CE=BE，∴△BCE是等边三角形． 【题型20】三个角都相等的三角形是等边三角形 【典型例题】在△ABC中，∠A+∠B=120°，∠C=∠A，则△ABC是（ ） A. 钝角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】∵∠A+∠B+∠C=180°，且∠A+∠B=120°，∴∠C=60°；而∠C=∠A，∴∠A=60°，△ABC是等边三角形．故选D． 【举一反三1】有一个外角是120°，另外两个外角相等的三角形（　　） A. 可以是顶角不为60°等腰三角形 B. 仅有等边三角形 C. 一角为60°的非等腰三角形 D. 不能确定 【答案】B 【解析】∵有一个外角是120°∴该角对应的角为60°又∵另外两个外角相等∴另外两个外角对应的内角也相等∵有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形∴该三角形一定为等边三角形．故选B． 【举一反三2】将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式摆放，若∠1＝60°，则△ABC是（　　） A.不等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 【答案】D 【解析】∵BC∥NM， ∴∠ACB＝∠1＝60°， ∵∠A＝60°， ∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝60°， ∴∠A＝∠ABC＝∠ACB， ∴△ABC是等边三角形． 故选：D． 【举一反三3】在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则△ABC是　  　三角形． 【答案】等边 【解析】在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C， 又∠A+∠B+∠C＝180°， 所以∠A＝∠B＝∠C＝60°， 即得△ABC为等边三角形． 故应填等边． 【举一反三4】如图，在△ABC中，D是AB上任意点，DE⊥AC点E，ED的延长线与CB的延长线交于点F，BD=BF，∠ABC=∠A，试判断△ABC的形状，并说明理由． 【答案】解 △ABC是等边三角形， 理由如下：∵DE⊥AC， ∴∠AED=∠CEF=90°，∴∠A+∠ADE=90°，∠C+∠F=90°， ∵BD=BF，∴∠BDF=∠F， ∵∠ADE=∠BDF，∴∠ADE=∠F， ∴∠A=∠C，又∵∠ABC=∠A， ∴∠ABC=∠A=∠C， ∴△ABC是等边三角形． 【题型21】有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 【典型例题】若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为60°，则这个三角形的形状是(　　) A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.上述三种情形都有可能 【答案】C 【解析】因为该三角形是轴对称图形， 则该三角形是等腰三角形，有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形. 【举一反三1】如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 3个以上 【答案】D 【解析】如图在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°． ∵OP平分∠AOB，∴∠EOP=∠POF=60°，∵OP=OE=OF，∴△OPE，△OPF是等边三角形，∴EP=OP，∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°，∴∠EPM=∠OPN，在△PEM和△PON中，∠PEM=∠PON，EP=OP，∠EPM=∠OPN，∴△PEM≌△PON．∴PM=PN，∵∠MPN=60°，∴△POM是等边三角形，∴只要∠MPN=60°，△PMN就是等边三角形，故这样的三角形有无数个．故选D． 【举一反三2】有一个内角为60°的等腰三角形，腰长为6cm，那么这个三角形的周长为_________cm． 【答案】18 【解析】根据等边三角形的判定：有一个角是60°的等腰三角形的三角形是等边三角形．再根据等边三角形的三边相等，得这个三角形的周长是6×3=18．故答案为18． 【举一反三3】如图，在等边△ABC的边BC上任取一点D，作∠ADE=60°，DE交∠C的外角平分线于E，则△ADE是　       　三角形． 【答案】等边 【解析】过D作AC的平行线交AB于P∴△BDP为等边三角形，BD=BP，∴AP=CD，∵∠BPD为△ADP的外角，∴∠ADP+∠DAP=∠BPD=60°而∠ADP+∠EDC=180°﹣∠BDP﹣∠ADE=60°∴∠ADP+∠DAP=∠ADP+∠EDC=60°∴∠DAP=∠EDC，在△ADP和△DEC中，∵∠DAP=∠EDC，AP=CD，∠APD=∠DCE∴△ADP≌△DEC（ASA），∴AD=DE∵∠ADE=60°∴△ADE是等边三角形．故答案为：等边． 【举一反三4】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AD，AC于点F，E，求证：△AEF是等边三角形． 【答案】证明：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC， ∴∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠C＝90°， ∴∠BAD＝∠C＝30°，∠CAD＝60°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBE， ∵∠AFE＝∠ABF+∠BAD，∠AEF＝∠CBE+∠C， ∴∠AFE＝∠AEF， ∴AF＝AE， ∵∠CAD＝60°， ∴△AEF为等边三角形． 【题型22】等边三角形判定的综合应用 【典型例题】在△ABC中，①若AB=BC=CA，则△ABC为等边三角形；②若∠A=∠B=∠C，则△ABC为等边三角形；③有两个角都是60°的三角形是等边三角形；④一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】①根据等边三角形的定义可得△ABC为等边三角形，结论正确；②根据判定定理1可得△ABC为等边三角形，结论正确；③一个三角形中有两个角都是60°时，根据三角形内角和定理可得第三个角也是60°，那么这个三角形的三个角都相等，根据判定定理1可得△ABC为等边三角形，结论正确；④根据判定定理2可得△ABC为等边三角形，结论正确．故选D． 【举一反三1】△ABC中，①若AB=BC=CA，则△ABC是等边三角形；②属于轴对称图形，且有一个角为60°的三角形是等边三角形；③有三条对称轴的三角形是等边三角形；④有两个角是60°的三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】①三边相等的三角形是等边三角形，正确；②属于轴对称图形，且有一个角为60°的三角形是等边三角形，正确；③有三条对称轴的三角形是等边三角形，正确；④有两个角是60°的三角形是等边三角形，正确；则正确的有4个．故选D． 【举一反三2】下列三角形： ①有两个角等于60°； ②有一个角等于60°的等腰三角形； ③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形； ④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形． 其中是等边三角形的有（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】①两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形，故正确；②这是等边三角形的判定2，故正确；③三个外角相等则三个内角相等，则其是等边三角形，故正确；④根据等边三角形三线合一性质，故正确．所以都正确．故选D． 【举一反三3】在△ABC中，①若AB=BC=CA，则△ABC为等边三角形；②若∠A=∠B=∠C，则△ABC为等边三角形；③有两个角都是60°的三角形是等边三角形；④一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】①根据等边三角形的定义可得△ABC为等边三角形，结论正确；②根据判定定理1可得△ABC为等边三角形，结论正确；③一个三角形中有两个角都是60°时，根据三角形内角和定理可得第三个角也是60°，那么这个三角形的三个角都相等，根据判定定理1可得△ABC为等边三角形，结论正确；④根据判定定理2可得△ABC为等边三角形，结论正确．故选D． 【举一反三4】下列推理错误的是（　　） A. 在△ABC中，∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC为等边三角形 B. 在△ABC中，∵AB=AC，且∠B=∠C，∴△ABC为等边三角形 C. 在△ABC中，∵∠A=60°，∠B=60°，∴△ABC为等边三角形 D. 在△ABC中，∵AB=AC，∠B=60°，∴△ABC为等边三角形 【答案】B 【解析】A.三角形的三个内角都相等，根据三角形内角和定理，那么三个内角的度数都是60°，因此三角形ABC是等边三角形； B.AB=AC，那么∠B=∠C，但是无法证明AB=AC=BC，因此三角形ABC是等腰三角形，而不一定是等边三角形； C.三角形中有两个角是60°，那么另外的一个一定是60°，三内角相等那么此三角形一定是等边三角形； D.AB=AC，那么∠B=∠C=60°，那么三角形的另一个内角也一定是60°，因此此三角形一定是等边三角形．故选B． 【举一反三5】下列三角形中： ①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形.其中是等边三角形的有　　　　　　.(填序号)  【答案】①②③④ 【解析】①已知三角形中有两个角等于60°，则该三角形的三个内角都相等，是等边三角形； ②已知等腰三角形中有一个角等于60°，则该三角形三个角都为60°，是等边三角形； ③已知三角形的三个角都相等，则该三角形是等边三角形； ④已知三角形的三边都相等，则该三角形是等边三角形. 综上，①②③④都是等边三角形. 【举一反三6】下列三角形：（1）有两个角等于60°；（2）有一个角等于60°的等腰三角形；（3）三个外角都相等的三角形；（4）一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形，其中是等边三角形的有　            　． 【答案】（1）（2）（3）（4） 【解析】（1）根据已知求出∠A=∠B=∠C，所以△ABC是等边三角形； （2）有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形； （3）由三个外角都相等，得出三角形的三个内角也相等，根据三角都相等的三角形是等边三角形；所以是等边三角形； （4）∵AD=DC，BD⊥AC，∴AB=BC， ∵AB=AC， ∴AB=AC=BC， ∴△ABC是等边三角形， 故答案为（1）（2）（3）（4）． 【举一反三7】在△ABC中，AB=AC，要使△ABC是等边三角形需要添加一个条件，这个条件可以是　            　（只需写一个） 【答案】∠A=60°或AB=BC（只需写一个） 【解析】∵在△ABC中，AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∴要使△ABC是等边三角形，只需添加AB、AC的夹角∠A=60°或AB=BC即可．故答案可以是：∠A=60°或AB=BC． 【举一反三8】下列三角形：（1）有两个角等于60°；（2）有一个角等于60°的等腰三角形；（3）三个外角都相等的三角形；（4）一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形，其中是等边三角形的有　            　． 【答案】（1）（2）（3）（4） 【解析】（1）根据已知求出∠A=∠B=∠C，所以△ABC是等边三角形； （2）有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形； （3）由三个外角都相等，得出三角形的三个内角也相等，根据三角都相等的三角形是等边三角形；所以是等边三角形； （4）∵AD=DC，BD⊥AC，∴AB=BC， ∵AB=AC， ∴AB=AC=BC， ∴△ABC是等边三角形， 故答案为（1）（2）（3）（4）． 【题型23】等边三角形的性质和判定 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，D为AB边的中点，连接CD，过点B作CD的平行线EF，则∠CBF的度数为(　　) A.60°   B.45°   C.30°   D.15° 【答案】C 【解析】 ∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，D为AB边的中点， ∴CD＝AD，∠ABC＝30°， ∴△ADC是等边三角形， ∴∠ADC＝60°， ∵CD∥EF， ∴∠ABF＝∠ADC＝60°， ∴∠CBF＝∠ABF－∠ABC＝30°. 【举一反三1】如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则△ADE的形状是（　　） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 不等边三角形 D. 不能确定形状 【答案】B 【解析】先证得△ABE≌△ACD，可得AE=AD，∠BAE=∠CAD=60°，即可证明△ADE是等边三角形． 【举一反三2】如图，在四边形ABCD中，∠ABC=60°，AB=BC，AD=CD.连接AC，过点D作DE∥AB分别交BC，AC于点E，F.若BC=6，DE=4，则CF的长为　　　.  【答案】2 【解析】连接BD交AC于点O，如图所示， ∵AB=BC，AD=CD， ∴BD垂直平分AC， ∴AO=OC，∠AOD=∠FOD=90°， ∵∠ABC=60°，AB=BC， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=6，∠BAC=∠ACB=60°， ∵DE∥AB， ∴∠FEC=∠ABC=60°，∠EFC=∠BAC=60°， ∴△EFC为等边三角形， 设FE=CF=x， ∵DE=4， ∴DF=4-x， ∴AO=OC=AC=3， ∴OF=3-x， ∵∠OFD=∠EFC=60°， ∴∠ODF=30°， 在Rt△ODF中，DF=2OF， ∴4-x=2(3-x)， 解得x=2， ∴CF=x=2. 【举一反三3】如图，已知∠AOB=30°，点P在∠AOB的内部，点P1与点P关于OB对称，点P2与点P关于OA对称，连接PP1，PP2，P1P2，OP，OP1，OP2，若△OP1P2的周长是18，那么OP=　　　.  【答案】6 【解析】根据题意，得点P1与点P关于OB对称，点P2与点P关于OA对称，如图所示， ∴∠1=∠2，∠3=∠4，OP=OP1=OP2， ∵∠2+∠3=∠AOB=30°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4=2=60°， ∴△OP1P2是等边三角形， ∵△OP1P2的周长是18， ∴OP=OP1=OP2=P1P2=6. 【举一反三4】在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，垂足点G，且AD=AB，∠EDF=60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F. (1)求证：△ABD是等边三角形； (2)求证：BE=AF. 【答案】证明　(1)∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠BAD=∠DAC=∠BAC， ∵∠BAC=120°， ∴∠BAD=∠DAC=×120°=60°， ∵AD=AB， ∴△ABD是等边三角形. (2)∵△ABD是等边三角形， ∴∠ABD=∠ADB=60°，BD=AD， ∵∠EDF=60°， ∴∠ADB=∠EDF， ∴∠ADB-∠ADE=∠EDF-∠ADE， ∴∠BDE=∠ADF， 在△BDE与△ADF中， ∴△BDE△ADF(ASA)， ∴BE=AF. 【题型24】含30°角的直角三角形的性质 【典型例题】Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2，则AB的长度是（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】根据题意，画出图形，然后根据“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”去求解.如图，由题意可知在Rt△ACD中，∠ACD=30°，所以AC=2AD=4，所以AB=2AC=8.故选C. 【举一反三1】某市在旧城绿化改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮优化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要(　　) A. 300a元 B. 150a元 C. 450a元 D. 225a元 【答案】B 【解析】延长CA且过点B作CA延长线的垂线，垂中为点D. 当∠CAB=150°时，∠BAD=30°， 在△BDC中，∠D=90° ∠BAD=30°， ∴BD=AB=×20=10（m） 设线段AD长为xm，则有 =BD×(AC+AD)-BD×AD=BD×AC=×10×30=150(m2) ∵每平米售价a元，所以共售价为150a元.∴选B. 【举一反三2】如图是某商场一部手扶电梯的示意图，若∠ABC=150°，BC长为8米，则乘电梯从点B到点C上升的高度h=　　　米.  【答案】4 【解析】如图所示，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，则∠BEC=90°， ∵∠ABC=150°， ∴∠CBE=180°-∠ABC=180°-150°=30°， ∴在Rt△BCE中，CE=BC=×8=4(米)， ∴点B到点C上升的高度h=4米. 【举一反三3】在Rt△ABD中，∠ADB=90°,∠A=60°,作DC∥AB,且∠DBC=∠BDC,DC与BC交于点C，已知CD=4. （1）求∠CBD的度数； （2）求AB的长. 【答案】解 （1）在Rt△ADB中，∵∠A=60°,∠ADB=90°,∴∠ABD=30°.又∵AB∥CD, ∴∠CDB=∠ABD=30°.∴∠CBD=∠CDB=30°. （2）过点C作CM⊥BD于点M，交AB于点E，连接DE, 则DE=EB,∴∠EDB=∠EBD=30°.∵∠CDM=30°,∠CMD=90°,∴CM=12CD=2. 又∠EBM=∠CBM=30°,BM=BM,∠EMB=∠CMB=90°,∴△CBM≌△EBM(ASA), ∴EM=CM=2.∴DE=2EM=4.∵∠DEA=∠EDB+∠EBD=60°,∠A=60°,∴AD=DE=4. 又∵∠ADB=90°,∠ABD=30°,∴AB=2AD=8. 【举一反三4】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220km的B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每离台风中心20km，风力就会减弱一级，该台风中心现在正以15km/h 的速度沿北偏东30°方向往 C 移动，且台风中心风力不变，如图，若城市所受风力达到或超过4级，则称为受台风影响．该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由． 【答案】解 如图，过点A作AD⊥BC于点D，则AD是该城市离台风中心最近的距离． 在 Rt△ABD 中，∠B=30°，AB=220 千米，所以 AD=110 千米．当台风到达点D时，城市 A 所受风力达到12-11020=6.5（级）．故城市 A 受到此次台风影响． 【题型25】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 【典型例题】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，过点C的直线与AB交于点D，且将△ABC的面积分成相等的两部分，则∠CDA等于(　　) A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 【答案】C 【解析】如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°， ∴AC＝AB， 又∵过点C的直线与AB交于点D，且将△ABC的面积分成相等的两部分， ∴AD＝BD∴AC＝AD， ∵∠A＝60°， ∴△ADC是等边三角形， ∴∠CDA＝60° 【举一反三1】如图，小明同学利用刻度直尺(单位： cm)测量三角形纸片的尺寸，点B，C分别对应刻度尺上的刻度2和8，D为BC的中点，若∠BAC=90°，则AD的长为(　　) A.2 cm B.3 cm C.4.5 cm D.5 cm 【答案】B 【解析】由题意得，∠BAC=90°，BC=8-2=6(cm)， ∵点D为线段BC的中点， ∴AD=BC=3(cm). 【举一反三2】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点．若DE＝4，则AB的长为__________． 【答案】8 【解析】∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.又∵E是AC的中点，DE＝4，∴AC＝2DE＝8.∵AB＝AC，∴AB＝8. 【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，E是AB的中点，∠ACD=1.5∠BEC，则∠B=　　　　　°.  【答案】67.5 【解析】设∠A=x， ∵∠ACB=90°，CD⊥AB，即∠ADC=90°， ∴∠B=90°-x，∠ACD=90°-x， ∵E是AB的中点， ∴CE=AE=AB， ∴∠ACE=∠A=x， ∴∠BEC=∠ACE+∠A=2x， ∵∠ACD=1.5∠BEC， ∴90°-x=1.5×2x， ∴x=22.5°， ∴∠B=67.5°. 【举一反三4】如图，在△ABC中，AD是高，E，F分别是AB，AC的中点. (1)AB=10，AC=8，求四边形AEDF的周长； (2)EF与AD有怎样的位置关系，证明你的结论. 【答案】解　(1)∵AD是高，E，F分别是AB，AC的中点， ∴DE=AE=AB=×10=5，DF=AF=AC=×8=4， ∴四边形AEDF的周长=AE+DE+DF+AF=5+5+4+4=18. (2)EF垂直平分AD.证明：∵DE=AE，DF=AF， ∴EF垂直平分AD. 【举一反三5】已知：如图，在△ABC，AB＝AC，AD是BC边上的中线，E是AC的中点，BF⊥CA延长线于点F.求证：∠CBF＝∠ADE. 【答案】证明　∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴∠ADC＝90°， 又∵E是AC的中点， ∴AE＝DE， ∴∠ADE＝∠EAD＝90°－∠C， ∵BF⊥CA延长线于点F， ∴∠CBF＝90°－∠C， ∴∠CBF＝∠ADE. 学科网（北京）股份有限公司 $